Đề tài Về dạng định lý cơ bản thứ hai kiểu cartan cho các đường cong chỉnh hình

Lỵ thuyát phƠn bố giĂ trà cừa Nevanlinna ữủc Ănh giĂ l  mởt trong nhỳng th nh tỹu àp ³ v  sƠu sưc cừa toĂn hồc trong thá k hai mữỡi. ữủc hẳnh th nh tứ nhỳng nôm Ưu cừa cừa thá k, lỵ thuyát Nevanlinna cõ nguỗn gốc tứ nhỳng cổng trẳnh cừa Hadamard, Borel v  ng y c ng cõ nhiãu ựng dửng trong cĂc lắnh vỹc khĂc nhau cừa toĂn hồc. Lỵ thuyát phƠn bố giĂ trà cờ iºn l  sỹ tờng quĂt hõa ành lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số, chẵnh xĂc hỡn, lỵ thuyát nghiản cựu sỹ phƠn bố giĂ trà cừa cĂc h m phƠn hẳnh tứ C v o C ?{8}. Trung tƠm cừa lỵ thuyát n y gỗm hai ành lỵ cỡ bÊn cừa Nevanlinna. ành lỵ cỡ bÊn thự nhĐt l  mởt cĂch viát khĂc cừa cổng thực Poisson - Jensen, ành lỵ n y nõi rơng h m °c trững T (r, a, f ) khổng phử thuởc v o a náu tẵnh sai khĂc mởt Ôi lữủng bà ch°n, trong õ a l  mởt số phực tũy ỵ. ành lỵ cỡ bÊn thự hai thº hiằn nhỳng kát quÊ àp nhĐt, sƠu sưc nhĐt cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ trà, ành lỵ n y ữa ra mối quan hằ giỳa h m °c trững v  h m xĐp x¿. Nôm 1933, H. Cartan [3]  chựng minh ành lỵ sau Ơy: Cho f : C -? P n (C) l  ữớng cong ch¿nh hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh, Hi , i = 1, ., q , l  cĂc siảu ph¯ng ð và trẵ tờng quĂt. Vợi 2 mội e > 0 ta cõ q X j =1 m(r,H j , f ) = (n + 1 + e)T (r, f ), trong õ bĐt ¯ng thực úng vợi mồi r > 0 nơm ngo i mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn. Kát quÊ trản cừa H. Cartan l  cổng trẳnh Ưu tiản vã mð rởng lỵ thuyát Nevanlinna cho ữớng cong ch¿nh hẳnh. Sỷ dửng kát quÊ õ ổng  ữa ra cĂc ữợc lữủng số khuyát cho cĂc ữớng cong ch¿nh hẳnh giao vợi cĂc siảu ph¯ng ð và trẵ tờng quĂt. Cổng trẳnh n y cừa ổng  ữủc Ănh giĂ l  hát sực quan trồng v  mð ra mởt hữợng nghiản cựu mợi cho viằc phĂt triºn lỵ thuyát Nevanlinna. Bði vêy, lỵ thuyát Nevanlinna cho cĂc ữớng cong ch¿nh hẳnh sau n y ữủc mang tản hai nh  toĂn hồc nời tiáng cừa thá k 20, õ l  Lỵ thuyát Nevanlinna - Cartan". Nhỳng nôm gƯn Ơy, viằc mð rởng kát quÊ cừa Cartan cho trữớng hủp cĂc siảu m°t thu hút ữủc sỹ chú ỵ cừa nhiãu nh  toĂn hồc. Nôm 2004, M. Ru [12]  chựng minh giÊ thuyát cừa B. Shiffman [14] °t ra v o nôm 1979. Cử thº, ổng  chựng minh rơng: Cho f : C ? P n (C) l  ữớng cong ch¿nh hẳnh khổng suy bián Ôi số, Dj , j = 1, ., q, l  cĂc siảu m°t bêc d j ð và trẵ tờng quĂt. Khi õ (q - (n + 1) - e)T (r, f ) = q X j =1 d -1 j N (r,D j , f ) + o(T (r, f )), trong õ bĐt ¯ng thực trản úng vợi mồi r ừ lợn nơm ngo i mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn. Kát quÊ trản  ữủc Q. Yan v  3 Z. Chen [4] mð rởng cho trữớng hủp h m ám tẵnh án bởi ch°n (hay cỏn gồi l  h m ám cửt). Kát quÊ ữủc phĂt biºu nhữ sau: GiÊ sỷ f : C ? P n (C) l  mởt Ănh xÔ ch¿nh hẳnh khổng suy bián Ôi số v  Dj , 1 = j = q l  q siảu m°t trong P n (C) cõ bêc d j tữỡng ựng, ð và trẵ tờng quĂt. Khi õ vợi mội e > 0, tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng M sao cho q - (n + 1) - e)T (r, f ) = q X j =1 d -1 j N M (r,D j , f ) + o (T (r, f )) , trong õ bĐt ¯ng thực trản úng vợi mồi r ừ lợn nơm ngo i mởt têp cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn. Cho án nay, khi nghiản cựu sỹ tỗn tÔi cừa cĂc Ănh xÔ ch¿nh hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa cĂc siảu m°t, ngữới ta thữớng sỷ dửng ành lỵ cỡ bÊn thự hai kiºu Nevanlinna - Cartan thổng qua h m ám tẵnh án bởi ch°n. Ngo i ra ành lỵ Nevanlinna - Cartan cỏn cho ta hiºu thảm vã tẵnh suy bián cừa ữớng cong ch¿nh hẳnh. Mửc tiảu chẵnh cừa luên vôn l  trẳnh b y lÔi cĂc kát quÊ Â ữủc ữa ra cừa Q. Yan v  Z. Chen vợi cổng cử nghiản cựu chừ yáu l  Lỵ thuyát Nevanlinna - Cartan cho cĂc Ănh xÔ ch¿nh hẳnh tứ C v o P n (C). Luên vôn ữủc chia th nh 2 chữỡng cũng vợi phƯn mð Ưu, kát luên v  danh mửc t i liằu tham khÊo. Chữỡng 1 trẳnh b y mởt số kián thực cỡ sð vã h m phƠn hẳnh, cĂc ành nghắa v  tẵnh chĐt cừa cĂc h m Nevanlinna. Trẳnh b y chựng minh ành lỵ cỡ bÊn thự hai cừa Nevanlinna cho h m phƠn hẳnh. Chữỡng 2 trẳnh b y chựng minh mởt dÔng ành lỵ cỡ bÊn thự hai 4 cho Ănh xÔ ch¿nh hẳnh cưt cĂc siảu m°t ð và trẵ tờng quĂt. Chữỡng n y ữủc viát dỹa trản cổng trẳnh cừa Q. Yan, Z. Chen [4].