Đề thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc 2004

1 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho các ma trận:                             113 520 331 ; 110 123 031 TA a) Tính B = T – 1AT. b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A. Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có     2004 2004 – – .AB BA C C AB BA Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x2– x và AB + BA = 0. Tính det(A – B) ? Câu 4. Cho ma trận thực   nnij aA   thoả mãn điều kiện:       ji ji aij ,1 ,0 Chứng minh rằng: a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A để sao cho detA = 0. b) Nếu n= 4, ta luôn có detA 0. Câu 5. a) Xác định đa thức f(x) dạng f(x) = x 5 – 3x4+2x3 +ax2 +bx +c biết rằng nó chia hết cho đa thức (x – 1)(x +1)(x – 2). b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3 thỏa mãn điều kiện (P(x) + Q(x))2=(R(x))2. Hỏi đa thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm). -------o0o------- 2 ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Đại số Câu 1. Cho các ma trận:                             113 520 331 ; 110 123 031 TA a) Tính B = T – 1AT. b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A. Giải. a) Ta có 1 1 7 0 21 1 1 15 10 5 , 3 70 6 10 2 4 T B T AT                            . b) Giá trị riêng {–1, –3, 4}. Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có (AB – BA)2004C = C(AB – BA)2004. Giải. Tính toán trực tiếp ta thấy với cặp ma trận vuông cấp hai A và B bất kỳ, AB và BA có cùng một vết. Từ đó suy ra ma trận D=AB –BA có vết bằng 0. Vậy nên a b D c a        và D2 = (a2 +cb)E. Do đó D 2004 = (a 2 + cb) 1002 E và nó giao hoán với mọi ma trận C. Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x2– x và AB+ BA = 0. Tính det(A – B) ? Giải. Ta có A2=A, B2=B nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) A B A AB BA B A B A B A B A AB BA B A B A B                     Đặt det( ) , det( )A B A B     . Ta có 22 2 2 det( ) det( ) det( ) det( ) A B A B hay A B A B                  Suy ra ( , ) (0, 0), ( , ) (1, 1), ( , ) ( 1, 1).         Vậy ta có ba trường hợp: (i) 0  , chẳng hạn khi A = 0, B = 0. (ii) 1,  chẳng hạn khi A = E, B = 0. (iii) 1,   chẳng hạn khi 3 1 0 0 0 , . 0 0 0 1 A B              Câu 4. Cho ma trận thực   nnij aA   thoả mãn điều kiện:       ji ji aij ,1 ,0 Chứng minh rằng: a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A để sao cho detA = 0. b) Nếu n= 4, ta luôn có detA 0. Giải. a) Ví dụ, với 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A           ta có detA3 = 0. b) Xét ma trận 0 1 1 1 1 0 1 1 . 1 1 0 1 1 1 1 0 B             Ta tính được detB= –3. Theo định nghĩa của định thức thì 1 4 1 2 3 4 1 4 ( ,..., ) 1 2 3 4 ( ,..., ) det ( 1) N j j j j j j j j B b b b b  và 1 4 1 2 3 4 1 4 ( ,..., ) 1 2 3 4 ( ,..., ) det ( 1) (*) N j j j j j j j j A a a a a  Rõ ràng là nếu tích 1 2 3 41 2 3 4 0j j j jb b b b  thì tích 1 2 3 41 2 3 4 0j j j ja a a a  và ngược lại. Do det 3B   là một số lẻ nên số số hạng khác 0 trong (*) cũng là một số lẻ và vì vậy det 0.A Câu 5. a) Xác định đa thức f(x) dạng f(x) = x 5 – 3x4+2x3 +ax2 +bx +c biết rằng nó chia hết cho đa thức (x – 1)(x +1)(x – 2). b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3 thỏa mãn điều kiện (P(x) + Q(x))2=(R(x))2. Hỏi đa thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm). Giải. a) Từ giả thiết (1) ( 1) (2) 0,f f f    ta thu được hệ phương trình 0 6 0. 4 2 0 a b c a b c a b c             Giải hệ này, ta thu được 1, 3, 2.a b c    Vậy đa thức cần tìm là 4 f(x) = x 5 – 3x4 +2x3 + x2 – 3x +2. b) Không mất tính tổng quát, có thể coi các hệ số bậc cao nhất của các đa thức P, Q, R đều dương. Trước hết, ta chứng minh đa thức Q(x) luôn luôn có 2 nghiệm thực. Ta có Q2 = (R – P)(R + P). Vì degP=degQ = 3 nên deg(R + P)= 3. Do degQ2 = 4 nên deg(R – P) =1. Do đó đa thức Q2 có nghiệm thực và vì vậy đa thức Q có nghiệm thực. Vì degQ=2 nên Q có đúng 2 nghiệm thực. Tiếp theo, ta chứng minh đa thức P(x) luôn luôn có 3 nghiệm thực. Ta có P2=(R – Q)(R + Q). Vì deg(R – Q)=deg(R + Q)= 3 nên các đa thức (R – Q) và (R + Q) có nghiệm thực. Nếu hai nghiệm thực đó khác nhau, thì P có hai nghiệm thực phân biệt và nghiệm còn lại của P hiển nhiên cũng là nghiệm thực. Nếu (R – Q) và (R + Q) có chung nghiệm thực x = a thì x = a là nghiệm của R và của Q. Do vậy 1 1 1( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).R x x a R x Q x x a Q x P x x a P x      Thế vào hệ thức P2=(R – Q)(R + Q), ta thu được 2 2 21 1 1 ,P R Q  với 1 1,P R là các tam thức bậc hai, Q1 là nhị thức bậc nhất. Ta có 2 1 1 1 1 1( )( ).Q R P R P   Vì 21Q là đa thức bậc hai và R1+ Q1 là tam thức bậc hai nên R1 – P1 là đa thức hằng. Vậy, nếu 21( ) ( 0)P x ax bx c a    và 1( )Q x dx e  thì 2 1( )R x ax bx c k    và   21 1( ) ( ) ( ) . (1)k R x P x dx e   Suy ra k>0. Thay giá trị e x d   vào (1), ta thu được 1 1 0 e e R P d d                nên 1 0. 2 e k P d          Do đó tam thức bậc hai P1(x) có hai nghiệm thực và P(x) có 3 nghiệm thực. Trở lại bài toán. Do P có 3 nghiệm thực, Q có 2 nghiệm thực và R là đa thức bậc 3 (có ít nhất 1 nghiệm thực) nên số nghiệm thực của T(x) không nhỏ thua 6. Ví dụ, ta chọn 3 2 2 3 2 ( ) 3 2 , ( ) 2( 2 1), ( ) 3 4 2 P x x x x Q x x x R x x x x           thì P2+Q2=R2 và đa thức (PQR) có đúng 6 nghiệm thực. 5 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Xét ma trận có dạng 2 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 3 2 3 3 3 4 2 1 4 2 4 3 4 4 1 1 , 1 1 x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x             Chứng minh rằng định thức của A là một đa thức đối xứng theo các biến 1 2 3 4, , , .x x x x Tính định thức của A khi 1 2 3 4, , ,x x x x lần lượt là 4 nghiệm của đa thức 4 3 2 4( ) 5 1.P x x x x    Câu 2. Cho ma trận 2 2 . 1 3 A        Tìm ma trận B có các giá trị riêng dương sao cho B2 =A. Câu 3. 1) Tồn tại hay không đa thức P(x) thoả mãn ( ) ( )P x P x và ( ) ( ),P x P x  với mọi x ? 2) Biết rằng đa thức Q(x) có tính chất ( ) ( ), .Q x Q x x  ¡ Chứng minh rằng ( ) 0, .Q x x  ¡ Câu 4. Cho ma trận 2 1 0 0 1 0 , 0 0 2 M            Đặt   , 1,2,3. ( ) ( , 2).n ij i j M b n n n    ¥ Tính 3 3 1 1 ( ).n ij i j S b n    Câu 5. Giải hệ phương trình 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ..... 2004 ..... 2005 1 .................................. ................... ... 2005 1 n n n n n n n a x x x x a x x x x a x x x                         --------Hết-------- 6 ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005 Môn: Đại số Câu 1. Xét ma trận có dạng 2 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 3 2 3 3 3 4 2 1 4 2 4 3 4 4 1 1 , 1 1 x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x             Chứng minh rằng định thức của A là một đa thức đối xứng theo các biến 1 2 3 4, , , .x x x x Tính định thức của A khi 1 2 3 4, , ,x x x x lần lượt là 4 nghiệm của đa thức 4 3 2 4( ) 5 1.P x x x x    Giải. Ta có 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 2 1 2 22 2 2 2 1 2 3 4 2 3 2 4 1 1 det .det 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .det 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                 7 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 3 3 2 2 4 4 22 11 22 22 3 2 4 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 det det1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 11 0 0 00 0 0 11 0 0 00 0 0 det det 11 1 1 1 0 0 1 0 0 0 x x x x x x x x x x xx xx x x                                                                                2 1 2 2 2 32 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 det 1 0 0 0 0 1 0 0 01 1 1 1 x x x x                                          `     2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 22 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 1 1 1 1 1 2 1. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                            Vì 1 2 3 4, , ,x x x x là nghiệm của đa thức 4 3 2 4( ) 5 1P x x x x    nên: 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 41; 5.x x x x x x x x x x x x x x x x           Vậy detA= 1– 2.(–5) +1=12. Câu 2. Cho ma trận 2 2 . 1 3 A        Tìm ma trận B có các giá trị riêng dương sao cho B2 =A. Giải. Chéo hoá ma trận A: 1 1 0 , 0 4 D P AP         trong đó 1 2 1 1 3 1 3 , . 1 1 1 3 2 3 P P              Ma trận C có các giá trị riêng dương sao cho C2=D là ma trận 1 0 . 0 2 C         Cần tìm B=QCQ –1 sao cho B2=QC2Q –1=A=PDP –1? 1 1 1 1( ) ( ) .QDQ PDP D Q P Q P D        Cần giải phương trình: DX=XD, X            8 1 0 1 0 . . 0 2 0 2                                  2 2 2 2                      0, 0, ,       khác 0 tuỳ ý ! Vậy ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 0 0 3 3 4 3 2 30 . 3 2 3 1 3 5 30 Q P Q P Q P B QCQ                                                                  Ghi chú: Nếu thí sinh chọn luôn ma trận 1 4 3 2 3 1 3 5 3 B PCP         thì vẫn cho điểm tối đa. Câu 3. 1) Tồn tại hay không đa thức P(x) thoả mãn ( ) ( )P x P x và ( ) ( ),P x P x  với mọi x ? 2) Biết rằng đa thức Q(x) có tính chất ( ) ( ), .Q x Q x x  ¡ Chứng minh rằng ( ) 0, .Q x x  ¡ Giải. 1) Dễ dàng thấy không tồn tại các đa thức bậc 0, 1, 2: 0 1 2( ), ( ), ( )P x P x P x thoả mãn điều kiện đầu bài. Xét trường hợp 3.n  Giả sử tồn tại đa thức bậc : ( )nn P x thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ), (1) ( ) ( ) (2) n n n n P x P x P x P x x     Từ (1) ( ) ( ) 0n nP x P x x n      chẵn. Từ (2) ( ) ( ) 0 ( 1)n nP x P x x n        chẵn. Vô lý!!!! 2) Từ giả thiết suy ra n - chẵn (n - bậc của đa thức Q(x)). Giả sử ngược lại, 0 0: ( ) 0x Q x   phương trình Q(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm ( n - chẵn!). ( ) 0 xe Q x  có ít nhất 2 nghiệm ( kể cả nghiệm bội)  ( ) 0xe Q x   có nghiệm. Tức là ( ) ( ) 0x xe Q x e Q x     có nghiệm ( ) ( ) 0Q x Q x   có nghiệmVô lý!!!! Câu 4. Cho ma trận 2 1 0 0 1 0 , 0 0 2 M            Đặt   , 1,2,3. ( ) ( , 2).n ij i j M b n n n    ¥ Tính 3 3 1 1 ( ).n ij i j S b n    Giải. Ta có M= E +D với 9 1 0 0 1 1 0 0 1 0 , 0 0 0 . 0 0 1 0 0 1 E D                      Dễ dàng thấy rằng , , ( 2).n nE E D D n n    ¥ Khi đó 0 1 1 ( ) . n n n n n k n k k k n k k k n n n k k k M E D C E D C E D E C D E              Mặt khác 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 n n k k n n k kn k n k n k n k C C C D C                         và 1 2 1. n k n n k C    Do đó: 2 2 1 0 0 1 0 . 0 0 2 n n n n M            Từ đây suy ra 3.2 .nnS  Câu 5. Giải hệ phương trình 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ..... 2004 ..... 2005 1 .................................. ................... ... 2005 1 n n n n n n n a x x x x a x x x x a x x x                         Giải. Cộng thêm biểu thức 1 2 1... ix x x    vào cả hai vế phương trình thứ ( 2)i i  của hệ đã cho. Với 2,3,..., ,i n ta có 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ... ... .... ... 2005 1 i i i i n i a x x x x x x x x x x x                    1 2 1 1 2 1 1 ( ... ) 1 2004 2005 1 2005 1 2005 2005 ... . 2005 2004 ii i i i i a a x x x a x x x                           Vậy với 2,3,..., 1: i n 1 2 1 2 1 1 1 ( ... ) ( ... ) 2005 2005 2005 2005 . 2005 2004 2005 2004 2005 i n i i i i i i x x x x x x x a a a                            10 Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai ta được 1 . 2005 a x  Vậy 1 ( 1,2,..., 1); . 2005 2004.2005 i ni n a a x i n x      -------Hết-------