Đề xuất giải thuật di truyền giải bài toán xếp thời khóa biểu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 71 (05/2020) No. 71 (05/2020) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: 87 ĐỀ XUẤT GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN XẾP THỜI KHÓA BIỂU Proposing a genetic algorithm to solve timetabling problem Nguyễn Hồ Thiên Đăng(1), Nguyễn Thị Hồng Bích(2), Thái Minh Tân(3), TS. Phan Tấn Quốc(4) (1)Học viên cao học Trường Đại học Sài Gòn (2)Trường THPT Ngô Quyền, Q.7, TP.HCM (3)Công ty TMA Solutions, TP.HCM (4) Trường Đại học Sài Gòn TÓM TẮT Việc xếp thời khóa biểu hợp lý là bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong thực tế. Được phân loại thuộc lớp NP-complete và đã được nghiên cứu rộng rãi trong hàng chục năm qua với các hướng tiếp cận như quy hoạch toán học, tối ưu dựa trên ràng buộc, tối ưu đa mục tiêu, giải thuật tham lam, giải thuật metaheuristic.v.v. Nghiên cứu này đề xuất sử dụng giải thuật di truyền để giải bài toán xếp thời khóa biểu trường phổ thông, một loại bài toán xếp thời khóa biểu phổ biến. Nghiên cứu đã cài đặt và thí nghiệm giải thuật đề xuất trên một số bộ dữ liệu thực tế. Kết quả thực nghiệm cho thấy giải thuật đề xuất cho kết quả tốt hơn một số phần mềm hỗ trợ xếp thời khóa biểu cho các trường phổ thông hiện nay trên dựa trên trọng số một số ràng buộc của bài toán. Từ khóa: thời khóa biểu, thời khóa biểu trường phổ thông, giải thuật di truyền ABSTRACT Timetabling problem is optimization problems that have many practical applications; this is the problem of class NP-complete. Timetabling problem has been widely studied over the past decades with approaches such as mathematical programming, constraint-based approaches, multiobjective optimization, greedy algorithms, metaheuristic algorithms, etc. In this study, we propose a genetic algorithm to solve a form of Timetabling problem that is the School Timetabling problem. The proposed algorithm was conducted on some real data sets. Experimental results claim that our algorithm results in better results than some of the current school Timetabling software based on some constraints of the problem. Keywords: genetic algorithm, timetabling problem, school timetabling 1. Giới thiệu Bài toán xếp thời khóa biểu trường học (timetabling problem) là tạo ra một lịch phân công giảng dạy giữa người dạy và người học trong một chu kỳ thời gian cố định (thường là theo tuần) sao cho thỏa mãn được nhiều ràng buộc nhất có thể của bài toán. Bài toán xếp thời khóa biểu thuộc lớp bài toán tối ưu NP-complete [1]. Bài toán xếp thời khóa biểu được biết Email: quocpt@sgu.edu.vn SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 88 đến rộng rãi với 3 dạng sau: bài toán xếp thời khóa biểu trường phổ thông (school timetabling-STTP); bài toán xếp thời khóa biểu trường đại học (course timetabling- CTTP); bài toán xếp lịch thi (examination timetabling-ETTP) [1]. Đã có nhiều công trình nghiên cứu về bài toán xếp thời khóa biểu dựa trên các hướng tiếp cận như giải thuật tô màu đồ thị, tiếp cận dựa trên ràng buộc, quy hoạch toán học, tối ưu đa mục tiêu, giải thuật tham lam [2], giải thuật metaheuristic [3], [4], [5], [6], [7]. Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề xuất một giải thuật metaheuristic dạng quần thể là giải thuật di truyền để giải bài toán xếp thời khóa biểu trường phổ thông với hy vọng có thể khắc phục được bẩy tối ưu cục bộ so với các metaheuristic dạng cá thể khác. 2. Bài toán xếp thời khóa biểu phổ thông 2.1. Một số khái niệm Chu kỳ thời khóa biểu: chu kỳ thời khóa biểu là số ngày mà thời khóa biểu cần xếp lịch, tính từ thứ Hai đến thứ Bảy. Nhóm thời gian: nhóm thời gian là tập hợp nhóm các tiết trong một chu kỳ thời khóa biểu; buổi sáng từ tiết 1 đến tiết 5, buổi chiều từ tiết 6 đến tiết 8, sau 2 tiết đầu của mỗi buổi học sẽ có giờ giải lao. Định dạng khuôn mẫu các buổi học thông thường ở trường phổ thông hiện như sau: từ thứ Hai đến thứ Sáu, mỗi buổi các lớp học đủ 5 tiết; riêng thứ Bảy có thể học ít hơn tuỳ theo tổng số tiết các môn cả tuần, tổng số tiết này thay đổi tuỳ học kỳ và tuỳ khối lớp. Giáo viên: các giáo viên có thể được phân công làm công tác chủ nhiệm lớp, giáo viên chủ nhiệm lớp nào thì phải được phân công giảng dạy ít nhất một môn học của lớp đó; các giáo viên có thể dạy môn học ngoài chuyên môn chính, gọi là công tác kiêm nhiệm. Lớp học: lớp học gồm tập các học sinh học chung với nhau ở tất cả các môn học. Phạm vi bài toán xếp thời khóa biểu đề cập trong nghiên cứu này là các khối lớp 10, 11 và 12. Phòng học: với bài toán xếp thời khóa biểu ở trường phổ thông, mỗi lớp được cấp cố định một phòng học lý thuyết trong suốt năm học; mỗi phòng học có thêm thông tin là phòng học lý thuyết hay phòng thực hành, thực nghiệm. Môn học: có thể gọi là môn, mỗi khối lớp trong một học kỳ có từ 13 đến 17 môn; Môn ngữ văn, thể dục, quốc phòng phải xếp tiết cặp và không xếp tiết 2-3 vì sau tiết 2 là giờ giải lao; Môn toán, tiếng Anh, Tin học cũng khuyến khích xếp tiết cặp. Các môn đã xếp tiết cặp thì một buổi không xếp quá một cặp. Bảng phân công: bảng phân công giảng dạy gồm một tập các phân công; mỗi phân công bao gồm các thông tin về giáo viên, lớp học, môn học, tổng số tiết môn học trong tuần. 2.2. Ràng buộc của bài toán xếp thời khóa biểu Ràng buộc của bài toán xếp thời khóa biểu được phân làm hai loại: ràng buộc cứng (hard constraints) và ràng buộc mềm (soft constraints). Ràng buộc cứng là các ràng buộc đã được quy định trong các văn bản của ngành. Ví dụ môn học cần xếp có tiếp cặp, buổi học của các lớp không có tiết lủng.v.v. Ràng buộc cứng là loại ràng buộc, không thể vi phạm, trừ trường hợp bất khả kháng. Ràng buộc mềm là các ràng buộc thường do giáo viên hoặc lớp học yêu cầu NGUYỄN HỒ THIÊN ĐĂNG và cộng sự TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 89 để làm tăng chất lượng thời khóa biểu. Các ràng buộc mềm cần được xếp thỏa mãn càng nhiều càng tốt. Khi có nhiều ràng buộc mềm thì độ ưu tiên giữa chúng cũng là yếu tố cần xem xét. Ràng buộc cứng của bài toán xếp thời khóa biểu phổ thông Ràng buộc đụng độ giáo viên (1): các phân công đối với cùng giáo viên thì không xếp vào cùng vị trí tiết học. Ràng buộc đụng độ lớp học (2): các phân công đối với cùng lớp học thì không xếp vào cùng vị trí tiết học. Ràng buộc đụng độ phòng học (3): mỗi phòng học chỉ được xếp vào nhiều nhất một phân công tại một vị trí tiết học. Việc đụng độ phòng học chỉ có thể xảy ra ở các phòng thí nghiệm, thực hành, sân tập thể dục. Ràng buộc về số tiết học liên tiếp tối thiểu và số tiết học liên tiếp tối đa (4): thông số này là (1,2) đối với bài toán STTP và đây cũng là điểm khác biệt so với bài toán CTTP. Ở bài toán CTTP, số tiết học liên tiếp tối thiểu, tối đa có thể là (2,k) với 2 ≤ k ≤ 6. Ràng buộc thời gian rảnh của giáo viên, lớp học, phòng học (5): các phân công không được vi phạm thời gian rảnh của giáo viên, của lớp học, của phòng học. Ràng buộc về tính đầy đủ của phân công (6): tất cả các phân công đều phải được xếp thời khóa biểu. Nếu giải thuật không xếp được tất cả phân công thì cần gỡ dần các ràng buộc mềm và tiến hành lại việc xếp thời khóa biểu. Một giải thuật xếp được tất cả các phân công không đồng nghĩa giải thuật đó sẽ tạo ra thời khóa biểu tốt. Ràng buộc về phân công xếp sẵn (7): tiết xếp sẵn là tiết được ưu tiên xếp trước và mọi tiết khác xếp sau sẽ tránh các tiết xếp sẵn này. Ràng buộc về các môn học có tiết cặp (8): một số môn học theo quy định bắt buộc phải có ít nhất một tiết cặp để đáp ứng yêu cầu về chuyên môn. Ràng buộc về mỗi môn học chỉ học một lần trong một buổi tại mỗi lớp (9): trong một buổi học, một môn học chỉ có thể xuất hiện nhiều nhất một lần (một tiết lẻ hoặc tiết cặp). Ràng buộc tiết trống của lớp theo buổi (10): tiết trống là tiết không bố trí dạy học xen giữa các tiết học khác; thực tế thì thời khóa biểu các lớp ở trường phổ thông cần được xếp sao cho không có hiện tượng trống tiết. Ràng buộc về tiết không xếp của giáo viên (11): tiết không xếp là tiết theo quy định của ngành, của cơ sở giáo dục; thời khóa biểu của giáo viên cần xếp tránh các tiết không xếp này, ví dụ ngày sinh hoạt chuyên môn của giáo viên được xem là các tiết không xếp. Ràng buộc mềm của bài toán xếp thời khóa biểu phổ thông Ràng buộc về lịch bận của giáo viên (1): mỗi giáo viên có lịch bận riêng. Ràng buộc về học cách ngày (2): nên xếp các môn học học cách ngày trong tuần. Ràng buộc về độ nén lịch dạy của giáo viên (3): nên xếp lịch dạy của giáo viên sao cho số buổi mà giáo viên đi dạy là ít nhất có thể; gọi n là số buổi dạy của giáo viên thì: n ≤ số tiết trong tuần của giáo viên/5 +1. Ràng buộc về tiết trống của giáo viên (4): mỗi buổi giáo viên có thể trống tiết tối đa 1 lần (trống 1 tiết hoặc 2 tiết liên tục); trong một tuần số tiết trống của mỗi giáo viên không vượt quá 3. Ràng buộc về số tiết dạy tối thiểu trong một buổi của giáo viên (5): mỗi giáo viên dạy ít nhất 2 tiết trong một buổi. SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 90 Ràng buộc về số tiết học tối thiểu trong một buổi học của một lớp (6): số tiết tối thiểu trong mỗi buổi học của một lớp là 2 tiết. Ràng buộc về số môn học tối đa trong mỗi buổi (7): số môn học tối đa trong mỗi buổi là 4; trường hợp bất khả kháng có 5 môn trong một buổi học thì 5 môn học đó không cùng thuộc nhóm môn học xã hội (Văn, Sử, Địa, Giáo dục công dân, Tiếng Anh). Ràng buộc về số tiết tối đa của một giáo viên trong một lớp trong mỗi buổi (8): tránh xếp một giáo viên dạy một lớp nhiều hơn 2 tiết/buổi học (không tính tiết sinh hoạt chủ nhiệm). Trường hợp này có thể xảy ra đối với các môn học có nhiều hơn 2 tiết hoặc các giáo viên dạy lớp đó 2 môn học. 2.3. Mô hình hóa bài toán xếp thời khóa biểu Bài toán xếp thời khóa biểu gồm các yếu tố sau: Tập P ={p1, p2,,pm} gồm m tiết học, tập T ={t1, t2,,tn} gồm n giáo viên, ma trận PT cho biết tiết rảnh của mỗi giáo viên, trong đó PTij=1 nếu giáo viên ti rảnh tiết pj và PTij=0 nếu ngược lại. Tập C ={c1, c2,,ch} gồm h lớp học, ma trận PC cho biết tiết rảnh của lớp học, trong đó PCij=1 nếu lớp học ci rảnh tiết pj và PCij=0 nếu ngược lại. Tập R ={r1, r2,...,rk} gồm k phòng học, ma trận PR cho biết tiết rảnh của phòng học, trong đó PRij=1 nếu phòng học ri rảnh tiết pj và PRij=0 nếu ngược lại. Tập M ={m1, m2,, my} gồm y môn học, tập PM gồm y tổng số tiết học trong tuần của các môn học tương ứng trong tập M tức PM={pm1, pm2,, pmy}. Tập MR gồm các môn học được phân công vào các phòng học, trong đó MRij=1 nếu môn học mi có thể xếp vào phòng rj và ngược lại. Tập A ={A1, A2,..., Aq} gồm q phân công, tập Ai cho biết chi tiết của phân công giáo viên tj giảng dạy môn mf cho lớp Cv: Ai={tj, Cv, mf}. Tập lời giải S của bài toán gồm x phân công được gán tiết học và phòng học S={S1, S2,...,Sx}, trong đó tập Si gồm phân công Ai được xếp vào tiết học Pj với số tiết liên tiếp là kv (với k=1,2) và tại phòng học rm: Si={Ai, pj, kv, rm}. Để đánh giá được chất lượng của một lời giải thì ta sử dụng một hàm mục tiêu biểu diễn tổng trọng số các vi phạm của các ràng buộc của bài toán; trong đó các ràng buộc cứng đã được chuyển thành các ràng buộc mềm có trọng số cao. Trong đó: S là lời giải - là thời khóa biểu toàn trường, n là tổng số các ràng buộc của bài toán, wi là trọng số vi phạm của ràng buộc thứ i (wi ≥ 0, với i=1..n), di là số lần vi phạm ràng buộc thứ i (di ≥ 0, với i=1..n) [4]. Ký hiệu f(S) là giá trị hàm mục tiêu của lời giải S, giá trị hàm mục tiêu càng cao thì độ thích nghi càng thấp và ngược lại. 2.4. Tiêu chí đánh giá chất lượng thời khóa biểu Chất lượng của một thời khóa biểu thể hiện qua thời khóa biểu của các lớp học và thời khóa biểu của mỗi giáo viên. Việc đánh giá chất lượng một thời khóa biểu là công việc khó khăn và thông thường giáo viên sẽ đánh giá dựa vào thông tin thời khóa biểu có vi phạm các ràng buộc của bài toán. 3. Giải thuật di truyền giải bài toán xếp thời khóa biểu Trong phần này, chúng tôi sẽ đề xuất NGUYỄN HỒ THIÊN ĐĂNG và cộng sự TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 91 một giải thuật metaheuristic, cụ thể là giải thuật di truyền [5], [7], [8] để giải bài toán xếp thời khóa biểu ở trường phổ thông. 3.1. Tạo quần thể ban đầu Quần thể ban đầu được tạo gồm N cá thể T1, T2,...,TN, trong đó mỗi cá thể là một lời giải của bài toán, tức là một thời khóa biểu toàn trường. Mỗi cá thể gồm nhiều gen, mỗi gen được khởi tạo ngẫu nhiên từ tập các phân công đã cho sao cho trước hết phải thỏa mãn được các ràng buộc cứng của bài toán. Chất lượng các cá thể của quần thể ban đầu được khởi tạo ngẫu nhiên thường có chất lượng kém hơn so với chất lượng của các cá thể được khởi tạo bằng các heuristic của bài toán. Tuy nhiên do sự đa dạng của các cá thể khi khởi tạo ngẫu nhiên, nên lúc kết thúc quá trình tiến hóa, giải thuật di truyền ứng với quần thể ban đầu (được khởi tạo ngẫu nhiên) thường cho chất lượng lời giải tốt hơn. 3.2. Độ thích nghi của cá thể Độ thích nghi của mỗi cá thể thời khóa biểu được xác định là giá trị của hàm mục tiêu. Giá trị hàm mục tiêu càng nhỏ thì cá thể thời khóa biểu có chất lượng càng cao. 3.3. Phép lai Mục này trình bày cách chọn các cá thể và cách thực hiện phép lai, cách xử lý các cá thể con sinh ra từ phép lai. Chọn các cá thể thời khóa biểu tham gia phép lai Cho xác xuất lai là pc, đối với mỗi cá thể trong quần thể P, ta phát sinh ngẫu nhiên một số thực r  [0..1]. Nếu r ≤ pc, thì chọn cá thể đó để tham gia phép lai. Ta sẽ tiến hành thực hiện phép lai từng cặp các cá thể thời khóa biểu theo thứ tự mà chúng được chọn. Phép lai hai cá thể thời khóa biểu cha- mẹ T1,T2 để sinh ra hai cá thể thời khóa biểu T1’ và T2’. T1’ và và T2’ ban đầu được gán bằng T1 và T2. Lấy ngẫu nhiên một đoạn các gen trong mỗi cặp cá thể cha-mẹ thỏa mãn ràng buộc về tính chất gen của bài toán – ở đây là cùng một lớp nào đó, giả sử đó là đoạn (p1,p2). Duyệt các đoạn gen từ (p1,p2) trong cá thể cha-mẹ T1, nếu có gen nào làm cho cá thể T2’ tốt hơn thì cập nhật T2’. Công đoạn này kết thúc ta được cá thể con T2’. Tương tự, duyệt các đoạn gen từ (p1,p2) trong cá thể cha-mẹ T2, nếu có gen nào làm cho cá thể T1’ tốt hơn thì cập nhật T1’. Công đoạn này kết thúc ta được cá thể con T1’. Các cá thể gốc T1 và T2 không thay đổi trong quá trình này; các cá thể T1’ và T2’ sinh ra từ phép lai phải thỏa mãn các ràng buộc của bài toán. Phép lai hai cá thể T1 và T2 để được hai cá thể con T1’ và T2’. Ta đưa 2 cá thể con này vào quần thể mới - nghĩa là sau khi thực hiện phép lai, số cá thể của quần thể sẽ lớn hơn N, giả sử đó là N’. Phép chọn ở cuối mỗi thế hệ có nhiệm vụ loại bớt một số cá thể có độ thích nghi kém hơn để đảm bảo kích thước quần thể không đổi trong mỗi lần bắt đầu thế hệ tiến hóa tiếp theo. 3.4. Phép đột biến Mục này trình bày cách chọn các phân công trong các cá thể để thực hiện phép đột biến, cách thực hiện phép đột biến và cách xử lý các cá thể con sinh ra từ phép đột biến. Phép đột biến được tiến hành sau khi thực hiện phép lai (trước khi thực hiện phép chọn). Kích thước của quần thể lúc thực hiện phép đột biến là N’. Chọn ngẫu nhiên một phân công, giả sử đó là phân công X (tức 1 cụm tiết gồm các thông tin: giáo viên, môn học, lớp, số tiết, vị trí tiết đầu đã bố trí cụm tiết.v.v.). SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 92 Thực hiện di chuyển cụm tiết đó từ vị trí u đến vị trí v trong cùng lớp hoặc qua một lớp khác mà vẫn đảm bảo lớp khác ở đây cũng có giáo viên, môn học phù hợp với phân công X. Nếu không tìm được vị trí v phù hợp thì phép đột biến đó không được thực hiện. Theo nguyên tắc đột biến, cá thể sau đột biến không nhất thiết phải tốt hơn trước đột biến. Vì xét về cả quá trình tiến hóa, một cá thể chưa tốt ở thế hệ này vẫn sẽ có khả năng giúp quá trình tiến hóa sinh ra các cá thể tốt ở những thế hệ tiếp theo. Xử lý các cá thể con sinh ra Giả sử cá thể T sau đột biến sinh ra cá thể T’, khi đó ta có hai cách xử lý sau đây: Cách thứ nhất là nếu T’ tốt hơn T thì thay T bằng T’, nếu T’ kém hơn T thì xem như phép đột biến không thực hiện gì cả. Cách thứ hai là thay T bằng T’ mà không quan tâm đến chất lượng lời giải của T’. Trong bài báo này, chúng tôi chọn thực hiện phép đột biến thứ hai. 3.5. Phép chọn lọc Chúng tôi sử dụng phép chọn lọc các cá thể dựa trên độ thích nghi xếp hạng bằng cách bố trí chung theo độ thích nghi giảm dần (tức theo chiều tăng dần của giá trị hàm mục tiêu), sau đó chọn N cá thể có độ thích nghi cao nhất. Để không làm mất đi cá thể tốt nhất được khai phá trong suốt quá trình tiến hóa, giải thuật của chúng tôi luôn cập nhật cá thể tốt nhất cho đến thời điểm hiện tại (cá thể ưu tú). 3.6. Điều kiện dừng Thường các giải thuật di truyền chọn các điều kiện dừng sau đây: thứ nhất là lời giải tốt nhất tìm được của bài toán không được cải thiện sau một số lần lặp định trước ; thứ hai là số lần lặp của giải thuật đạt đến một giá trị định trước ; thứ ba là giải thuật chạy hết một lượng thời gian định trước. Trong bài toán xếp thời khóa biểu trường phổ thông đang xét, chúng tôi chọn điều kiện dừng đầu tiên. 3.7. Giải thuật di truyền giải bài toán xếp thời khóa biểu Chúng tôi gọi giải thuật này là STTGA (School Timetabling Problem Genetic algorithm). Dữ liệu đầu vào: danh sách các phân công, danh sách các ràng buộc, bộ trọng số vi phạm ứng với mỗi ràng buộc Dữ liệu đầu ra: thời khóa biểu của mỗi lớp, thời khóa biểu của mỗi giáo viên Giải thuật di truyền giải bài toán xếp thời khóa biểu - STTGA 1: Khởi tạo quần thể ban đầu với N cá thể ngẫu nhiên, trong đó mỗi lời giải là một thời khóa biểu toàn trường, mỗi gen của cá thể ứng với một phân công; 2: Xác suất lai là pc, xác suất đột biến là pm; 3: Đánh giá độ thích nghi mỗi cá thể trong quần thể, cá thể T có giá trị hàm mục là C(T), cá thể T càng tốt nếu C(T) có giá trị càng bé và ngược lại; 4: while (điều kiện dừng chưa thỏa) { a) Chọn ngẫu nhiên một cặp cá thể cha-mẹ từ quần thể; b) Phép lai (crossover): nếu xảy ra xác suất lai ghép pc thì lai ghép hai cá thể cha-mẹ để tạo thành các cá thể con, ngược lại, các cá thể con giống cá thể cha-mẹ; c) Đột biến (Mutation): nếu xảy ra xác suất đột biến pm thì đột biến bằng cách cho thay đổi nhỏ trong cá thể; d) Đánh giá lại độ thích nghi của các cá thể, tức tính lại giá trị của hàm mục tiêu; e) Chọn lọc (Selection): thay thế các NGUYỄN HỒ THIÊN ĐĂNG và cộng sự TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 93 cá thể có độ thích nghi ít hơn; } 5: Cá thể tốt nhất của thế hệ sau cùng là lời giải của bài toán. 4. Thực nghiệm và đánh giá 4.1. Dữ liệu thực nghiệm Chúng tôi thực nghiệm giải thuật di truyền STTGA trên 2 bộ dữ liệu thực tế tại Trường Trung học phổ thông Giồng Ông Tố, Quận 2, Thành phố Hồ Chí Minh. Bộ thứ nhất có tên gọi là HK11920, bộ thứ hai có tên gọi là HK21920. Bảng 1. Thông số các bộ dữ liệu thực nghiệm STT Loại dữ liệu HK11920 (Số lượng) HK21920 (Số lượng) 1 Số giáo viên có phân công 76 73 2 Số phòng học 36 36 3 Số môn học 45 44 4 Số phân công 485 475 5 Số ràng buộc cứng 11 11 6 Số ràng buộc mềm 8 8 7 Số buổi học trong tuần 6 6 8 Số tiết tối đa trên mỗi buổi học 5 5 Các ràng buộc cứng 1, 2, 3, 9, 10, 11 ở trên được mềm hóa với trọng số cao (các giá trị này được đề xuất qua quá trình thực nghiệm thực tế), các ràng buộc cứng 4, 5, 6, 7, 8 còn lại luôn được thỏa mãn khi cài đặt. Do đó, bài toán có 6