Điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ cho bài toán tối ưu đa trị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 71 (05/2020) No. 71 (05/2020) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: 109 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU DẠNG XẤP XỈ CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ Approximate optimality conditions for set-valued optimization problems ThS. Trần Hòa Hiệp Trường Đại học Sài Gòn TÓM TẮT Từ các kết quả về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị dựa trên khái niệm dưới vi phân yếu của hàm véc tơ, bài báo này trình bày nghiên cứu dưới vi phân xấp xỉ yếu cho hàm đa trị. Khái niệm -dưới vi phân yếu cho hàm đa trị được đề nghị. Điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và Kuhn- Tucker cho bài toán được thiết lập. Từ khoá: tối ưu đa trị, điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ, dưới vi phân yếu dạng xấp xỉ ABSTRACT Motivated by optimality conditions for set-valued optimization problems based on the notion of weak- subdifferential for vector functions, this paper deals with approximate weak-subdifferentials for set- valued functions. The notion of -weak subdifferential for set-valued functions is proposed. The approximate optimality conditions in Fritz-John and Kuhn-Tucker types for the problem are investigated. Keywords: approximate weak-subdifferential, approximate optimality conditions, set-valued optimization 1. Phần giới thiệu Trong tối ưu véc tơ, các khái niệm về nghiệm tối tiểu, tối tiểu yếu, tối tiểu mạnh, tối tiểu chính thường, đã được định nghĩa trên một tập con của không gian tuyến tính có thứ tự. Trong những năm qua, dựa trên các tính chất về quan hệ trên tập hợp, tối ưu véc tơ, tối ưu đa trị được phát triển một cách độc lập. Có nhiều bài báo gần đây giới thiệu các kết quả về điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu đa trị [1], [5]. Về các kết quả mới liên quan tối ưu đa trị, tài liệu của A. A. Khan, C. Tammer và C. Zălinescu [6] đang được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Các kết quả của chúng tôi xuất phát từ bài báo về tối ưu đa trị của tác giả Lin [2]. Cho ,X Y và Z là các không gian véctơ tôpô, C và D là những nón lồi, nhọn, có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và .Z Với các không gian X và Y nói trên, một ánh xạ đa trị F từ không gian tuyến tính X vào không gian tuyến tính Y , được gọi là -C lồi nếu ( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] , , , [0,1].F x F y F x y C x y X Cho : 2YF X và : 2ZG X tương ứng là các ánh xạ đa trị -C lồi và -D lồi (xem Định nghĩa 2.1). Với E là tập lồi khác rỗng của ,X bài toán được Lai-Jiu Lin [2] viết lại như sau (P)Minimize 1{ ( ) | ( )}F x x E G D Email: thhiep@sgu.edu.vn SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 110 Mô hình của bài toán nêu trên được hiểu như sau: với E là tập con khác rỗng của ,X cần tìm điểm 1 0 ( )x E G D sao cho với 0 0 ( )y F x là điểm tối tiểu yếu của tập 1[ ( )]F E G D . Điểm 0 x nếu tìm được như thế, được gọi là nghiệm yếu của bài toán (P). Trong bài báo Lin [2], tác giả đã đạt được một số kết quả quan trọng như thiết lập điều kiện tối ưu dạng Fritz- John và dạng Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu đa trị. Không những thế một phiên bản mở rộng về dưới vi phân của tổng hai hàm lồi đơn trị đã được tác giả bổ sung cho trường hợp các hàm đa trị. Lấy cảm hứng từ các kết quả đó, trong bài báo này, bước đầu chúng tôi quan tâm thiết lập về điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và Kuhn-Tucker cho dạng bài toán tối ưu đa trị (P). Cần biết rằng, dạng nghiệm xấp xỉ cho bài toán tối ưu véc tơ được giới thiệu đầu tiên bởi Loridan [7] xét trên các không gian có thứ tự bộ phận. Đến nay, đã có nhiều định nghĩa khác nhau về nghiệm xấp xỉ cho tối ưu véc tơ và tối ưu đa trị [8], và nhiều kết quả liên quan đến nghiệm xấp xỉ được đề cập trong các công trình [9], [13]. Qua khảo sát kết quả của Lai-Jiu Lin về việc thiết lập các điều kiện tối ưu dạng Fritz-John và dạng Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu đa trị, chúng tôi nhận thấy rằng các kết quả đó còn có thể mở rộng cho trường hợp nghiệm xấp xỉ. Trong những năm qua đã có nhiều tác giả giới thiệu các định nghĩa khác nhau về nghiệm xấp xỉ cho tối ưu véc tơ và tối ưu đa trị [7], [8], [11], [12], [13], [18], [19], [20]. Với nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng định nghĩa nghiệm xấp xỉ cho tối ưu đa trị được giới thiệu trong tài liệu của Rong và Wu [19], xét trên không gian Banach có thứ tự riêng phần sinh bởi nón lồi nhọn và có phần trong khác rỗng. Mục đích của chúng tôi trong bài báo này là thiết lập các điều kiện tối ưu dạng Fritz-John và Kuhn Tucker cho nghiệm xấp xỉ yếu của bài toán tối ưu đa trị trên các không gian Banach. Cụ thể: với số dương cho trước, chúng tôi tìm 1 0 ( )x E G D sao cho 0 ( )u F x và u b là điểm cực tiểu yếu của tập 1[ ( )],F E G D với intb C nào đó trong .Y Trong trường hợp này 0 x được gọi là -nghiệm yếu của bài toán (P). Trong phần sau đây, chúng tôi dành để nhắc lại các kiến thức hoặc kết quả cơ bản; tính chất về dưới vi phân yếu của tổng hai hàm đa trị và điều kiện tối ưu cho nghiệm yếu của bài toán tối ưu đa trị được nhắc lại trong phần này. Tiếp đến chúng tôi cũng đề nghị khái niệm về -dưới vi phân yếu cho hàm đa trị. Phần cuối được dành để trình bày các kết quả đóng góp của chúng tôi về điều kiện tối ưu xấp xỉ cho bài toán tối ưu đa trị. Các ví dụ cũng được giới thiệu trong chương này. 2. Kiến thức cơ bản Trong bài báo này, ,X Y và Z dùng để chỉ các không gian Banach tương ứng có các véc tơ không: , X Y và Z , và ở một vài nội dung khi không gây sự nhầm lẫn, chúng tôi ghi thay cho các trường hợp vừa nêu. Cho trước các ánh xạ đa trị được ký hiệu bởi: : 2YF X và : 2ZG X Các miền hữu hiệu của F và G tương ứng được ký hiệu và định nghĩa là: TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 111 ( ) : { | ( ) }, ( ) { | ( ) }.D F x X F x DG x X G x Với ,A X ta ký hiệu ( ) ( ), x A F A F x và với ,V Z ta ký hiệu 1( ) { | ( ) }.G V x X G x V Tập hợp C Y của Y được gọi là một nón nếu y C với mọi y C và với mọi 0. Nón C được gọi là lồi nếu có thêm tích chất tập lồi, tức là x y C với mọi ,x y C và với mọi , 0 . Nón C đuợc gọi là nón nhọn nếu ( ) { }. Y C C Ký hiệu *, *X Y và *Z là các không gian đối ngẫu tương ứng của ,X Y và .Z Với x X và * *,x X ký hiệu là *,x x được dùng để chỉ giá trị thực của ánh xạ tuyến tính *x tại .x Tương tự ta cũng dùng *,y y và *, .z z Chúng tôi sử dụng thêm ký hiệu sau: *, ( ) : { *, | ( ), * *}.y F x y y y F x y Y Nón đối cực của tập ,C Y ký hiệu bởi ,C được định nghĩa là: : { * * | *, 0, }.C y Y y y y C Cho , , ,A B X có các phép toán : { | , }, : { | }, A B x y x A y B A x x A Chúng ta qui ước rằng , , A A với các không gian Z và Y nêu trên, ký hiệu ( , )Z Y để chỉ tập tất các các toán tử tuyến tính liên tục đi từ Z vào .Y Khi đó với C Y và ,D Z tập con của ( , )Z Y chỉ gồm các toán tử tuyến tính liên tục từ D vào C được ký hiệu bởi ( , ) : { ( , ) | ( ) }.Z Y w Z Y w D C Trong bài báo này C và D tương ứng là các nón lồi nhọn, có phần trong khác rỗng tương ứng của Y và .Z Định nghĩa 2.1. Cho ánh xạ đa trị : 2 ,YF X A là tập lồi của X và C là nón lồi, nhọn, có phần trong khác rỗng của .Y Ánh xạ đa trị F được gọi là -C lồi trên A nếu với mỗi 1 2 ,x x A và mọi [0,1], ta có 1 2 1 2 ( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] .F x F x F x x C Ánh xạ F được gọi là -C lồi chặt trên A nếu với mỗi 1 2 1 2 , , ,x x A x x và mọi (0,1), ta có 1 2 1 2 ( ) (1 ) ( ) [ (1 ) ] int .F x F x F x x C Trên Y với nón C nêu trên, ta định nghĩa một quan hệ thứ tự theo nón như sau: Với 1 2 , ,y y Y 1 2C y y nếu 2 1 \{ },y y C 1 2C y y nếu 2 1 ,y y C 1 2C y y nếu 2 1 int .y y C Khi đó, với 0 ,y Y chúng tôi sử dụng thêm cách viết: 0 ( ) C F x y nếu 0 , ( ), C y y y F x 0 ( ) C F x y nếu 0 , ( ), C y y y F x 0 ( ) C F x y nếu 0 , ( ). C y y y F x Định nghĩa 2.2. (Xem [14, Definition 3.1.1], [15, Definition 1.7]) Cho tập .Y i) Điểm 0 y được gọi là điểm tối tiểu của nếu không tồn tại điểm y SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 112 sao cho 0 . C y y Điều này tương đương với 0 [ ( \ { })] Y y C ii) Điểm 0 y được gọi là điểm tối tiểu yếu của nếu không tồn tại điểm y sao cho 0 . C y y Điều này tương đương với 0 [ int ] .y C Chú ý rằng, gần đây nhiều tác giả đã mở rộng định nghĩa nêu trên với nón C là nón động, tức là nón phụ thuộc vào điểm 0 y đang xét. Trong bài báo này, khái niệm điểm tối tiểu và tối tiểu yếu định nghĩa với nón C là nón cố định cho trước. Trong nghiên cứu của Lin [2], các kết quả và điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị dạng Fritz-John và Kuhn-Tucker đã được giới thiệu. Sau đây, chúng tôi mở rộng các kết quả cho các trường hợp nghiệm xấp xỉ tối tiểu yếu [11, 13, 18]. Chú ý 2.1. Trong các phần dưới đây, ta ký hiệu b là véc tơ cho trước thuộc int( )C trong không gian .Y Định nghĩa 2.3. (Xem [14, Definition 3.1.1]) Cho tập Y và số dương cho trước 0 i) Điểm 0 y được gọi là điểm - tối tiểu của nếu không tồn tại điểm y sao cho 0 , C y y b b là véc tơ nào đó thuộc int .C Điều này tương đương với 0 [ ( \ { })] Y y b C ii) Điểm 0 y được gọi là điểm - tối tiểu yếu của nếu không tồn tại điểm y sao cho 0 . C y y b Điều này tương đương với 0 [ int ] .y b C Chú ý 2.2. (i) Tập hợp các điểm tối tiểu yếu của được ký hiệu là WMin , tập hợp các điểm -tối tiểu yếu của được ký hiệu là -WMin . (ii) WMin -WMin . (iii) 0 0 -WMin WMin .y y b Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa nghiệm của bài toán tối ưu đa trị trên một tập hợp. Định nghĩa 2.4. Cho E X khác rỗng và cho ánh xạ đa trị : 2 .YF E X Bài toán tìm 0 x E sao cho 0 0 ( )y F x và 0 y là điểm tối tiểu yếu của tập ( )F E được gọi là bài toán tối ưu đa trị được ký hiệu bởi WMinimize ( ). x E F x Khi đó, điểm 0 x được gọi là nghiệm yếu của bài toán. Với 0 cho trước, bài toán tìm tìm 0 x E sao cho 0 0 ( )y F x và 0 y b là điểm tối tiểu yếu của tập ( )F E được ký hiệu là -WMinimize ( ). x E F x Khi đó, điểm 0 x được gọi là -nghiệm yếu của bài toán. Trong bài báo này, xét các ánh xạ đa trị F và G đã nói ở trên cùng với C và D là các nón lồi, nhọn, có phần trong khác rỗng tương ứng trong các không gian Y và .Z Giả sử E X là tập lồi khác rỗng. Cho trước 0. Xét bài toán 1 (P) -WMinimize ( ) . . ( ). F x s t x E G D TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 113 Điểm 1 0 ( )x E G D được gọi là -nghiệm yếu của bài toán (P) nếu với 0 ( )u F x thì u b là điểm tối tiểu yếu của tập 1[ ( )].F E G D Chúng tôi cần đến khái niệm dưới gradient cho hàm đa trị. Khái niệm này đầu tiên được Tanio giới thiệu cho hàm véc tơ trong [21] và được Lin giới thiệu lại cho hàm đa trị trong [2] mà chúng tôi trích dịch dưới đây: Định nghĩa 2.5. (xem [2, Definition 3]) Cho A X là tập con khác rỗng và ánh xạ đa trị : 2 .YF A Cho 0 x A và 0 0 ( ).y F x Một toán tử tuyến tính liên tục ( , )X Y được gọi là dưới gradient yếu của ánh F ứng với 0 y tại 0 x nếu 0 0 ( ) WMin { ( ) ( )}. x A y x F x x Tập hợp tất cả các dưới gradient yếu của ánh xạ F ứng với 0 y tại 0 x được gọi là dưới vi phân yếu của của ánh xạ F ứng với 0 y tại 0 x và được ký hiệu là 0 0 ( ; ).F x y Ta viết: 0 0 0 0 ( ; ) : ( , ) | ( ) WMin { ( ) ( )} , x A F x y X Y y x F x x hay 0 0 0 0 ( , ) ( ; ) .( ) WMin { ( ) ( )} x A X Y F x y y x F x x Nếu 0 0 ( ; )F x y với mọi 0 0 ( ),y F x thì ánh xạ đa trị F được gọi là dưới khả vi yếu tại 0 .x Nhận xét 2.1. Từ định nghĩa nêu trên, ta thấy nếu 0 x A và 0 0 ( )y F x thì 0 0 0 WMin ( ) 0 ( ; ), x A y F x F x y ở đây 0 là ánh xạ không của ( , ).X Y Sau đây chúng tôi mở rộng khái niệm dưới gradient yếu cho hàm đa trị F ứng với 0 y tại 0 x thành khái niệm -dưới gradient của F ứng với 0 y tại 0 .x Sự mở rộng được lấy cảm hứng từ khái niệm -dưới vi phân của hàm lồi đơn trị được giới thiệu trong nghiên cứu của Hiriart- Urruty và Lemarechal [16]. Định nghĩa 2.6. Cho , : 2 .YA X F A Với 0 0,x A và 0 0 ( ).y F x Một toán tử tuyến tính liên tục ( , )X Y được gọi là -dưới gradient yếu ứng với 0 y của hàm đa trị F tại 0 x nếu 0 0 ( ) WMin { ( ) ( )}, int( ), x A y x b F x x b C hay ta viết 0 0 ( ) -WMin { ( ) ( )}. x A y x F x x Tập tất cả các -dưới gradient yếu của hàm đa trị F ứng với 0 y tại 0 x được gọi là -dưới vi phân yếu của hàm đa trị F ứng với 0 y tại 0 x và được ký hiệu là 0 0 ( ; ). w F x y Nếu 0 0 ( ; ). w F x y với mọi 0 0 ( ),y F x ánh xạ đa trị F được gọi là -dưới khả vi yếu tại 0 .x Nhận xét 2.2. (i) Nếu 0, tập hợp 0 0 ( ; ) w F x y suy biến thành 0 0 ( ; ).F x y (ii) Nếu 0 x A và 0 0 ( ),y F x thì 0 0 0 0 WMin ( ) -WMin ( ) 0 ( ; ). w x A x A y b F x y F x F x y Định nghĩa 2.7. Cho ánh xạ đa trị : 2ZG X là -D lồi, được gọi là khả dưới SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 114 vi yếu chính qui tại 0 x nếu với mỗi 0 ( )z G x và với mỗi ( , )Z Y chúng ta có 0 0 ( )( ; ( )) ( ; ).G x z G x z Định nghĩa 2.8. Ta nói ánh xạ đa trị : 2YF A X là liên thông tại điểm 0 x A nếu tồn tại một ánh xạ đơn trị liên tục :H A Y sao cho ( ) ( )H x F x với mọi x thuộc lân cận của 0 .x Nhắc lại một số kết quả được giới thiệu trong nghiên cứu của Lin [2]. Định lý 2.1. [2, Theorem 3.1] Cho 1 2 , : 2YF F X là những ánh xạ đa trị. Giả sử rằng 1 2 ,F F có cùng miền hữu hiệu là tập lồi E trong ,X tức là, 1 2 : dom domE F F . Giả sử thêm rằng 1 2 ,F F là các ánh xạ -C lồi đa trị trên E và có ít nhất một ánh xạ liên thông tại điểm 0 int .x E Khi đó, với x E và 1 1 2 2 ( ), ( ),z F x z F x chúng ta có 1 2 1 2 1 1 2 2 ( )( ; ) ( ; ) ( ; ).F F x z z F x z F x z Hệ quả 2.1. [2, Corollary 3.2] Trong Định lý 2.1, nếu Y thì ta có 1 2 1 2 1 1 2 2 ( )( ; ) ( ; ) ( ; ).F F x z z F x z F x z Nhận xét 2.3. Hệ quả 2.1 là dạng suy rộng của Định lý Moreau-Rockafellar về dưới vi phân của tổng hai hàm lồi đơn trị giới thiệu trong nghiên cứu của Rockafellar [17]. Định lý sau đây là một dạng của định lý thay phiên được dùng để thiết lập các điều kiện tối ưu trong tối ưu đa trị. Định lý 2.2. [2, Theorem 3.3] (Định lý Fakas-Minkowski suy rộng) Cho ,X Y và Z là các không gian Banach. Cho C và D là các nón lồi, nhọn, và có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và .Z Cho các ánh xạ đa trị : 2YF E và : 2ZG E tương ứng là -C lồi và -D lồi. Giả sử thêm rằng : dom domE F G là tập lồi trong .X Nếu hệ ( ) ( ) C Y D Z F x G x (1) vô nghiệm trên ,E tồn tại ( *, *) \ {(0,0)}y z C D sao cho *, ( ) *, ( ) 0,y F x z G x với ,x E nghĩa là, *, *, 0, ( ), ( ).y y z z y F x z G x (2) Hệ quả 2.3. Trong định lý 2.1, nếu như thêm giả thiết rằng tồn tại xˆ E sao cho ˆ( ) ( )G x D thì tồn tại ( , )Z Y sao cho ( ) ( ( )) , C F x G x không thoả mãn với bất kỳ .x E Định lý 2.3. [2] Cho ,X Y và Z là các không gian Banach. Cho C và D là các nón lồi, nhọn có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và .Z Cho các ánh xạ đa trị : 2YF E và : 2ZG E tương ứng là -C lồi và -D lồi. Giả sử thêm rằng : dom domE F G là tập lồi trong .X Xét bài toán 1 1 (P ) WMinimize ( ) . . ( ). F x s t x E G D Nếu 0 x là nghiệm yếu của bài toán 1 (P ) và 0 ( )u F x với 1WMin [ ( )],u F E G D thì tồn tại ( *, *) \ {(0,0)}y z C D sao cho TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 115 0 *, 0z z với 0 0 ( ) ( ),z G x D (3) *, ( ) *, ( ) 0, .y F x u z G x x E (4) 3. Điều kiện Fritz John và Kuhn- Tucker cho nghiệm yếu của bài toán (P) dạng xấp xỉ Từ các định lý nói trên, chúng tôi mở rộng các kết quả cho trường hợp nghiệm xấp xỉ yếu cho bài toán (P) như sau: Định lý 3.1. Cho ,X Y và Z là các không gian Banach. Cho C và D là các nón lồi, nhọn có phần trong khác rỗng tương ứng trong Y và .Z Cho các ánh xạ đa trị : 2YF E và : 2ZG E tương ứng là -C lồi và -D lồi. Giả sử thêm rằng : dom domE F G là tập lồi trong .X Nếu 0 x là phân tử -nghiệm yếu của bài toán (P), tức là 0 0 ( )u F x và 1 0 WMin [ ( )], int( ),u b F E G D b C thì tồn tại ( *, *) \ {(0,0)}y z C D sao cho 0 *, *, 0y b z z với 0 0 ( ) ( ),z G x D (5) 0 *, ( ) *, ( ) *, *, , .y F x z G x y u y b x E (6) Chứng minh. Chứng minh Định lý này tương tự như chứng minh của Lin [2]. Trước hết, ta chứng minh rằng nếu 0 x là -nghiệm yếu của bài toán (P), tức là, 1 0 ( )x E G D sao cho 0 0 1 0 ( ) WMin [ ( )], u F x u b F E G D (7) thì hệ sau đây là vô nghiệm trên .E 0 ( ) ( ) . C D F x u b G x (8) Giả sử ngược lại rằng hệ (8) có nghiệm trên, tức là, tồn tại 1( )x E G D sao cho hệ (8) được thoả mãn. Ta nhận được 0 ( ) C F x u b và ( ) int .G x D D Khi đó, theo ii) của Định nghĩa 2.3, điểm 0 u b không là điểm - tối tiểu yếu của tập 1[ ( )]F E G D và nếu thế thì mâu thuẫn với giả thiết 0 x là -nghiệm yếu của bài toán (P), hay điều này mâu thuẫn với (7). Từ kết quả hệ (8) vô nghiệm, theo Định lý 2.2, tồn tại ( *, *) \ {(0,0)}y z C D sao cho 0 *, ( ) *, ( ) 0, ,y F x u b z G x x E tức là (6) thoả mãn. Để kết thúc chứng minh, chúng ta sẽ chứng minh (5) thoả mãn. Thật vậy, từ (6), cho ta 0 *, *, ( ) *, , ( ), .y u z G x y u b u F x x E (9) Từ bất đẳng thức (9), thay u bởi 0 u và thay x bởi 0 ,x ta được 0 0 0 *, *, ( ) *, .y u z G x y u b (10) Nên 0 *, ( ) *, 0.z G x y b (11) Chú ý rằng vì int( )b C nên *, 0.y b Từ giả thiết 1 0 ( )x E G D cho ta 0 x E và 0 ( ) ( ) .G x D Lấy bất kỳ 0 0 ( ) ( ).z G x D Do 0 0 ( ),z G x thế nên từ (11), ta nhận được 0 *, *, .z z y b Do 0 z D và theo chứng minh trên SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 116 cho ta *z D nên 0 *, 0.z z Tóm lại, 0 *, *, 0y b z z Định lý được chứng minh xong. Nhận xét 3.1. Trong Định lý 3.1, khi 0 , kết quả thu về Định lý 2.3. Chúng tôi cần đến một điều kiện sau đây: ˆ ˆ( ) : ( ) ( int ) .x E G x D Hệ quả 3.1. Giả sử rằng với các giả thiết trong Định lý 3.1 và điều kiện ( ) được thoả mãn. Khi đó, tồn tại ( , )Z Y và tồn tại 0 y C sao cho với 0 0 ( ) ( ),z G x D sao cho 0 0 ( ) [ *, , ], Y z y b y và 0 x là -nghiệm yếu của bài toán: 2 (P ) -WMinimize ( ) ( ( )). x E F x G x (12) Chứng minh. Do các giả thiết của Định lý 3.1, tồn tại ( *, *) (0,0)y z trong tập hợp C D và 0 0( ) ( )z G x D sao cho 0 *, *, 0y b z z (13) và 0 *, ( ) *, ( ) 0, ,y F x u b z G x x E tức là, 0 *, *, *, , , ( ), ( ).y u z v y u b x E u F x v G x (14) Để đi đến các kết luận của Hệ quả, trước tiên, chúng ta chứng minh với *y C thì * , *, 0, int . y y y y C (15) Giả sử ngược lại rằng * .y Vì ( *, *) (0,0),y z nên * .z Do đó, *, 0, int .z z z D (16) Chú ý rằng từ giả thiết có xˆ E sao cho ˆ( ) ( int ) .G x D Lấy ˆ( ) ( int ),z G x D chúng ta có *, 0.z z Tuy nhiên, từ (14), và với * ,y kéo theo *, 0,z z dẫn đến điều vô lý. Vậy phải có * .y Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại ( , )Z Y sao cho 0 0 ( ) [ *, , ]. Y z y b y Thật vậy, vì int ,C lấy 0 int .y C Do tính chất của nón và vì * ,y ta có thể chọn được 0 y sao cho 0 *, 1.y y Xét ánh xạ : Z Y cho bởi 0 ( ) : *, . .z z z y Dễ dàng kiểm chứng được rằng là toán tử tuyến tính, liên tục. Ở đây ( ) ,D C do bởi, với mỗi ( )h D thì tồn tại s D sao cho 0 ( ) *, , h s z s y ta đặt : *, ,z s từ định nghĩa nón đối cực của D là D cho ta 0 . Do đó, từ giả thiết -C nón lồi thì 0 ,y C dẫn đến .h C Thế n