Đối xứng động lực SO(10,2) trong bài toán MICZ-Kepler chín chiều

Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 242 ĐỐI XỨNG ĐỘNG LỰC SO(10,2) TRONG BÀI TOÁN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU Trương Trang Cát Tường (SV năm 4, Khoa Vật lý) GVHD: PGS-TSKH Lê Văn Hoàng 1. Mở đầu Bài toán MICZ-Kepler 3 chiều được nghiên cứu từ rất lâu [1], [2], [3]; nhóm đối xứng động lực của nó được tìm ra là SO(4,2), cũng chính là nhóm đối xứng động lực của bài toán Coulomb 3 chiều [2]. Như ta biết, bài toán MICZ-Kepler chính là bài toán Coulomb với sự có mặt của đơn cực từ Dirac. Việc giữa hai bài toán có chung nhóm đối xứng động lực SO(4,2) cho ta thấy sự xuất hiện của đơn cực từ không phá vỡ tính đối xứng của bài toán Coulomb 3 chiều. Điều này tương đối thú vị và vì vậy khi mở rộng bài toán MICZ-Kepler cho không gian nhiều chiều [4], [5], [7], [8], [10], một việc quan trọng là xét tính đối xứng của bài toán. Do việc xây dựng nhóm đối xứng động lực không phải là việc dễ dàng, ta thấy chỉ có thêm một trường hợp bài toán MICZ- Kepler 5 chiều là được xây dựng nhóm đối xứng động lực SO(6,2) [4], [7], [8]. Với trường hợp 5 chiều này thì bài toán MICZ-Kepler có mối quan hệ trực tiếp với dao động tử điều hòa 8 chiều. Chính dựa vào mối quan hệ này mà nhóm đối xứng động lực cho bài toán đã được xây dựng. Trong các công trình [5], [6], các tác giả đã xây dựng bài toán MICZ-Kepler 9 chiều như là bài toán Coulomb 9 chiều mở rộng với sự có mặt của đơn cực từ SO(8). Sau khi sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng thì bài toán trên trở thành bài toán dao động tử điều hòa đẳng hướng trong không gian 16 chiều. Điều này gợi ý cho ta về việc xây dựng nhóm đối xứng động lực cho trường hợp không gian 9 chiều tương tự như trường hợp 5 chiều và 3 chiều. Trong công trình này, chúng tôi sẽ chỉ ra đó chính là nhóm SO(10,2) đồng thời xây dựng dạng tường minh của nhóm này. 2. Bài toán MICZ-Kepler 9 chiều Phương trình Hamilton của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều [6] có thể viết như sau: 2 1 1 ˆ ˆˆ ˆ ( ) ( ) 2 8 jk jk ZQ Q E r rλ λ π π ⎧ ⎫ + − Ψ = Ψ⎨ ⎬⎩ ⎭ r r (1) trong đó Z là điện tích hạt nhân trong tương tác Coulomb; E là năng lượng của hệ; hệ đơn vị nguyên tử được sử dụng 1m e= = == . Trong phương trình (1), toán tử xung lượng được định nghĩa: ˆˆ (r)j k kj j i A Q x π ∂ = − − ∂ , 9 9 ˆ i x π ∂ = − ∂ (2) Năm học 2010 – 2011 243 với ˆ ( , 1, 2,...,8)jkQ j k = là các vi tử của đại số SO(8), thỏa mãn các hệ thức giao hoán: ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ;jk lm mj kl kl mj jl mk mk jlQ Q i Q Q Q Qδ δ δ δ⎡ ⎤ = − + −⎣ ⎦ (3) Trong các công thức trên và từ đây về sau, nếu như không có giải thích thêm thì sự lặp lại các chỉ số theo mẫu tự Latin ( )j có nghĩa là lấy tổng theo toàn miền thay đổi chỉ số từ 1 đến 8, còn nếu là lặp lại các chỉ số bằng mẫu tự Hy-lạp ( )λ nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 9. Tương tác đơn cực đưa vào qua mô hình SO(8) thông qua các toán tử ˆ jkQ và thế véc-tơ, biểu diễn qua các đại lượng: ( ) ( )9 k k xA r r r x = + (4) Từ (4) trong công trình [5] đã chỉ ra có thể xây dựng một bộ bảy thế vector, tương ứng với đơn cực trong không gian 9 chiều. Từ đây trở đi ta sẽ gọi là đơn cực SO(8). Từ tính chất phản đối xứng ˆ ˆjk kjQ Q= − ta có tất cả là 28 vi tử khác nhau. Ngoài ra trong công thức của toán tử xung lượng (2) có 7 toán tử ˆ jkQ tham gia. Chính vì vậy, hàm sóng của phương trình (1) mô tả chuyển động của đơn cực SO(8) trong trường Coulomb ngoài phần 9 chiều của không gian hình thể, còn phần không gian 7 chiều ứng với nhóm SO(8): 9 7R ( )x SλΩ = ⊗ . Trong các phần tính toán sau ta sẽ dùng biểu diễn giải tích ˆ ( , )jkQ φ α của đại số SO(8) qua tham số là 7 góc 1 2 3 1 2 3 4( , , , , , , )φ φ φ α α α α đưa ra trong [5], [6]. Khi đó hàm sóng có thể ký hiệu cùng với các biến số mới như sau: ( , , )φ αΨ r . 3. Mối liên hệ với dao động tử điều hòa Xét phép biến đổi Hurwitz mở rộng như sau [5]: 9 2( )k k st s t s s s s x u v x u u v v = Γ = − (5) chuyển từ không gian 9 chiều 1 2 9, ,...,x x x sang không gian 16 chiều 1 2 8 1 2 8, ,..., , , ,...,u u u v v v . Ở đây trong công thức (5) ta sử dụng 8 ma trận kΓ , được định nghĩa trong [5] thông qua các ma trận Dirac. Ngoài ra, trong [5] cũng đã xây dựng phép biến đổi ngược của (5). Sử dụng phép biến đổi (5) và biểu thức cụ thể của 1 2 3 1 2 3 4( , , , , , , )φ φ φ α α α α đưa ra trong [5] ta có thể đưa phương trình (1) về dạng sau: 2 2 21 1 ( ) ( , ) ( , ) 8 2 s s s ss s s s u u v v u v Z u v u u v v ω ⎧ ⎫⎛ ⎞∂ ∂⎪ ⎪ − + + + Ψ = Ψ⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ , (6) Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 244 trong đó 2Eω = − . Ở đây, nếu ta xét phương trình (1) với trạng thái liên kết 0E < thì tần số góc ω là số thực, phương trình (6) mô tả dao động tử điều hòa 16 chiều. Chú ý là trong phương trình (1) và phương trình (6), E và Z thay đổi vai trò cho nhau. Tuy nhiên kết quả giải phương trình thu được hàm sóng là không thay đổi, để nghiên cứu đối xứng của (1) ta có thể bắt đầu bằng xây dựng nhóm đối xứng cho (6). 4. Nhóm đối xứng động lực SO (10,2) Với dao động tử điều hòa, biểu diễn đại số thông qua các toán tử sinh hủy sẽ rất thuận tiện cho các tính toán. Ta định nghĩa các toán tử: 1 1ˆ ˆ, 2 2s s s ss s a u a u u u ω ω ω ω +⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , 1 1ˆ ˆ, 2 2s s s ss s b v b v v v ω ω ω ω +⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (7) Các toán tử này thỏa mãn các giao hoán tử sau: [ ] ˆ ˆˆ ˆ , , , ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , , 0 s t st s t st s t s t s t s t a a b b a a a a b b b b δ δ+ + + + + + ⎡ ⎤⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (8) Từ các toán tử dạng bậc hai theo các toán tử sinh hủy (7) ta xây dựng các toán tử ˆ cdΛ phản đối xứng với chỉ số thay đổi , 1, 2,...,12c d = : ˆ ˆcd dcΛ = −Λ . (9) Ta xây dựng các toán tử như sau: ( ) ( )1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,2 T Tjk j k s t j k s tst sti a a b b+ +⎡ ⎤Λ = − Γ Γ + Γ Γ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 11 12 10,9 9,11 1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 2 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 2 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 4 j j s t t s j j s t t sst st j j s t s t j j s t s tst st s s s s s s s s s s s i a b b a a b b a i a b a b a b a b a a b b i a a a a b b b + + + + + + + + + + + + + + Λ = Γ − Λ = Γ + Λ = Γ − Λ = Γ + Λ = − Λ = − − +( )sˆb (10) ( ) ( ) ( ) ( ) 12,9 11,10 10,12 11,12 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 4 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 4 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 4 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ 8 . 2 s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s a a a a b b b b a a a a b b b b i a a a a b b b b a a b b + + + + + + + + + + + + + + Λ = + − − Λ = + + + Λ = − + − Λ = + + (11) Năm học 2010 – 2011 245 các toán tử còn lại suy ra từ (10) và (11) bằng tính chất phản đối xứng (9). Từ công thức giao hoán tử (8) ta dễ dàng kiểm tra các toán tử (10) và (11) thỏa mãn giao hoán tử sau: ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,ab cd bc da da bc db ac ac dbi g g g g⎡ ⎤Λ Λ = Λ − Λ + Λ − Λ⎣ ⎦ (12) với abg là metric: ( ) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 1, 1)abg diag= − − . Như vậy các toán tử ˆ abΛ chính là vi tử của nhóm SO(10,2) , tuân theo giao hoán tử (12). Ta viết biểu thức các vi tử của nhóm SO(10,2) trong tọa độ của không gian 16 chiều ( , )u v : ( ) ( )1ˆ 2 T Tjk k j s k j sst stt ti u vu v ⎡ ⎤∂ ∂Λ = Γ Γ + Γ Γ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ,9 10, 2 2 ,11 12, 9,11 1 1ˆ ˆ, 4 2 4 1 1ˆ ˆ, 4 2 4 1ˆ ˆ, 2 j j s t j j s tst st t s s t j j s t j j s tst st t s s t s s s s i u v u v v u u v i u v u v v u u v i u v u v ω ω ω ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂Λ = Γ − Λ = Γ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂Λ = − Γ + Λ = Γ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂ ∂Λ = − − Λ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ 2 2 2 2 10,9 1 4 4 8 s s s ss s s s u u v v u u v v ω ω ω ⎛ ⎞∂ ∂ = − + + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ 2 2 2 2 12,9 2 2 2 2 11,10 11,12 1ˆ 4 4 8 1ˆ 4 4 8 1ˆ s s s s s s s s s s s s s s s s u u v v u u v v u u v v u u v v ω ω ω ω ω ω ⎛ ⎞∂ ∂Λ = − + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛ ⎞∂ ∂Λ = + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Λ = 2 2 2 24 4 8 s s s ss s s s u u v v u u v v ω ω ω ⎛ ⎞∂ ∂ − − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (13) Bây giờ ta sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng (5) để đưa các toán tử SO(10,2) về tọa độ không gian 9 chiều. Ta thu được: ( ) ( ) 2 ,11 12,10 2 2 ,10 ,12 11,10 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 4 1 1ˆ ˆ ˆ ˆB 2 2 ˆ x x ir r x i x x αβ αβ α β β α α β α α α α α α α α α α α α α π π π π π π ω ω ω ω ⎡ ⎤Λ = Γ = − + ⎣ ⎦ Λ = Γ = Λ = Τ = − + Λ = = − ϒ + Λ = Α = ϒ − Λ = 2 2 210 2 2 2 11,12 11 1 1 ˆˆ ˆ 2 4 1 1 ˆˆ ˆ ˆ 2 4 r r Q r r r Q r ω π ω ω π ω ⎛ ⎞Γ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞Λ = Γ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ (14) Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 246 trong đó sử dụng ký hiệu: { }2 22 ˆ ˆˆ ˆ ,4xx Qrλλ λ µ µλπ πϒ = + + Λ (15) Tính toán trực tiếp cho ta kết quả: ˆ ˆ, 0KepH αβ⎡ ⎤Λ =⎣ ⎦ (16) trong đó ˆ KepH là Hamiltonian của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Ta có thể khẳng định (14) chính là nhóm đối xứng động lực của bài toán MICZ- Kepler trong không gian 9 chiều vì nhóm SO(10,2) này chứa hai nhóm con quan trọng: ( ) ( ) ( )10, 2 9 2,1SO SO SO⊃ ⊗ . Nhóm con SO(9) thể hiện tính đối xứng không gian trong bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Thật vậy, giao hoán tử (12) viết riêng cho 36 toán tử ˆ αβΛ trong (14): ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, iαβ µλ βµ λα λα βµ λβ αµ αµ λβδ δ δ δ⎡ ⎤Λ Λ = Λ − Λ + Λ − Λ⎣ ⎦ ( )17 thể hiện các toán tử là vi tử của nhóm đối xứng SO(9). 9 vi tử: ( )12 23 34 45 56 67 78 89 91ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , , ,Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ chính là các toán tử hình chiếu của vector momen xung lượng suy rộng trong không gian 9 chiều. Giao hoán tử (16) cho thấy momen xung lượng suy rộng là tích phân chuyển động. Nhóm con SO(2,1) bao gồm các vi tử ( 10 11 ˆˆ ˆ, ,TΓ Γ ) quyết định phổ năng lượng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều. Các giao hoán tử sau: 10 11ˆ ˆ ˆ, i⎡ ⎤Γ Γ = Τ⎣ ⎦ , 11 10ˆ ˆ ˆ, i⎡ ⎤Γ Τ = Γ⎣ ⎦ , 10 11ˆ ˆ ˆ, i⎡ ⎤Τ Γ = − Γ⎣ ⎦ (18) thể hiện các toán tử 10 11 ˆˆ ˆ, ,TΓ Γ là vi tử của nhóm SO(2,1). Toán tử 11Γˆ chính là Hamiltonian của dao động tử điều hòa 16 chiều với dạng biểu diễn qua toán tử sinh hủy của nó suy từ (11) là: ( )11 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 82Osc s s s sH a a b bω ω + += Γ = + + (19) cho ta phổ năng lượng của dao động tử điều hòa: 1 ( 8) 2n Z Nω= + và từ đây suy ra năng lượng của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều: 2 2 2 1 2 2 4 2 n ZE N ω= − = − ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠ (20) Các toán tử 10 ˆˆ ,TΓ có vai trò thăng giáng các trạng thái lượng tử của hệ. ˆ αβΛ L Năm học 2010 – 2011 247 5. Kết luận Như vậy ta đã xây dựng được nhóm đối xứng động lực SO(10,2) của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều, tương tự như bài toán Coulomb 9 chiều. Kết quả trên cho thấy sự xuất hiện của đơn cực từ SO(8) không phá vỡ tính đối xứng của bài toán Coulomb 9 chiều, đây là một hiện tượng rất thú vị. Dạng tường minh của các phần tử của nhóm đối xứng được đưa ra dưới dạng giải tích cũng như biểu diễn dưới dạng đại số thông qua các toán tử sinh hủy. Biểu diễn đại số qua toán tử sinh hủy của nhóm SO(10,2) rất thuận tiện cho việc tính toán trong các vấn đề liên quan đến phổ năng lượng của bài toán, khảo sát hàm sóng và các biến đổi. Biểu diễn đại số trên cũng có thể được sử dụng để nghiên cứu nhóm đối xứng ẩn SO(10) trong bài toán MICZ-Kepler 9 chiều, tương tự như đối xứng ẩn SO(6) và SO(4) trong bài toán MICZ-Kepler 5 chiều và 3 chiều [7], [8]. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Barut A., Bornzin G. (1971), “SO(4,2) formulation of the symmetry breaking in relativistic Kepler problems with or without magnetic charges”, J. Math. Phys. 12, 841-847. 2. Barut A. and Raczka R. (1977), “Theory of Group Representations and Applications”, PWN- Polish Sci. Pub., Warszawa. 3. Kleinert H. (1968), “Group Dynamics of the Hydrogen Atom”, Lectures in Theor. Phys., ed. W.E. Brittin and A.O. Barut, Gordon and Breach, New York, 427-482. 4. Le Van Hoang, Viloria J Tony, Le Anh Thu (1991), “On the hydrogen-like atoms in five-dimensional space”, J. Phys. A 24, 3021-3030. 5. Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son, Phan Ngoc Hung (2009), “A hidden non-Abelian monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J. Phys. A 42, 175204 (8pp). 6. Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son (2010), “Generalization of Dirac and Yang monopoles for a nine-dimensional space”, HCMC UE J. Sci. (Nat. Sci. & Tech.) 24, 3- 8. 7. Mardoyan L. G., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. (1999), Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole, Mod. Phys. Lett. A 14, 1303-1307. 8. Pletyukhov M. V., Tolkachev E. A. (1999), “SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem”, J. Phys. A 32, L249-L253. 9. Yakov M. Shnir (2005), “Magnetic Monopoles”, Springer, 18-79. 10. Yang C. N. (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU(2) gauge fields”, J. Math. Phys. 19, 320-328.