Giới thiệu vectơ và giải hệ phương trình tuyến tính

1 BÀI GIẢNG TUẦN 1 : GIỚI THIỆU VECTƠ VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHẠM XUÂN ĐỒNG MỞ ĐẦU. Chúng ta thường gặp trong cuộc sống hằng ngày các số liệu rời rạc nhiều hơn là liên tục và dạng số hóa chứ không phải là thuật toán. Chính vì thế véc tơ và ma trận trở thành ngôn ngữ hàng ngày được sử dụng dưới nhiều hình thức khác nhau. Bài giảng Toán III này dựa trên giáo trình “ Nhập môn Đại số tuyến tính “ của tác giả Gilbert Strang. Khác với nhiều giáo trình khác, ta thấy xuyên suốt cuốn sách này nhiều khái niệm, kết quả toán học được diễn tả bằng nhiều cách khác nhau, đặc biệt thường đưa về các mô hình trực giác trong thực tế cuộc sống, trước khi khái quát chúng. Tác giả cũng luôn quan tâm đến những ứng dụng đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực và ẩn trong đó là các mô hình toán học. Đặc biệt mục xem lại các ý chính và ví dụ mẫu trong giáo trình là các tổng kết cô động nhất về những chủ đề của mỗi phần, nên đừng bao giờ bỏ qua. 1.1 GIỚI THIỆU VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN I. Ba cách mô tả véc tơ 2-chiều và 3-chiều Chúng ta thường gặp hai hay nhiều thành phần khác nhau cùng xuất hiện như v1 = số táo , v2 = số cam . Cách biểu diễn là       = 2 1 v v v Điều này cũng gần với các véc tơ hình học nên có thể diễn tả hình ảnh v tương ứng với một điểm ),( 21 vvA , trong đó v1 = hoành độ điểm A, v2 = tung độ điểm A hoặc v là một mũi tên có gốc O, đỉnh là A. Mô tả hình ảnh véc tơ có 3 thành phần là           = 3 2 1 v v v v trong không gian 3 chiều với hệ trục tọa độ Oxyz là điểm ),,( 321 vvvA hoặc mũi tên → OA . II. Định nghĩa: Véc tơ cột n-chiều là một nhóm n số biểu diễn dưới dạng         = nv v M 1 v Khi 3>n thì véc tơ cột không còn mô tả bằng hình ảnh cụ thể trong hệ tọa độ Đecac vuông góc nữa nhưng vẫn có thể hình dung được véc tơ này có các thuộc tính như véc tơ 2, 3 chiều. Chú ý: (1) Véc tơ v được viết in nghiêng đậm, các thành phần v1, v2 , …, vn viết in nghiêng thường. Có thể viết véc tơ cột dưới dạng hàng (trong ngoặc đơn và dấu phẩy giữa các số) là ),...,,( 21 nvvv=v , hoàn toàn khác với véc tơ hàng ]...[ 21 nvvv III. Các phép toán vectơ. Cho         = nv v M 1 v ,         = nw w M 1 w 1. Phép cộng véc tơ:         + + =+ nn wv wv M 11 wv 2. Phép nhân véc tơ với vô hướng (nhân với 1 số)         = 2 1 cv cv c Mv 3. Kết hợp 2 phép toán này chúng ta có các tổ hợp tuyến tính của v, w là:         + + =+ nn dwcv dwcv dc M 11 wv 2 Ví dụ 1: Cho 2 véc tơ       = 2 6 v ,      − = 3 4 w . Tính v + w , 2v , -3w và vẽ hình. Giải: Hình ảnh của phép cộng là đường chéo của hình bình hành xen giữa 2 cạnh là 2 véc tơ. Nhân vô hướng là véc tơ dài gấp c lần véc tơ v và cùng chiều nếu c > 0 , ngược chiều nếu c < 0. Ví dụ 2: Nếu v, w là các véc tơ 2-chiều thì tất cả các tổ hợp tuyến tính sau là gì? (a) cv với 0v ≠ , mọi số c (b) cv + dw với v, w không cộng tuyến, mọi số c, d Giải: (a) Tất cả các tổ hợp tuyến tính cv ( 0v ≠ ) lấp đầy đường thẳng qua véc tơ v. (b) Tất cả các tổ hợp tuyến tính cv + dw lấp đầy mặt phẳng Oxy. 4. Tích vô hướng của ),...,( 1 nvv=v và ),...,( 1 nww=w là một số nnwvwv ++= ...11v.w Trong bảng tính rất có ích cho quản lý, ta thấy ý nghĩa của tích vô hướng như sau: Số lượng Đơn giá Táo 12 3000 Cam 20 5000 Giá trị 12×3000+20×5000 = 136000 5. Độ dài véc tơ ),...,( 1 nvv=v là 221 ...|||| nvv ++== v.vv 6. Véc tơ đơn vị là véc tơ có độ dài bằng 1 * Véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ v ≠ 0 là |||| v v u = * Véc tơ 2-chiều đơn vị u nếu tạo với véc tơ       = 0 1 i một góc θ thì       θ θ = sin cos u Ví dụ 3: Cho )2,2,1( −−=v . Tìm các véc tơ đơn vị trên đường thẳng chứa v Giải: 3441|||| =++=v . Véc tơ đơn vị trên đường thẳng chứa v là ) 3 2 , 3 2 , 3 1(||||1 −−== v v u và ) 3 2 , 3 2 , 3 1(||||2 −=−= v v u 7. Công thức cos : Nếu α là góc giữa 2 véc tơ v, w khác 0 thì α= cos|||||||| wv v.w Công thức Schwaz: Nếu v, w bất kỳ thì |||||||||| wvv.w ≤ 1.2 CÁC DẠNG BIỂU DIỄN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. Cho hệ 3 phương trình, 3 ẩn sau: 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa =++ =++ =++ Ta gọi bảng số           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A là ma trận hệ số,           = 3 2 1 b b b b véc tơ hệ số tự do,           = 3 2 1 x x x x véc tơ ẩn 1. Nhân theo hàng Ax:           xh xh xh . . 3 2 1.           ++ ++ ++ = 333232131 323222121 313212111 xaxaxa xaxaxa xaxaxa =           3 2 1 b b b với ),,( 321 iiii aaa=h , ),,( 321 xxx=x với i = 1, 2, 3 (Chuyển cách viết mỗi vế pt là một thành phần véc tơ , vế trái tạo bởi tích vô hướng 2 véc tơ cột) 3 2. Nhân theo cột Ax:           +           +           33 23 13 3 32 22 12 2 31 21 11 1 a a a x a a a x a a a x =           3 2 1 b b b 3. Phương trình ma trận (Ax=b):           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Ax           3 2 1 x x x =           3 2 1 b b b Vì thế Ax là một tổ hợp tuyến tính của các cột và là cách viết gọn của nhân theo cột, nhân theo hàng. 4. Ảnh hàng và ảnh cột. Ví dụ 4: Cho hệ phương trình 42 1 =+ −=− yx yx Viết nhân theo hàng, theo cột và phương trình ma trận của hệ phương trình và vẽ hình. Giải: Vẽ hình: Ảnh hàng biểu diễn 2 đường thẳng và quan hệ giữa chúng (cắt nhau hoặc song song, trùng nhau) Ảnh cột biểu diễn 2 véc tơ cột và quan hệ với véc tơ cột hệ số tự do (có là tổ hợp tuyến tính không) 1.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ví dụ 5: Nhận xét về đặc điểm hệ phương trình sau và giải:      = −=+− =+− 62 33 932 z zy zyx hoặc viết 62 33 932 = −=+− =+− z zy zyx Giải: Số ẩn phương trình dưới ít hơn phương trình trên. Từ phương trình ít ẩn nhất giải được 3=z . Thay ngược lên vào phương trình trên tính 2=y , tiếp tục 1=x . Hai điều quan tâm là: cách đưa hệ bất kỳ về dạng trên và cách biểu diến hệ đơn giản hơn. 1. Định nghĩa: Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn (hệ m×n) là hệ có dạng mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa =+++ =+++ =+++ ... ............................................ ... ... 2211 22222121 11212111 trong đó tất cả aij và bj là những số thực, x1, x2, ..., xn là các ẩn. Ma trận             = mnmm n n aaa aaa aaa A ... ............ ... ... 21 22221 11211 gọi là ma trận hệ số và             = mmnmm n n baaa baaa baaa A ... ............... ... ... ][ 21 222221 111211 b là ma trận mở rộng của A. 2. Định nghĩa: Ma trận bậc thang là ma trận có các số 0 của một hàng đứng trước một số khác 0 đầu tiên thì nhiều hơn so với các số 0 như vậy ở hàng trên và các hàng có toàn số 0 nằm cuối cùng. Các số khác 0 đầu tiên của hàng gọi là trụ. Nếu ma trận vuông gọi là ma trận tam giác trên. Ví dụ 6: Cho một số ví dụ về ma trận bậc thang và ma trận tam giác trên           − 500 120 201 ,           000 200 345 ,           − 0 0 1 000 000 420 4 3. Phương pháp khử GAUSS Đưa một hệ phương trình về hệ tương đương có dạng bậc thang nhờ sử dụng những phép toán sau: (1) Đổi chỗ hai phương trình của hệ. (2) Lấy một phương trình của hệ trừ đi bội của một phương trình khác trong hệ. (3) Nhân cả hai vế của một phương trình trong hệ với một số khác 0. Ví dụ 7: Giải hệ phương trình      −=−+− =++ =+− 83 1332 232 zyx zyx zyx Giải :           −−− − = 8113 13132 2321 ][ bA           −− − −  → + − 2850 9570 2321 13 12 3 2 hh hh           − −  → + 7/317/3100 9570 2321 23 7 5hh * 1 7 31 7 31 =⇒= zz * 2 7 59957 =+=⇒=− zyzy * 3322232 =−+=⇒=+− zyxzyx Kết luận : nghiệm hệ phương trình là : )1,2,3(),,( =zyx Chú ý : (2) Để đưa ma trận về dạng bậc thang, ta dùng trụ trong cột j để khử những số cùng cột j nằm hàng i bên dưới bằng cách lấy hàng i trừ đi ijl lần hàng trụ. số nhân ijl = (phần tử cần khử trong hàng i, cột j) chia cho (trụ trong cột j). (3) Thực tế khi giải, muốn số nhân là số nguyên cho đơn giản thì có thể nhân 2 vế phương trình thứ 3 với 7. Khi đó số nhân mới là 57/35 −=−=ijl . Gộp 2 bước đó lại nên có :           −− − − 2850 9570 2321           − −  → + 313100 9570 2321 23 57 hh (4) Một số kết luận khi đưa được về ma trận tam giác trên hoặc ma trận bậc thang với 0≠ijc *           333 22322 1131211 00 0 dc dcc dccc hệ luôn có nghiệm *           3 22322 1131211 000 0 d dcc dccc hệ vô nghiệm *           0000 0 22322 1131211 dcc dccc ,           0000 00 223 1131211 dc dccc hệ vô số nghiệm Nếu các hàng của ma trận bậc thang A đều có trụ thì hệ luôn có nghiệm. Nếu một hàng của ma trận A không có trụ và hệ số tự do của hàng đó khác 0 thì hệ vô nghiệm. Ví dụ 8: Giải hệ phương trình        −=+−− −=+−− =−+ =+− 54 322 32 0 zyx zyx zyx zyx Giải :             −−− −−− − − = 5114 3221 3112 0111 ][ bA             −− −− − −  → + + − 5550 3330 3330 0111 14 13 12 4 2 hh hh hh             − −  → + + 0000 0000 3330 0111 24 23 33 hh hh * 1333 +=⇒=− zyzy * 10 =−=⇒=+− zyxzyx Kết luận : ),1,1(),,( zzzyx += CÁC Ý CHÍNH BÀI GIẢNG TUẦN 1 1. Véc tơ cột và các phép toán véc tơ. Biểu diễn véc tơ 2-chiều, 3-chiều. 2. Hệ phương trình tuyến tính và ba cách biểu diễn hệ. 3. Phương pháp khử Gauss. Các trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm