Hàm Green. Phương trình Dyson

Hàm Green Phương trình Dyson Trọng Nghĩa Nội dung • Định lý Wick • Giản đồ Feynman • Phương trình Dyson Hàm Green theo khai triển S-Matrận Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson 1 1 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ; ) ... ! ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )... ( ) ( ) ( , ) n n n p n p i G p t t dt dt n TC t V t V t C t S                  Trong đó Hàm Green theo khai triển S-Matrận Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson 0 0 0 ˆ ˆ( ) ( ) ( ; )p pi TC t C t G p t t      1 1 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ; ) ... ! ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )... ( ) ( ) ( , ) n n n p n p i G p t t dt dt n TC t V t V t C t S                  Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Ta sẽ tập trung vào tính T-tích có dạng như sau 1 2 3 0 0 ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p pTC t V t V t V t C t   Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Ta sẽ tập trung vào tính T-tích có dạng như sau 1 2 3 0 0 ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p pTC t V t V t V t C t   Giả sử thế V là thế tương tác electron-electron 2 ( ) 1 2 1 4 ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) 2 k q k q k kit k q k q k k k k q e V t C C C C e q                 Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Ta sẽ tập trung vào tính T-tích có dạng như sau 1 2 3 0 0 ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p pTC t V t V t V t C t   Giả sử thế V là thế tương tác electron-electron 2 ( ) 1 2 1 4 ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) 2 k q k q k kit k q k q k k k k q e V t C C C C e q                 Như vậy ta sẽ phải luôn tính T-tích của các toán tử sinh hủy 1 1 1 1 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )... ( ) ( )n n n nTC t C t C t C t      Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Định lý Wick: Trung bình T-tích của các toán tử sẽ bằng tổng tất cả các bắt cặp có thể có của 1 toán tử sinh và 1 toán tử hủy, mỗi cặp này phải sắp xếp đúng theo trình tự thời gian Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Định lý Wick: Trung bình T-tích của các toán tử sẽ bằng tổng tất cả các bắt cặp có thể có của 1 toán tử sinh và 1 toán tử hủy, mỗi cặp này phải sắp xếp đúng theo trình tự thời gian Ngoài ra, ta có 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )TC t C t TC t C t        Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Định lý Wick: Trung bình T-tích của các toán tử sẽ bằng tổng tất cả các bắt cặp có thể có của 1 toán tử sinh và 1 toán tử hủy, mỗi cặp này phải sắp xếp đúng theo trình tự thời gian Ngoài ra, ta có 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )TC t C t TC t C t        Như vậy, theo định lý Wick 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) TC t C t C t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t                              Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Trong đó, các trung bình T-tích của mỗi cặp 1 2 0 1 2 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )k k k k F kTC t C t iG k t t TC t C t n      Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Xét trường hợp tương tác electron-phonon , ˆ ˆˆ q q k q k q k V M B C C Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Xét trường hợp tương tác electron-phonon , ˆ ˆˆ q q k q k q k V M B C C Khi đó T-tích sẽ có hai loại toán tử 1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p q q q q q q pTC t B t C t C t B t C t C t C t     Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Xét trường hợp tương tác electron-phonon , ˆ ˆˆ q q k q k q k V M B C C Khi đó T-tích sẽ có hai loại toán tử 1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p q q q q q q pTC t B t C t C t B t C t C t C t     Các toán tử khác loại giao hoán nhau, ta có 1 1 2 2 1 21 1 2 2 1 20 00 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p q q q q p q qTC t C t C t C t C t C t TB t B t     Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Định lý Wick cũng có thể áp dụng cho các toán tử phonon 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1 2 3 4 1 1 3 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1 3 2 4 0 0 0 0 1 4 2 3 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q TB t B t B t B t TB t B t TB t B t TB t B t TB t B t TB t B t TB t B t TB t B t TB t          3 1 3 2 4 1 1 2 2 1 4 2 3 1 1 2 2 4 0 0 0 1 3 2 4 0 0 0 0 0 0 1 4 2 3 0 0 0 0 ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) q q q q q q q q q q q q q q q q q B t TB t B t TB t B t TB t B t TB t B t                    Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Với các toán tử phonon 1 11 2 0 1 1 20 0 ˆ ˆ( ) ( ) ( ; )q qTB t B t iD q t t   Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Với các toán tử phonon 1 11 2 0 1 1 20 0 ˆ ˆ( ) ( ) ( ; )q qTB t B t iD q t t   So sánh với các toán tử electron 1 2 0 1 2 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )k k k k F kTC t C t iG k t t TC t C t n      Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Minh họa, ta tính thử 3 số hạng đầu. Với n = 0 1 2 0 1 2 0 0 ˆ ˆ( ) ( ) ( , )k ki TC t C t G k t t    Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Minh họa, ta tính thử 3 số hạng đầu. Với n = 0 1 2 0 1 2 0 0 ˆ ˆ( ) ( ) ( , )k ki TC t C t G k t t    Với n = 1 0 0 ˆ 0qTB  Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Minh họa, ta tính thử 3 số hạng đầu. Với n = 0 1 2 0 1 2 0 0 ˆ ˆ( ) ( ) ( , )k ki TC t C t G k t t    Với n = 1 0 0 ˆ 0qTB  Với n = 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 1 2 0 0 , 1 1 2 2 0 0, ˆ ˆ( ) ( ) 2! ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q q q q q q p k q k k q k p k k i dt dt M M TB t B t TC t C t C t C t C t C t               Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Các toán tử phonon sẽ cho hàm Green phonon 1 2 1 21 2 0 1 1 20 0 ˆ ˆ( ) ( ) ( ; )q q q qTB t B t i D q t t   Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Các toán tử phonon sẽ cho hàm Green phonon 1 2 1 21 2 0 1 1 20 0 ˆ ˆ( ) ( ) ( ; )q q q qTB t B t i D q t t   Các toán tử electron, ta áp dụng định lý Wick 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ( ) p k q k k q k p p k q k k q k p p k q k k q k p p k q TC t C t C t C t C t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C                     1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ( ) ( ) k p k q k p p k q k k q k p k q k q k k p p p k t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC t C t TC                    1 2 2 2 1 11 2 2 1 0 0 0 ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )k q k k qt C t TC t C t     Định lý Wick Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Ta chuyển các cặp thành hàm Green electron hoặc số hạt 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 0 0 3 0 1 0 1 1 2 0 2 3 0 2 0 1 2 1 0 1 2 0 0 1 2 1 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) p k q k k q k p p k q k p k k q q p k F k TC t C t C t C t C t C t i G p t t G p q t t G p t t i G p t t G p q t t G p t t i n G p q t t G p t t                                  1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 0 0 2 0 0 2 0 2 3 0 0 1 1 2 0 1 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) q q F k F k q p k F k k k q i n n G p t t i n G t t G p t t i G p t t G k t t G k q t t                        Giản đồ Feynman Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Giản đồ Feynman Feynman đưa ra một phương pháp đơn giản: làm việc với các số hạng trên thông qua hình vẽ được gọi là giản đồ Giản đồ Feynman Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Giản đồ Feynman Feynman đưa ra một phương pháp đơn giản: làm việc với các số hạng trên thông qua hình vẽ được gọi là giản đồ Quy tắc Giản đồ Feynman Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Các số hạng trong biểu thức trên tương ứng với 0 1 0 1 1 2 0 2( , ) ( , ) ( , )G p t t G p q t t G p t t    0 2 0 1 2 1 0 1( , ) ( , ) ( , )G p t t G p q t t G p t t    2 0 1 2 1 0 1 ( ) ( , ) ( , )F kn G p q t t G p t t    1 2 0 ( ) ( ) ( , )F k F kn n G p t t   1 0 2 0 2 ( ) ( ) ( , )F kn G t t G p t t   0 0 1 1 2 0 1 1 2 1( , ) ( , ) ( , )G p t t G k t t G k q t t    Phương trình Dyson Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Hàm Green năng lượng ( )( , ) ( , )iE t tG p E dte G p t t      Phương trình Dyson Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Hàm Green năng lượng ( )( , ) ( , )iE t tG p E dte G p t t      Tương tự, hàm Green cho phonon ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 t it D q dte D q t d D q t e D q                 Phương trình Dyson Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Chuyển sang hàm Green năng lượng (0) (0) 2 (1)( , ) ( , ) ( , ) ( , )G p E G p E G p E p E   Phương trình Dyson Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Chuyển sang hàm Green năng lượng (0) (0) 2 (1)( , ) ( , ) ( , ) ( , )G p E G p E G p E p E   Trong đó phần năng lượng riêng (1) 2 (0) (0)( , ) ( , ) ( , ) 2 q q d p E i M D q G p q E           Phương trình Dyson Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Chuyển sang hàm Green năng lượng (0) (0) 2 (1)( , ) ( , ) ( , ) ( , )G p E G p E G p E p E   Trong đó phần năng lượng riêng (1) 2 (0) (0)( , ) ( , ) ( , ) 2 q q d p E i M D q G p q E           Tương tự, tính toán với n = 4 (0) 3 (1) 2 (0) 2 (2)( , ) ( , ) ( , ) ( , )G p E p E G p E p E   Phương trình Dyson Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Thực hiện tương tự với các n cao hơn, người ta thu được     (0) (0) (1) (2) (0) (0)... ...G G G G G      Phương trình Dyson Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Thực hiện tương tự với các n cao hơn, người ta thu được     (0) (0) (1) (2) (0) (0)... ...G G G G G      Suy ra (0) (0)G G G G   Phương trình Dyson Định lý Wick Giản đồ Feynman Phương trình Dyson Thực hiện tương tự với các n cao hơn, người ta thu được     (0) (0) (1) (2) (0) (0)... ...G G G G G      Suy ra (0) (0)G G G G   Thu được phương trình Dyson như sau (0) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) G p E G p E p E G p E   Phần trình bày đến đây là hết Cám ơn các bạn đã theo dõi