Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ngày soạn :……… /………./ 2009 Ngày giảng:…….. /………../ 2009 CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I./ Mục tiêu: * Giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác. * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo. II/ Nội dung: I. Kiến thức cơ bản: 1) Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - Định lí 1: b2 = a. c’ ; c2 = a .c’ - Định lí 2: h2 = b’ .c’ - Định lí 3: b.c = a.h ` - Định lí 4: = + 2) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông b = a.SinB = a.CosC c = a.SinC = a.CosB b= c.TgB= c.CotgC c = b.TgC = b.CotgB - Nếu biết 1 góc nhọn thì góc còn lại là 900 - - Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc Tìm góc đó bằng cách tra bảng - Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn - Từ hệ thức : b = a.SinB = a . CosC a = = c = a. SinC = a . CosB a = = 30 Ví dụ minh hoạ Ví dụ1: Cho vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4 . Khi đó độ dài các cạnh huyền là A. 4 B. 5 C. 6 D. một gía trị khác Ví dụ2: Với đề bài như bài tập 1 và kẻ đường cao ứng với cạnh huyền . Khi đó độ dài đường cao là A. 1,3 B. 2 C. 2,4 D. 1 giá trị khác Ví dụ3: Cho có các độ dài các cạnh như sau. nào là vuông ? A. ( 2,3,4) B. ( 6,9,10) C. ( 7,24,25) D. ( 3,5,6 ) Ví dụ4: Cho ABC ( = 1v), AH BC ; AB = 6, AC = 8 Tính AH = ? HB = ? HC = ? Theo pi ta go : ABC ( = 1v) BC = = = = 10 - Từ đ/lí 3: AH. BC = AB . AC AH = = = 4,8 Từ đ/lí 1: AB2 = BC. HB HB = = = 3,6 AC2 = BC . HC HC = = = 6,4 Ví dụ5: ABC( = 1v) ; AH BC GT AH = 16 ; HC = 25 KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ? Hướng Dẫn - Pi ta go AHC ( = 1v) AC = = = = 29,68 Từ đ/lí 1: AC2 = BC.HC BC = = 35,24 Pi ta go ABC ( = 1v) AB = = 18,99 Từ đ/lí 2: AH2 = HB.HC HB = = = 10,24 Ví dụ6: Cho ABC ( = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4 a) Tính tỉ số lượng giác của b) Từ KQ ( a) các tỉ số lượng giác của góc B Hướng Dẫn a. Theo Pi ta go ABC ( = 1v) BC = = = = 5 SinC = = ; CosC = = ; tgC = = ; CotgC = = Do và là hai góc phụ nhau SinB = cosC = ; cosB = sinC = gB = cotgC = ; cotgB = tgC = Ví dụ7: Cho ABC ( = 1v) ; AB = 6 ; = tg = . Tính a) AC = ? b) BC = ? a. tg = = AC = = = 2,5 (cm) b) Pi ta go ABC ( = 1v) BC = = = = 6,5 (cm) Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức 1). 1 – Sin2 = ? 2). (1 - cos).(1+ cos) = ? 3). 1+ sin2 + cos2 = ? 4). sin - sin.cos2 = ? 5). sin4 + cos4 + 2sin2 .cos2 = ? 6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: Cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620 Gợi ý a) sin2 + cos2 = 1 thay vào và thu gọn Đs : cos2 b) Dùng A2-B2 và gợi ý phần a) Đs : = sin2 c) Đs : = 2 d) đặt thừa số chung Đs : sin3 e) HĐT : ( A+B ) 2 Đs: = 1 Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 750 Hướng Dẫn Kẻ AH ; BK CD Ta có : AB = KH = 12 (cm) DH + KC = DC – HK = 18 – 12 = 6 DH = = 3 (cm) AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196 SABCD = = = 167,94 (cm) Ví dụ9: Cho ABC có góc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm a) AP ? ; BP ? b) CP ? Hướng Dẫn a) Kẻ AH BC ; AHB tại H AH = AB . SinB = 60.Sin300 = 60. = 30 AHC ( = 1v) AH = AC. Cos400 AC = = = 39,164 APC có ( = 1v) AP = AC.Cos 200 = 39,164 . 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b) APC ( = 1v) CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394 HỆ THỨC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ (Đề sưu tầm từ các vũng thi Olypic đầu tiên- lớp 9) Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Lời giải sơ lược: Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được: AB2 = BH. BC hay 202 = x(x + 9). Thu gọn ta được phương trỡnh : x2 + 9x – 400 = 0 Giải phương trỡnh này ta được x1 = 16; x2 = –25 (loại) Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm Lưu ý : Giải PT bậc 2 nờn dựng mỏy tớnh để giải cho nhanh. Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu Bài 2: Cho tam giỏc ABC , , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB. Lời giải sơ lược: Kẻ AH BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và AH = x ; HC = 8 – x Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H Ta cú: AC = = Do AB + AC = 12 nờn 2x + = 12 Giải PT trên ta được : x = 2,5 AB = 2.2,5 = 5cm Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm . Diện tớch tam giỏc ABC = cm. Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú BD là phõn giỏc. Biết rằng AD = 1cm; BD = cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân) Bài giải sơ lược Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm. Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC = . Do AD = 1 nờn DC = – 1 x Tam giỏc ABC cú BD là phõn giỏc gúc ABC nờn : hay . Từ đó ta được phương trỡnh 8x2 – 6x – 90 = 0 Xử dụng mỏy tớnh tỡm được x = 3,75cm Trả lời : BC = 3,75cm Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; BD là phõn giỏc . Biết AD = 4cm; BD = cm . Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. (Nhập kết quả dưới dạng phân số) - Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả theo yờu cầu. Bài 5: Cho hỡnh thang cõn ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hỡnh thang cõn đó. Bài giải sơ lược: Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- gúc nhọn) Suy ra : DH = CK = . Vậy HC = HK + CK = x + = Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH Ta cú : AH2 = DH . CH hay 5x2 = 100 Giải phương trỡnh trờn ta được x = và x = – (loại) Vậy : AH = Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Bài giải sơ lược: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x Áp dụng định lí Pitago tính được AC = Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được: hay Đưa về phương trỡnh 15,62 + x2 = 6,76x2 Giải phương trỡnh trờn ta được nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài 7: Tớnh giỏ trị của biểu thức : A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – Hướng dẫn: + = 900 sin = cos; cos = sin; ..... và cos450 = ta được: A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – = (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + ....+(cos2 440 + cos2460)+cos2450 – = (cos2 10 + sin210) + (cos2 20 + sin220) + .... + (cos2 440 + sin2440) + – = 1.44 = 44 Bài tập tương tự: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + . . . . + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – . b) C = tg210 . tg220. tg230 . . . . tg2870. tg2880. tg2890 . c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + . . . . + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2 450 . Bài 8: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú diện tớch 108cm2 . Biết AB – BC = 3cm. Tớnh chu vi của hỡnh chữ nhật ABCD ? Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy ra chu vi của hỡnh chữ nhật bằng 2(x + y) Cỏch 1: Ta cú SABCD = x.y hay x.y = 108 Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y)2 = 9 hay (x + y)2 – 4xy = 9 (1) Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2 = 441 x + y = 21 Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9 Vậy chu vi của hỡnh chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm Cỏch 2: Từ x – y = 3 y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trỡnh: x (x – 3) = 108 x2 – 3x – 108 = 0 (1) x2 – 12x + 9x – 108 = 0 ( x – 12)(x + 9) = 0 Nghiệm dương của phương trỡnh x = 9. Từ đó tỡm y và trả lời kết quả. Lưu ý: Giải phương trỡnh (1) trờn mỏy tớnh để đưa ra kết quả nhanh hơn. Bài tập tương tự: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú diện tớch 504 dm2. Biết AB – AC = 47dm. Tính độ dài AB và AC. Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trỡnh: x2 – 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63 Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm Bài 9: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, BC = cm. Hỡnh vuụng ADEF cạnh bằng 2 cm cú D AB , E BC , F AC. Biết AB > AC và . Tớnh AB ; AC. Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x2 + y2 = = 45. (1) Hỡnh vuụng ADEF cú cạnh bằng 2 nờn Mà nờn SABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2) Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)2 = 81 và (x – y)2 = 9 Do x > y > 0 nờn x + y = 9 và x – y = 3 Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác , M là trung điểm BC. Cho biết . Tớnh BC : AC : AB ? Hướng dẫn: Chỳ ý ; I là giao điểm các đường phân giác ta tính được , từ đó chứng minh được BC = 2CD và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD kết hợp với định lý pitago ta tỡm được mối quan hệ giữa ba cạnh tam giỏc. Lời giải: Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI AC . (gúc ngoài tam giỏc BIC) = = (do BI và CI là phõn giỏc của cỏc gúc B và C và ABC vuụng ở A); kết hợp với giả thiết ta được . Vậy CIM = CID (g.c.g) Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1) BD là phõn giỏc của tam giỏc ABC nờn hay = 2. Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2) Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3) Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c = (4) Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = . Vậy a = . Do đó c = . Vậy a : b : c = = = (): (1.4) : (.4) = 5 : 4 : 3 Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3 Lưu ý: Bài toỏn này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bỡnh” cú sửa đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm. Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Hướng dẫn: Đặt AB = x ; AN = y AC = 2y. Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được BC = 2AM = 2.6 = 12 cm Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) và x2 + y2 = 81 y2 = 81 – x2 (2) Thay (2) vào (1) ta được phương trỡnh : x2 + 4( 81 – x2 ) = 144 Thu gọn phương trỡnh trờn ta được phương trỡnh : 3x2 = 180 Nghiệm dương của phương trỡnh : x = Trả lời: AB = cm Bài 12: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tớnh cos A . Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được CK = AK = Vậy cos A = = : 13 = Trả lời: cos A = CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HèNH 9 CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức lượng trong tam giác vuông Nhắc lại lớ thuyết : Cho tam giỏc ABC cú  = 900, gọi AB = c , AC = b , BC = a . Ta có một số công thức như sau: Một số bài tập ỏp dụng: BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hóy tớnh cỏc cạnh gúc của tam giỏc này? HD: Từ đó có c = 13cm và a = 12 cm BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm và chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC HD: Gọi chu vi lần lượt là p1 ,p2 , p3 Từ đó tính được chu vi bằng 50 cm. BT 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4 cm. Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC ? HD: Theo tính chất của đường phõn giỏc trong thỡ . Từ đó tính được AB, BC, AC . Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E . Chứng minh: CD2 + BE2 = CB2 + DE2 . HD: Áp dụng Pytago cho cỏc tam giỏc ADC, ABE BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH3 HD: Hỡnh vẽ bờn a) Trong cú HB2 = BE . BA (1) ; cú HC2 = CF . CA (2 ) Từ (1) và (2) cú : . Trong cú :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra Vậy . b) . Thay (3) Tương tự ta cũng có ( 4) . tỪ (3) VÀ (4) Ta cú BE .CF = . Mà AB. AC = BC . AH nờn BC . BE . CF = AH3 VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG. Lớ thuyết Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác tù cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông . Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vuông ) +S = bc . sin A = ca. sinB = ab .sin C (1) +S = (2) Cụng thức Heron ; p là nửa chu vi tam giỏc +S = (3) + S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường trũn ngoại tiếp tam giỏc, r là bán kính đường trũn nội tiếp tam giỏc + Nếu a2 < b2 + c2 thỡ gúc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập ) + a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC +Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thỡ trong có AH = c.sin B. Do đó diện tích là : S = AH . BC = c.sinB . a = ac. sinB Hay S = ac.sinB . Đối với các góc khác thỡ tương tự BT1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm, AC+ AB = 28 cm. Chứng minh cỏc gúc B và C nhọn ? Tớnh AB, AC ? Hướng dẫn: a) Ta cú c > 12 mà c + b = 28 suy ra b <16 b2 < 162 = 256 = 142 +122 < a2 + c2 .Hay b2 < a2 + c2 Do đó góc B nhọn b) Ta cú b2 – c2 = HC2 – HB2 Ta cũn cú HB2 + AH2 = c2 Giải phương trỡnh này ta cú c1 = 15 , c2 = 13 . Từ đó tính được b. BT 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, phõn giỏc trong AD và phõn giỏc ngoài AE. Chứng minh: a) b) Hỡnh vẽ trờn: Ta cú SABC = SABD +SADC b) Tưương tự như câu a nhưng SABC = SAEC – SAEB . Học sinh tự chứng minh và xem như bài tập nghiên cứu. BT 3: Cho tam giác nhọn ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c ( như cách gọi thông thường ) .Tính diện tích tam giác theo a,b,c ? HD: Vẽ đường cao AH vuông gúc BC, gọi BH = x thỡ HC = a – x . Áp dụng Pytago cho tam giỏc AHB và AHC ta cú : AH2 = c2 – x2 = b2 – ( a – x )2 Trong cú AH2 = AB2 – HB2 (1) và Trong cú AH2 = AC2 – HC2 (2) . Từ (1) và (2) ta cú c2 – x2 = b2 – a2 + 2ax – x2 suy ra x = = k ( tạm gọi vậy ) Từ đó có AH2 = c2 – k2 = c2 – . Do đó diện tích tam giác ABC là S= = . sau khi thay k vào và rút gọn ta được S = . (HS có thể về nhà rút gọn đẹp hơn ) Gợi ý: Hay ta cũng cú S2 = BC2.AH2 = Tử có thể biến đổi tử thành (2ab)2 – ( a2 + b2 – c2)2 = ( 2ab + a2 + b2 – c2 )( 2ab – a2 – b2 +c2 )= = 2p( 2p – 2c) (2p – 2b )( 2p – 2a) = 16 p (p – c )( p – b )( p – a ) Vậy S2 = p(p – c )( p – b )( p – a ). Trong đó 2p = a+ b + c Đây chính là công thức Heron BT 4: Cho tam giỏc ABC cú , AH là đường cao kẻ từ A. Chứng minh AH2 = HB . HC ? HD: Ta nhận thấy góc C tù .Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HC . Ta cú cõn tại A nờn Suy ra . Từ đó ta có vuụng tại A, với AH là đường cao ứng với cạnh huyền , vậy AH2 = HB . HD = HB . HC + cỏch 2 : ứng dụng tam giác đồng dạng ( HS về nhà nghiên cứu ) Hỡnh vẽ gợi ý Để ý rằng BT 5: Cho tam giỏc ABC biết a = 3 + , ; . Tính độ dài đườnh cao AH? Tính  ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC? Từ cỏc kết quả trờn, tớnh cos 750 ? HD: AHB vuụng cõn ,dễ thấy AH = BH = x ( do ta đặt ). Trong AHC cú CH = xcotgC = x. suy ra a = BH + CH = x. . Do đó x = 3. b) Có đường cao rồi thỡ cỏc em tớnh dược tất cả . ĐS: c = ; b = ;  = 750 ; SABC = c) Do gúc A nhọn . ỏp dung cụng thức a2 = b2 + c2 – 2bccos A Từ đó có cos750 = Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác Áp dụng cho hỡnh thang. Ta cú thể vẽ thờm đường thẳng song song hoặc đường thẳng vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc chứng minh nó vuông BT1 : ( Trích Đề thi của PGD Đức Phổ năm 2007 )Cho hỡnh thang ABCD có độ dài hai đáy là 3cm và 14 cm. Độ dài các đường chéo là 8cm và 15 cm. Tính diện tích hỡnh thang ABCD ? HD: Cần vẽ thêm BE // AC , để có hỡnh bỡnh hành ABEC Lỳc này ABEC là hỡnh bỡnh hành nờn BE = AC = 15 cm; AB = CE = 3 cm , do đó DE=17 cm .Áp dụng Pytago đảo thấy vuông tại B ( HS tự thử lại . Lại ve thêm đường cao BH, áp dụng hệ thức lượng cho thỡ BH == BD. BE : DE = 8.15 : 17 = . Từ đó có diện tích hỡnh thang ABCD là S = BT 2 : Cho hỡnh thang ABCD cú AB // CD , đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.Tính diện tích hỡnh thang ABCD ? HD: Như bài trên , vẽ thêm BE // AC thỡ tam giỏc BDE vuụng tại B BT 3: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, gúc BAD = 1250 . Các đường phâb giác của góc A và B cắt nhau tại P, các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại Q. a) Chứng minh và là những tam giỏc vuụng? b) Tớnh AP, BP , PQ ? HD: Hỡnh vẽ a)Để ý rằng = 900 , do đó vuông tại P. Tương tự vuụng tại Q. b) Trong cú AP = AB. cos = 25. cos 62030’= … (HS tự tính được ) và BP = AB. sin = 25. sin 62030’ =…. ( HS tự tính được ) Vẽ thờm PH AD ; PK AB; PM BC QL BC , từ đó chứng minh được LC = AH = AK , BM = BK Ta cú PQ = BC – ( MB + LC ) = BC – ( BK + KA ) = BC – AB = 35 – 25 = 10 cm Đáp số : PA 11,54 cm; PB 22,17 cm ; PQ =10 cm BT 4 : Một hỡnh thang cõn cú đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chu vi và diện tích hỡnh thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm. HD: Do tớnh chất hỡnh thang cõn , vẽ thờm AH vuụng gúc với CD; BK vuụng gúc với CD, ta cú HD = ( 50 – 14 ) : 2 = 18 cm Ta tính tiếp được HC = 32 cm, AH = 24 cm, AD = 30 cm. ĐS: Chu vi hỡnh thang bằng 124 cm, diện tớch hỡnh thang bằng 768cm2 BT 5: Cho hỡnh thang ABCD cú AB // CD . Gọi AB = a , CD = b, AD =d , BC = c .Chứng minh AC2 + BD2 = c2 + d2 + 2ab HD : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Áp dụng tính chất trung tuyến của tam giác ABC ta có a2 + c2 = 2BM2 +AC2 Tương tự áp dung tính chất trung tuyến cho tam giỏc ADC ta cú b2 + d2 = 2DM2 + AC2 . Cộng từng vế ta cú a2 +b2 +c2 +d2 =m (BM2 + DN2 ) + AC2 .(1) Ta lại cú BM2 + DM2 = 2MN2 +BD2 = 2( b – a / 2)2 + BD2 . Thay vào (1) A2 +b2 +c2 +d2 = (b – a)2 + BD2 +AC2 Tđ BD2 + AC2 = c2 +d2 + 2ab Chỳ ý : Hệ thức về trung tuyến trong tam giác như sau: HS công nhận hệ thức này ( sẽ được chứng minh ở lớp 10 – sau khi học vectơ và độ dài đại số - hệ thức Chasles ) Ngày soạn :……… /………./ 2009 Ngày giảng:…….. /………../ 2009 CHỦ ĐỀ 2 : Sự xác định đường tròn Đường kính và dây của đường tròn I./ Mục tiêu: * Giúp học sinh tiếp tục củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác. * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, tư duy độc lập sáng tạo. *Củng cố về cách xác định đường tròn *Vận dụng kt vào chứng minh bài tập về đường kính và dây của ( 0 ) *Rèn luyện kĩ năng vẽ hìng và chứng minh hình học II/ Nội dung I. Kiến thức cơ bản: 1) Sự xác định đường tròn – t/ c của đường tròn - Định nghĩa : - Kí hiệu : ( 0; R ) hoặc ( 0 ) *Các cách xđ đường tròn : Biết + Tâm và R + Một đoạn thẳng là đường kính của nó + Ba điểm không thẳng hàng *Tâm đối xứng : Là tâm đường tròn đó * Trục đối xứng : Là đường kính 2) vị trí tương đối của hai đương tròn 1) Hai đường tròn cắt nhau: R-r < OO’ < R + r 2) Hai đường tròn tiếp xúc nhau a. Tiếp xúc ngoài : OO’ = R + r b. Tiếp xúc trong : OO’ = R – r > 0 3) Hai đường tròn không giao nhau: a. Hai đường trong ở ngoài nhau: OO’ > R + r b. Hai đường tròn đựng nhau: OO’ < R – r 3) Các Ví Dụ minh hoạ: Ví dụ1: ABCD là hình vuông. O giao 2 đường chéo , OA = cm . Vẽ ( A; 2 ) trong 5 điểm A,B, C, D , O. Điểm nào năm bên trong, bên ngoài đường tròn ? Hướng Dẫn OA = 2 = R O nằm bên trong (A) AB = AD = 2 = R B , D nằm trên (A) AC = 2 2 = R C nằm ngoài (A) Ví dụ2: ABC cân nội tiếp (O) GT AHBC ; BC= 24; AC = 20 a) AD là đường kính KL b) sđ ACD c) AH ? R ? Hướng Dẫn a) ABC cân tại A (gt) AH BC (gt) AH là trung trực của BC (1) AD là trung trực của BC (2) Vì O nằm trên trung trực của BC Nên O nằm trên trung trực của AD Vậy : AD là đường kính (O) b) ACD có CO là trung tuyế