Hình học sơ cấp - Phương tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - LỚP TOÁN 4B HÌNH HỌC SƠ CẤP PHƯƠNG TÍCH GVHD: Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Danh sách nhóm – Toán 4B 1. Nguyễn Ngọc Quý 2. Nguyễn Thị Mỵ 3. Lâm Thị Thu Thảo 4. Tôn Nữ Thanh Trúc 5. Nguyễn Phước Thanh TP.HCM, ngày 10 tháng 10 năm 2012 BÀI 4 PHƯƠNG TÍCH TÓM TẮT LÝ THUYẾT PHƯƠNG TÍCH Định lý phương tích: Nếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là: Định lý đảo: Nếu tứ giác ABCD có thoả mãn thì tứ giác ABCD nội tiếp. Một tam giác có M thuộc BC thoả mãn thì MA là tiếp tuyến của đường tròn (ABC). Định lý trục đẳng phương: Trục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) có trục đẳng phương ∆. M là một điểm có hình chiếu lên trục ∆ là N. Thì ta có: . Đường tròn trực giao: Điều kiện trực giao: điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao (O;R) và (O’;R’) là:(Các mệnh đề sau là tương đương) . Đường kính của đường tròn này bị đường tròn kia chia điều hoà. BÀI TẬP PHƯƠNG TÍCH Bài 1: Cho đường tròn có đường kính thay đổi. A là điểm ở ngoài đường tròn.a) Chứng minh đi qua một điểm cố định khác A. Suy ra tâm đường tròn thuộc một đường thẳng cố định.b) Tiếp tuyến tại A của cắt tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố đñịnh. Bài giải: Gọi . (cần chứng minh D cố định). Ta có: Suy ra: Do và O, A cố định nên D cố định. Suy ra, IA=ID do đó I thuộc trung trực AD cố định. Vậy tâm đường tròn nằm trên đường thẳng cố định là trung trực của. Gọi M trung điểm của AO, nên M cố định. H là chân đường cao TH trong tam giác AOT. Ta có: Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có: Suy ra H là điểm cố định, nên TH là cố định. Vậy T nằm trên đường thẳng cố định vuông góc với AD tại H. Bài 2: Cho tam giác có trực tâm . Chứng minh rằng các đường tròn đường kính và trực giao nhau. Bài giải: Gọi M,N lần lượt là chân đường cao hạ từ B, A xuống cạnh AC, BC của Gọi E,F lần lượt là giao điểm của (BC) và đường cao AH Ta có: (đường kính vuông góc với dây cung). Do đ ó: . Vậy hai đường tròn (AH) và (BC) trực giao nhau. Bài 3: Một cát tuyến thay đổi song song đáy của tam giác cắt và lần lượt tại và . Chứng minh trục đẳng phương của đường tròn đường kính và là đường cao từ của tam giác . Bài giải: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Kẻ Ta có: ( vì ) ( vì ) Mà: (vì nội tiếp). Suy ra Vì vậy H thuộc trục đẳng phương của (BE) và (CD) Lại có: Ta có: Nên thuộc trục đẳng phương của và Vậy AH là trục đẳng phương của (BE) và (CD). (đpcm) Cách khác: Gọi Khi đó và Suy ra là trực tâm của ( với ) Ta có: (vì BC’B’C nội tiếp) (1) Mặt khác nên Suy ra: Mà : ( do BC’B’C nội tiếp) Nên : Hay : (2) Từ (1), (2) suy ra A, H thuộc trục đẳng phương của (BE) và (C D) Mà AH cũng là đường cao (Hlà trưc tâm của ) Nên ta có đpcm. Bài 4: Cho tứ giác . cắt tại . Gọi lần lượt là trung điểm của . Gọi lần lượt là trực tâm của tam giác và . Chứng minh rằng vuông góc Bài giải: Gọi: Ta có: (do AFED nội tiếp) Ta có: Do (1) nên Suy ra H thuộc trục đẳng phương của (CD) và (AB) (a) Ta có : Do (2) nên thuộc trục đẳng phương của và (b) Từ (a) và (b) thuộc trục đẳng phương và Bài 5: Cho M, N, P là các điểm thay đổi lần lượt trên BC, CA, AB của . Chứng minh các trục đẳng phương của của các đường tròn đường kính AM, BN, CP lấy từng đôi một đồng quy tại một điểm cố định. Bài giải: Gọi O là trực tâm của tam giác ABC Dựng Ta có: Tứ giác BCEF nội tiếp nên: Tứ giác ABDE nội tiếp nên:  Từ (1), (2) suy ra: Suy ra các trục đẳng phương của (AM), (BN), (CD) từng đôi một đồng quy tại điểm O cố định. Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm trên một đường thẳng. Gọi E, F là giao điểm của (O) và (O’) có đường kính lần lượt là AC và BD. Lấy P là một điểm trên EF và không thuộc AB. CP cắt (O) tại điểm thứ hai M; BP cắt (O’) tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng AM, DN và EF đồng quy. Bài giải: Gọi (1) Theo đề ta có EF là trục đẳng phương của (O) và (O’). Ta có: Tứ giác BCNM nội tiếp Vậy: Tứ giác ADNM nội tiếp (2) Từ (1), (2) suy ra AM, DN, EF đồng quy tại H. Bài 7: Cho tam giác ABC. Hai điểm thay đổi M, N là lần lượt thuộc hai cạnh AB, AC. BN cắt CM tại P sao cho tứ giác BCNM nội tiếp. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC, AMN. Chứng minh rằng P, H, K thẳng hàng. Baøi giải: Kẻ BB’ AC, CC’ AB, Vì B’ ∈ (BN) Þ PH/(BN) = . (1) C’ ∈ (CM) ÞPH/(CM) = . (2) Mặt khác tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên từ (1) và (2) suy ra: PH/(BN) = PH/(CM) Nên H thuộc trục đẳng phương của (BN) và (CM). (a) Tương tự , ta chứng minh được K thuộc trục đẳng phương của (BN) và (CM). (b) Ta có: PP/(BN) ===PP/(CM) P thuộc trục đẳng phương của (BN) và (CM) (c) Từ (1), (2) v à (3) suy ra P, H, K thẳng hàng. Bài 8: Gọi R,r,O,I lần lượt là bán kính & tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng : OI2=R2 - 2 Rr Baøi giải: Cho . Gọi ( AI là tia phân giác) (OJ là trung trực của BC) Gọi . Ta có: cân tại J (1) Tương tự ta chứng minh được (2) Từ (1), (2) ta có: JI=JB=JC Vậy BC là trục đẳng phương của (O) và (J;JB) (đpcm). Cách khác: Kéo dài BI cắt (O) tại M. Kẻ đường kính MK của (O). đ ươờng tròn (I) tiêp xúc với BC tại D. Ta có △BDI ~△KCM (g.g) Bài 9: Trên các cạnh của tam giác nhọn ABC dựng các hình vuông ABDE và ACFG về phía ngoài. Chứng minh rằng CD và BF cắt nhau trên đường cao từ A của tam giác ABC. Bài giải: Gọi Dựng Ta có: ( vì nội tiếp ) ( vì nội tiếp ) Ta có : Từ (1),(2) và (3) nội tiếp Do ñoù: Ta coù: Lại có: Suy ra AM là trục đẳng phương của hai đường tròn Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AC (đpcm). Bài 10: Cho tam giác ABC. Cho D và E là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh AB và AC sao cho DE song song BC. P là điểm bên trong tam giác ABC. PB và PC lần lượt cắt DE tại F và G. Gọi I, J lần lượt là tâm của đường tròn (PDG) và (PFE). Chứng minh rằng AP vuông góc IJ. Bài giải: Kéo dài cắt và lần lượt tại và Ta có: Ta chứng minh: Ta có: Suy ra là trục đẳng phương của hai đường tròn Cách khác: Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG) Ta có: (MP,M D) = (GP,G D) ( vì MPGD nội tiếp) Mà (GP,GD) = (CP,CB) (Vì ED//BC) Nên (MP,M D) = (CP,CB) suy ra, BMPC nội tiếp. Chứng minh tương tự, PNCB nội tiếp. Suy ra BMNC nội tiếp suy ra Mà (Do DE//BC) Suy ra Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ ⊥ OI . BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định. Giải: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó ta có: (không đổi vì A, (O) cố định). Suy ra Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định. Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định. Giải Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K). Gọi M là giao điểm của CD và AB. Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có: Suy ra: Vì A, B, H cố định suy ra M cố định. Vậy CD luôn đi qua điểm M cố định. Bài 3: Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp (O;R) vừa ngoại tiếp (I;r), đặt OI=d. Chứng minh: . Giải Kéo dài BI, DI cắt (O) tại M,N. Ta có Suy ra Suy ra O là trung điểm MN. Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác IMN ta có: Bài 4: Cho tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A,B,C lân lượt cắt cạnh đối diện tại A1,B1,C1. CMR A1,B1,C1 thẳng hàng và nằm trên đường vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp và tâm đưồng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải Gọi A2B2C2 là tam giác tạo bởi 3 phân giác ngoài góc A,B,C. Dễ dàng có AA2 ┴B2C2 , BB2 ┴ A2C2 , CC2 ┴A2B2 . Tứ giác BC2B2C nội tiêp nên Tương tự: Suy ra A1,B1,C1 cùng nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn (ABC) và (A2B2C2). Mà (O) là đường tròn Ơ-le của tam giác A2B2C2 AA2,BB2,CC2 giao nhau tại trực tâm I của tam giác A2B2C2 (cũng đông thời là tâm đường tròn nội tiêp tam giác ABC) suy ra I,O,J thẳng hàng. Vậy đường thẳng qua A1,B1,C1 vuông góc với OI (đpcm). Bài 5: Cho hai đường tròn w1 và w2 cắt nhau tại hai điểm X,Y. Một đường thẳng l1 đi qua tâm w1và giao w2 tại hai điểm P,Q, l2 đi qua tâm w2 và giao w1 tại R,S. CMR nếu 4 điểm P,Q,R,S cùng thuộc một đưởng tròn tâm O thì O nằm trên XY. Bài giải: Gọi bán kính của w1, w2, (O) lần lượt là r1, r2, r. Tâm của w1, w2 là O1, O2. Ta c ó : Do đó : Suy ra : Tương tự ta có : V ậy M nằm trên trục đẳng phương của (O1) và (O2). ***HẾT***