Khảo sát mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro bằng sơ đồ vòng lặp

Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCK 128 KHẢO SÁT MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO BẰNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP Mai Thị Đắc Khuê, Phạm Thị Mai (SV năm 3, Khoa Vật lý) GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa 1. Lời mở đầu Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, trong đó có bài toán nguyên tử Hydro, một bài toán rất quan trọng của vật lí lượng tử. Tuy nhiên, lời giải chính xác này khá phức tạp. Thêm vào đó, bài toán nguyên tử Hydro đặt trong trường ngoài (điện trường hoặc từ trường), nếu trường ngoài rất yếu hoặc rất mạnh thì có thể giải gần đúng bằng lí thuyết nhiễu loạn. Nhưng nếu trường ngoài trung bình, bài toán chưa có lời giải. Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý thông qua các toán tử sinh và hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro không những bước đầu cho kết quả đáng tin cậy, mà còn cho lời giải ứng với bất kì giá trị nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn. Tính năng lượng của nguyên tử Hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn là một cách làm quen thuộc và phổ biến, phương pháp này dẫn đến kết luận: Chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tính được giá trị năng lượng gần đúng hơn, chúng ta có thể điều chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc tính thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn và bằng tính số trên máy tính, mà không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp tục, cho tới khi giá trị sau sai khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm. Năm học 2009– 2010 129 Đề tài này có mục tiêu: khảo sát năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro theo sơ đồ vòng lặp bằng phương pháp toán tử và tính bằng số dựa trên ngôn ngữ lập trình Fortran 9.0. Để kiểm chứng tính hiệu quả của phương pháp lặp, nội dung bài báo cáo này chủ yếu khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận: Lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro. 2. Giá trị chính xác của năng lượng cơ bản nguyên tử Hydro Trong hệ đơn vị nguyên tử 4 2 1m e  h : E0=-0.5. 3. Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro khi chưa có bổ chính µ µ  0 0 0 0(0) 0 1 , , 1/20 2 , , ˆ ˆ ˆ000 0001000 000 000 2 1 000 4 (1 2 ) x y z x y z x y z S S SZE H N dt t                   Ta thu được giá trị của (0)0E là: (0) 0 3 2 4 E     Ở đây, không xét đến phương pháp biến phân, nên chọn thông số biến phân 1  , khi đó: 0 0.37837915139550750E   4. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn 4.1. Tính bổ chính bậc 1 Do thế nhiễu Vˆ không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma trận trên đường chéo chính của Vˆ bằng 0. (1)0 000 000 0ˆE  V 4.2. Tính bổ chính bậc 2 Từ sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, suy ra biểu thức tính bổ chính bậc 2 , (2) 0 (0) (0) , 000 0 2ˆ000 x y x y z z x y z k k k k k k k k k E E E      V Gọi k=kx +ky +kz, xây dựng chương trình tính bổ chính bậc 2 ứng các bậc khác nhau của k bằng ngôn ngữ lập trình Fortran, thu được bảng kết quả sau Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCK 130 Bảng 1. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với k = 4, k = 6 theo sơ đồ vòng lặp Tổng k (2)0E (0) (2)0 0 0E E E   2 -0.01646522499468143 -0.39484437639018893 4 -0.05330141176090913 -0.43168056315641663 6 -0.06867349187502052 -0.44705264327052802 8 -0.07676451443274628 -0.45514366582825378 10 -0.08162797059819778 -0.46000712199370528 12 -0.08481723626391037 -0.46319648765941787 14 -0.08659776166821651 -0.46497691306372401 16 -0.08762909472494362 -0.46600824612045112 Nhận xét: Tương ứng với bậc k càng cao thì năng lượng bổ chính càng tiến về gần giá trị chính xác là -0.5 hơn. Tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm. Nguyên nhân là vì ta mới chỉ tính đến bổ chính bậc hai. Để thu được kết quả tốt hơn, ta tiếp tục tính đến bổ chính bậc cao hơn. 4.3. Tính bổ chính bậc 3,4 Từ sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, suy ra biểu thức tính bổ chính bậc 3,4 (3) 0 (0) (0) (0) (0) 0 0 000 000 (4) 0 (0) (0) 000 000| | | ( )( ) 000| | | | ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z x y z y z x y z y z y z m k mmm k k k y z x y z y z x y z y z y z j j j mm mmm k k k k E E E E E j j j j j mm mmm k k k k E E E                        x x x x x x x V|m V|k k V|000 V| j V|m V|k k V|000 (2) 2 0(0) (0) (0) (0) 0 0 0 000 000 ( ) ( )( ) x y z x y zj m k mmm k k k E E E E E              Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3,4 ứng với bậc k=4 bằng ngôn ngữ lập trình Fortran, ta thu được kết quả: Bổ chính bậc 2 -0.05330141214290737 Bổ chính bậc 3 -0.02344822671992949 Bổ chính bậc 4 -0.01168803841828004 Năng lượng bổ chính -0.46681682829462616 Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3 ứng với bậc k=6 bằng ngôn ngữ lập trình Fortran, ta thu được kết quả: Bổ chính bậc 2 -0.06867349187502052 Bổ chính bậc 3 -0.00182794752297573 Năng lượng bổ chính -0.44888059079350375 Nhận xét: Khi ngắt chuỗi đến một bậc k nào đó, năng lượng bổ chính thu được là gần đúng. Nếu tính đến bổ chính bậc càng cao thì kết quả thu được càng tiến về một Năm học 2009– 2010 131 giá trị tốt hơn. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ rất chậm. Nguyên nhân là bởi vì giá trị các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh. Với kết quả thu được ở trên, chúng tôi đặt ra mục tiêu tìm ra một phương pháp cho kết quả năng lượng bổ chính tương ứng tại một bậc k nào đó tốt nhất và với tốc độ nhanh nhất. 5. Bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro theo sơ đồ vòng lặp 5.1. Sơ đồ vòng lặp 0, n nn nn k nk k k n E H V C V         , 0 ( )n jj j jn k jk k k n E H C V C V         ,  j n với ký hiệu các yếu tố ma trận: * 0ˆ( ) ( )kk k kH x H x dx      * ˆ( ) ( )jk j kV x V x dx      Hình 1. Sơ đồ vòng lặp Cj E0= 3 2 4   0 0 0 0 ( )jj j j k jk k k E H C V C V       0 00 0 0 k k k E H C V     Sai số E0 Nhập E0 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCK 132 5.2. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với k = 4, k = 6 theo sơ đồ vòng lặp Xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với k=4, k=6 theo sơ đồ vòng lặp bằng ngôn ngữ lập trình Fortran, với sai số 10-9 , ta thu được bảng giá trị: Bảng 2. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với k = 4, k = 6 theo sơ đồ vòng lặp k=4 n Delta E E 0 -0.09882629464362785 -0.47720546076987910 1 -0.09005402393450034 -0.46843319006075160 2 -0.09076437559362446 -0.46914354171987570 3 -0.09070641062877764 -0.46908557675502890 4 -0.09071112976056416 -0.46909029588681540 5 -0.09071074825738174 -0.46908991438363300 6 -0.09071076875766340 -0.46908993488391460 7 -0.09071076875766340 -0.46908993488391460 k=6 n Delta E E 0 -0.10151805176457380 -0.47989721789082500 1 -0.09090099819765718 -0.46928016432390840 2 -0.09187724579715541 -0.47025641192340660 3 -0.09178632601312876 -0.47016549213938000 4 -0.09179479855295016 -0.47017396467920140 5 -0.09179399747148706 -0.47017316359773830 6 -0.09179407414825140 -0.47017324027450260 7 -0.09179407226355152 -0.47017323838980270 8 -0.09179407226355152 -0.47017323838980270 Nhận xét: Giá trị bổ chính năng lượng cơ bản hội tụ về một giá trị. Tốc độ hội tụ phụ thuộc vào việc lấy tổng chỉ số k. Bổ chính năng lượng cơ bản ứng với k=4 và k=6 tính theo sơ đồ vòng lặp hội tụ về một giá trị nhanh hơn theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn. Tiếp tục phát triển chương trình tính bổ chính năng lượng đến bậc k=8, sai số 10-8 , ta thu được bảng kết quả: Năm học 2009– 2010 133 Bảng 3: Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hidro ứng với k = 4, k = 6 theo sơ đồ vòng lặp k=8 n Delta E E 0 -0.12363865970634800 -0.50201782583259920 1 -0.10561452793589680 -0.48399369406214800 2 -0.10781803279054470 -0.48619719891679590 3 -0.10754220451129390 -0.48592137063754520 4 -0.10757662987859680 -0.48595579600484800 5 -0.10757233211268750 -0.48595149823893870 6 -0.10757286791361710 -0.48595203403986840 7 -0.10757280465897840 -0.48595197078522970 8 -0.10757281210069560 -0.48595197822694690 Nhận xét: Chỉ với tổng chỉ số k=8, sau 8 vòng lặp, thu được giá trị bổ chính hội tụ về - 0.48595197822694690, khá gần kết quả chính xác. Kết quả này đạt được nhanh hơn nhiều so với tính theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn 6. Kết luận và hướng phát triển của đề tài Tính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro bằng phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp cho kết quả tốt hơn theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn. Kết luận này có ý nghĩa vật lí cao, bởi quá trình lặp được máy tính thực hiện, khi áp dụng vào những bài toán lớn hơn sẽ giảm nhẹ công việc tính toán hơn rất nhiều. Trong báo cáo nghiên cứu này, khi xây dựng chương trình tính tổng quát, nhóm tác giả mắc phải một lỗi lập trình nào đó nên có một số số hạng của toán tử V không cho kết quả. Do đó, chỉ dừng lại khảo sát vòng lặp ở bậc k=8. Thêm vào đó, do còn hạn chế về kiến thức lập trình, nên code của chương trình còn khá dài. Hướng phát triển của đề tài này là cố gắng tháo gỡ lỗi lập trình để xây dựng một chương trình tính theo sơ đồ vòng lặp tổng quát hơn, nâng bậc k lên cao hơn, khi đó giá trị năng lượng cơ bản hội tụ thu được chắc chắn tiến đến gần giá trị chính xác với sai số nhỏ. Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCK 134 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Dũng (1999), Nhập môn cơ học lượng tử, NXB Giáo dục, trang 172-227, 312-327. [2] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán và lập trình và giảng dạy toán học trên Maple, NXB Hà Nội. [3] Thái Khắc Định, Tạ Hưng Quý (2007), Vật lý nguyên tử và hạt nhân, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. [4] Võ Văn Hoàng, Ngôn ngữ lập trình Fortran, NXB Giáo Dục. [5] Đặng Quang Khang, (1996), Cơ học lượng tử, NXB Khoa học và Kĩ thuật, trang 210-226, 227-235, 262-268. [6] Phan Văn Tân, Ngôn ngữ lập trình Fortran 90, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [7] Lê Thái Thanh, Giáo trình Phương pháp tính, NXB Giáo dục, trang 15- 30, 91-98. [8] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exiton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh. [9] Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc (2009), Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong từ trường theo phương pháp toán tử, Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh. [10] Nguyễn Đức Thanh Tuyền (2009), Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử, Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh.