Không gian Euclide - TS. Lê Xuân Đại

KHÔNG GIAN EUCLIDE TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 1 / 56 Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian Euclide (thực) nếu : E × E → R (x , y) 7−→ − gọi là tích vô hướng của 2 véctơ. Tích vô hướng thỏa mãn 4 tiên đề 1 =, ∀x , y ∈ E 2 = + , ∀x , y , z ∈ E 3 = α ,∀x , y ∈ E ,∀α ∈ R. 4 > 0, x 6= 0 và = 0⇔ x = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 2 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv Rn là không gian Euclide nếu đã cho tích vô hướng : Rn × Rn → R (x , y) 7−→= n∑ i=1 xiyi với x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 3 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C[a,b] các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] là không gian Euclide nếu đã cho tích vô hướng : C[a,b] × C[a,b] → R (f , g) 7−→= b∫ a f (x)g(x)dx TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 4 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Chứng minh. = b∫ a f (x)g(x)dx = b∫ a g(x)f (x)dx = , ∀f , g ∈ C[a,b] = b∫ a (f (x) + g(x))h(x)dx = b∫ a f (x)h(x)dx + b∫ a g(x)h(x)dx = + , ∀f , g , h ∈ C[a,b] TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 5 / 56 Không gian Euclide Ví dụ = b∫ a (αf (x))g(x)dx = α b∫ a f (x)g(x)dx = α , ∀f , g ∈ C[a,b],∀α ∈ R. = b∫ a (f (x))2dx > 0, f (x) 6= 0 và = b∫ a (f (x))2dx = 0⇔ f (x) ≡ 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 6 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho quy tắc ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 = x1y1 + x1y2 + x2y1 +mx2y2. Tìm m để là tích vô hướng. = x1y1+ x1y2+ x2y1+mx2y2 = y1x1+ y1x2 + y2x1 +my2x2 =, ∀x , y ∈ R2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 7 / 56 Không gian Euclide Ví dụ = (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 + (x2 + y2)z1 +m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 + x2z1 +mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 +my2z2) = + , ∀x , y , z ∈ R2 = (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 + m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 +mx2y2) = α ,∀x , y ∈ R2,∀α ∈ R. = x21 + x1x2 + x2x1 +mx 2 2 = (x1 + x2) 2 + (m− 1)x22 > 0, (x 6= 0)⇒ m > 1. = 0⇔ (x1 + x2)2 + (m− 1)x22 = 0⇔ x1 = x2 = 0 hay x = 0 thì m 6= 1. Vậy m > 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 8 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng = ∫ 1 0 p(x)q(x)dx , ∀p(x) = a1x2 + b1x + c1, q(x) = a2x2 + b2x + c2. Tính tích vô hướng của p(x) = x2 − 4x + 5, q(x) = x + 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 9 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Tích vô hướng của p(x) và q(x) là = ∫ 1 0 p(x)q(x)dx = = ∫ 1 0 (x2 − 4x + 5)(x + 1)dx = 19 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 10 / 56 Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ) Định nghĩa Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là ||x || = √ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìm độ dài của véctơ u. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 11 / 56 Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ) Định nghĩa Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là ||x || = √ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìm độ dài của véctơ u. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 11 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Độ dài của véctơ u là ||u|| = √. = 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11 ⇒ ||u|| = √ 11 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 12 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng = 1∫ 0 p(x)q(x)dx ,∀p, q ∈ P2(x) và f (x) = x + 2. Tìm ||f (x)|| Ta có ||f (x)|| = √ trong đó = 1∫ 0 f 2(x)dx = 1∫ 0 (x + 2)2dx = 19 3 . Do đó ||f (x)|| = √ 19 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 13 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng = 1∫ 0 p(x)q(x)dx ,∀p, q ∈ P2(x) và f (x) = x + 2. Tìm ||f (x)|| Ta có ||f (x)|| = √ trong đó = 1∫ 0 f 2(x)dx = 1∫ 0 (x + 2)2dx = 19 3 . Do đó ||f (x)|| = √ 19 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 13 / 56 Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ Định nghĩa Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệu d(u, v). Vậy d(u, v) = ||u − v ||. Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1), v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 14 / 56 Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ Định nghĩa Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệu d(u, v). Vậy d(u, v) = ||u − v ||. Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1), v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 14 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là d(u, v) = ||u − v || = √. Ta có u − v = (1,−3)⇒= = 1.1− 2.1.(−3)− 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58. Vậy d(u, v) = √ = √58 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 15 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng = 1∫ 0 p(x)q(x)dx ,∀p, q ∈ P2(x) và f (x) = x + 1, g(x) = 2x +m. Tìm m để khoảng cách giữa f (x), g(x) bằng 13 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 16 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ta có d(f , g) = √ trong đó = 1∫ 0 (f (x)− g(x))2dx = 1∫ 0 (−x +1−m)2dx = m2−m+ 13. Để d(f , g) = 13 thì √ m2 −m + 13 = 13 ⇔ m = 13 ∨m = 23. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 17 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Định lý (Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski) Trong không gian Euclide E , ta có | | 6 ||x ||.||y ||, ∀x , y ∈ E . Dấu ′′ = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. ∀x , y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có > 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 18 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Định lý (Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski) Trong không gian Euclide E , ta có | | 6 ||x ||.||y ||, ∀x , y ∈ E . Dấu ′′ = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. ∀x , y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có > 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 18 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ ⇔ −2λ +λ2 > 0. ⇔ ||x ||2 − 2λ +λ2||y ||2 > 0. Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên ∆′ = ()2 − ||x ||2.||y ||2 6 0 ⇔ ()2 6 ||x ||2.||y ||2 ⇔ | | 6 ||x ||.||y || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 19 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Nếu | | = ||x ||.||y || thì ∆′ = 0 khi đó ||x ||2 − 2λ +λ2||y ||2 = (λ− λ0)2. Do đó nếu λ = λ0 thì = 0 hay x − λ0y = 0⇔ x = λ0y ⇒ x , y phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 20 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Định nghĩa Ta gọi góc giữa 2 véctơ x , y ∈ E là góc θ(0 6 θ 6 pi) sao cho cos θ = ||x ||.||y || Hệ quả Nếu x , y ∈ E , E là không gian Euclide thì |||x || − ||y ||| 6 ||x + y || 6 ||x || + ||y || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 21 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1), v = (1, 0). Tìm góc θ giữa 2 véctơ u, v . Ta có cos θ = ||u||.||v || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 22 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1), v = (1, 0). Tìm góc θ giữa 2 véctơ u, v . Ta có cos θ = ||u||.||v || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 22 / 56 Không gian Euclide Ví dụ = 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5.1.0 = 3 ||u|| = √ = √1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1 = √ 10 ||v || = √ = √1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0 = 1 Vậy cos θ = 3√ 10 ⇒ θ = arccos 3√ 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 23 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng = 1∫ 0 p(x)q(x)dx ,∀p, q ∈ P2(x) và f (x) = x2 + x , g(x) = 2x + 3. Tìm góc θ giữa 2 véctơ f , g . Ta có cos θ = ||f ||.||g || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 24 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng = 1∫ 0 p(x)q(x)dx ,∀p, q ∈ P2(x) và f (x) = x2 + x , g(x) = 2x + 3. Tìm góc θ giữa 2 véctơ f , g . Ta có cos θ = ||f ||.||g || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 24 / 56 Không gian Euclide Ví dụ = 1∫ 0 f (x)g(x)dx = 1∫ 0 (x2+x)(2x+3)dx = 11 3 ||f || = √ = √√√√√ 1∫ 0 (x2 + x)2dx = = √ 31 30 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 25 / 56 Không gian Euclide Ví dụ ||g || = √ = √√√√√ 1∫ 0 (2x + 3)2dx = √ 49 3 Vậy cos θ = 11 √ 310 217 ⇒ θ = arccos 11 √ 310 217 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 26 / 56 Không gian Unita Định nghĩa Định nghĩa C−kgv được gọi là không gian Unita. Định nghĩa Cho x , y ∈ Cn, với x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn). Khi đó ϕ(x , y) == n∑ i=1 xiyi được gọi là tích vô hướng của 2 véctơ x , y trong không gian Unita. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 27 / 56 Sự trực giao Định nghĩa Định nghĩa Trong không gian Euclide E với tích vô hướng 1 Hai véctơ x , y ∈ E được gọi là trực giao ⇔= 0. Kí hiệu x ⊥ y 2 Véctơ x được gọi là trực giao với tập hợp M ⊂ E nếu nó trực giao với mọi véctơ của M . Kí hiệu x ⊥ M . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 28 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1), v = (2,m). Tìm m để u ⊥ v . Để u ⊥ v thì = 0 ⇔ 2.1.2− 1.m− (−1).2 + (−1).m = 6− 2m = 0 ⇔ m = 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 29 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng = 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1), v = (2,m). Tìm m để u ⊥ v . Để u ⊥ v thì = 0 ⇔ 2.1.2− 1.m− (−1).2 + (−1).m = 6− 2m = 0 ⇔ m = 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 29 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong P1(x) cho tích vô hướng = 1∫ −1 p(x)q(x)dx ,∀p, q ∈ P1(x) và f (x) = x − 1, g(x) = x +m. Tìm m để f ⊥ g . Để f ⊥ g thì = 0 ⇔ 1∫ −1 (x − 1)(x +m)dx = 2 3 − 2m = 0 ⇔ m = 1 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 30 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong P1(x) cho tích vô hướng = 1∫ −1 p(x)q(x)dx ,∀p, q ∈ P1(x) và f (x) = x − 1, g(x) = x +m. Tìm m để f ⊥ g . Để f ⊥ g thì = 0 ⇔ 1∫ −1 (x − 1)(x +m)dx = 2 3 − 2m = 0 ⇔ m = 1 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 30 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R3 cho tích vô hướng chính tắc = x1y1 + x2y2 + x3y3 với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), và M =, u = (1,−1,m). Tìm m để u ⊥ M . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 31 / 56 Sự trực giao Ví dụ Để u ⊥ M thì u ⊥ v ,∀v ∈ M . Ta có v ∈ M nên v = α(1, 1, 1) + β(2, 1, 3) = (α + 2β, α + β, α + 3β). Với mọi α, β ∈ R ta có u ⊥ v ⇔ 1.(α+2β)+(−1).(α+β)+m(α+3β) = 0 ⇔ mα + (3m + 1)β = 0. Vì α, β là những số tùy ý nên m = 0 và m = −13. Điều này không thể xảy ra. Nên không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 32 / 56 Sự trực giao Hệ trực giao, trực chuẩn Định nghĩa 1 Hệ véctơ {x1, x2, . . . , xn} được gọi là trực giao ⇔ chúng trực giao với nhau từng đôi một. Ngoài ra, nếu ||xk || = 1, k = 1, 2, . . . , n thì hệ véctơ này được gọi là hệ trực chuẩn. 2 Hai tập M ,N ⊂ E được gọi là trực giao với nhau M ⊥ N ⇔= 0,∀x ∈ M ,∀y ∈ N Chú ý. Véctơ 0 trực giao với mọi véctơ. Ngược lại, véctơ x trực giao với mọi véctơ thì x = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 33 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R4 với tích vô hướng chính tắc, cho M = {(1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (2, 1, 1,m)} Tìm m để M là hệ trực giao. Véctơ (0, 0, 0, 0) trực giao với mọi véctơ. Nên để M là hệ trực giao thì (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1,m) trực giao với nhau, có nghĩa là = 1.2 + 1.1 + 1.1 + 1.m = 4 +m = 0⇒ m = −4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 34 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R4 với tích vô hướng chính tắc, cho M = {(1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (2, 1, 1,m)} Tìm m để M là hệ trực giao. Véctơ (0, 0, 0, 0) trực giao với mọi véctơ. Nên để M là hệ trực giao thì (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1,m) trực giao với nhau, có nghĩa là = 1.2 + 1.1 + 1.1 + 1.m = 4 +m = 0⇒ m = −4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 34 / 56 Sự trực giao Cơ sở trực giao Định lý Hệ véctơ trực giao không chứa véctơ 0 thì độc lập tuyến tính. Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} là 1 hệ véctơ trực giao, không chứa véctơ 0. . Xét p∑ i=1 λixi = 0, λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , p. Với ∀xk ∈ M , k = 1, 2, . . . , p ta có < xk , p∑ i=1 λixi >= λk = 0⇔ λk = 0, k = 1, 2, . . . , p. Vậy M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 35 / 56 Sự trực giao Cơ sở trực giao Định lý Hệ véctơ trực giao không chứa véctơ 0 thì độc lập tuyến tính. Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} là 1 hệ véctơ trực giao, không chứa véctơ 0. . Xét p∑ i=1 λixi = 0, λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , p. Với ∀xk ∈ M , k = 1, 2, . . . , p ta có < xk , p∑ i=1 λixi >= λk = 0⇔ λk = 0, k = 1, 2, . . . , p. Vậy M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 35 / 56 Sự trực giao Cơ sở trực giao Hệ quả Trong không gian Euclide E n chiều, tập gồm n véctơ khác 0, trực giao từng đôi một tạo thành một cơ sở của E . Cơ sở này được gọi là cơ sở trực giao. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 36 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian Euclide R4 với tích vô hướng chính tắc, cho 3 véctơ trực giao x = (0, 1, 1, 1), y = (3,−2, 1, 1), z = (3, 3,−4, 1). Hãy bổ sung thêm 1 véctơ để ta có 1 cơ sở trực giao của R4. Để tạo được 1 cơ sở trực giao của R4 thì véctơ u = (a, b, c, d) 6= 0 thêm vào phải trực giao với 3 véctơ x , y , z . u ⊥ x u ⊥ y u ⊥ z ⇔  a.0 + b.1 + c.1 + d .1 = 0 a.3 + b.(−2) + c.1 + d .1 = 0 a.3 + b.3 + c.(−4) + d .1 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 37 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian Euclide R4 với tích vô hướng chính tắc, cho 3 véctơ trực giao x = (0, 1, 1, 1), y = (3,−2, 1, 1), z = (3, 3,−4, 1). Hãy bổ sung thêm 1 véctơ để ta có 1 cơ sở trực giao của R4. Để tạo được 1 cơ sở trực giao của R4 thì véctơ u = (a, b, c, d) 6= 0 thêm vào phải trực giao với 3 véctơ x , y , z . u ⊥ x u ⊥ y u ⊥ z ⇔  a.0 + b.1 + c.1 + d .1 = 0 a.3 + b.(−2) + c.1 + d .1 = 0 a.3 + b.3 + c.(−4) + d .1 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 37 / 56 Sự trực giao Ví dụ Hệ thuần nhất này gồm 3 phương trình và 4 ẩn số nên có vô số nghiệm. Chọn d = 2 ta được a = −1, b = −1, c = −1. Vậy véctơ thêm vào là (−1,−1,−1, 2) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 38 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian Euclide P2(x) với tích vô hướng = 1∫ 0 u(x).v(x)dx , cho 3 véctơ u1 = x 2, u2 = −5x2 + 4x , u3 = ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giao của P2(x). = 1∫ 0 x2(−5x2 + 4x)dx = 0⇒ u1 ⊥ u2. Để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giao của P2(x) thì u1 ⊥ u3 và u2 ⊥ u3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 39 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian Euclide P2(x) với tích vô hướng = 1∫ 0 u(x).v(x)dx , cho 3 véctơ u1 = x 2, u2 = −5x2 + 4x , u3 = ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giao của P2(x). = 1∫ 0 x2(−5x2 + 4x)dx = 0⇒ u1 ⊥ u2. Để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giao của P2(x) thì u1 ⊥ u3 và u2 ⊥ u3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 39 / 56 Sự trực giao Ví dụ{ = 0 = 0 ⇔ 1∫ 0 x2(ax2 + bx + c)dx = 0 1∫ 0 (−5x2 + 4x)(ax2 + bx + c)dx = 0 ⇔  a 5 + b 4 + c 3 = 0 b 12 + c 3 = 0 Hệ thuần nhất này có vô số nghiệm, cho c = 3 ⇒ a = 10, b = −12. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 40 / 56 Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt Cho không gian Euclide E và {x1, x2, . . . , xn} là một hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính của E . Khi đó ta có thể chọn được các số λij ∈ R sao cho các véctơ y1 = x1 y2 = λ21y1 + x2 y3 = λ31y1 + λ32y2 + x3 . . . . . . . . . yn = λn1y1 + λn2y2 + λn3y3 + λnn−1yn−1 + xn tạo thành một hệ trực giao, gồm toàn các véctơ khác không. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 41 / 56 Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt y1 ⊥ y2 nên == λ21 + = 0⇒ λ21 = − Tương tự, y3 ⊥ y1, y2 nên = = λ31 +λ32 + = λ31 + = 0 ⇒ λ31 = − TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 42 / 56 Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt = = λ31 +λ32 + = λ32 + = 0 ⇒ λ32 = − Quá trình cứ thế tiếp diễn, ta thu được λn1 = − , λn2 = − , . . . , λnn−1 = − . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 43 / 56 Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt Theo cách xây dựng trên, yk là THTT của x1, x2, . . . , xk với hệ số của xk bằng 1 mà x1, x2, . . . , xk ĐLTT nên xk không là THTT của những véctơ còn lại. Từ đó suy ra yk 6= 0, k = 1, 2, . . . , n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 44 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt để xây dựng hệ trực giao từ hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) ĐLTT. Áp dụng tích vô hướng chính tắc, theo công thức trực giao hóa, ta có y1 = x1 = (1, 1, 1), y2 = − y1 + x2 = −2 3 (1, 1, 1) + (0, 1, 1) = ( −2 3 , 1 3 , 1 3 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 45 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt để xây dựng hệ trực giao từ hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) ĐLTT. Áp dụng tích vô hướng chính tắc, theo công thức trực giao hóa, ta có y1 = x1 = (1, 1, 1), y2 = − y1 + x2 = −2 3 (1, 1, 1) + (0, 1, 1) = ( −2 3 , 1 3 , 1 3 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 45 / 56 Sự trực giao Ví dụ y3 = − y1 − y2 + x3 = −1 3 (1, 1, 1)− 1 2 ( −2 3 , 1 3 , 1 3 ) + (0, 0, 1) = ( 0,−1 2 , 1 2 ) Vậy hệ (1, 1, 1), ( −2 3 , 1 3 , 1 3 ) , ( 0,−1 2 , 1 2 ) là hệ trực giao. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 46 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) với tích vô hướng = 1∫ −1 u(x).v(x)dx . Trực giao hóa hệ véctơ M = {1, x , x2}. Hệ véctơ M ĐLTT. Theo công thức trực giao hóa, ta có v1 = u1 = 1 v2 = − v1 + u2 = − ∫ 1 −1 xdx∫ 1 −1 1.dx .1 + x = x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 47 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) với tích vô hướng = 1∫ −1 u(x).v(x)dx . Trực giao hóa hệ véctơ M = {1, x , x2}. Hệ véctơ M ĐLTT. Theo công thức trực giao hóa, ta có v1 = u1 = 1 v2 = − v1 + u2 = − ∫ 1 −1 xdx∫ 1 −1 1.dx .1 + x = x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 47 / 56 Sự trực giao Ví dụ v3 = − v1 − v2 + u3 = − ∫ 1 −1 x 2dx∫ 1 −1 1.dx .1− ∫ 1 −1 x 2.