Kiểm tra học kỳ I lớp 12 môn: Toán

w w w .ho c2 47 .vn SỞ G IÁ O DỤ C VÀ Đ ÀO T ẠO TỈ NH Đ ỒN G NA I KI ỂM T RA H ỌC K Ỳ I L ỚP 1 2 NĂ M H ỌC 20 14 -20 15 Đ Ề CH ÍN H TH Ứ C M ôn : T oá n. Th ời gia n l àm bà i: 1 50 ph út. Đ ề g ồm 1 tra ng , c ó 7 câ u. Câ u 1 (2 ,5 đi ểm ). C ho hà m số y = 1 2 ·x 4 – x 2 – 1 . 1) Kh ảo sá t s ự b iến th iên và vẽ đồ th ị ( C) củ a h àm số đã ch o. 2) V iết p hư ơn g trì nh ti ếp tu yế n c ủa đ ồ t hị (C ) t ại đ iểm M (x M ; y M ) t hu ộc (C ) biế t x M < 0 v à y M = 3. Câ u 2 (1 ,5 đi ểm ). 1) T ìm gi á t rị n hỏ nh ất củ a h àm số y = x – e x tr ên đ oạ n [ –2 ; 2 ]. 2) T ín h đạ o h àm củ a h àm số y = l n(c os 2x ) t ại đi ểm x =  8 · Câ u 3 (1 ,0 đi ểm ) T ìm cá c s ố t hự c x th ỏa 10 0 x + 10 = 10 x + 1 + 10 x . Câ u 4 (1 ,0 đi ểm ) C ho m ặt ph ẳn g ( P) cắ t m ặt cầ u ( S) th eo đ ưở ng trò n c ó b án kí nh bằ ng 6a , v ới 0 < a  . B iết kh oả ng cá ch từ tâ m I c ủa m ặt cầ u (S) đế n m ặt ph ẳn g ( P) bằ ng 8a . T ính th eo a bá n k ính m ặt cầ u ( S). T ính th eo a diệ n t ích m ặt cầ u ( S). T ính the o a th ể t ích kh ối cầ u ( S). Câ u 5 (1 ,5 đi ểm ) C ho hì nh ch óp S. AB C có đ áy AB C là ta m g iá c đ ều cạ nh bằ ng 2a , vớ i 0 < a   . B iết S A = SB , m ặt ph ẳn g (SA B) v uô ng g óc v ới mặ t p hẳ ng (A BC ), gó c g iũa đ ườ ng th ẳn g S C và m ặt ph ẳn g ( AB C) bằ ng 60 0 . T ính th eo a thể tíc h k hố i c hó p S . A BC . T ính th eo a kh oả ng cá ch từ đi ểm A đế n m ặt ph ẳn g ( SB C) . Câ u 6 (1 ,5 đi ểm ). 1) C hứ ng m inh hà m số f(x ) = x 3 + x – 1 – 9 đ ồn g b iến tr ên (1 ; + ) . 2) T ìm tậ p xá c đ ịnh củ a h àm số y = l og 3     x 3 + x – 1 – 9 . Câ u 7 (1 ,0 đi ểm ) C ho hì nh hộ p c hữ nh ật AB CD . A 1 B 1 C 1 D 1 có A B = a , A D = b , A A 1 = c (vớ i a, b, c đ ều là số th ực d ươ ng ). Gọ i S là tổ ng di ện tíc h c ác m ặt củ a h ình hộ p c hữ nh ật đ ã c ho , g ọi V l à t hể tíc h c ủa kh ối hộ p c hữ nh ật AB CD . A 1 B 1 C 1 D 1 . 1) T ính S và V the o a , b , c . 2) Ch o a , b , c đề u l à s ố t hự c dư ơn g th ỏa ab + bc + ca = 12 . T ìm gi á t rị lớn nh ất củ a V . HẾ T w w w .ho c2 47 .vn - 1 /4       KI ỂM T RA H ỌC K Ỳ I L Ớ P 12 N ĂM H Ọ C 20 14 -20 15 HƯ ỚN G DẪ N CH ẤM V À BI ỂU Đ IỂ M M ôn To án (đ ề c hín h t hứ c)       Câ u Nộ i d un g Bi ểu đi ểm (đ ) 1. 1) K hả o s át sự bi ến th iên và vẽ đồ th ị ( C) :  = 1, 5 đ y = 1 2 ·x 4 – x 2 – 1 (C ). T ập x ác đ ịnh  . y ' = 2x 3 – 2 x = 2x    x 2 – 1 . V ậy y ' = 0  x = 0 ho ặc x =  1. 0, 25 đ y ' < 0  x < – 1 h oặ c 0 < x < 1, y ' > 0  –1 < x < 0 ho ặc x > 1 . H àm số đã ch o đ ồn g b iến tr ên m ỗi kh oả ng (– 1 ; 0 ), (1 ; + ) ; n gh ịch biế n t rên m ỗi kh oả ng (–  ; – 1), (0 ; 1 ). H àm số đã ch o đ ạt cự c đ ại tại x = 0 , g iá trị cự c đ ại y(0 ) = –1 . H àm số đã ch o đ ạt cự c t iểu tạ i x = 1 , g iá trị cự c t iểu y( 1 ) = – 3 2 · 0,2 5 đ lim x → – y = + , lim x → + y = + . 0, 25 đ B ản g b iến th iên : x – –1 0 1 + y ' – 0 + 0 – 0 + y + + –1 –3 2 –3 2 0, 25 đ Đ ồ t hị (C ) q ua nh ữn g đi ểm (– 2 ; 3) , (2 ; 3 ), n hậ n O y l àm tr ục đ ối xứ ng : 0, 5 đ 1. 2) V iết ph ươ ng tr ình tiế p t uy ến :  = 1 ,0 đ V ì M (x M ; y M )  (C ) v à y M = 3 n ên 3 = 1 2 ·    x M 4 –     x M 2 – 1 0, 25 đ     x M 4 – 2     x M 2 – 8 = 0     x M 2 = – 2 h oặ c     x M 2 = 4  x M = –2 (v ì x M < 0) 0,2 5 đ SỞ GD ĐT T ỈN H Đ ỒN G NA I w w w .ho c2 47 .vn 1. 2) tiế p T iếp tu yế n đã ch o l à t iếp tu yế n c ủa (C ) t ại đ iểm M (–2 ; 3) có p hư ơn g trì nh y = – 12 (x + 2 ) + 3  y = – 12 x – 21 . 0,2 5 đ 2. 1) T ìm gi á t rị nh ỏ n hấ t:  = 1, 0 đ H àm số y = x – e x liê n t ục tr ên [– 2 ; 2] . y ' = 1 ̶ e x 0,2 5 đ y ' = 0  x = 0  [– 2 ; 2] . 0, 25 đ M à y (2) = 2 – e 2 < y (–2 ) = –2 – 1 e 2 < y( 0) = – 1. Vậ y mi n [–2 ; 2 ] y = 2 – e 2 . 0, 5 đ 2. 2) T ín h đạ o h àm :  = 0, 5 đ y = ln( co s2 x)  y ' = 1 co s2 x (co s2 x) ' = –2 tan (2x ),  x   thỏ a c os2 x > 0. 0, 25 đ S uy ra y '     8 = – 2. 0, 25 đ 3. T ìm cá c s ố t hự c x :  = 1, 0 đ 1 00 x + 10 = 10 x + 1 + 10 x      10 x 2 – 1 1.1 0 x + 10 = 0 0,5 đ  10 x = 1 0 h oặ c 1 0 x = 1  x = 0 ho ặc x = 1. Tậ p c ác giá trị cầ n t ìm {0 ; 1 }. 0, 5 đ C ác h 2 : 1 00 x + 10 = 10 x + 1 + 10 x  10 x (10 x – 10 ) – (1 0 x – 10 ) = 0 0, 25 đ  (1 0 x – 10 )(1 0 x – 1) = 0 0, 25 đ  10 x = 1 0 h oặ c 1 0 x = 1  x = 0 ho ặc x = 1. Tậ p c ác giá trị cầ n t ìm {0 ; 1 }. 0, 5 đ 4. T ính bá n k ính , d iện tíc h m ặt cầ u; thể tíc h k hố i c ầu :  = 1 ,0 đ M ặt cầ u ( S) đã ch o c ó b án kí nh r = (6a ) 2 + ( 8a ) 2 = 10 a. 0, 5 đ V ậy m ặt cầ u ( S) đã ch o c ó d iện tíc h b ằn g 4 ( 10 a) 2 = 4 00 a 2 . 0, 25 đ K hố i c ầu (S ) đ ã c ho có th ể t ích bằ ng 4 3 · (10 a) 3 = 40 00 a 3 3 · 0, 25 đ 5. T ính th eo a thể tíc h:  = 1 ,0 đ G ọi D là tr un g đi ểm cạ nh AB . 0, 25 đ (c hư a vẽ E , F, I)  SD  AB (v ì S A = SB nê n  SA B câ n t ại S). V ì S D  (SA B)  (A BC ), ( SA B)  (A BC ) = AB nê n S D  (A BC ). 0, 25 đ D S B A C E F I Ti ếp tu yế n đã ch o c ó h ệ số y ' (–2 ) = –1 2 0,2 5 đ w w w .ho c2 47 .vn 5. tiế p  G óc gi ũa SC và m ặt ph ẳn g ( AB C) là SCD = 60 0 .  SD C vu ôn g t ại D có SD = C D. tan 60 0 = 3a (v ì C D là đư ờn g c ao ta m gi ác đ ều AB C cạ nh 2a nê n C D = a 3 ) . 0, 25 đ T am g iác đ ều A BC cạ nh 2a có di ện tíc h b ằn g a 2 3 . V ậy kh ối ch óp S. AB C có th ể t ích V = 1 3 ·SD .a 2 3 = a 3 3 . 0, 25 đ T ính d( A, (SB C) ):  = 0 ,5 đ d (A , (S BC ) = 2d (D , (S BC ), d o A B = 2 DB . G ọi E, F lần lư ợt là tr un g đi ểm củ a B C, BE  D F / / A E v à A E  BC  D F  BC . M à B C  SD , d o S D  (A BC ). S uy ra B C  (SD F) 0, 25 đ V ẽ D I  SF , I  SF  D I  BC . V ậy D I  (S BC ).  SD F v uô ng tạ i D có 1 DI 2 = 1 DF 2 + 1 SD 2 = 13 9a 2 ; v ì D F = A E 2 = a 3 2 · D o đó d( A, (SB C) = 2D I = 6 a 13 13 · 0, 25 đ 6. 1) C hứ ng m inh hà m số đồ ng bi ến :  = 0, 75 đ H àm số f(x ) = x 3 + x – 1 – 9 xá c đ ịnh tr ên (1 ; + ) . 0,2 5 đ [ f(x )] ' = 3x 2 + 1 2 x – 1 > 0, x > 1. Vậ y f (x) đ ồn g b iến tr ên (1 ; + ) . 0,5 đ 6. 2) T ìm tậ p xá c đ ịnh củ a h àm số :  = 0, 75 đ G ọi D là tập x ác đ ịnh củ a h àm số y = l og 3     x 3 + x – 1 – 9 (1) x  D  x   thỏ a    x  1 x 3 + x – 1 – 9 > 0 (2 ). 0, 25 đ H àm số f(x ) = x 3 + x – 1 – 9 l iên tụ c t rên [1 ; + ) , đ ồn g b iến tr ên (1 ; + ) (c âu 6. 1) ; m à f (2) = 0. 0, 25 đ V ậy (2 )  x > 2. D o đó hà m số (1 ) c ó t ập x ác đ ịnh D = (2 ; + ) . 0, 25 đ 7. 1) T ính S và V:  = 0, 5 đ V ì h ình hộ p c hữ nh ật đã ch o c ó b a k ích th ướ c l à a , b , c nê n: T ổn g d iện tíc h c ác m ặt củ a h ình hộ p c hữ nh ật đã ch o l à: S = 2(a b + bc + ca ). 0, 25 đ T hể tíc h k hố i h ộp ch ữ n hậ t đ ã c ho là V = a bc . 0, 25 đ 7. 2) T ìm gi á t rị lớn nh ất củ a V :  = 0, 5 đ Á p d ụn g b ất đẳ ng th ức gi ữa tr un g b ình cộ ng và tr un g b ình nh ân ch o ha i s ố d ươ ng : 1 2 + 3 (a bc ) 2 = a b + bc + ca + 3 (a bc ) 2   2 ab 2 c + 2 ca 3 (a bc ) 2  4 4 (ab c) 2 . 3 (a bc ) 2 = 4 3 (a bc ) 2 0, 25 đ  V = a bc  8; vớ i m ọi 0 < a, b, c   t hỏ a a b + bc + ca = 12 . D ấu bằ ng xả y r a k hi a = b = c = 2. D o đó m ax V = 8. 0, 25 đ . 3/4 w w w .ho c2 47 .vn . 4 /4 7. 2) tiế p C ác h 2: Áp d ụn g bấ t đ ẳn g thứ c g iữa tr un g bìn h cộ ng v à t run g bìn h nh ân ch o b a s ố d ươ ng : 1 2 = ab + bc + ca  3 3 (a bc ) 2 . 0, 25 đ  V = a bc  8; vớ i m ọi 0 < a, b, c   t hỏ a a b + bc + ca = 12 . D ấu bằ ng xả y r a k hi a = b = c = 2. D o đó m ax V = 8. 0, 25 đ