Luận văn Đặc trưng của môđun cohen–macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số
Cho R là vành địa phương Noether với iđêan tối đại m và M là R môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Cho x = x 1 ; : : : ; x d là hệ tham số của M và q = (x 1 ; : : : ; x d ) là iđêan tham số của M sinh bởi x. Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu d;n = f( 1; : : : ; d ) 2 Z d j i 1; 81 i d; d X i=1 i = d + n 1g và q( ) = (x 1 1 ; : : : ; x d d ) với 8 = ( 1; : : : ; d ) 2 d;n . Ta nói rằng hệ tham số x có tính chất phân tích tham số nếu đẳng thức q n M = T 2d;n q( )M đúng với 8n 1. Vậy khi nào một hệ tham số cho trước của M có tính chất phân tích tham số. Vấn đề này Heinzer, Ratliff và Shah đã chứng minh rằng một dãy các phần tử R chính quy luôn có tính chất phân tích tham số. Sau đó, Goto và Shimoda đã chỉ ra rằng điều ngược lại cũng đúng khi mỗi phần tử của dãy không là ước của không trong R. Hơn nữa, họ còn đưa ra một đặc trưng khác của R với dim R 2; trong đó mọi hệ tham số của R có tính chất phân tích tham số. Ta nói môđun M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi tồn tại một hệ tham số x nào đó sao cho x có tính chất phân tích tham số. Bây giờ, ta hạn chế sự quan tâm của câu hỏi trên cho hệ tham số tốt của M . Khi đó một môđun Cohen-Macaulay dãy có thể được đặc trưng bởi tính chất phân tích tham số của một hệ tham số tốt như thế nào. Nội dung đó được trình bài trong bài báo Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules của tác giả Nguyễn Tự Cường và Hoàng Lê Trường. Bài báo sẽ ra ở tạp chí " Proc. Amer. Math. Soc." Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống và chi tiết kết quả của bài báo trên. Luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" là chương giới thiệu một số kiến thức cơ bản về đại số giao hoán như hệ tham số, dãy chính quy, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay dãy. 4 Chương 2 "Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy" trình bày một số bổ đề từ đó đi đến định lý chính của chương nói về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số và hệ quả của nó. Định lý phát biểu rằng Định lý 2.1.6. Cho (R; m) là vành địa phương Noether. M là R môđun hữa hạn sinh. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy. (ii) Mọi hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số. (iii) Tồn tại hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số. Ngoài ra chương này còn trình bày mối quan hệ giữa môđun Cohen-Macaulay dãy M và biểu thức của hàm Hilbert-Samuel thông qua định lý Định lý 2.2.3. Cho D : D0 D1 : : : Dt = M là lọc chiều của M và đặt Di = Di=D i 1 với mọi i = 1; : : : ; t; D0 = D0 : Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy. (ii) Với bất kỳ iđêan tham số tốt q của M , đẳng thức l(M=q n+1 M ) = t X i=0 n + d i d i l(Di =qD i ) đúng với mọi n 0. (iii) Tồn tại iđêan tham số tốt q của M sao cho đẳng thức l(M=q n+1 M ) = t X i=0 n + d i d i l(Di =qD i ) đúng với mọi n 0. Phần cuối cùng của chương sẽ xây dựng ví dụ nhằm làm sáng tỏ các kết quả chính đã nêu ở trên
