Một giải pháp tiếp cận bài toán thiết lập lịch trình vận tải tối ưu đối với mạng giao thông công cộng có nhiều trung tâm điều hành

MỘT GIẢI PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN THIẾT LẬP LỊCH TRÌNH VẬN TẢI TỐI ƯU ĐỐI VỚI MẠNG GIAO THÔNG CÔNG CỘNG CÓ NHIỀU TRUNG TÂM ĐIỀU HÀNH PHẠM HUY ĐIỂN và PHẠM XUÂN HINH TÓM TẮT. Chúng tôi nghiên cứu bài toán xây dựng lịch trình vận tải tối ưu cho mạng giao thông công cộng với nhiều trung tâm điều hành và đề xuất một giải pháp khả thi dựa trên phương pháp phân rã kết hợp với một quá trình lặp. Mỗi vòng lặp bao gồm hai bước, trong đó mỗi bước là một bài toán tối ưu giải được. I. Đặt vấn đề Mục tiêu cao nhất của một mạng giao thông công cộng thành phố là đáp ứng được các yêu cầu vận tải hành khách do cơ quan quản lý giao thông đô thị đặt ra, trên cơ sở khảo sát nhu cầu đi lại trong thực tế. Yêu cầu này thường được thể hiện dưới dạng một tập hợp các hành trình nối các nút giao thông cơ bản trong thành phố (với tần suất xác định, trong một khoảng thời gian được đặt ra theo kế hoạch). Trong quá trình thực hiện các hành trình này, xe thường phải thực hiện một số hành trình khác không có trong yêu cầu (ví dụ như là đoạn đường từ bãi để xe cho đến điểm đầu của hành trình phục phụ đầu tiên, hay là đoạn đường xe chạy từ điểm cuối một hành trình vừa thực thi xong cho đến điểm đầu của hành trình khác cần thực thi tiếp theo,v.v...). Đây là phần chi phí không sinh lợi, và một trong những mục tiêu quan trọng trong ngành giao thông là giảm thiểu các chi phí này, dựa trên việc sắp xếp hợp lý các lịch trình và việc phân bổ các tuyến về cho các trung tâm điều hành. Trong thực tế, mạng lưới xe bus của một thành phố được hình thành và phát triển qua nhiều giai đoạn, song song với sự phát triển của chính thành phố đó. Cho dù ngay từ ban đầu nó có thể được thiết kế một cách "tối ưu", nhưng trong quá trình vận hành, với sự mở rộng của đô thị và sự tăng trưởng không ngừng của các lực lượng tham gia giao thông, mạng sẽ không thể giữ nguyên cấu trúc "tối ưu" ban đầu, do việc phải bổ sung thêm các hành trình mới (xuất phát từ yêu cầu thực tế). Khi ấy, một yêu cầu tự nhiên được đặt ra là cần tái cơ cấu lại lịch trình (và kèm theo là phân bố lại chỉ tiêu phục vụ của các trung tâm điều hành) để tiếp tục có được tính tối ưu ở mức hợp lý. Thông thường, một phương án tối ưu thực sự cho giai đoạn mới thường khác biệt rất xa so với phương án hiện có, và do vậy sẽ đòi hỏi có những thay đổi lớn trong công tác điều hành và quản lý hoạt động của mạng. Một phương án mới sẽ chỉ là khả thi khi "tính tối ưu" của nó mang lại hiệu quả kinh tế vượt trội so với cái giá phải trả cho việc làm thay đổi về nền nếp quản lý và vận hành (do nó gây ra). Có lẽ đây là một trong những nguyên nhân chính làm cho các "phương án tối ưu" về mặt lý thuyết không dễ được triển khai trong thực tiễn, cho dù việc tìm ra được một lời giải tối ưu như vậy là một công việc vô cùng gian nan (như sẽ thấy trong phần tiếp theo, trình bày về mô hình toán học của bài toán này). Với các đô thị đang trong tiến trình thay đổi như ở nước ta, đặc biệt là khi khả năng dự báo về giao thông còn rất hạn chế, việc tìm một lời giải cho vận hành mạng ổn định trong thời gian dài (như là ở các nước phát triển) có lẽ chưa thể đặt ra, mà vấn đề khả thi hơn là tìm các phương án phục vụ cho vận hành mạng trong khoảng thời gian vừa phải, để rồi tiếp tục có những thay đổi mới. Điều 1 này đòi hỏi phương án đưa ra, ngoài khả năng làm giảm các chi phí không sinh lợi trong quá trình vận hành mạng, không được phép gây ra nhiều xáo trộn về mặt quản lý trong quá trình triển khai (và do vậy không đòi hỏi phải trả đáng kể cho việc này). Mục tiêu của bài báo này là nhằm đề xuất một giải pháp cho việc tìm những lời giải như vậy. II. Mô hình toán học 1. Một số khái niệm và ký hiệu Một trung tâm điều hành hay bến xe (depot) là nơi tập kết xe, từ đó các xe xuất phát đi thực hiện những hành trình đã quy định, và sau khi kết thúc các hành trình trong ngày, các xe lại phải trở về trung tâm. Trong trung tâm điều hành thường có gara phục vụ cho việc sửa chữa và bảo dưỡng định kỳ. Trung tâm điều hành (sau này thường được gọi tắt là trung tâm khi không thể xảy ra nhầm lẫn) được ký hiệu là , và mỗi d có điểm xuất bến là d , điểm nhập bến là d . d + − Tập tất cả các trung tâm phục vụ cho mạng xe bus thành phố được ký hiệu làD , và tập tất cả các điểm xuất bến và điểm nhập bến của các trung tâm này ký hiệu lần lượt là { } { }/ , /D d d D D d d D+ + − −= ∈ = ∈ . Như đã nói, dựa trên kết quả khảo sát nhu cầu đi lại của dân cư trong thực tế, các cơ quan quản lý giao thông thành phố định ra yêu cầu phục vụ đối với mạng giao thông công cộng dưới dạng một tập hợp các hành trình chở khách cần phải thực hiện trong thành phố (sau này còn được gọi là các hành trình bắt buộc). Mỗi hành trình như vậy, được ký hiệu là , có điểm xuất phát (điểm đỗ đầu tiên) với thời gian khởi hành là ,và có điểm đỗ cuối cùng là t với thời gian đến là . Ta ký hiệu T là tập tất cả các hành trình bắt buộc, còn T (T , tương ứng) là tập hợp tất cả các điểm xuất phát (điểm đỗ cuối) của các hành trình t . Như vậy, t t− ts + te − + T∈ { }T t t T− −= ∈ và { }T t t T+ += ∈ . Thực ra, mỗi hành trình t còn được gắn một thuộc tính quan trọng nữa là tải trọng tối đa (liên quan đến số lượng khách mà nó phải chở và do đó liên quan tới chủng loại xe được sử dụng: xe 2 tầng, xe dài có khớp nối, xe lớn, xe tầm trung,v.v...). Đây là thuộc tính được quy định trước, không phải là tham số cần tối ưu hóa, nhưng nó tạo ra ràng buộc vì không phải trung tâm nào cũng có gara phù hợp với loại xe phục vụ cho một hành trình cho trước. Ta ký hiệu tập tất cả các trung tâm điều hành có khả năng phục vụ cho hành trình t là T∈ T∈ ( )G t D⊆ và gọi nó là nhóm các trung tâm có thể phục vụ được cho hành trình t . Ngược lại, mỗi trung tâm điều hành có khả năng đưa xe đi phục vụ cho nhiều hành trình, cho nên ta có tập các hành trình có thể được phục vụ bởi xe của trung tâm điều hành d , ký hiệu là . Như vậy T∈ dT ( ){ }dT t T d G t= ∈ ∈ . Liên quan đến khái niệm này, ta có { }dT t T t T− −= ∈ ∈ d là tập hợp các điểm xuất phát của các hành trình trong tập , còn dT { }ddT t T t T+ += ∈ ∈ là tập hợp các điểm đỗ cuối của các hành trình trong tập . dT Các hành trình chở khách nói chung là không "kế tiếp" nhau về mặt thời gian và vị trí địa lý (điểm đỗ cuối hành trình này không nhất thiết trùng với điểm xuất phát của hành trình khác, về thời gian hay vị trí địa lý), cho nên một chiếc xe muốn thực thi được hơn 2 một hành trình chở khách trong một chu trình làm việc của mình thì phải trải qua những đoạn đường "chuyển tiếp hành trình", không có trong yêu cầu của cơ quan quản lý giao thông. Nói cách khác, trong vận hành của mạng còn có các hành trình không thuộc các hành trình bắt buộc nói trên. Có thể kể ra các hành trình kiểu này ở trên các đoạn đường sau đây: - Cung xuất bến nối điểm xuất bến với điểm xuất phát của một hành trình bắt buộc nào đó. Trên mỗi cung xuất bến có thể có nhiều hành trình được thực thi (vào các thời điểm khác nhau), và được gọi là các hành trình xuất bến. Để đảm bảo cho tính khả thi của các hành trình bắt buộc, người ta giả thiết rằng với mỗi hành trình luôn tồn tại một hành trình xuất bến phù hợp với nó, nghĩa là có thời gian đến điểm t trùng với thời điểm xuất phát của hành trình . d+ t− dt T∈ − t - Cung nhập bến nối điểm nhập bến d với điểm đỗ cuối cùng của một hành trình bắt buộc nào đó. Tương tự như trên ta có khái niệm hành trình nhập bến và kèm theo là giả thiết về sự tồn tại các hành trình nhập bến phù hợp cho mỗi hành trình bắt buộc. − t+ - Cung liên kết nối điểm cuối của một hành trình (tức là ) với điểm xuất phát của một hành trình khác q (tức là q ). Trên cung đường này người ta cần phải thực hiện một "hành trình chuyển tiếp" nếu như muốn thực thi hành trình q sau khi đã thực thi hành trình , bằng chính chiếc xe đã thực hiện hành trình này. Điều này là khả thi khi cặp hai hành trình là tương thích. Cụ thể, ta ký hiệu là khoảng thời gian cần thiết để đi từ tới q . Khi thì ta nói rằng hai hành trình và q là tương thích, và khi ấy ta có thể tạo ra một hành trình liên kết (giữa hai hành trình này) có điểm xuất phát là (với thời điểm xuất phát là ) và điểm kết thúc là q (với thời điểm kết là ). Để thuận tiện cho các lập luận sau này, hành trình liên kết giữa hai hành trình tương thích và q luôn được xem là tồn tại, ngay cả khi (với chi phí có thể là bằng 0). Đại lượng được xem là thời gian chờ chuyển tiếp giữa hai hành trình p và q . Khi thời gian này đủ lớn thì khả năng tương thích là dễ xảy ra. Tuy nhiên, trong thực tế, khi đại lượng này là quá lớn thì việc nối hành trình sẽ là không hiệu quả (vì thời gian chờ để nối là quá lâu, đồng nghĩa với thời gian rỗi của xe và tài xế là quá nhiều). Để tránh phải xét các cặp hành trình "tương thích" mà việc nối chúng không có ý nghĩa thực tế, người ta thường chỉ xét những cặp có thời gian chờ chuyển tiếp không vượt quá một giới hạn nào đó được ấn định trước (tùy tình hình thực tế, người ta có thể chọn giới hạn này trong khoảng từ 40 đến 120 phút). Nếu vượt quá giới hạn này thì người ta cho và xem hai hành trình là không thể kết nối được (điều kiện tương thích không thỏa mãn). p T∈ p+ T∈ − p ,p q T∈ , 0p qΔ ≥ p+ − ,p q q ps eΔ ≤ − p p+ pe − qs p p p+ = − s e− ) q p ,p qΔ = ∞ - Cung nối điểm nhập bến của trung tâm điều hành d với điểm xuất bến của nó, tức là , được sử dụng để cho xe chạy trở lại điểm xuất bến sau khi đã thực hiện xong một lịch trình và về nhập bến, thường được gọi là cung ngược. Các hành trình trên cung ngược sẽ được gọi là các hành trình nội bộ. Giả thiết về sự tồn tại các các hành trình xuất bến và hành trình nhập bến phù hợp với từng hành trình bắt buộc đã nêu ở trên về bản chất chính là giả thiết về sự tương thích của hành trình nội bộ với các hành trình bắt buộc, từ đó có các hành trình liên kết giữa chúng dưới dạng các hành trình xuất bến và hành trình nhập bến. Tuy rằng trên thực tế có nhiều hành trình nội bộ, nhưng vì chúng giống hệt nhau về mặt bản chất và được "cảm sinh" bởi các hành trình bắt buộc, cho nên ta sẽ chỉ dùng một ký hiệu cho mọi hành trình nội bộ. Một ( ,d d− + 0d 3 lý do khác là, đối tượng được quan tâm sau này chính là các hành trình liên kết giữa hành trình nội bộ và các hành trình bắt buộc (hay cũng là các hành trình xuất bến, nhập bến) vốn chỉ được xác định bởi các hành trình bắt buộc mà chẳng phụ thuộc gì vào hành trình nội bộ. Số lượng các hành trình nội bộ được thực thi đúng bằng số các hành trình nhập bến (cũng như số các hành trình xuất bến), vì mọi xe sau hành trình nhập bến phải trải qua hành trình trên cung ngược để trở về điểm xuất bến. Các hành trình trên các cung xuất bến, cung nhập bến, cung ngược hay cung liên kết đều không có trong tập các hành trình yêu cầu của nhà quản lý giao thông (không thuộc tập T ), cho nên xe không có trách nhiệm chở khách và vì vậy ta gọi chúng là các hành trình không tải. Như đã nói, để thực hiện được các hành trình bắt buộc, xe không thể tránh được việc phải trải qua một số hành trình không tải, và người làm lịch trình giỏi chính là người biết cách tối thiểu hóa cái phần hành trình không tải này. Khi không cần phân biệt giữa hành trình không tải và hành trình bắt buộc (có tải) thì ta gọi chung chúng là các hành trình. Trong thực tế, khi một xe xuất phát từ trung tâm đi làm việc thì nó phải trải qua một đoạn đường nào đó để đến với điểm đỗ đầu của hành trình bắt buộc cần thực thi đầu tiên, tức là nó phải thực thi một hành trình xuất bến. Sau khi thực thi hành trình bắt buộc, nếu muốn thực thi tiếp một hành trình bắt buộc khác (tương thích với hành trình vừa qua) nó sẽ phải thực thi hành trình liên kết giữa hai hành trình này. Khi thực thi xong hành trình bắt buộc cuối cùng thì xe phải quay trở lại trung tâm, tức là đi từ điểm đỗ cuối của hành trình này về điểm nhập bến của trung tâm, hay cũng chính là thực thi một hành trình nhập bến. Muốn cho xe tiếp tục đi làm việc vào ngày hôm sau thì xe phải thực hiện một hành trình từ điểm nhập bến đến điểm xuất bến của trung tâm, tức là thực hiện một hành trình nội bộ. Một lần quay vòng xe như vậy sẽ được gọi là một lịch trình chạy xe. Dựa vào thực tế nêu trên, ta đưa ra khái niệm lịch trình triển khai là một chuỗi các hành trình liên tiếp kề nhau, trong đó các hành trình không tải và các hành trình bắt buộc được bố trí đan xen nhau, khởi đầu bằng một hành trình xuất bến và kết thúc bằng một hành trình nhập bến. Sau này, để cho gọn, ta cũng thường gọi lịch trình triển khai là lịch trình. Khi một lịch trình được bổ sung thêm hành trình nội bộ thì ta có một chu trình. Lịch trình được xem là hợp lệ, hay là chấp nhận được, khi có ít nhất một hành trình thuộc tập và tồn tại một trung tâm d có thể phục vụ cho tất cả các hành trình có trong lịch trình này. Mỗi lịch trình như vậy có thể được thực thi bởi một xe của trung tâm đã nói. Sau này, khi nói rằng một hành trình thuộc (hay được phủ bởi) một lịch trình của trung tâm d thì cũng có nghĩa là có một xe của trung tâm d thực thi hành trình đó trong khuôn khổ lịch trình này. Khi ấy ta cũng nói rằng hành trình đó được thực thi theo lịch trình này. Từ đây ta chỉ xét những lịch trình hợp lệ cho nên ta sẽ luôn hiểu lịch trình được đề cập tới là hợp lệ. T Mỗi hành trình được gán một trọng số (hay chi phí) phụ thuộc khoảng cách, thời gian đi, loại xe sử dụng,... Trọng số của hành trình liên kết có thể còn tính thêm thời gian chờ của xe, thời gian nghỉ của lái xe. Trọng số của hành trình xuất bến thường có thêm chi phí sử dụng đầu xe, còn trọng số của hành trình nội bộ thường được cho bằng 0. Dựa trên trọng số của các hành trình người ta tính ra chi phí của cả lịch trình. Nhiệm vụ của người điều hành mạng lưới giao thông công cộng là đưa ra được một phương án triển khai dưới dạng một tập các lịch trình triển khai sao cho mỗi hành trình bắt buộc đều được thực thi đúng một lần, tức là đáp ứng đầy đủ yêu cầu của cơ quan quản lý giao thông thành phố. Ngoài ra, người điều hành giỏi thì không chỉ có được phương án triển khai, mà còn tìm được phương án triển khai tốt nhất, theo nghĩa có giá trị hàm tổng chi phí của các lịch trình là cực tiểu. Có thể đặt ra nhiều hàm mục tiêu khác nhau t T∈ 4 dựa trên cách cho trọng số. Ví dụ, với các hãng vận tải lớn thì mục tiêu chính là sử dụng ít xe nhất có thể. Lý do của việc chọn mục tiêu này là nhằm giảm các chi phí đầu tư lớn vào mua sắm và duy tu, bảo dưỡng các phương tiện giao thông và chi phí lái xe. Với mục tiêu này người ta trường cho trọng số sử dụng đầu xe là đủ lớn. Một mục tiêu khác (thường là đối với các công ty vận tải cỡ nhỏ) là điều hành đội xe hiện có với chi phí vận hành nhỏ nhất. Đồ thị của mạng giao thông công cộng Với mỗi trung tâm điều hành d ta định nghĩa các tập sau: D∈ - ( ){ },bbdA t t t T− += d∈ là tập hợp tất cả các cung đường cần thực hiện (đặt ra trong kế hoạch của cơ quan quản lý giao thông), có thể được phục vụ bởi trung tâm d . - ( ){ },xuatdA d t t+ −= dT∈ là tập hợp tất cả các cung xuất bến (từ trung tâm d ). Tập các hành trình có thể trên các cung này (ứng với các thời điểm khác nhau) được gọi là tập các hành trình xuất bến (của trung tâm d ) và được ký hiệu là . ht xdA − - ( ){ },nhap ddA t d t+ −= T∈ là tập hợp tất cả các cung nhập bến (vào trung tâm d ). Tập các hành trình có thể trên các cung này (ứng với các thời điểm khác nhau) được gọi là tập các hành trình nhập bến (của trung tâm d ) và được ký hiệu là . ht ndA − - ( ){ },, , ,lkd d pA p q p q T e s+ −= ∈ +Δp q q≤ là tập hợp tất cả các cung chuyển tiếp giữa các cặp hành trình tương thích trong tập . Tập các hành trình liên kết (có thể thực hiện trên các cung này) sẽ được ký hiệu là . Lưu ý rằng, giữa hai hành trình tương thích chỉ có duy nhất một hành trình liên kết (như đã nói ở trên), còn trên một cung chuyển tiếp có thể có nhiều hành trình liên kết (được thực hiện vào các thời điểm khác nhau). dT ht lk dA − Như vậy, tập các hành trình không tải mà trung tâm d có thể thực hiện là { }0:ht kt ht x ht n ht lkd d d dA A A A− − − −= ∪ ∪ ∪ d q d d p d . Kết hợp với tập các hành trình bắt buộc ta có tập các hành trình ký hiệu là . Nhờ có các hành trình liên kết, tập có được tính "kề nhau cục bộ" theo nghĩa là mỗi hành trình đều có ít nhất một hành trình q kế tiếp cả về vị trí địa lý và thời gian, cụ thể là có và . Một cặp hành trình như vậy được xem là kề nhau, và khi ấy ta có thể nói là tiền bối của q hay q là kế cận của . Tập tất cả các cặp hành trình kề nhau trong sẽ được ký hiệu là (một tập con của ). Với mỗi hành trình , ta ký hiệu K là tập các hành trình kế cận của . dT ht dA ht dA p p q− += pe s= p p ht dA dK ht ht dA A× ht dp A∈ ( ) p Để hình dung về cấu trúc mạng giao thông, ta có thể thiết lập đồ thị của nó dựa trên các tập cung đường đã định nghĩa ở trên. Trước hết, ta lập đồ thị của mạng do trung tâm quản lý, đó là đồ thị có hướng , với d ( ),d dD V A= { },d d dV d d T T+ − − += ∪ ∪ là tập hợp các đỉnh, ( ,nhapbb xuat lkd d d ddA A A A A d d− += ∪ ∪ ∪ ∪ ) là tập hợp các cung của đồ thị. Đồ thị của toàn mạng sẽ là hợp của tất cả các đồ thị trên, cụ thể hơn , ( ),D V A= 5 với V D là tập các đỉnh và là tập các cung. Ở đây là ký hiệu của phép hợp tháo rời (disjoint union), theo đó nếu có một cung thuộc nhiều tập thì khi "hợp vào" sẽ thành ra nhiều cung riêng biệt (như có thêm chỉ số chỉ tập chứa nó). D T T+ − += ∪ ∪ ∪ − A ) d D dA ∈= i ∪ i ∪ Thông thường, người ta thường xây dựng đồ thị cho từng trung tâm riêng. Để cho dễ phân biệt 2 loại hành trình bắt buộc và không tải, người ta thường biểu diễn các hành trình bắt buộc bằng các cung song song với nhau (cùng hướng) và được nối với điểm nhập bến (hay điểm xuất bến) bằng các cung nhập bến (tương ứng, cung xuất bến) trông giống như hình rẽ quạt. Các cung liên kết chính là các cung "nối chéo" từ đuôi hành trình bắt buộc này sang đầu hành trình bắt buộc khác. Đồ thị cho nhiều trung tâm được ghép từ nhiều đồ thị của từng trung tâm độc lập (xem ví dụ trong hình vẽ, trong đó phía bên phải là đồ thị của từng trung tâm r và g , còn ở phía bên trái là đồ thị của toàn mạng với hai trung tâm). Mỗi hành trình bắt buộc t mà có thể được phục vụ bởi nhiều trung tâm (ví dụ như là ở trong hình vẽ trên) thì sẽ được biểu diễn bởi nhiều cung song song trên đồ thị toàn mạng (với số lượng cung đúng bằng số lượng trung tâm có thể phục vụ cho nó, tức là ( , )a a− + ( ,D V A= ( )G t ). 2. Bài toán thiết lập lịch trình vận tải trong mạng giao thông với nhiều trung tâm điều hành Hàm mục tiêu Hàm mục tiêu (hàm chi phí) được thiết lập trên cơ sở nhận xét sau đây. Với mỗi hành trình không tải ta cho tương ứng với một trọng số , là chi phí vận hành của hành trình a khi được thực hiện bởi xe của trung tâm d . Thêm vào đó, ta bổ sung vào trọng số của mỗi hành trình xuất bến một số đủ lớn, biểu thị chi phí đầu tư cho mỗi đầu xe (số M thường lớn hơn chi phí vận hành trên bất cứ hành trình nào). Chi phí trên các hành trình bắt buộc và các cung ngược là cố định, cho nên có thể không cần xét tới trong bài toán tối ưu, nghĩa là có thể cho chúng bằng 0. (Thực ra, đây là một cách "đơn giản hóa", trong đó người ta xem chi phí phục vụ cho một hành trình bắt buộc là không phụ thuộc vào việc chọn trung tâm nào phục vụ cho nó. Trong trường hợp tổng quát thì chi phí cho một hành trình có thể phụ thuộc vào trung tâm phục vụ nó, và do vậy cùng một hành trình nhưng trong các phương án triển khai khác nhau thì có chi phí khác nhau, điều này kéo theo tổng chi phí trên các hành trình bắt buộc trong các phương án khác nhau có thể là không giống nhau. Tuy nhiên, trong tình huống này, người ta có thể dùng cách chuyển chi phí trên mỗi hành trình bắt buộc sang cho các hành trình không tải kế cận, và khi ấy ch