Một số bài tập cơ học lý thuyết

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT Câu 1. Chất điểm khối lượng m chuyển động với vận tốc đầu 0v từ điểm A theo phương vuông góc với 0OA r= uuur ur (O là gốc tọa độ) dưới tác dụng của lực F Cm r= - ur r (C là hằng số dương). Tìm phương trình quỹ đạo và vận tốc của vật. +) Ta có [ ] [ ] 0 .dLM r mv r F L const dt = = Ù + Ù = Þ = uruur r r r ur r ur uuuuur Do vậy quỹ đạo chuyển động nằm trong một mặt phẳng. +) Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. +) PTCĐ 2 2 ,d r C r dt = - r r trong đó ( ) 0 00 0 , . t t drr r v dt= = æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷çè ø r rr r +) Giải ra ta được 00 cos sin . v r r C t C t C = + r r r +) Phương trình quỹ đạo 2 2 2 2 0 0 1.x yC r v + = +) Vận tốc của vật 2 2 2 2 0 0 0 0sin cos sin cos .v C r C t v C t v Cr C t v C t= - + Þ = + r rr Câu 2. Đĩa tròn nằm ngang có khối lượng M phân bố đều, bán kính của đĩa là .R Đĩa có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng đi qua tâm. Trên mép đĩa có một chất điểm khối lượng .m Ban đầu đĩa và chất điểm quay với vận tốc góc 0.w Tính vận tốc của hệ khi chất điểm dịch chuyển về vị trí cách tâm đĩa một khoảng .r +) Do các ngoại lực tác dụng lên hệ có phương song song với trục quay nên tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ theo trục quay Oz bằng 0, tức là 0.zM = +) Ta có 0.z z dL M dt = = Suy ra .zL const= +) Chọn chiều dương là chiều quay của đĩa lúc đầu. +) Mômen xung lượng của hệ theo phương trục Oz được bảo toàn nên ta có 2 2 2 2 2 0 0 02 2 1 1 ( 2 ) . 2 2 2 M m RMR mR MR mr MR mr +w + w = w + w Þ w = w + Câu 3. Phà và một ôtô đạu trên phà có vận tốc 0.v Sau đó ô tô chuyển động trên phà với vận tốc tương đối u hướng từ đầu phà đến cuối phà. Biết khối lượng của phà là M và khối lượng của ô tô là .m Tính vận tốc của phà khi ô tô đang chuyển động. +) Chọn chiều dương là chiều chuyển động của phà lúc đầu. Xét hệ gồm phà và ôtô. +) Do tổng ngoại lực tác dụng lên hệ theo phương ngang bằng không nên 0 .lx x x dP F P const dt = = Þ = +) Động lượng của hệ theo phương ngang được bảo toàn nên ta có 0 0( ) ( ) . mM m v Mv m v u v v u M m + = + - Þ = + + (với v là vận tốc của phà khi ôtô đang chuyển động). Câu 1. Một viên đạn khối lượng m được bắn đi trong trọng trường đều với vận tốc 0v ur hợp với phương ngang góc .a Lực cản .F mgkv= - ur r Tìm PTCĐ và vận tốc của vật. +) Dễ thấy quỹ đạo cđ của đạn nằm trong một mặt phẳng. Chọn hệ trục Oxy như h.vẽ. +) PT cđộng ,dv g gkv dt = - r rr trong đó 0 0(0) cos , (0) sin , (0) (0) 0.x yv v v v x y= a = a = = +) Chiếu lên Ox, Oy ta được , .yx x y dvdv gkv g gkv dt dt = - = - +) Giải ra ta được ( ) 0 0 0cos 0 0 0 sin 0 cos 1sin sin 1 1 x y v t x kgt xxv v t kgt y y v y dv gk dt v v ev dv v v v egk dt k v k - a - a ìïïï = -ï ìï ï = aï ïï ïï ï æ öÞí í ÷çï ï ÷= a + - a -çï ï ÷ç ÷= çï ï è øï ïîïï -ïïî ò ò ò ò ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 00 0 0 0 coscos 1 1 1 11 sin 1 .sin sin 1 x t kgt kgt y t kgtkgt vdx v e dt x e kg y t v edy v v e dt k kg kk - - -- ìï ìïï aïï = a = -ïï ïï ïï Þí í æ öï ïé ùæ ö ÷çï ï÷ç ÷= - - a -ê ú çï ï÷= a + - a - ÷ç çï ÷ ï ÷çê úç è ø÷çï ïè ø îê úï ë ûî ò ò ò ò Câu 2. Các vật 1 2,m m nối nhau bằng dây không dãn vắt qua ròng rọc, chúng trượt trên nêm vuông góc .m Tính độ dịch chuyển của nêm khi 1m hạ xuống một đoạn .s +) Chọn chiều dương như hình vẽ. Xét hệ gồm các vật 1,m m và 2.m +) Do tổng ngoại lực tác dụng lên hệ theo phương ngang bằng không nên ( ) 0lc d Mv F dt = = (với 1 2M m m m= + + ). Suy ra 0c cv const v= Þ = (do ban đầu hệ đứng yên). Suy ra .cx const= +) Độ biến thiên khối tâm của hệ bằng không, do đó 1 2 1 2 cot ( cot ) ( ) 0 m m m x m x s m x s x s M a + D + D + a + D + = Þ D = - (với xD là độ dịch chuyển của nêm). +) Vậy nêm sẽ chuyển động ngược lại một đoạn 1 2 cot . m m s s M a + D = Câu 3. Phà và một ôtô đạu trên phà có vận tốc 0.v Sau đó ô tô chuyển động trên phà với vận tốc tương đối u hướng từ đầu phà đến cuối phà. Biết khối lượng của phà là M và khối lượng của ô tô là .m Tính vận tốc của phà khi ôtô đang chuyển động. +) Chọn chiều dương là chiều chuyển động của phà lúc đầu. Xét hệ gồm phà và ôtô. +) Do tổng ngoại lực tác dụng lên hệ theo phương ngang bằng không nên 0 .lx x x dP F P const dt = = Þ = +) Động lượng của hệ theo phương ngang được bảo toàn nên ta có 0 0( ) ( ) mM m v Mv m v u v v u M m + = + - Þ = + + (với v là vận tốc của phà khi ôtô đang chuyển động). Câu 1. Một cano khối lượng m bắt đầu chuyển động thẳng trên mặt nước dưới tác dụng của lực kéo không đổi F ur song song mặt nước và lực ma sát trượt có hệ số .kvm= Tìm phương trình chuyển động và vận tốc giới hạn của cano. +) Dễ thấy quỹ đạo cđ của cano nằm trên 1 đường thẳng. Chọn trục Ox như hình vẽ. +) Phương trình chuyển động ,ms F F P Ndv dt m + + + = ur urr rr trong đó 0 0( ) 0,( ) 0.t tv x= == = r rr r +) Chiếu lên trục Ox ta được .dv F kgv dt m = - Giải ra ta có ( ) 2 0 0 11 . 2 v t kgt kgtdv F F F e Fkg dt v e t x t t F kgm m kgm kg mv kgm - - æ ö- ÷ç ÷ç= Þ = - Þ = - ÷ç ÷÷çè ø- ò ò : : Câu 2. Sợi dây khối lượng không đáng kể vắt qua ròng rọc treo 1 2, .m m Ròng rọc là đĩa tròn đồng chất , .m R Xác định gia tốc mỗi vật, bỏ qua ma sát. +) Giả sử ròng rọc quay với vận tốc .w Khi đó 1 2 .v v R= = w +) Mômen xung lượng của hệ là 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 . 2 2 mL J Rm v R m v mR R m R R m R R m m æ ö÷ç ÷= w+ + = w + w + w = w + +ç ÷ç ÷çè ø +) Để ròng rọc quay theo chiều đưa 1m đi xuống thì mômen ngoại lực 1 2 1 2 ( ).P PM M M R g m m= - = - +) Ta có .dL M dt = Suy ra, gia tốc của mỗi vật 1 2 1 2 2( ) . ( 2 2 ) m md g dt R m m m -we = = + + Câu 3. Đĩa tròn đồng chất ,M R bắt đầu lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng .a Tính vận tốc của tâm đĩa khi đĩa lăn xuống được một đoạn s theo phương mặt phẳng nghiêng. +) Độ biến thiên của động năng là 2 2 2 21 1 1 3 . 2 2 2 4d vMv MR Mv R æ ö÷ç ÷D = + =ç ÷ç ÷çè ø (với v là vận tốc của tâm đĩa khi đĩa lăn xuống được một đoạn s ) +) Công của trọng lực là sin .PA Mgs= a +) Áp dụng Định lý biến thiên động năng cho đĩa tròn ta có 23 sinsin 2 . 4 3 gsMgs Mv v aa = Þ =