Một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức Giải tích cho học sinh trung học phổ thông chuyên

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol. 57, No. 10, pp. 26-32 MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG TRONG VIỆC DẠY HỌC TÌM TÒI, KHÁM PHÁ KIẾN THỨC GIẢI TÍCH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN Phạm Sỹ Nam Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An E-mail: phamsynampbc@gmail.com Tóm tắt. Việc tổ chức dạy học theo hướng tìm tòi, khám phá kiến thức cho học sinh (HS) Trung học Phổ thông (THPT) chuyên là điều cần thiết - bởi cách làm này mang mục đích kép vừa hình thành cho HS cách tự học, vừa giúp HS phát huy vốn kiến thức, kinh nghiệm để kiến tạo, phát triển kiến thức cho bản thân. Cách làm này sẽ giúp HS chiếm lĩnh được kiến thức nhiều hơn. Bài viết này tác giả để xuất một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức Giải tích cho HS THPT chuyên nhằm mục đích nâng cao hiệu quả trong dạy học. Từ khóa: Dạy học kiến tạo, dạy học khám phá, dạy học Giải tích. 1. Đặt vấn đề Dạy học tìm tòi khám phá là một phương pháp dạy học trong đó hoạt động học được cấu trúc để khuyến khích người học học cho chính mình, để học, được học và được khám phá. Trong cách dạy học này, tìm tòi là con đường, là tiến trình, còn khám phá là điểm đến, là kết quả. Vì vây, việc tổ chức dạy học theo hướng tìm tòi, khám phá kiến thức cho HS THPT chuyên là điều cần thiết - bởi cách làm này mang mục đích kép vừa hình thành cho HS cách tự học, vừa giúp HS phát huy vốn kiến thức, kinh nghiệm để kiến tạo, phát triển kiến thức cho bản thân. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ sở lý thuyết hình thành cách tiếp cận tìm tòi khám phá Trước hết, việc học của mỗi cá nhân HS là trung tâm của tiến trình dạy học, mà việc học ấy chỉ thực sự diễn ra khi mỗi HS là những thực thể hoạt động kiến tạo hơn là thụ động. Nói cách khác, lí thuyết kiến tạo là một trong những cơ sở lí thuyết của cách dạy học theo hướng tìm tòi, khám phá. Lí thuyết kiến tạo khuyến khích HS tự xây dựng kiến thức cho bản thân mình dựa trên những thực nghiệm cá nhân và áp dụng trực tiếp vào môi trường học tập của các em. Lí thuyết kiến tạo nhấn mạnh vai trò chủ động của người học. Môi trường học tập với 26 Một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức... nhiều loại tiện ích của công nghệ thông tin ngày nay cho phép HS được khám phá và tìm kiếm thông tin, tạo ra các liên kết và kiến tạo tri thức. Triết gia, nhà giáo dục hàng đầu của Mỹ, Mortimer J. Adler, đã khẳng định sự học chân chính xuất phát từ sự phát triển của tâm trí, chứ không phải là sự hình thành ký ức. Sự học chân chính bao gồm sự thu nhập kiến thức và thấu hiểu, chứ không phải chỉ là chấp nhận những ý kiến được quy phạm sẵn. Chính sự thấu hiểu về kiến thức mới đem lại cho người học những ý nghĩa kiến thức đó. Từ đó, nhận ra được vai trò, những ứng dụng của kiến thức đó trong nội bộ toán học và trong thực tiễn. 2.2. Các bước tổ chức thực hiện 2.2.1. Bước 1: Chuẩn bị - GV xác định nội dung kiến thức có thể tổ chức cho HS khám phá. - GV xác định những định hướng khám phá. 2.2.2. Bước 2: Tổ chức thực hiện - GV đưa ra vấn đề và giao nhiệm vụ khám phá. Học sinh tiếp nhận nhiệm vụ. - Học sinh tìm kiếm, khám phá (Nếu HS không giải quyết được nhiệm vụ, GV gợi ý hướng dẫn hay nói cách khác HS khám phá dưới sự hướng dẫn và điều khiển của GV). - Học sinh báo cáo kết qủa trước lớp, có sự chất vấn và thảo luận của cả lớp. - Phân tích và đánh giá kết quả (HS tự đánh giá, GV đánh giá). - Kết luận về kiến thức mới. Có thể mô tả quá trình này bằng sơ đồ sau (Hình 1): Hình 1. Sơ đồ quá trình khám phá 2.3. Một số định hướng trong việc tiếp cận dạy học tìm tòi, khám phá Paul Ernest cho rằng "Các kiến thức khách quan được xác định đồng nhất với một tập hợp các mệnh đề (MĐ) và phát biểu, đó là phần cốt yếu của của kiến thức được diễn đạt bằng ngôn ngữ" [3;50]. Từ đây, để hình thành kiến thức mới, chúng tôi xác định hai hướng tác động: 27 Phạm Sỹ Nam 2.3.1. Hướng thứ nhất: Từ MĐ đúng đã có kiến tạo MĐmới bằng cách sử dụng các phép toán tạo MĐ Cơ sở của hướng tác động: Kiến thức được xác định bởi tập hợp các MĐ, do đó để kiến tạo kiến thức mới, ta có thể kiến tạo các MĐ mới từ MĐ đã cho. Để giúp HS tìm tòi, khám phá theo ý tưởng này chúng tôi thực hiện theo các định hướng sau: Định hướng 1: Xác định "nghĩa của kiến thức" từ đó kiến tạo phương pháp, kiến thức mới. Để hình thành "nghĩa của kiến thức" trong dạy học, điều quan trọng nhất là phải làm cho mỗi tri thức được người học tiếp thu phải có một “nghĩa kiến thức” như thế nào đó đối với họ. Chức năng giáo dục của dạy học được thực hiện chính trong quá trình này. “Nghĩa kiến thức” chỉ có thể được hình thành trong quá trình hoạt động của HS, thông qua hoạt động của HS, thông qua việc nhận ra vai trò của kiến thức đó. Cũng tương tự như đọc một quyển sách, cái hay của quyển sách được cảm nhận bởi người đọc và cảm nhận của mỗi người về cái hay của quyển sách có thể theo những khía cạnh khác nhau. Có thể mô tả quá trình kiến tạo kiến thức theo hình thức này như sau: Kiến thức vừa học → "Nghĩa của kiến thức" → Vận dụng → kiến tạo kiến thức mới Ví dụ: Tổ chức dạy học tìm tòi, khám phá kiến tạo kiến thức mới, phương pháp mới từ định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Trợ giúp của GV (nếu cần): - Có thể sử dụng công thức lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 = f ′(x0) để giải những bài toán gì? (tính giới hạn dạng limx→x0 f(x)− f(x0) x− x0 ) GV đặt vấn đề yêu cầu HS vận dụng phương pháp vừa tìm được để tính giới hạn hàm số dạng lim x→x0 f(x)− f(x0) g(x)− g(x0) trong đó lim x→x0 f(x) = f(x0) lim x→x0 g(x) = g(x0) thông qua việc thực hiện hoạt động, để HS phát hiện ra kết quả lim x→x0 f(x)− f(x0) g(x)− g(x0) = f ′(x0) g′(x0) trong đó g′(x0) 6= 0 28 Một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức... Nếu xét trường hợp đặc biệt f(x0) = g(x0) = 0 thì kết quả trên chính là nội dung quy tắc L’hospitale. Đây là một quy tắc khử dạng vô định 0 0 rất hiệu quả. Bằng việc sử dụng định nghĩa đạo hàm HS có thể giải nhiều bài toán khó mà không cần phải sử dụng nhiều kĩ thuật biến đổi như các phương pháp khác. Chẳng hạn: Tính các giới hạn: I1 = lim x→1 √ 5− x3 − 3√x2 + 7 x2 − 1 I2 = lim x→0 1−√2x+ 1− sinx 3 √ 3x+ 8− x− 2 Xuất phát từ quan niệm "các kiến thức khách quan được xác định đồng nhất với một tập hợp các mệnh đề và phát biểu" ta có một định hướng mới để phát triển kiến thức. Định hướng 2: Tiến hành phát triển mệnh đề. Để phát triển mệnh đề chúng ta sử dụng các cách tạo mệnh đề như: sử dụng các phép kéo theo, phép hội, phép tuyển, phép tương đương, phép phủ định,... Ví dụ: Nội dung lựa chọn để khám phá: Tìm tòi, khám phá kiến thức mới từ định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm: "Hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn) tiến tới x0 thì f(xn) tiến tới L”. Trợ giúp của GV (nếu cần): Nếu xem mệnh đề A là "Hàm số có giới hạn L khi x dần tới x0 ", mệnh đề B là "với mọi dãy (xn) tiến tới x0 thì f(xn) tiến tới L", có thể diễn đạt định nghĩa trên dưới dạng MĐ là "A ⇒ B". Vận dụng các cách tạo MĐ mới từ MĐ trên? GV gợi ý tiếp nếu HS không thực hiện được yêu cầu trên: Có nhận xét gì về MĐ "A⇒ B" và " B¯ ⇒ A¯ "?. Diễn đạt mệnh đề B dưới dạng kí hiệu? Xác định mệnh đề B¯? Kết quả 1: Nếu tồn tại dãy (xn) dần tới x0 mà f(xn)) không dần tới L thì hàm số f(x) không có giới hạn L. Trợ giúp của GV (nếu cần): Có nhận xét gì về giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x0 nếu lim(xn) = x0, lim(x′n) = x0 mà limf(x′n) 6= limf(xn))? Kết quả 2: "Nếu lim xn = x0, lim x′ = x0 mà lim f(xn) 6= lim f(x′n) thì hàm số f(x) không có giới hạn tại x = x0". Định hướng 3: Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức đã được học. Từ mối liên hệ giữa các kiến thức cho phép chúng ta có được những sự diễn đạt mới về một kiến thức, đây là cơ sở để kiến tạo nên kiến thức mới. Ví dụ: Nội dung lựa chọn để khám phá: Tìm mối liên hệ giữa các khái niệm đạo hàm, hàm số liên tục, giới hạn hàm số, giới hạn dãy trên cơ sở đó kiến tạo kiến thức mới. Kết quả: "Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = a 29 Phạm Sỹ Nam ⇒ Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a ⇒ lim x→a f(x) = f(a) ⇒ mọi dãy số xn → a thì lim f(xn)) = f(a)" Từ chuỗi suy luận trên ta có"Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a ⇒ mọi dãy số xn → a thì lim f(xn) = f(a)". Kết quả này là cơ sở chuyển qua giới hạn của các hàm số liên tục. Vận dụng kết quả mới này giúp ta giải quyết được một số vấn đề liên quan đến hàm số liên tục. Chẳng hạn: Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số liên tục f : R → R thỏa mãn f(x2) · f(x) = 1), ∀x ∈ R Việc chuyển qua giới hạn của hàm số liên tục là cơ sở cho những phép biến đổi sau: Với 0 6 x < 1 thì f(x) = f(x4) = f(x4n) do đó lim f(x) = lim f(x4) = lim f(x4n) = f(0) Với x > 1 thì f(x) = f(x 1 4 ) = f(x 1 4n do đó lim f(x) = lim f(x 1 4n ) = f(lim x 1 4n ) = f(1). Đây là những điểm mấu chốt để có được lời giải bài toán. 2.3.2. Hướng thứ hai: Chuyển dịch ngôn ngữ Cơ sở của hướng tác động: Theo Paul Ernest "Phần cốt yếu của kiến thức được diễn đạt bằng ngôn ngữ". Điều này có nghĩa là việc hiểu những kiến thức đó phụ thuộc chủ yếu vào khả năng ngôn ngữ cũng như phần lớn hoạt động xã hội và nhận thức của con người. Mặt khác ngôn ngữ là một kiến tạo xã hội. Vì vậy, để phát triển, hiểu kiến thức có thể xuất phát từ ngôn ngữ, quan tâm đến những biến đổi ngôn ngữ và có thể kiến tạo kiến thức mới xuất phát từ ngôn ngữ. Hình 2. Vị trí tiếp tuyến d tại cực trị Để tìm tòi, khám phá một kiến thức theo định hướng này có thể: Khám phá trực tiếp, hoặc gián tiếp. Khám phá trực tiếp: được tiến hành bằng cách: Từ kiến thức đã biết, bằng các dịch chuyển ngôn ngữ để thu nhận kiến thức mới. Khám phá gián tiếp: Đối với các khái niệm liên quan đến hàm số, giá mang kiến thức của nó là đồ thị hàm số. Vì vậy, có thể tổ chức cho HS phát hiện các kiến thức mới liên quan đến hàm số từ đồ thị của nó. Ví dụ: GV giao nhiệm vụ: Quan sát hình ảnh đồ thị và nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực trị và đồ thị hàm số f(x) trên cơ sở đó khám phá những kiến thức mới (Hình 2). Cần lưu ý rằng, từ những nhận định mà HS quan sát được GV tổ chức cho HS thảo luận, chứng minh, những kết quả khám phá được là những kết quả đã được chứng minh chặt chẽ. Trợ giúp của GV (nếu cần): 30 Một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức... Nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng d và đồ thị đường thẳng d và trục hoành? Hệ số góc của đường thẳng d? Thực hiện chuyển những kết quả quan sát được từ "ngôn ngữ đồ thị" sang "ngôn ngữ hàm số". Kết quả 1: Nếu hàm số đạt cực trị tại x = a và hàm số có đạo hàm tại x = a thì f ′(a) = 0 hay tiếp tuyến tại điểm cực trị của đồ thị hàm số sẽ có phương trình y = f(a). Trường hợp trục hoành tiếp xúc đồ thị ta có kết quả: Kết quả 2: Điều kiện để trục hoành tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x = a là { f(a) = 0 f ′(a) = 0 . Điều kiện có hoành độ a thỏa mãn { f(a) = 0 f ′(a) = 0 cũng có nghĩa hệ{ f(x) = 0 f ′(x) = 0 có nghiệm. Kiểm tra điều ngược lại cũng đúng. Từ đây, ta có kết quả: Kết quả 3: Đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi{ f(x) = 0 f ′(x) = 0 có nghiệm. Bằng cách xét h(x) = f(x)− g(x) và chú ý h′(x) = f ′(x)− g′(x) chúng ta có kết quả mới: Kết quả 4: Hai đồ thị y = f(x), y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ{ f(x) = g(x) f ′(x) = g′(x) có nghiệm. GV dịch chuyển đường thẳng d sao cho không vuông góc với trục tung và yêu cầu HS tiếp tục quan sát (Hình 3). Hình 3. Vị trí của tiếp tuyến d tại điểm có hoành độ bằng a Xét đồ thị hàm số y = f(x) lồi trên (c; b), ta thấy "tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a ∈ (c; b) luôn nằm phía trên đồ thị" có nghĩa là xét cùng hoành độ thì "tung độ của điểm trên tiếp tuyến luôn lớn hơn hoặc bằng tung độ của điểm trên đồ thị", mà tung độ của điểm trên đồ thị chính là f(x), tung độ của điểm trên tiếp tuyến có hoành độ x là f ′(a)(x−a)+f(a) hay ta có bất đẳng thức f(x) 6 f ′(a)(x− a) + f(a), ∀x ∈ (c; b) dấu đẳng thức xảy ra khi x = a. Điều kiện "tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a luôn nằm phía trên đồ thị trong (c; b) cũng có thể thay bằng "đồ thị f(x)lồi trên (c; b). Như vậy ta có kết quả: Kết quả 5:Nếu đồ thị f(x) lồi trên (c; b) thì f(x) 6 f ′(a)(x−a)+f(a), ∀x ∈ (c; b) Kết quả này là cơ sở để HS kiến tạo được rất nhiều bất đẳng thức mới, chẳng hạn, xét hàm số f(x) = ln(x+ √ x2 + 1) trên (0; +∞). Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 3 4 là y = 4 5 x+ln 2− 3 5 ; f ′(x) = − x (x2 + 1) √ x2 + 1 31 Phạm Sỹ Nam 0 nên đồ thị hàm số lồi trên (0; +∞). Do đó ta có: Bài toán: Chứng minh rằng ln(x+ √ x2 + 1) 6 4 5 x+ ln 2− 3 5 , ∀x > 0. Bằng cách làm trên HS có thể sáng tạo được rất nhiều bất đẳng thức khác đồng thời cách làm đó cũng cung cấp cho HS một phương pháp để chứng minh bất đẳng thức. 3. Kết luận Việc tổ chức dạy học theo hướng tìm tòi, khám phá tạo điều kiện phát huy tối đa vốn kiến thức, trải nghiệm, sự sáng tạo ở HS, HS thu nhận được kiến thức nhiều hơn đồng thời cũng hình thành ở HS cách thức để tự học. Tuy nhiên, để thực hiện việc dạy học này thành công thì vai trò của người GV cũng không nhỏ, GV phải có sự tìm tòi, khám phá kiến thức để xác định được những nội dung có thể khám phá được, những con đường có thể kiến tạo kiến thức mới, GV có định hướng giúp HS chứng minh những kết quả thu được từ khám phá là đúng, hoặc có những phản ví dụ để giúp HS nhận ra được những nhận định sai, bên cạnh đó GV cũng phải là người rất hiểu HS, hiểu năng lực của HS để đưa ra những vấn đề phù hợp, có những hướng dẫn, gợi ý phù hợp để kích thích sự tích cực học tập của HS, khai thác tối đa sự sáng tạo của HS. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (chủ biên), 2010. Tài liệu giáo khoa chuyên toán Đại số và Giải tích 11, Nxb Giáo dục, Hà Nội. [2] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), 2009. Giải tích 12 nâng cao. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] Paul Ernest, 1991. The Philosophy of Mathematics Education. The Falmer Press. ABSTRACT Enhanced teaching to enhance analysis and information acquisition among gifted high school students The manner of teaching which encourages student research and the personal dis- covery of information among specialized high school students is very important. This approach has a double purpose in that it helps students learn on their own and encour- ages them to acquire more information and experience. Using this approach, students can do creative work and gain information by themselves. Moreover, this approach will help students learn more than ever. In this article the author suggests enhancing ways of teaching that could result in increased research and discovery in the area of mathematical analysis among students enrolled in gifted high schools. 32