Mức năng lương cơ bản của nguyên tử hiđrô theo phương pháp toán tử

Năm học 2008 – 2009 207 MỨC NĂNG LƯƠNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HIĐRÔ THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ Bùi Nguyễn Ngọc Thúy SV năm 4, Khoa Vật lý GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa 1. Đặt vấn đề Trong cơ học lượng tử bài toán nguyên tử hiđrô là một bài toán đã được giải chính xác. Trong nội dung đề tài này, chúng ta sẽ nghiên cứu một phương pháp mới để tiếp cận với bài toán nguyên tử hiđrô, đó là phương pháp toán tử. Phương pháp toán tử được các nhà lý thuyết nghiên cứu gần đây gặp phải một khó khăn là chưa chọn được một không gian vectơ trực giao thích hợp cũng như còn hạn chế khi mở rộng cho bài toán phức tạp hơn. Phương pháp toán tử trình bày trong nội dung đề tài này dựa trên một hệ cơ sở trực giao  n trong không gian Hilbert của dao động tử điều hòa, qua đó chúng ta có thể biểu diễn Hamiltonian của bài toán nguyên tử hiđrô thông qua các toán tử sinh hủy một cách dễ dàng. Ta đưa Hamiltonian nguyên tử hiđrô về dạng dao động tử gồm các thành phần điều hòa và phi điều hòa ba chiều đẳng hướng x, y, z nghĩa là tách Hamiltonian của bài toán thành hai phần: thành phần µ0H chỉ chứa các số hạng trung hòa xem như ứng với trường hợp dao động tử điều hòa không nhiễu loạn, và thành phần µV xem như là thế nhiễu loạn. Từ đây ta áp dụng lý thuyết nhiễu loạn để giải bài toán vì hiện nay phương pháp nhiễu loạn vẫn là phương pháp ưu việt nhất để giải gần đúng các bài toán trong cơ học lượng tử. Với cách giải mới này chúng ta có thể tìm được các mức năng lượng của nguyên tử hiđrô. 2. Nội dung thực hiện Một số kết quả về năng lượng và hàm sóng của nguyên tử hiđrô mà cơ học lượng tử cho ta. Tìm hiểu tổng quan hình thức luận của toán tử lấp đầy (hay phương pháp toán tử). Áp dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hiđrô, từ đó xác định được mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô. 3. Phương pháp nghiên cứu Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 208 Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử hiđrô 4 2 2 22n me ZE E n     h Ta có mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô 1 13,6E eV  3.1. Hình thức luận toán tử số lấp đầy Ta đặt hai toán tử mới là 1 1ˆ ˆ ˆ 2 1 1ˆ ˆ ˆ 2 ma x i p m ma x i p m                          h h h h Thỏa mãn điều kiện giao hoán tử ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1a a aa a a        . Đặt ˆ ˆ ˆN a a Ta gọi mỗi lượng tử kích thích các dao động của dao động tử được gọi là một phonon. Khi đó thay cho hàm ( )n x , người ta có thể đặc trưng cho hàm này bằng một hàm theo biến độc lập n chính là số phonon ở trạng thái dừng đã cho. Ký hiệu hàm đó bằng n . Ta có +ˆ 1 1 ˆ 1 ˆ a n n n a n n n N n n n       Phép biểu diễn như thế cho các hàm và các toán tử được gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy. Toán tử aˆ tác dụng lên hàm n làm tăng số phonon thêm một đơn vị nên được gọi là toán tử sinh phonon; toán tử aˆ tác dụng lên hàm n làm giảm số phonon một đơn vị nên được gọi là toán tử hủy phonon. Toán tử Nˆ gọi là toán tử số hạt phonon. 3.2. Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hiđrô Xét bài toán nguyên tử hiđro, phương trình Schrodinger theo hệ đơn vị nguyên tử (= m = e =1) được viết    ˆ , , , ,H x y z E x y z   Năm học 2008 – 2009 209 Với ˆ ˆ ˆH T U  ,trong đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1ˆ 2 ˆ T x y z ZU x y z                      Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau 1ˆ 2 a             1ˆ 2 a             với  = x, y, z Với các hệ thức giao hoán ˆ ˆ[ , ] 1a a   ˆ ˆ[ , ] 0a a   ˆ ˆ[ , ] 0a a    ˆ ˆ[ , ] 0a a    Suy ra   ¶ 2 21 1ˆ ˆ ˆ 2 14 4T a a N            Theo phép biến đổi Laplace  2 2 2 2 2 2 0 1 t x y zZ ZU e dt tx y z            Đặt  2 2 21 ˆ ˆ ˆ ˆ2 12 a a a a           2ˆˆ  aA  2ˆˆ    aA µ ˆ ˆ2 1n a a     2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆt x y z t x t y t z x y zS e e e e S S S            với 2ˆ tS e    ¶ 2 ˆ ˆ2ˆ t A A n tS e e            Đưa Sˆ về dạng chuẩn ta có µ    µ 1ˆ ˆˆ ˆ ln 1 2 ( )2 1 1 2 1 22ˆ A ANA A NS e e e e                             ¶   1 ln 1 2 2ˆ .S S e         với   µˆ ˆln 1 21 2 1 2ˆ A ANS e e e                 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 210 µ 1 0 2 . 1 1 1 x y z S ZU dt t t tt                                   Khai triển Taylor ta được µ  µ  µ  0 0 0 1 1 1ˆ ! ! ! n m l n m l n m l S u A v N u A n m l                 Với 1 2 ln(1 2 ) u v                 Tiến hành tách số hạng trung hòa 0 1ˆ ˆ ˆS S S    µ  µ  µ  µ    µ  2 2 0 2 2 1 1 1 1 1 1ˆ 1 . . ! ! ! ! n nn n nmn n n m n m S v N u A A u A v N A n n n m                                     µ µ  µ  µ  µ 1 0 1 1 0 1 1 1 1 ! ! ! ! kn i n n i k n n i k n S v N u A u A v N n i k n                      µ  µ  µ  1 0 1.. 1 1 1 ! ! ! k n i k n i k n i k i u A v N u A k n i                Ta đưa bài toán nguyên tử hiđrô về bài toán dao động tử điều hòa ba chiều đẳng hướng x, y, z. Ta có thể viết Hamiltonian dưới dạng µ µ µ 0 H H V  Trong đó µ 0 H chỉ chứa các số hạng trung hòa, ta xem như là Hamiltonian ứng với bài toán không nhiễu loạn; µV xem như là thế nhiễu. µ µ  0 0 0 0 1 , , 0 2 1 2 1 4 1 1 1 x y z x y z x y z S S SZH N dt t t tt                                     µ $  $  0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 122 1 0 2 1 4 1 1 1 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S SZV a a dt t t tt                                             Năm học 2008 – 2009 211 3.3 Tìm yếu tố ma trận của 0 1ˆ ˆ;S S  µ 1 2 2 1 2 20 2 1 1 0 1 1 11 ( ). ( 2 ) ! ! n n n n n n k n n n S k v k u k k n n n                                            1 2 2 1 2 2 2 1 0 1 1 1 1( ). ( 2 ) . ( 2 ) ! ! n n n m m n m u k k n v k n n m                                          1 1 2 1 22 2 1 , 2 , 2 0 1 0 1 1 0 1 1 1 12 ( ) . ! ! ! ! i k nn i k n n n k i n k k n i k n n S k v u k k i u k v k n i k n                                                     1 2 1 2 2 , 2 2 1 0 0 1 1 1 1 ( ) ( 2 ) ( 2 ) ! ! ! i k k n i n n k i k k n i k u v u k k i k i k n i                                     3.2 Tính (0)0E µ µ  0 0 0 0(0) 0 1 , , 0 2 000 0001000 000 000 2 1 000 4 1 1 1 x y z x y z x y z S S SZE H N dt t t tt                                   Khi không có trường ngoài thì x y z      , ta tính được (0)0 3 2 4 E      3.3.1 Bổ chính bậc nhất của mức 0E (1)0 000 000 0E V  (Do thế nhiễu V không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma trận trên đường chéo chính của V bằng 0). 3.3.2 Bổ chính bậc hai của mức 0E được xác định bởi công thức 2 2 2 2 (2) 0 (0) (0) 1 000 0 000 x y z x y z x y z k k k k k k k V k k k E E E        2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 100 000 010 000 001 000 100 000 010 000 001V V V E E E E E E              Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 212 2 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 200 000 020 000 002 000 110 000 101 000 011 000 200 000 020 000 002 000 110 000 101 000 011V V V V V V E E E E E E E E E E E E                    2 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 300 000 030 000 003 000 120 000 102 000 012 000 300 000 030 000 003 000 120 000 102 000 012V V V V V V E E E E E E E E E E E E                 {  {  {  {  {  { 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 021 000 210 000 201 000 111 4 5 6 7 8 16 000 021 000 210 000 201 000 111 ... ... ... ... ... ... ... bac bac bac bac bac bac V V V V E E E E E E E E                   Trong quá trình tính các yếu tố ma trận của V ta thấy rằng 000 0x y zV k k k  nếu k lẻ. Ngoài ra cần chú ý tính chất đối xứng, ví dụ 000 200 000 020 000 002V V V  . Từ đó ta suy ra 2 2 2 2 2 (2) 0 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 200 000 400 000 220 000 600 000 420 2 4 000 200 000 400 000 220 000 600 000 420 3 3 3 3 6 bac bac V V V V V E E E E E E E E E E E                             1 4 44 2 4 4 43 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 43 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 222 000 800 000 620 000 440 000 224 8 000 222 000 800 000 620 000 440 000 422 3 6 3 3 bac V V V V V E E E E E E E E E E                     1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 1000 000 820 000 640 000 622 000 442 10 000 1000 000 820 000 640 000 622 000 442 3 6 6 3 3 bac V V V V V E E E E E E E E E E                 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 1200 000 1020 000 840 000 660 000 822 000 1200 000 1020 000 840 000 660 000 822 3 6 6 3 3 V V V V V E E E E E E E E E E              2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 642 000 444 000 1400 000 1220 000 1040 000 642 000 444 000 1400 000 1220 000 1040 6 3 6 6 V V V V V E E E E E E E E E E                  Năm học 2008 – 2009 213 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 860 000 1022 000 842 000 662 000 644 000 860 000 1022 000 842 000 662 000 644 6 3 6 3 3 V V V V V E E E E E E E E E E               + 2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 1600 000 1420 000 1240 000 1060 000 880 000 1600 000 1420 000 1240 000 1060 000 880 3 6 6 6 3 V V V V V E E E E E E E E E E              2 2 2 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 1222 000 1042 000 862 000 844 000 664 000 1222 000 1042 000 862 000 844 000 664 3 6 6 3 3 V V V V V E E E E E E E E E E              * Trước hết ta tính các yếu tố ma trận của V, ví dụ ta cần tính 000 200V Ta có 00 2 0S  00 0 1S  10 0 0S  µ  µ 1 0 1 1 10 2 0 2 ! ! n i n i n i S v N u A n i            Do µ $$ $2 2 2 1 2 0A a a a      nên với 2i  thì 10 2 0S  1i  µ  µ µ 1 0 0 1 10 2 0 2 0 2 0 0 ! ! n n n n n n S v N u A v N u n n n                (Vì với 1n  thì 10 2 0S  vì µ 0 0 0N  ) 10 2 2 0 0 2S u u     Ta viết lại thành phần động năng trong 000 200V $  $  221 2000 200 4 4 x a a                    1 0 0 02 00 00 1 0 2 2000 200 . 4 1 1 1 x y z x x y z S S SZV dt t t tt                                Nếu không có trường ngoài x y z      ta có ;1 2 2x tu u          Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 214 1 2 5 0 2 2 2 2 2000 200 4 4 3(1 2 ) V d                 * Tính (0) x y zn n n E trong trường hợp không có trường ngoài, ví dụ ta tính (0)200E µ µ  0 0 0 0(0) 200 1 , , 0 2 200 2001200 200 200 2 1 200 4 1 1 1 x y z x y z x y z S S SZE H N dt t t tt                                    Thành phần động năng trong (0)200E µ    , , 1 1200 2 1 200 5 4 4 x y zx y z N           Ta có µ  µ  µ  20 2 2 1 12 2 2 1 2 2 ! n vn x n S v N u A A e u n                   20 0 0 0 0 0 2 11 200 200 2 2 0 0 0 0 2xvx y z x y z xS S S S S S e u   14 2 4314 2 43 Nếu không có trường ngoài 3 2 (0) 200 1 7 7 0 02 2 2 7 2 1 7 2 22 (1 4 2) 4 4 15(1 2 ) (1 2 ) E d d                          * Sau khi thay các yếu tố ma trận của V và các mức năng lượng ứng với trường hợp không nhiễu loạn ta tính được mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hiđrô tính đến bổ chính bậc hai (0) (2) 0 0 0E E E  Ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô theo thông số biến phân  0 0 0,5984563248 d E d      Thay  vào 0E ta có được mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô trong hệ không thứ nguyên 0E = -0,4996721656 Khi quy ra hệ có đơn vị ta có 0 13.6E eV  . 4. Kết luận Như vậy, phương pháp toán tử kết hợp với việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn giúp chúng ta xác định được mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô tới độ chính xác cần thiết, bước đầu cho thấy sự tiện dụng của phương pháp. Điều Năm học 2008 – 2009 215 này cho thấy khả năng áp dụng phương pháp toán tử cho các bài toán không nhiễu loạn như nguyên tử hiđrô trong trường ngoài có độ lớn trung bình. Do đó có thể mở rộng phạm vi áp dụng của phương pháp này cho các bài toán phức tạp hơn như bài toán nguyên tử hiđrô trong từ trường - hiệu ứng Zeeman, trong điện trường - hiệu ứng Stark; bài toán phân tử nhiều nguyên tử hay bài toán tinh thể... trong khi các phương pháp nghiên cứu khác chưa tiếp cận được. Đây là ưu điểm của phương pháp toán tử. Khi sử dụng phương pháp này, chúng ta đã xem cơ sở không gian của nguyên tử hiđrô và của dao động tử điều hòa là tương đương nhau, từ đó thu được những kết quả gần đúng tương đối chính xác về năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô. Trong chương 3 khi chúng tôi tính đến bổ chính bậc 3 theo nhiễu loạn cho mức năng lượng cơ bản, kết quả cho độ chính xác cao hơn. Từ đó cho thấy chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ và có thể tính chính xác đến bậc tùy ý. Tuy nhiên, phương pháp này còn một số vấn đề cần làm rõ như giá trị các mức năng lượng cao hơn cũng như bậc suy biến của chúng. Đó cũng chính là hướng phát triển của đề tài. Ngoài ra khi xét bài toán nguyên tử hiđrô trong trường ngoài có độ lớn trung bình, không thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn được, thì phương pháp toán tử tỏ ra hiệu quả. Từ các kết luận trên, trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu việc áp dụng phương pháp toán tử này cho các bài toán tiếp theo. Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 216 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử. NXB Đại học Sư phạm, 2000. [2]. Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử. NXB Khoa học và Kĩ thuật, 1996. [3]. Nguyễn Khắc Nhạp, Cơ học lượng tử. Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2002. [4]. Thái Khắc Định, Tạ Hưng Quý, Vật lý nguyên tử và hạt nhân. NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2007. [5]. Vũ Hoàng. Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2006. [6]. Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử. Đại học Sư phạm Hà Nội, 1996. [7]. L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Course of theoretical physics Volume 3 - Quantum mechanics Non - Relativistic theory. Copyright 1997 Pergamon press Ltd. [8]. David J. Griffiths, Intoduction to Quantum Mechanics, McGraw Hill, New York, 1992.