Phát triển năng lực mô hình Hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung Hình học 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 71 (05/2020) No. 71 (05/2020) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: 97 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÌNH HỌC 10 Developing mathematical modeling competence for students through teaching geometry content grade 10 TS. Phạm Thị Thanh Tú(1), Trần Thị Hồng Nhung(2) (1)Trường Đại học Sài Gòn (2)Học viên cao học Trường Đại học Sài Gòn TÓM TẮT Chương trình giáo dục phổ thông (chương trình tổng thể) 2018 đã chỉ rõ năng lực mô hình hóa toán học là một trong năm năng lực mà giáo viên toán cần phải hình thành và phát triển cho học sinh. Bài báo trình bày một nghiên cứu cụ thể tại Trường Trung học phổ thông Bà Điểm (gồm 44 học sinh) đã được thực hiện 3 biện pháp: hình thành tri thức mới cho học sinh thông qua hoạt động khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn; tăng cường xây dựng các tình huống gắn với đời sống thực tiễn để học sinh giải quyết; tổ chức cho học sinh khai thác, vận dụng kiến thức đã học dựa trên các đồ dùng được làm từ vật liệu có sẵn trong cuộc sống thường ngày. Kết quả nghiên cứu cho thấy học sinh phát huy được khả năng sáng tạo và vận dụng được vào thực tiễn hay nói cách khác, năng lực mô hình hóa toán học của học sinh đã được cải thiện. Các biện pháp này hoàn toàn có thể ứng dụng cho lớp 10. Từ khóa: mô hình hóa toán học, năng lực mô hình hóa toán học, hình học 10 ABSTRACT General education program (master program) 2018 has shown that mathematical modeling competence is one of the five competencies that math teachers need to shape and develop for students. A specific study at Bà Điểm High School with 44 students has taken 3 measures: creating new knowledge for students through surveying activities of one or many separate cases taken from Practice; strengthen the construction of real-life situations for students to solve; organize for students to exploit and apply the learned knowledge based on the utensils made from materials available in daily life. The results show that the application of the measures above has improved the mathematical modeling capacity for students. These measures are perfectly applicable for grade 10. Keywords: geometry grade 10, mathematical modeling, mathematical modeling competency 1. Mở đầu Toán học đã xuất hiện ngay từ những ngày đầu bình minh của lịch sử nhân loại. Trải qua nhiều thập kỷ, toán học vẫn không ngừng vận động và phát triển. Ngày nay, toán học đã phát triển một cách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc. Những phát minh mới của toán học xuất hiện hàng ngày, hàng giờ với rất nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay toán học không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào Email: tranthihongnhung.1771995@gmail.com SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 98 hoá học, sinh học và nhiều ngành khoa học xã hội nữa. Ở nước ta, cố Thủ tướng Phạm Văn Đồng từng nói: “Trong phương hướng phát triển khoa học kỹ thuật ở nước ta có những ngành có thể và cần phải làm sớm, mà làm sớm được thì rất tốt. Ví dụ như ngành toán học, trong đó có vận trù học, có phương pháp PERT” [1]. Trong Thông báo khoa học Trường Đại học Văn Hóa Hà Nội (04/1999) với bài viết có tiêu đề “Toán học và thực tiễn đời sống” [1], Đoàn Phan Tân khẳng định: “Toán học là một khoa học rất trừu tượng lại có tác dụng to lớn với thực tiễn, tác dụng của nó đối với đời sống sản xuất và khoa học kỹ thuật là vô cùng to lớn”. Tuy nhiên, việc chuyển đổi các vấn đề thực tiễn sang toán và ngược lại, sử dụng kết quả toán để giải quyết các vấn đề thực tiễn trên thực tế là rất khó thực hiện, đặc biệt là đối với học sinh (HS) lớp 10 vì ở thời điểm này các em chưa được tiếp xúc nhiều với các dạng toán thực tế. Thực trạng này được nghiên cứu và phân tích cụ thể với công trình về thực trạng năng lực mô hình hóa (MHH) toán học của HS trung học phổ thông (THPT) của tác giả Lê Hồng Quang [2]. Trong đó, tác giả đưa ra nhận định rằng: “Dạy học MHH toán học trong nhà trường phổ thông tại Việt Nam giai đoạn tới là đầy triển vọng”. Do đó, để hỗ trợ cho HS trong việc chuyển đổi này chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc phát triển năng lực MHH toán học thông qua các tiết dạy hình thành tri thức mới thuộc chương trình Hình học 10. Ở đây, chúng tôi chọn làm MHH Hình học 10 thay vì Hình học 11 hay Hình học 12, vì ở lớp 10 HS không bị áp lực về thời gian và thi cử, hơn nữa Hình học 10 cũng có nhiều nội dụng thuận lợi để chúng tôi thực hiện các biện pháp. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Mô hình hóa toán học Tại hội nghị của Freudental năm 1968, MHH toán học trong giáo dục lần đầu tiên được xuất hiện một cách chính thức. Nhưng một cột mốc quan trọng của việc đưa MHH vào nhà trường phải kể đến chính là nghiên cứu của Pollak năm 1979. Theo đó, ông cho rằng giáo dục toán học trước hết phải có nhiệm vụ dạy cho HS cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày. Chính vì lí do đó mà hội nghị quốc tế về dạy học MHH toán học và áp dụng International Commission on Mathematical Instruction (ICTMA) được tổ chức hai năm một lần với mục đích thúc đẩy khả năng vận dụng phương pháp MHH trong dạy học toán ở trường phổ thông. MHH giúp rèn luyện cho HS những kĩ năng toán học cần thiết, kỹ năng giải quyết vấn đề, kỹ năng hợp tác và nghiên cứu, phát triển tư duy logic và nhận thức ở mức độ cao. Hoạt động này giúp tăng cường sự gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế giới bên ngoài, từ đó giúp HS thấy được vẻ đẹp, cấu trúc và ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Nhằm giúp HS hiểu sâu và nắm chắc kiến thức toán học trong nhà trường [3]. Có nhiều định nghĩa và mô tả khác nhau về khái niệm MHH toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả có sự lựa chọn khác nhau. Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi sử dụng khái niệm MHH toán học theo Lâm Thùy Dương [4] và Xviregiev [5]: “MHH toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học. Cụ thể, MHH toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học và ngược lại, cùng với các yếu tố liên PHẠM THỊ THANH TÚ - TRẦN THỊ HỒNG NHUNG TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 99 quan đến quá trình đó: từ bước xây dựng lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, làm việc trong một môi trường toán học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tiễn và điều chỉnh mô hình cho đến khi có được kết quả hợp lí”. Quá trình MHH toán học được trình bày trong chương trình đánh giá HS quốc tế PISA theo sơ đồ gồm các bước sau đây [4]: Bước 1, bắt đầu từ một vấn đề thực tế được đặt ra trong thế giới thực; Bước 2, nhận ra các kiến thức toán học phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm toán học; Bước 3, không ngừng cắt tỉa, chọn lọc các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán thể hiện cho tình huống; Bước 4, giải quyết bài toán; Bước 5, làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác định những hạn chế của lời giải. Sơ đồ thể hiện rất rõ mối liên hệ giữa thế giới thực và thế giới toán học thông qua việc chuyển từ tình huống thực tiễn thành một vấn đề toán học và việc chuyển lời giải toán học thành lời giải thực tiễn. Do đó, việc dạy học gắn liền với thực tiễn về thực chất là dạy cho học sinh tự mình thực hiện được 4 giai đoạn gồm: Chuyển tình huống thực tiễn thành tình huống toán học; giải quyết bài tập toán học; chuyển các kết quả của bài tập toán thành kết quả của lời giải thực tiễn; kết luận cho vấn đề thực tiễn ban đầu. 2.3. Năng lực mô hình hoá toán học Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa và quan điểm khác nhau về năng lực MHH toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục. Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng quan điểm về năng lực MHH toán học của Bloomhoj và Jensen như sau: Năng lực MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH trong một tình huống cho trước [6]. Các biểu hiện của năng lực MHH được thể hiện qua việc: [7] + Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, v.v.) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn. + Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; + Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. Từ khái niệm trên theo chúng tôi thấy, đối với HS trung học phổ thông, năng lực MHH thể hiện thông qua việc: Thế giới thực tế Lời giải thực tế Lời giải toán học Vấn đề thực tế Vấn đề toán học Thế giới toán học SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 100 + Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ...) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn; + Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; + Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa...) để đưa đến những bài toán giải được. Từ những mô tả trên, theo chúng tôi, để bồi dưỡng và phát triển năng lực MHH toán học trong dạy học Hình học 10, giáo viên (GV) cần chú trọng vào những thành tố cơ bản sau để bồi dưỡng và phát triển cho HS: + Kiến thức, kỹ năng liên quan đến toán học để giúp HS phát triển kỹ năng kết nối chúng nhằm giải quyết những vấn đề thực tế; + Sử dụng các biểu diễn toán; + Phân tích các biểu diễn; + Thấu hiểu được sự kết nối giữa toán học và thực tế. 8 kỹ năng thành phần của năng lực MHH toán học bao gồm: (1) Đơn giản hóa giả thiết; (2) Làm rõ mục tiêu (yêu cầu của đề bài); (3) Thiết lập vấn đề toán học; (4) Xác lập biến số, hằng số (kèm theo điều kiện); (5) Thiết lập mệnh đề toán học; (6) Lựa chọn mô hình; (7) Biểu diễn mô hình bằng đồ thị; (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Các cấp độ trong năng lực mô hình hóa của học sinh (theo Ludwig và Xu [6]) Mức Các kỹ năng có thể thực hiện Biểu hiện của HS Mức 0 HS đọc không hiểu tình huống, không thể viết, vẽ hay phác thảo những gì liên quan tới vấn đề, ngộ nhận bởi các tình huống gây nhiễu. Mức 1 HS chỉ hiểu được tình huống thực tiễn theo bối cảnh, nhưng không cấu trúc lại hoặc chưa tìm ra được mối liên hệ giữa các giả thiết với nhau, không thể tìm được sự kết nối với một ý tưởng toán học nào. Mức 2 HS cần đạt 2 kỹ năng MHH (1) và (2) Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh biết tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng chưa biết chuyển đổi thành vấn đề toán học. Mức 3 HS cần đạt được các kỹ năng (1), (2), (3) và (4) Không chỉ tìm ra mô hình thật mà còn phiên dịch nó thành vấn đề toán học, nhưng vẫn chưa thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giới toán học. Mức 4 HS cần đạt được các kỹ năng (1), (2), (3), (4), (5), (6) và (7) HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ các tình huống thực tiễn, làm việc với bài toán đó với các kiến thức toán học và có cho ra được kết quả cụ thể. Mức 5 HS cần đạt được tất cả 8 kỹ năng thành phần nói trên HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho. PHẠM THỊ THANH TÚ - TRẦN THỊ HỒNG NHUNG TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 101 Theo các căn cứ ở trên, chúng tôi cho rằng cách tốt nhất để phát triển năng lực MHH cho học sinh là tạo cơ hội để học sinh được thường xuyên rèn luyện các kỹ năng thành phần của năng lực này. Từ đó, chúng tôi đề xuất các biện pháp phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học nội dung Hình học 10. 2.3. Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung hình học lớp 10 Nghiên cứu được tiến hành ở lớp 10A4 (44 HS) Trường THPT Bà Điểm. Kết quả nghiên cứu cho thấy, có 38/44 HS cảm thấy tiết học hứng thú, 34/44 HS có tiến bộ về năng lực mô hình hóa và khả năng vận dụng vào thực tiễn, 20/44 HS phát huy được khả năng sáng tạo. Qua nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy có ba biện pháp đạt hiệu quả nổi trội hơn hẳn chưa từng được đề xuất trước đây. 2.3.1. Biện pháp 1, hình thành tri thức mới cho học sinh thông qua khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và phản ánh thực tiễn. Những nội dung toán thường có tính trừu tượng, khái quát, nên khi học các tri thức mới, HS lớp 10 ít thấy sự liên hệ của chúng với thực tế. Do đó, tổ chức dạy học thông qua việc khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn sẽ giúp HS thấy được mối liên hệ giữa toán và thực tế, qua đó tạo nguồn cảm hứng và động lực cho họ tiếp cận kiến thức và hình thành tri thức mới. Với đề xuất này, chúng tôi đưa ra các trường hợp riêng từ thực tiễn nhằm đơn giản hóa những tri thức trừu tượng, thu hẹp khoảng cách giữa lý thuyết và thực tiễn, từ đó hình thành tri thức mới cho HS. Ví dụ 1. Để dạy định lí côsin trong tam giác cho HS, GV có thể tổ chức như sau: Hoạt động 1, GV đưa ra một tình huống gắn với thực tiễn: Hai chiếc tàu đánh cá cùng xuất phát từ một bến cảng A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau thành góc 600. Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? (1 hải lí  1,852 km). Để giúp HS giải quyết tình huống trên, GV có thể hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động sau: Câu hỏi gợi ý 1, mô tả tình huống trên thông qua hình vẽ. Câu trả lời mong đợi (CTLMĐ): sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Khi đó, tình huống được mô tả lại như Hình 1. Hình 1 Câu hỏi gợi ý 2, quan sát hình vẽ trên, các em cho biết đã từng giải bài toán nào tương tự bài toán này chưa? CTLMĐ: bài toán trong [9]. Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 2), khi đó áp dụng định lí Py-ta-go ta có: 2 2 2BC AC AB  hay 2 2 2 .BC AC AB  (*) Ta có thể chứng minh đẳng thức (*) như sau: 2 2 2 2( ) 2 .BC AC AB AC AB AC AB     2 2 .AC AB  SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 71 (05/2020) 102 Hình 2 Trong chứng minh chúng ta vừa thực hiện, giả thiết góc A vuông được sử dụng như thế nào? CTLMĐ: Â 0=90 cos Â =0 2 . 0 AC AB Câu hỏi gợi ý 3, trong bài giải trên, ta đã sử dụng phương pháp nào để giải? CTLMĐ: phương pháp vectơ Câu hỏi gợi ý 4, tương tự bài toán trên, các em hãy giải bài toán đã đưa ra ở trên và CTLMĐ như sau: Ta có             2 2 2 2 2 2 2 2 . 30 40 2.600 1300. BC BC AC AB AC AB AC AB Suy ra 1300 36 BC (hải lí). Vậy sau 2 giờ hai tàu cách nhau 36 hải lí. Phân tích: - Câu hỏi gợi ý 1 giúp HS sử dụng các biểu diễn toán, nhận ra biến số và cấu trúc toán ẩn sau tình huống để thiết lập mô hình. - Câu hỏi gợi ý 2, 3 và 4 nhằm dẫn dắt HS hướng đến việc sử dụng phương pháp vectơ để tính độ dài cạnh BC. Thông qua việc tính độ dài cạnh BC bằng phương pháp vectơ, HS khám phá ra tri thức mới tổng quát hơn là “tính độ dài một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó. Tuy nhiên, lúc này bài toán mới dừng lại ở một trường hợp riêng là “tính độ dài cạnh BC khi biết 2 cạnh còn lại AB = 40, AC =30 và Â = 600” nên sau đó, GV cần tổ chức thêm khái quát hóa để nâng lên thành bài toán tổng quát. Hoạt động khái quát hóa được tổ chức như sau: Hoạt động 2, các em hãy giải bài toán tổng quát sau: “Cho tam giác ABC, biết hai cạnh ,AB c AC b  và Â  . Tính độ dài cạnh BC”. CTLMĐ: tương tự hoạt động 1, ta có             2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 . . os . BC BC AC AB AC AB AC AB b c b c c Suy ra 2 2 2 . . os .BC b c b c c    Trên cơ sở giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát trên, GV đề nghị HS làm các bài tương tự như: Bài 1, “cho tam giác ABC, biết hai cạnh ,AB c ,BC a và  . Tính độ dài cạnh AC ”. Bài 2, “cho tam giác ABC, biết hai cạnh ,BC a AC b và  . Tính độ dài cạnh AB”. Sau khi HS giải quyết hết các bài toán tổng quát đã nêu, GV tiếp tục tổ chức cho HS hoạt động sau: Hoạt động 3, thiết lập công thức tổng quát tính một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó. Hoàn thành hoạt động 3, HS hình thành tri thức mới là định lí côsin trong tam giác ABC với BC = a, CA = b và AB = c, ta có: PHẠM THỊ THANH TÚ - TRẦN THỊ HỒNG NHUNG TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN 103 2 2 2 2 cos ;a b c bc A   2 2 2 2 cos ;b c a ca B   2 2 2 2 cos .c a b ab C   Hoạt động 4, phát biểu bằng lời công thức tính một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó và CTLMĐ: “Trong tam giác, bình phương một cạnh thì bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ cho hai lần tích của hai cạnh đó nhân với côsin của góc xen giữa hai cạnh đó”. Nhận xét: Thông qua hoạt động khảo sát một trường hợp riêng (tình huống lấy từ thực tiễn là tình huống tính khoảng cách giữa 2 tàu đánh cá sau 2 giờ rời bến cảng A) của bài toán: “Tính độ dài cạnh BC của tam giác ABC khi biết hai cạnh 40,AB  30AC  và 0”, GV giúp HS tự hình thành tri thức mới là định lí côsin trong tam giác bằng cách tổ chức cho họ hoạt động khái quát hóa bài toán từ trường hợp riêng thành bài toán tổng quát: “Cho tam giác ABC, biết hai cạnh ,AB c AC b  và  . Tính độ dài cạnh BC ”. Sau yêu cầu “thiết lập công thức tổng quát tính một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó”, hoạt động cuối cùng là GV đề nghị HS phát biểu bằng lời công thức tính một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó để củng cố kiến thức mới học. 2.3.2. Biện pháp 2, tăng cường xây dựng các tình huống gắn với thực tế để học sinh giải quyết Để phát triển năng lực MHH toán học cho HS, GV cần tạo điều kiện cho họ thực hiện các hoạt động có liên quan thông qua quá trình dạy học khái niệm mới, dạy học định lý, các công thức, quy tắc, giải bài tập toán.v.v. Việc thường xuyên tổ chức cho HS thực hiện các hoạt động chuyển đổi từ tình huống thực tế sang tình huống toán sẽ tác động lên nhận thức và thói quen sử dụng công cụ toán học để giải quyết các vấn đề từ đơn giản đến phức tạp nảy sinh trong cuộc sống hàng ngày. Chẳng hạn, khi dạy học nội dung về phương trình đường tròn, chúng tôi cho học sinh thực hiện hoạt động MHH toán học thông qua bài toán sau: Ví dụ 2. Một nhà hàng tiệc cưới ở Bến Tre có cổng chính ra vào là một phần đường tròn có trang trí hoa rất đẹp (Hình 3). Bạn An rất thích cái cổng này, nên dự định khi về nhà sẽ làm một cái tương tự. Nhân tiện có cái thước dây của anh thợ sửa chữa nào đó để quên ở nhà hàng, sử dụng nó để đo đạc và nhận thấy: độ rộng trên mặt đất của cổng là 4m (khoảng cách giữa hai chân cổng). Đứng cách một chân cổng khoảng 0