Phương pháp toán tử cho mô-Men góc và cho dao động điều hòa

Phương pháp toán tử cho mô-men góc và cho dao động điều hòa Lý lê Ngày 9 tháng 9 năm 2009 Tóm tắt nội dung Các đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòa và toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã được xác định bằng cách giải phương trình vi phân. Sau đây, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này, được gọi là phương pháp toán tử bậc thang. Theo đó, các đặc trị được xác định chỉ cần dựa vào các mối liên hệ giao hoán của các toán tử. 1 Phương pháp toán tử bậc thang cho mô-men góc Chúng ta đã dùng chữ cái L để chỉ mô-men góc orbital. Sau đây, chúng ta sẽ dùng chữ cái M để chỉ mô-men góc nói chung. Có ba toán tử mô-men góc là M̂x, M̂y, M̂z . Tính tất của chúng cũng giống như L̂x, L̂y, L̂z mà chúng ta đã biết. Các mối liên hệ giao hoán của chúng như sau [M̂x, M̂y] = i~M̂z; [M̂y, M̂z] = i~M̂x; [M̂z, M̂x] = i~M̂y (1) Toán tử M̂2 được xác định bởi M̂2 = M̂2x + M̂ 2 y + M̂ 2 z (2) Chúng ta có [M̂2, M̂x] = [M̂ 2, M̂y] = [M̂ 2, M̂z] = 0 (3) Nhiệm vụ của chúng ta là sẽ xác định các đặc trị của M̂2 và M̂z dựa vào những mối liên hệ trên. Trước hết, chúng ta định nghĩa hai toán tử mới là toán tử tăng M̂+ và toán tử giảm M̂− như sau M̂+ = M̂x + iM̂y (4) M̂− = M̂x − iM̂y (5) M̂+ và M̂− là những ví dụ về toán tử bậc thang (ladder operators). Sau đây, chúng ta khảo sát tính giao hoán của chúng với toán tử M̂z. 1 Ta có M̂+M̂− = (M̂x + iM̂y)(M̂x − iM̂y) = M̂2x + iM̂yM̂x − iM̂xM̂y + M̂2y = M̂2 − M̂2z + i[M̂y, M̂x] Vì [M̂y, M̂x] = −[M̂x, M̂y] = −i~M̂z nên M̂+M̂− = M̂ 2 − M̂2z + i[M̂y, M̂x] = M̂2 − M̂2z + ~M̂z (6) Tương tự, ta tìm được M̂−M̂+ = M̂ 2 − M̂2z − ~M̂z (7) Ta có [M̂+, M̂z] = [M̂x + iM̂y, M̂z ] = [M̂x, M̂z ] + i[M̂y, M̂z ] với [M̂x, M̂z] = −[M̂z, M̂x] = −i~M̂y và [M̂y, M̂z] = i~M̂x Suy ra [M̂+, M̂z] = −i~M̂y − ~M̂x = −~(M̂x + iM̂y) = −~M̂+ (8) Như vậy, chúng ta thấy [M̂+, M̂z ] = M̂+M̂z − M̂zM̂+ = −~M̂+ (9) Do đó M̂+M̂z = M̂zM̂+ − ~M̂+ (10) Tương tự, ta tìm được M̂−M̂z = M̂zM̂− + ~M̂− (11) Gọi Y là những đặc hàm chung của M̂2 và M̂z, ta có M̂zY = bY (12) M̂2Y = cY (13) với b và c là những đặc trị cần xác định. Áp dụng toán tử M̂+ lên (12), ta nhận được M̂+M̂zY = bM̂+Y (14) 2 với M̂+M̂z = M̂zM̂+ − ~M̂+, (14) trở thành (M̂zM̂+ − ~M̂+)Y = bM̂+Y hay M̂z(M̂+Y ) = (b+ ~)(M̂+Y ) (15) Phương trình trên có nghĩa là hàm (M̂+Y ) là một đặc hàm của toán tử M̂z với đặc trị là (b + ~). Tiếp tục, áp dụng toán tử M̂+ lên (15) và sử dụng phương trình M̂+M̂z = M̂zM̂+ − ~M̂+, ta sẽ thu được M̂z(M̂ 2 +Y ) = (b+ 2~)(M̂ 2 +Y ) (16) Cứ tiếp tục như trên nhiều lần với toán tử tăng M̂+ ta sẽ thu được M̂z(M̂ k +Y ) = (b+ k~)(M̂ k +Y ) (k = 0, 1, 2, 3 . . .) (17) Tương tự, nếu ta áp dụng toán tử giảm M̂− lên (12) và lưu ý M̂−M̂z = M̂zM̂− + ~M̂− ta sẽ thu được M̂z(M̂−Y ) = (b− ~)(M̂−Y ) (18) M̂z(M̂ k −Y ) = (b− k~)(M̂k−Y ) (19) Tóm lại, bằng cách sử dụng các toán tử tăng và toán tử giảm lên đặc hàm với đặc trị b, chúng ta tạo ra từng nấc các giá trị đặc trị khác nhau là b± k~. b− ~ b b+ ~ b+ 2~ b− 2~ Như vậy, những hàm M̂k±Y là những đặc hàm của M̂z với những đặc trị là b± k~: M̂z(M̂ k ±Y ) = (b± k~)(M̂k±Y ) (20) Sau đây chúng ta sẽ chứng minh những hàm này cũng là những đặc hàm của M̂2 với cùng những đặc trị là c; nghĩa là ta chứng minh M̂2(M̂k±Y ) = c(M̂ k ±Y ) (21) 3 Ta thấy M̂2 giao hoán với M̂+ và M̂−. Thật vậy [M̂2, M̂±] = [M̂ 2, M̂x ± iM̂y] = [M̂2, M̂x]± i[M̂2, M̂y] = 0 (22) Tương tự, ta có [M̂2, M̂2±] = [M̂ 2, M̂±]M̂± + M̂±[M̂ 2, M̂±] = 0 (23) Do đó [M̂2, M̂k±] = 0 hay M̂ 2M̂k± = M̂ k ±M̂ 2 (24) Từ (13), ta có M̂k±M̂ 2Y = M̂k±cY = cM̂ k ±Y Áp dụng (24), ta được M̂2(M̂k±Y ) = c(M̂ k ±Y ) (25) Đây là điều chúng ta cần chứng minh. Đặt Yk = M̂k±Y và bk = b± k~, từ (20) ta có M̂zYk = bkYk (26) suy ra M̂zM̂zYk = M̂zbkYk = bkM̂zYk hay M̂2z Yk = b 2 kYk (27) Lấy (25) trừ (27), ta được M̂2(M̂k±Y )− M̂2z Yk = c(M̂k±Y )− b2kYk (28) Thế M̂k±Y = Yk, ta có M̂2Yk − M̂2z Yk = cYk − b2kYk (29) hay (M̂2x + M̂ 2 y )Yk = (c− b2k)Yk (30) Toán tử M̂2x + M̂ 2 y tương ứng với một thuộc tính vật lí không âm, do đó nó sẽ có những đặc trị cũng không âm. Từ đó, ta suy ra c− b2k ≥ 0 hay √ c ≥ |bk| Vì vậy −√c ≤ |bk| ≤ √ c (31) (k = 0,±1,±2,±3, . . .) 4 Vì c là hằng số, trong khi đó k thì thay đổi, nên các đặc trị bk sẽ bị chặn trên và chặn dưới. Chúng ta đặt bmin và bmax là những giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của bk. Ymin và Ymax là những đặc hàm tương ứng M̂zYmin = bminYmin (32) M̂zYmax = bmaxYmax (33) Từ (33), ta có M̂+M̂zYmax = bmaxM̂+Ymax (34) hay M̂z(M̂+Ymax) = (bmax + ~)(M̂+Ymax) (35) (Vì M̂+M̂z = M̂zM̂+ − ~M̂+) Phương trình (35) cho ta thấy M̂+Ymax là một đặc hàm của M̂z với đặc trị là (bmax +~). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng bmax là đặc trị lớn nhất của M̂z. Để loại bỏ mâu thuẫn này và để (35) đúng thì hàm M̂+Ymax phải bị triệt tiêu; nghĩa là M̂+Ymax = 0 (36) Áp dụng toán tử giảm lên (36) và kết hợp với (7), ta được M̂−M̂+Ymax = 0 (M̂2 − M̂2z − ~M̂z)Ymax = 0 (c− b2max − ~bmax)Ymax = 0 (c− b2max − ~bmax) = 0 Như vậy c = b2max + ~bmax (37) Lý luận tương tự, ta có M̂−Ymin = 0 (38) c = b2min − ~bmin (39) Từ (39) và (37), ta được b2max + ~bmax + ~bmin − b2min = 0 (40) Giải phương trình trên cho ta kết quả bmax = −bmin; bmax = bmin − ~ (41) Chúng ta loại nghiệm thứ hai vì bmax không thể nhỏ hơn bmin. Vậy nên bmin = −bmax (42) 5 Mặt khác vì các giá trị bk khác nhau từng nấc với giá trị là ~, nên bmax − bmin = n~ (n = 0, 1, 2, . . .) (43) Thế (42) vào (43), ta được bmax = 1 2 n~ = j~ (j = n 2 = 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, . . .) (44) Ta có bmin = −bmax = −j~ (45) Như vậy, các đặc trị b của toán tử M̂z nhận những giá trị từ −j~ đến j~ như sau b = −j~, (−j + 1)~, (−j + 2)~, . . . , (j − 2)~, (j − 1)~, j~ (46) (j = 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, . . .) và từ (37), ta tìm được các đặc trị c của toán tử M̂2 c = j(j + 1)~2 (j = 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, . . .) (47) Tóm lại, chỉ bằng cách sử dụng mối liên hệ hoán vị giữa các toán tử, chúng ta đã tìm được các đặc trị của M̂2 và của M̂z M̂2Y = j(j + 1)~2Y (j = 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, . . .) (48) M̂zY = mj~Y (mj = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j) (49) Bên cạnh những giá trị j nguyên, chúng ta còn thấy xuất hiện những giá trị j bán nguyên. Điều này được dự đoán là có thể có thêm một loại mô-men góc khác nữa bên cạnh mô-men góc orbital. Thật vậy, trong những phần sau, chúng ta sẽ thấy mô-men góc spin có thể nhận những giá trị nguyên cũng như bán nguyên. 2 Phương pháp toán tử bậc thang cho dao động điều hòa Toán tử năng lượng cho dao động điều hòa trong không gian một chiều được viết như sau Ĥ = − ~ 2 2m d2 dx2 + 1 2 kx2 = 1 2m (i2~2 d2 dx2 +m2ω2x2) (50) với ω2 = k m . 6 Các toán tử tăng Â+ và toán tử giảm Â− trong trường hợp này được định nghĩa như sau ± = 1√ 2m ( − i~ d dx ± imωx ) = 1√ 2m ( p̂x ± imωx ) (51) Ta có Â+Â− = 1√ 2m ( p̂x + imωx ) 1√ 2m ( p̂x − imωx ) = 1 2m (p̂x + imωx)(p̂x − imωx) = 1 2m (p̂2x − imωp̂xx+ imωxp̂x +m2ω2x2) = 1 2m (p̂2x +m 2ω2x2 − imωp̂xx+ imωxp̂x) = 1 2m ( p̂2x +m 2ω2x2 + imω(xp̂x − p̂xx) ) với 1 2m (p̂2x +m 2ω2x2) = Ĥ; (xp̂x − p̂xx) = [x, p̂x] = i~ Ta suy ra Â+Â− = Ĥ − 1 2 ~ω = Ĥ − 1 2 hν (52) hay Ĥ = Â+Â− + 1 2 hν (53) Trong đó ν = ω 2pi Tương tự, ta có Â−Â+ = Ĥ + 1 2 ~ω = Ĥ + 1 2 hν (54) hay Ĥ = Â−Â+ − 1 2 hν (55) Từ (52) và (54) ta được [Â+, Â−] = Â+Â− − Â−Â− = (Ĥ − 1 2 hν)− (Ĥ − 1 2 hν) = −hν (56) Mặt khác, ta có [Â+, Ĥ ] = [Â+, (Â+Â− + 1 2 hν)] 7 Xét [Â+, (Â+Â− + 1 2 hν)] Áp dụng các công thức [Â, B̂ + Ĉ] = [Â, B̂] + [Â, Ĉ] [Â, B̂Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ] Ta có [Â+, (Â+Â− + 1 2 hν)] = [Â+, Â+Â−] + [Â+, 1 2 hν] = [Â+, Â+]Â− + Â+[Â+, Â−] + 0 = 0 + Â+[Â+, Â−] với [Â+, Â−] = −hν, ta thu được [Â+, Ĥ] = −hνÂ+ (57) Tương tự, ta có [Â−, Ĥ ] = hνÂ− (58) Chúng ta có phương trình Schro¨dinger Ĥψ = Eψ (59) Áp dụng Â+ lên Ĥψ, ta được Â+(Ĥψ) = Â+Eψ = EÂ+ψ (60) Từ (57) ta có Â+Ĥ − ĤÂ+ = −hνÂ+ ⇒ Â+Ĥ = ĤÂ+ − hνÂ+ Do đó, (60) trở thành (ĤÂ+ − hνÂ+)ψ = EÂ+ψ ⇒ Ĥ(Â+ψ) = (E + hν)(Â+ψ) (61) Phương trình trên cho thấy Â+ψ cũng là đặc hàm của Ĥ với đặc trị E+hν nếu ψ là đặc hàm của Ĥ. Điểm khác biệt là năng lượng tăng lên một bậc bằng +hν so với năng lượng ở trạng thái ψ. Tương tự, ta có Ĥ(Â−ψ) = (E − hν)(Â−ψ) (62) Như vậy, Â−ψ cũng là đặc hàm của Ĥ với đặc trị E−hν. So với năng lượng ở trạng thái ψ, năng lượng ở trạng thái này giảm một bậc là −hν. Bởi vì 8 đặc trị năng lượng của toán tử Hamiltonian chỉ nhận giá trị dương nên sự giảm này phải được dừng lại tại một điểm cụ thể nào đó. Điểm này được gọi là năng lượng điểm không, tức năng lượng thấp nhất của hệ. Tại đó, sự tác dụng của toán tử giảm Â− không làm cho năng lượng của hệ giảm thêm được nữa Â−ψ0 = 0 (63) Ta có phương trình Schro¨dinger cho trạng thái ψ0 Ĥψ0 = E0ψ0 (64) với Ĥ = Â+Â− + 1 2 hν Do đó (Â+Â− + 1 2 hν)ψ0 = E0ψ0 Â+Â−ψ0 + 1 2 hνψ0 = E0ψ0 Vì Â−ψ0 = 0 nên 1 2 hνψ0 = E0ψ0 Suy ra E0 = 1 2 hν (65) Mức năng lượng tiếp theo E1 cao hơn năng lượng điểm không E0 một bậc là hν E1 = E0 + hν = (1 + 1 2 )hν Tương tự, mức năng lượng E2 cao hơn mức năng lượng E1 một bậc là hν E2 = E1 + hν = (2 + 1 2 )hν Một cách tổng quát, năng lượng của dao động điều hòa được tính bởi En = (n+ 1 2 )hν (n = 0, 1, 2, . . .) (66) Như vậy, dựa vào sự hoán vị của các toán tử, chúng ta cũng xác định được các đặc trị của dao động điều hòa. Kết quả hoàn toàn phù hợp với việc giải phương trình Schro¨dinger. 9 Bài tập 1. Toán tử tăng và toán tử giảm của mô-men góc được định nghĩa như sau M̂+ = M̂x + iM̂y M̂− = M̂x − iM̂y Chứng minh M̂−M̂+ = M̂ 2 − M̂2z − ~M̂z 2. Toán tử tăng và toán tử giảm của dao động điều hòa được định nghĩa như sau ± = 1√ 2m ( p̂x ± imωx ) Chứng minh Â−Â+ = Ĥ + 1 2 ~ω 3. Cho biết các đặc trị được phép của M̂2 và của M̂z. Nếu số lượng tử j = 1 2 thì số lượng tử mj nhận những giá trị nào? Gọi Y là đặc hàm chung của M̂2 và M̂z. Chứng minh M̂k±Y (k = 0, 1, 2, . . .) cũng là những đặc hàm chung M̂2 và M̂z. 4. Thực hiện phép giao hoán sau [Â−, (Â−Â+ − 1 2 hν)] 10