Qui trình dạy học giải bài tập hình học theo quan điểm kiến tạo cho học sinh giỏi THCS

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2012, Vol. 57, No. 9, pp. 10-19 QUI TRÌNH DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC THEO QUAN ĐIỂM KIẾN TẠO CHO HỌC SINH GIỎI THCS Nguyễn Anh Tuấn1∗, Phí Thi Thùy Vân2 1Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2 Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương ∗E-mail: tuandhsphn@gmail.com Tóm tắt. Bài báo đặt ra và giải quyết vấn đề vận dụng lí thuyết kiến tạo để xây dựng quy trình dạy học giải bài tập hình học cho học sinh giỏi ở trường trung học cơ sở, thực hiện đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán. Từ khóa: Lý thuyết kiến tạo, dạy học giải bài tập hình học. 1. Mở đầu Dạy giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình. Nhờ quá trình này, người học hiểu được bản chất của kiến thức, có khả năng vận dụng linh hoạt tri thức và phương pháp đã học, qua đó phát triển năng lực tư duy và những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của học sinh (HS). Tuy nhiên, đối với HS THCS, thậm chí đối với HS giỏi, giải bài tập hình học gặp khá nhiều khó khăn. Bởi lẽ, so với bài tập đại số, bài tập hình học thường không có sẵn một qui trình hay thuật giải để các em vận dụng,... Vấn đề đặt ra là khi dạy học giải toán hình học cho HS giỏi ở THCS, thầy cô giáo phải làm như thế nào để các em học tập một cách hứng thú và chủ động, từ đó kích thích trí tò mò say mê khoa học, tính ham hiểu biết đồng thời phát triển được tư duy trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán? Vận dụng lí thuyết kiến tạo trong dạy học giải toán là một trong những biện pháp có thể giúp giáo viên (GV) và HS thực hiện được các yêu cầu trên. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Vận dụng lí thuyết kiến tạo trong dạy học giải toán hình học choHS giỏi Trên cơ sở vận dụng phối hợp qui trình dạy giải bài tập của G. Polia vào chu trình nhận thức của HS theo quan điểm kiến tạo (Theo Brandt, 1997): Tri thức đã có → Dự đoán→ Kiểm nghiệm→ (Thất bại)→ Thích nghi→ Tri thức mới, chúng tôi xây dựng một qui trình dạy học bài tập theo quan điểm kiến tạo cho HS giỏi THCS gồm các bước sau: 10 Quy trình dạy học giải bài tập Hình học theo quan điểm kiến tạo... 2.1.1. Bước 1. Tiếp cận vấn đề (Tương ứng với bước 1 - G. Polia) Trong bước này GV tổ chức cho HS thực hiện các hoạt động sau đây: - HS sử dụng các kiến thức liên quan đến bài toán để chuyển đổi ngôn ngữ từ lời sang hình vẽ, ngôn ngữ và kí hiệu hình học, từ đó HS vẽ hình và ghi giả thiết và kết luận bài toán. - HS đọc hình vẽ (Nhìn vào hình vẽ nêu giả thiết và kết luận của bài toán). 2.1.2. Bước 2. Trải nghiệm lại tri thức đã biết có liên quan tới bài toán (Tương ứng với bước 2 - G. Polia) Trong bước này GV để HS thực hiện các hoạt động sau đây: 1. HS huy động (một cách chi tiết hơn) những tri thức có liên quan tới bài toán + Những khái niệm, tính chất có mặt trong giả thiết và kết luận. + Bài toán (dạng toán) có liên quan đã biết (nhận dạng bài toán và phương pháp giải). 2. HS phân tích (so sánh, đối chiếu, đặc biệt hóa, tương tự,...) để tiến hành “đồng hóa” nếu bài toán đã cho thuộc dạng đã biết và đã có quy trình giải quyết Nếu hoạt động đồng hóa thành công thì HS tiếp tục thực hiện bước 4, nếu hoạt động đồng hóa chưa thành công thì HS tiếp tục thực hiện bước 3. 2.1.3. Bước 3. Khám phá đường lối giải (Tương ứng với bước 2 - G. Polia) GV tổ chức cho HS thực hiện các hoạt động sau đây để thúc đẩy quá trình “đồng hóa”, hoặc “điều ứng” những kiến thức đã có (Các hoạt động này luôn đan xen và bổ trợ cho nhau, thứ tự các hoạt động có thể thay đổi tùy thuộc vào bài toán). 1. Sử dụng các phép suy luận xuôi, ngược tiến, ngược lùi Sử dụng các phép suy luận xuôi, ngược tiến, ngược lùi để khai thác giả thiết, phân tích kết luận hoặc biến đổi bài toán. 2. Dự đoán Dự đoán mối quan hệ giữa những đối tượng trong bài toán; ước lượng một số đại lượng trong bài toán; dự đoán con đường nối giữa giả thiết và kết luận của bài toán thông qua các hoạt động quan sát, ước lượng, đo đạc, sử dụng phần mềm hoặc các thao tác trí tuệ tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, các phép suy luận xuôi - ngược. 3. Kiểm tra và điều chỉnh các dự đoán Kiểm tra và điều chỉnh các dự đoán bằng các ví dụ, phản ví dụ, hoặc sử dụng phần mềm dạy học, sử dụng phép suy luận xuôi - ngược. 4. Vẽ đường phụ Vẽ đường phụ trong bài toán hình học là một khâu rất quan trọng, nhờ có đường phụ HS có thể nhìn rõ hướng giải bài toán hơn. Trong các hoạt động trên GV lưu ý hướng dẫn HS các thủ thuật vẽ đường phụ. Sau đây là một số hướng vẽ đường phụ mà GV cần phải thường xuyên rèn luyện cho HS: - Hướng 1. Vẽ đường phụ dựa vào các yếu tố trực quan của hình. 11 Nguyễn Anh Tuấn, Phí Thị Thùy Vân - Hướng 2. Vẽ đường phụ tạo ra các hình thỏa mãn từng bước suy luận để tìm kiếm lời giải của bài toán. - Hướng 3. Vẽ đường phụ để làm xuất hiện các tính chất điển hình ở mô hình của bài toán. - Hướng 4. Vẽ đường phụ dựa vào việc xét các trường hợp đặc biệt của bài toán. - Hướng 5. Vẽ đường phụ để khai thác các phép biến hình. 2.1.4. Xử lí tình huống bế tắc trong quá trình suy luận Trong quá trình suy luận tìm lời giải của bài toán, HS nhiều khi gặp các tình huống bế tắc đi vào ngõ cụt không thể suy luận được tiếp, trong trường hợp đó GV phải rèn luyện cho HS cách điều chỉnh hướng suy luận theo cách sau: Cách 1. Đổi hướng chứng minh Đổi hướng chứng minh theo các hướng sau: - Đổi hướng suy luận bắt đầu từ một bước suy luận nào đó. - Sử dụng phương pháp loại dần hoặc phương pháp gián tiếp từ một bước nào đó của quá trình suy luận hoặc từ bước đầu tiên. - Sử dụng các phép biến hình. Cách 2. Giảm bớt yêu cầu của bài toán - Giải một phần của bài toán. - Xét trường hợp đặc biệt của bài toán. Cách 3. Tìm cách sử dụng hết các dữ liệu của bài toán Trong quá trình tìm cách giải của một bài toán, cần tận dụng mọi dữ kiện của bài toán. Nếu còn một dữ kiện nào chưa sử dụng đến, hãy tìm cách sử dụng dữ kiện đó. 2.1.5. Bước 4. Trình bày lời giải bài toán (Tương ứng với bước 3 - G. Polia) Đây chính là quá trình HS thích nghi (bằng cách tiến hành con đường giải bài toán đó) để thu được tri thức mới: quy trình giải bài toán. Trong bước này GV yêu cầu HS thực hiện các hoạt động sau đây: - Nêu các bước giải bài toán dưới dạng sơ đồ. - Dựa vào sơ đồ yêu cầu HS tự trình bày lời giải bài toán. 2.1.6. Bước 5. Củng cố, áp dụng và phát triển bài toán (Tương ứng với bước 4- G. Polia) Hoạt động 1: Nhìn lại lời giải bài toán Để kiểm tra tính đúng, chặt chẽ và hợp lí của các bước suy luận, từ đó có thể tìm các lời giải khác của bài toán. Trong hoạt động này GV tổ chức cho HS: Kiểm tra lại sự chính xác của từng bước chứng minh các phép toán, sự hợp lôgíc của lập luận đặc biệt làm rõ được suy luận có lí ở các bước suy luận trong việc tìm ra lời 12 Quy trình dạy học giải bài tập Hình học theo quan điểm kiến tạo... giải của bài toán. Từ đó thấy được ưu, nhược điểm của lời giải và có thể tìm được phương pháp giải mới ưu việt hơn. Để làm rõ được suy luận có lí ở các bước suy luận trong việc tìm ra lời giải của bài toán, ở mỗi bước suy luận GV phải cho HS hiểu được và trả lời các câu hỏi tại sao lại theo hướng này hoặc chọn phương án này, đồng thời HS thử các phương án còn lại từ đó ta có thể tìm ra cách chứng minh mới hoặc cũng có thể đi vào ngõ cụt. Từ đó HS có thêm những kinh nghiệm thủ pháp để tìm lời giải của bài toán. Qua đó cũng có thể mở rộng được bài toán theo các cách khác nhau. Hoạt động 2: Áp dụng trực tiếp GV cho HS áp dụng phương pháp giải hoặc kết quả của bài toán 1 vào giải các bài toán tương tự hoặc các bài toán có thể suy ra ngay kết quả nhờ bài toán 1 nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS. Hoạt động 3: Áp dụng nâng cao GV cho HS áp dụng phương pháp giải hoặc kết quả của bài toán 1 vào khai thác, mở rộng bài toán; giải các bài toán khó, phức tạp hoặc có nội dung thực tế . Qua đó có thể tạo được vốn liếng kiến thức một cách sâu, rộng và phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh giỏi. Trong hoạt động này GV tổ chức cho HS thực hiện các việc sau đây: - Khai thác mở rộng bài toán theo các hướng sau đây: + Lập bài toán đảo. + Đặc biệt hóa bài toán. + Khái quát hóa bài toán. + Thay đổi một số yếu tố (các yếu tố này dựa vào khai thác một khâu nào đó của quá trình chứng minh) để được bài toán mới. - Giải bài toán nâng cao hoặc các bài toán thực tế. Yêu cầu HS vận dụng bài toán vừa giải vào những tình huống khó phức tạp và đòi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức. Hoạt động 4: Tổ chức lại các kiến thức liên quan đến bài toán ban đầu GV cho HS tổ chức lại một số kiến thức liên quan đến bài toán vừa giải, từ đó tạo vốn liếng cho các em để dễ liên tưởng khi kiến tạo kiến thức sau này. Một kiến thức toán học hay một bài tập toán được đưa ra không thể tách rời, không tự sinh ra một cách độc lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức đã có trước đó. J.A. Kômenxki đã từng nói: “Dạy học là quá trình từ từ và liên tục, những điều có hôm nay phải củng cố cái hôm qua và mở đường cho ngày mai”. Theo quan điểm của chúng tôi, tổ chức lại các kiến thức liên quan đến bài toán ban đầu theo các hướng sau đây: - Nhắc lại các hướng chứng minh quan hệ hình học liên quan đến bài toán. Sau mỗi khi giải bài tập, HS có thể lĩnh hội thêm một hướng chứng minh một quan hệ hình học nào đó, trong trường hợp này GV cần nhấn mạnh và đồng thời yêu cần HS thống kê lại các hướng chứng minh thường dùng của quan hệ hình học đó để tạo “vốn 13 Nguyễn Anh Tuấn, Phí Thị Thùy Vân liếng” cho HS tìm hướng chứng minh định lí hoặc bài toán sau này. Ví dụ: Sau khi giải xong bài toán "Trong một tứ giác tổng các tích hai cặp cạnh đối luôn lớn hơn hoặc bằng tích hai đường chéo". Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác đó nội tiếp (Bất đẳng thức Ptôlêmê). HS có thêm một phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, qua đó yêu cầu HS nhắc lại các hướng chứng minh tứ giác nội tiếp mà các em đã biết. - Tập hợp các kiến thức liên quan đến một kiến thức nào đó trong bài toán. Ví dụ: Sau khi giải các bài toán liên quan đến trực tâm, GV có thể hệ thống hóa cho HS một số kiến thức liên quan đến trực tâm để HS ghi nhớ tạo nên vốn liếng cho các em: Trong một tam giác bất kỳ: 1. Khoảng cách từ trực tâm đến mỗi đỉnh bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện. 2. Trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một đường thẳng (gọi là đường thẳng Ơ-le), khoảng cách từ trọng tâm đến trực tâm bằng hai lần khoảng cách từ trọng tâm đến tâm đường tròn ngoại tiếp. 3. Các điểm đối xứng với trực tâm qua các cạnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó. 4. Chứng minh điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm các cạnh của tam giác ABC trùng với điểm đối xứng của đỉnh đối diện qua O và điểm đó nằm trên đường tròn. 5. Chín điểm gồm ba trung điểm của ba cạnh, ba chân đường cao, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối từ trực tâm đến đỉnh của tam giác nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm với tâm của đường tròn ngoại tiếp và bán kính bằng nửa bán kính của đương tròn ngoại tiếp (đường tròn đó được gọi là đường tròn Ơ-le). - Nhấn mạnh phương pháp giải bài toán ban đầu nếu đó là phương pháp mới (trong đó lưu ý đến cách vẽ thêm đường phụ nếu có). - HS nhìn lại các mệnh đề trên để thấy các kiến thức, các bài tập (hoặc hệ thống bài tập) liên quan đến bài toán ban đầu. Trong mỗi bước gồm có các hoạt động của GV và HS, các hoạt động này đan xen và bổ trợ cho nhau có những hoạt động có thể được lặp lại. Tuy nhiên, ở mỗi bài toán khác nhau trong từng bước có thể sử dụng một và một số hoạt động của bước đó. 2.2. Ví dụ áp dụng Sau đây chúng tôi xin nêu một ví dụ minh họa cho qui trình trên: Bài 1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M chạy trên cung nhỏ BC. Chứng minhMA =MB +MC (Bài 20 trang 102 sách bài tập toán lớp 9 tập 2, NXBGD, Tôn Thân chủ biên) Trong bài báo này, chúng tôi qui ước: (?) Câu hỏi hoặc câu dẫn dắt của GV. (!) Câu trả lời mong đợi của HS. (!) . . . Sự suy nghĩ (im lặng) của HS. 14 Quy trình dạy học giải bài tập Hình học theo quan điểm kiến tạo... Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán (?) Hãy sử dụng các kiến thức liên quan đến bài toán để chuyển đổi ngôn ngữ từ lời sang hình vẽ, sang ngôn ngữ và kí hiệu hình học, từ đó HS vẽ hình và ghi giả thiết và kết luận bài toán. Với lưu ý HS phải nêu được cách vẽ tam giác đều nội tiếp đường tròn bằng thước và compa. (!) Giả thiết: (O);A,B,C thuộc (O);AB = AC = BC;M thuộc cungBC (Hình 1). Kết luận:MA = MB +MC Hình 1. Bước 2. Trải nghiệm (liên hệ với vốn tri thức đã có) GVđưa ra các câu hỏi yêu cầu HS trải nghiệm kiến thức đã học: (?) Các em hãy nhớ lại những khái niệm, định lí, bài toán và các phương pháp chứng minh các quan hệ hình học liên quan đến bài toán này? (!) HS có thể nhớ lại đến : - Tính chất của tam giác đều nội tiếp đường tròn, các góc nội tiếp của đường tròn. - Các hướng chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng khác như sau: Hướng 1. Chia đoạn thẳng lớn thành hai phần, một phần bằng một trong hai đoạn thẳng còn lại. Ta phải chứng minh phần còn lại bằng đoạn thẳng kia. Hướng 2. Tạo ra một đoạn thẳng bằng tổng hoặc hiệu của hai đoạn thẳng, sau đó chứng minh đoạn thẳng mới tạo bằng đoạn thẳng thứ ba. (?) Có thể áp dụng trực tiếp các tính chất, các định lí hoặc các bài toán đã biết để giải bài toán này được không? (HS thực hiện quá trình đồng hóa). (!) . . . HS không thực hiện được ngay hoạt động đồng hóa, GV tiếp tục chuyển sang bước 3. Hình 2. Bước 3. Khám phá đường lối giải GV tổ chức cho HS khám phá đường lối giải như sau: (?) Hãy sử dụng các phép suy luận xuôi, ngược để khai thác giả thiết và phân tích kết luận của bài toán. (HS sử dụng phép suy luận) (!) HS có thể đưa ra hai hướng:Hướng 1.Chia đoạnMA thành hai đoạn một đoạn bằng một trong hai đoạn chẳng hạn bằng đoạn MB. Phải chứng minh đoạn còn lại bằngMC (Hình 2). Hướng 2. Tạo ra đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng MB và MC. Ta sẽ chứng minh đoạn 15 Nguyễn Anh Tuấn, Phí Thị Thùy Vân thẳng mới tạo bằng đoạn thẳngMA. (?) Hãy chọn một trong hai hướng trên để chứng minh bài toán, chẳng hạn hướng 1. Tức là chia đoạnMA thành hai đoạn một đoạn bằng một trong hai đoạn chẳng hạn bằng đoạnMB. Phải chứng minh đoạn còn lại bằngMC. (?) Các em hãy làm điều đó đi. (!) Trên đoạn MA lấy điểm X sao cho MX = MB (HS thực hiện hoạt động vẽ đường phụ). Ta phải chứng minh XA = MC. (Hoặc trên đoạn MA lấy điểm X sao cho AX = MB. Ta phải chứng minhMX = MC) . (?) Hãy chứng minhXA = MC? (!) HS có thể dự đoán chứng minh tam giác ABX bằng tam giác CBM (HS thực hiện hoạt động dự đoán chứng minh). (?) Hãy kiểm tra xem hai tam giácABX và tam giácCBM có bằng nhau hay không? (!) Hai tam giác ABX và tam giác CBM bằng nhau trong trường hợp (cgc) (HS thực hiện hoạt động kiểm tra dự đoán). Bước 4. Trình bày lời giải bài toán. - Nêu các bước giải bài toán dưới dạng sơ đồ. Lấy X trên đoạn MA sao cho MX = MB Từ đó ta có tam giác BMX là tam giác đều. ∠ABX = ∠CBM ⇒ AX = MC ⇒ AM = MB +MC. - Dựa vào sơ đồ yêu cầu HS tự trình bày lời giải bài toán. Lấy X trên đoạn MA sao cho MX = MB. Tam giác BMX có MX = MB và ∠BMX = ∠BCA = 600 nên tam giác BMX là tam giác đều. Xét các tam giác ABX và CBM có AB = BC,BX = BM∠ABX = ∠CBM (vì cùng cộng với góc CBX bằng 600). Suy ra hai tam giác này bằng nhau nên AX = MC. Khi đó ta được AM = MB +MC (1). Bước 5. Nhìn lại, củng cố và phát triển bài toán Hoạt động 1: Nhìn lại lời giải bài toán (?) Hãy kiểm tra lại sự chính xác của từng bước chứng minh các phép toán, sự hợp lôgíc của lập luận đặc biệt làm rõ được suy luận có lí ở các bước suy luận trong việc tìm ra lời giải của bài toán. Từ đó thấy được ưu, nhược điểm của lời giải và có thể tìm được phương pháp giải mới ưu việt hơn. (!) Các bước suy luận đều chính xác và có thể thấy được thêm ba cách giải của bài toán. Hoạt động 2: Áp dụng trực tiếp GV cho HS giải các bài toán sau đây để nắm vững phương pháp giải bài toán (hoặc dạng toán này) và cách áp dụng bài toán trong trường hợp đơn giản: Bài 2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M chạy trên cung nhỏ BC. Xác địnhM đểMB +MC lớn nhất. (Từ kết quả MB + MC = MA ở bài toán trên, để MB + MC lớn nhất tương đươngMA lớn nhất, tức làMA là đường kính của đường tròn. HayM là điểm đối xứng 16 Quy trình dạy học giải bài tập Hình học theo quan điểm kiến tạo... của A qua O). Bài 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;R′) tiếp xúc ngoài tại D. Vẽ tam giác đều nội tiếp đường tròn (O) . Kẻ các tiếp tuyến AA′, BB′, CC ′ với đường tròn (O′). a) Tính AA′ theo AD,R,R′ b) CMR: Trong ba đoạn AA′, BB′, CC ′ có một đoạn bằng tổng hai đoạn thẳng kia. a) Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông tính được AA′2 = AD ·AD′ (D′ là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn (O′) , dựa vào hai tam giác đồng dạng ADO và D′O′D ta tính AD′ theo AD,R,R′. Từ đó tính được AA′ theo AD,R,R′. b) Áp dụng kết quả của bài toán ban đầu coi điểm D nằm trên cung BC ta có AD = BD + CD kết hợp với câu a và tính được BB′theo BD,R,R′, tính CC ′ theo CD,R,R′ suy ra điều phải chứng minh. Hoạt động 3: Áp dụng nâng cao - Khai thác mở rộng bài toán. Đối với bài toán 1, GV dẫn dắt HS thể mở rộng và khai thác bài toán theo hướng khái quát hóa như sau: Thay giả thiết tam giác ABC là đều lần lượt bằng các trường hợp tam giác vuông cân, tam giác cân và tam giác bất kì. (?) Xét trường hợp tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Điểm M chạy trên cung BC không chứa A. Tìm hệ thức liên hệ giữaMA,MB,MC. Thử xét một vài vị trí đặc biệt của điểm M . Khi M ≡ B ta có: MB + MC = BC;MA = AB. VìABC vuông cân nênBC = AB nên ta dự đoánMB+MC = MA (2). (?) Các em hãy kiểm nghiệm dự đoán trên? Bằng cách chứng minh tương tự với bài toán ban đầu HS có thể nêu được cách chứng minh như sau: Chứng minh: (Hình 3) Hạ BX vuông góc với AM . Ta có: Hình 3. ∠AMB = ∠ACB = 450 (hai góc nội tiếp cùng một chắn cung AB). Khi ấy suy ra tam giác BMX vuông cân tại X , suy ra MB =√ 2 · MX (1) Xét tam giác ABX và tam giác CBM có: ∠BAM = ∠BCM (hai góc nội tiếp cùng một chắn cung), ∠BXA = ∠BMC vì cùng bằng 900 , suy ra hai tam giác này đồng dạng. Nên MC : AX = BM : BX = √ 2 , suy raMC = √ 2 · AX (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh MB +MC =MA. (?) Hãy nêu kết quả vừa chứng minh? (!) Tam giácABC vuông cân tạiA nội tiếp đường tròn (O), điểmM chạy trên cung 17 Nguyễn Anh Tuấn, Phí Thị Thùy Vân BC không chứa A. Ta cóMB +MC =MA (Ta coi đây là bài toán 4) . (?) Tương tự mở rộng bài toán cho trường hợp tam giác cân để có kết quả sau: Bài 5. Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), điểm M chạy trên cung BC không chứa A. Ta cóMB +MC = BC AB ·MA. (?) Mở rộng cho trường hợp tam giác ABC là bất kì nội tiếp đường tròn (O), điểm M chạy trên cung BC không chứa A. Khi đó ta sẽ có hệ thức liên giữa MA,MB,MC như thế nào? Người ta chứng minh đẳng thức MA · BC = MB · AC +MC · AB. Đó chính là nội dung của định lí Ptoleme: Trong một tứ giác nội tiếp tích hai đường chéo bằng tổng các tích hai cặp cạnh đối diện. (?) Mở rộng trường hợp tam giác đều ABC thành tứ giác đều, ngũ giác đều, thất giác đều ta có các kết quả gì? (?) Các em hãy tìm hiểu và chứng minh một số kết quả sau: Bài 6. Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O;R),M là điểm chuyển động trên cung BCD. Chứng minh rằngMD +MB =MA (suy ra từ bài 4). Bài 7. Cho ngũ giác đều A1A2A3A4A5 nội tiếp đường tròn (O), M là một điểm trên cung A1A5. Chứng minh rằngMA2 +MA4 =MA1 +MA3 +MA5. (Áp dụng định lí Ptoleme vào các tứ giác nội tiếpMA1A2A3,MA1A2A4,MA1A2A5 ) Bài 8. Cho thất giác đều A1A2 . . . A7 nội tiếp đường tròn (O),M là một điểm trên cung A1A7. Chứng minh rằngMA1 +MA3 +MA5 +MA7 = MA2 +MA4 +MA6. (Áp dụng định lí Ptoleme vào các tứ giác nội tiếp MA1A2A3,MA1A2A4,MA1A2A5,MA1A2A6,MA1A2A7) GV có thể khuyến khích trí tò mò của HS bằng các câu gợi mở sau đây: (?) Có thể mở rộng bài toán trên cho trường hợp đa giác đều ta có kết quả thật thú vị HS sẽ được học