Rèn luyện học sinh trung học phổ thông khả năng toán học hoá theo tiêu chuẩn của Pisa

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2010, Vol. 55, No. 4, pp. 9-14 RÈN LUYỆN HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHẢ NĂNG TOÁN HỌC HOÁ THEO TIÊU CHUẨN CỦA PISA Nguyễn Sơn Hà Trường THPT Chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội 1. Mở đầu Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) là chương trình hợp tác giữa các quốc gia thành viên của tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế, viết tắt tiếng Anh là OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development) đánh giá mức độ chuẩn bị của học sinh ở tuổi 15 nhằm đáp ứng những thách thức của xã hội. Một trong những lĩnh vực quan trọng được OECD/PISA đánh giá là Hiểu biết toán (mathematical literacy). OECD/PISA định nghĩa: Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu được vai trò của toán học trong cuộc sống, đưa ra những phán xét có cơ sở, sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh. OECD/PISA kiểm tra các năng lực của học sinh để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và lí giải các vấn đề toán trong nhiều hoàn cảnh. Giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi học sinh sử dụng các kĩ năng và năng lực các em đã đạt được qua các kinh nghiệm học đường và cuộc sống. Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các học sinh dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là toán học hóa (mathematisation). Cơ sở lí thuyết theo khuôn khổ đánh giá toán học OECD/PISA được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của qui trình toán học hóa: 1. Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế; 2. Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định các yếu tố toán học phù hợp; 3. Thực hiện các quá trình đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế; 9 Nguyễn Sơn Hà 4. Giải quyết bài toán; 5. Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của hoàn cảnh thực tế, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải. Mặt khác, 5 bước của qui trình toán học hóa có thể được chia theo 3 giai đoạn như sau: - Giai đoạn thứ nhất: Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển từ vấn đề thực tế sang lĩnh vực toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với một vấn đề được đặt ra trong thực tế; Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thuyết phù hợp; Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề với ngôn ngữ kí hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách Toán học; Tìm những qui luật, mối quan hệ và những bất biến; nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết; Chuyển vấn đề sang lĩnh vực toán học, chẳng hạn như thành một mô hình toán. - Giai đoạn thứ hai: Phần suy diễn của qui trình mô hình hóa. Một khi học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một bài toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về hoàn cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các qui tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn. Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm: Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau; Dùng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kĩ thuật và các phép toán; Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán; Kết hợp và tích hợp các mô hình; Lập luận; Tổng quát hóa. - Giai đoạn thứ ba: Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả. Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là: hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê phán mô hình và các hạn chế của nó; phản ánh về các lập luận toán học, giải thích, lời giải và kiểm tra các kết quả. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Vận dụng qui trình toán học hóa của OECD/PISA trong dạy học môn toán THPT Với học sinh THPT, liên hệ giữa lí luận và thực tiễn, giữa nhà trường và cuộc sống thực sự cần thiết. Lứa tuổi này, các em có thể vừa học vừa làm, học phải đi đôi với hành. Việc dạy các em vận dụng kiến thức toán học để xử lí các tình huống hàng ngày luôn cần được giáo viên quan tâm. Qui trình toán học hóa của 10 Rèn luyện học sinh trung học phổ thông khả năng toán học hóa theo tiêu chuẩn của PISA OECD/PISA đối với lứa tuổi 15 có thể ứng dụng đối với nhiều lứa tuổi khác, nó hoàn toàn phù hợp đối với học sinh THPT Việt Nam. Vận dụng qui trình toán học hóa của OECD/PISA đối với lứa tuổi 15, chúng tôi đề xuất việc dạy học theo qui trình này đối với lứa tuổi THPT. Bài viết này trình bày ở phạm vi dạy học môn hình học THPT vốn có nhiều yếu tố giúp giáo viên khai thác sự liên hệ giữa lí luận và thực tiễn. Sau đây là ví dụ về một tình huống dạy học môn hình học cho học sinh lớp 12. * Bài toán tính thể tích khối tròn xoay. Một người thợ thủ công cần thổi một lọ hoa bằng thủy tinh. Lọ hoa có đặc điểm: mặt ngoài và mặt trong có dạng mặt nón cụt; mặt ngoài có bán kính đáy nhỏ là 6cm, bán kính đáy lớn là 15cm; mặt trong có bán kính đáy nhỏ là 17 3 cm, bán kính đáy lớn là 14cm; khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới phía trong là 25cm; đáy lọ hoa dày 2cm. Hỏi người thợ thủ công cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh để có thể làm được lọ hoa? Qui trình toán học hóa, được thể hiện trong bài toán này như sau: - Bước 1. Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế. Tính thể tích thủy tinh tối thiểu để có thể làm được lọ hoa. - Bước 2. Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định lĩnh vực toán học phù hợp. Mặt trong và mặt ngoài của lọ hoa có dạng mặt nón cụt. Phần không gian trong lọ hoa có dạng khối nón cụt. Phần không gian trong lọ hoa cùng với phần thủy tinh của lọ hoa có dạng khối nón cụt. - Bước 3. Thực hiện các quá trình đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế. Vấn đề được chuyển thành việc xác định hiệu thể tích của hai khối nón cụt. Ta có thể tính được thể tích phần thủy tinh khi xác định được mặt ngoài của vật liệu và mặt trong của vật liệu là các mặt tròn xoay hoặc mặt xung quanh của 11 Nguyễn Sơn Hà khối đa diện khác; chẳng hạn khối nón cụt, khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt. - Bước 4. Giải quyết bài toán. Sử dụng công thức tính thể tích của khối nón cụt: V = 1 3 pi(R2 +Rr + r2).h, trong đó R, r lần lượt là bán kính của đáy lớn và đáy nhỏ của khối nón cụt, h là chiều cao của khối nón cụt. Thể tích phần không gian phía trong lọ hoa V1 = 1 3 pi ( 142 + 14 · 17 13 + 172 132 ) .25 = 69175pi 27 (cm3) ≈ 8044, 8 (cm3); Thể tích phần không gian hình khối nón cụt có mặt nón cụt là mặt ngoài của của lọ hoa V2 = 1 3 pi(152 + 15.6 + 62).27 = 3159pi (cm3) ≈ 9919, 26 (cm3); Thể tích thủy tinh tối thiểu để làm lọ hoa là V = V2 − V1 ≈ 9919, 26− 8044, 8 = 1874, 46 (cm3). - Bước 5. Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải. Bề mặt phía trong và bề mặt phía ngoài của lọ hoa ảnh hưởng đến tính thực tiễn của lời giải toán học. Nếu hai bề mặt này không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn hoặc sử dụng công thức tính thể tính của nhiều khối đa diện, khối trụ, khối tròn xoay khác cùng với nhiều bước biến đổi trung gian. * Năm bước của qui trình toán học hóa trong bài toán này có thể được chia theo 3 giai đoạn như sau: - Giai đoạn thứ nhất: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với vấn đề được đặt ra trong thực tế: Tính thể tích khối thủy tinh có hình dạng các khối nón cụt. Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp: Vấn đề được chuyển thành việc xác định hiệu thể tích của hai khối nón cụt. Bài toán chỉ giải quyết được khi bề mặt của bình thủy tinh nhẵn. 12 Rèn luyện học sinh trung học phổ thông khả năng toán học hóa theo tiêu chuẩn của PISA Tìm những qui luật, mối quan hệ và những bất biến: Thể tích khối thủy tinh luôn bằng hiệu thể tính hai khối nón cụt. - Giai đoạn thứ hai: Tổng quát hóa, có thể tính được thể tích phần thủy tinh khi xác định được mặt ngoài của vật liệu và mặt trong của vật liệu là các mặt tròn xoay hoặc mặt xung quanh của đa diện đặc biệt. Một cách tổng quát, nếu khối hình T nằm trong khối hình N mà ta có thể xác định được thể tích khối hình T và khối hình N thì ta có thể xác định được thể tích của mọi vật liệu là phần bù của khối hình T trong khối hình N bằng cách lấy thể tích của khối hình N trừ đi thể tích của khối hình T. - Giai đoạn thứ ba: Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê phán mô hình và các hạn chế của nó: Nếu hai bề mặt thủy tinh phía trong và bề mặt thủy tinh phía ngoài không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn hoặc sử dụng nhiều công thức tính thể tính với nhiều bước biến đổi trung gian. Nếu đã biết khối lượng riêng của vật liệu làm bình hoa thì ta không cần sử dụng công thức toán học vẫn có thể xác định được thể tích vật liệu làm bình hoa bằng cách đo khối lượng bình hoa và lấy khối lượng thực tế của bình hoa chia cho khối lượng riêng của vật liệu. Trong bài này, ta có thể bớt đi giả thiết về một số đại lượng và tìm lại được nó bằng các định lí của hình học, chẳng hạn có thể bỏ qua điều kiện "Mặt trong của lọ hoa có bán kính đáy nhỏ là 17 3 cm". Đại lượng này được tìm ra như sau: AN AM = CN BM ⇒ AN 15− 6 = 25 25 + 2 ⇒ AN 9 = 25 27 ⇒ AN = 25 3 ⇒ ON = OA−AN = 15− 25 3 = 20 3 (cm). Suy ra bán kính đáy nhỏ mặt trong của lọ hoa là r = KH = KC −HC = 20 3 − 1 = 17 3 (cm). 13 Nguyễn Sơn Hà 3. Kết luận Chương trình đánh giá Học sinh Quốc tế PISA phù hợp với thực tiễn của ngành giáo dục Việt Nam, hiện nay Bộ giáo dục & Đào tạo đã chuẩn bị để có thể thực hiện chương trình này từ năm 2012 đối với học sinh lứa tuổi 15. Qui trình toán học hóa của OECD/PISA đối với lứa tuổi 15 có thể mở rộng cho nhiều lứa tuổi học sinh, có khả năng mở rộng và thực hiện được để đánh giá khả năng hiểu biết toán của học sinh THPT Việt Nam. Nội dung môn toán THPT Việt Nam kết hợp nhiều phân môn của toán học như Đại số, Hình học, Giải tích, Lượng giác, Tổ hợp – Xác suất; vì vậy giáo viên THPT Việt Nam có nhiều cơ hội vận dụng qui trình toán học hóa theo tiêu chuẩn PISA. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] Trần Vui, 2008. Đánh giá hiểu biết toán học của học sinh tuổi mười lăm, Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, tài liệu cho học viên cao học, Đại học Sư phạm - Đại học Huế. ABSTRACT Practicing mathematicalization following PISA for students of High Schools The article summarizes some basic concepts related to mathematical literacy and mathematicalization process of the OECD towards the Programme for Inter- national Student Assessment (PISA) which is designed for students at the age of fifteen. Since then, the authors proposal for the practice of mathematicalization ability for high school students in Vietnam and gives the application of the math- ematicalization process through a mathematical exercise of calculating the volume of circular swivel block of 12th grade students. 14