Rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm phát triển năng lực dạy học cho sinh viên Sư phạm Toán

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 126-131 This paper is available online at RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC DẠY HỌC CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN Bùi Văn Nghị1 và Đỗ Thị Trinh2 1Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; 2Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên E-mail: dothitrinh@gmail.com Tóm tắt. Trong các trường đào tạo giáo viên toán, việc rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm phát triển năng lực dạy học cho sinh viên (SV) rất quan trọng vì các kĩ năng giải toán là điều kiện tiên quyết cho giáo viên toán. Bài báo đề cập đến một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho SV thông qua hệ thống các dạng toán, phương pháp giải các dạng toán đó, đồng thời đề xuất những bài toán mới một cách tương tự và sáng tạo. Từ khóa: Kĩ năng giải toán, năng lực dạy học, môn Toán. 1. Mở đầu Một người chỉ biết giảng giải lại các tri thức bản thân đã biết cho người khác thì đó chưa phải là người thầy giáo. Bởi vì, ngoài việc giảng giải đó, người thầy giáo phải là người đóng vai trò của người hướng dẫn, biết khơi dậy ở SV lòng ham muốn hiểu biết và cách thức tìm ra các tri thức cho mình. Muốn vậy, người hướng dẫn phải biết nhiều hơn người được hướng dẫn về nội dung hướng dẫn đó. Từ đó chúng tôi xác định rằng: Để trở thành một giáo viên dạy Toán, điều kiện cần là người đó phải giỏi về giải toán (Điều ngược lại chưa chắc đúng). Trong đào tạo giáo viên toán trung học phổ thông (THPT), một giải pháp quan trọng để phát triển năng lực dạy học cho SV là rèn luyện kĩ năng giải toán, bồi dưỡng năng lực giải toán cho họ. Đây có thể xem là giải pháp tiên quyết. Có nhiều ý kiến khác nhau về kĩ năng [1, 2, 3]. Theo chúng tôi, một người được xem là có kĩ năng làm một công việc nào đó nếu người đó có thể thực hiện thành thạo, linh hoạt và có kết quả công việc đó, nhờ việc lựa chọn và vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với điều kiện cụ thể. Một người được gọi là có kĩ năng giải toán phổ thông nếu như người đó biết hết những cách giải phổ biến nhất của bài toán đó và có thể thực hiện những cách giải đó một cách hoàn hảo. Kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức toán học và tri thức phương pháp giải toán. 126 Rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm phát triển năng lực dạy học cho sinh viên Sư phạm toán Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất một số biện pháp cụ thể nhằm rèn kĩ năng giải toán, phát triển năng lực dạy học cho SV sư phạm toán. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua việc hệ thống các dạng toán và các phương pháp giải từng dạng toán * Cơ sở của biện pháp: Để có thể trở thành người giáo viên giỏi, cần phải “biết mười dạy một”. * Mục đích của biện pháp: Biện pháp này, nhằm rèn luyện kĩ năng, bồi dưỡng năng lực giải toán cho SV và khả năng tập sáng tạo các bài toán mới. * Cách thực hiện biện pháp: Bước 1. Giảng viên đưa ra vấn đề, yêu cầu SV hệ thống hóa và tập sáng tạo các bài toán mới từ vấn đề ban đầu. Bước 2. Giảng viên đưa một số nội dụng cụ thể, phân nhóm yêu cầu SV thảo luận làm tương tự theo ví dụ trên. Bước 3. Tổ chức cho SV trình bày trước lớp, còn những SV khác chú ý lắng nghe, sau đó trao đổi, thảo luận, nhận xét, đánh giá, đóng góp ý kiến bổ sung. Bước 4. Giảng viên nhận xét, đánh giá và kết luận. Chẳng hạn, giảng viên yêu cầu SV hệ thống hóa, sáng tạo các bài toán từ những vấn đề sau [4]: Vấn đề 1. Trong Sách giáo khoa, sách bài tập có những dạng toán nào về tọa độ trong không gian? Những phương pháp giải từng dạng toán đó như thế nào? (Yêu cầu này đòi hỏi SV biết hệ thống hóa tri thức, kĩ năng). Vấn đề 2. Trong hệ tọa độ Đề-Các vuông góc Oxyz, cho tọa độ một điểm F và phương trình hai đường thẳng (∆1), (∆2). Hãy đề xuất những bài toán và hướng dẫn HS giải những bài toán đó. (Yêu cầu này đòi hỏi SV vừa biết hệ thống hóa, vừa biết sáng tạo ra những bài toán mới để rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS). Giải quyết vấn đề: Giả sử F (1;−1; 0), (∆1) : x+ 1 2 = y 1 = z − 1 −2 ; (∆2) : x 1 = y − 1 −2 = z + 2 2 ta có thể đề xuất những bài toán sau: - Xác định vị trí tương đối của F với (∆1 )? - Xác định vị trí tương đối của (∆1) và (∆2)? - F và (∆1), (∆2) có đồng phẳng hay không? - Viết phương trình mặt phẳng đi qua F và (∆1)? - Mặt phẳng qua F và (∆1) có song song với (∆2) hay không? 127 Bùi Văn Nghị và Đỗ Thị Trinh - Mặt phẳng qua F và (∆1) có vuông góc với (∆2) hay không? - Tính tọa độ hình chiếu của F trên (∆1)? - Tính tọa độ điểm F ′ đối xứng với F qua (∆1)? - Tìm điểm E thuộc (∆1) sao cho EF vuông góc với (∆2). - Tìm điểm E thuộc (∆1) và điểm P thuộc (∆2) sao cho F,E, P thẳng hàng. - Tìm giao điểm của (∆1) và mặt phẳng tạo bởi F và (∆2). - Viết phương trình hình chiếu của (∆1) lên mặt phẳng tạo bởi F và (∆2). - Tính tỉ số khoảng cách từ F đến (∆1) và (∆2). - Viết phương trình mặt phẳng qua F , song song với (∆1) và (∆2). - Viết phương trình đường thẳng qua F , cắt (∆1) và vuông góc với (∆2). - Viết phương trình đường thẳng qua F , cắt (∆1) và (∆2). - Viết phương trình các đường phân giác tạo bởi hai đường thẳng qua F , lần lượt song song với (∆1) và (∆2)... 2.2. Biện pháp rèn luyện những yếu tố của tư duy sáng tạo (tính nhuần nhuyễn, linh hoạt, độc đáo) * Cơ sở của biện pháp: Chúng ta biết rằng nhuần nhuyễn, linh hoạt, độc đáo là những thành tố cơ bản để sáng tạo (Theo Tôn Thân, 1995. Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS khá giỏi ở trường THCS Việt Nam (thể hiện qua chương Các trường hợp bằng nhau của tam giác ở lớp 7), Luận án phó Tiến sĩ. Trên cơ sở nhuần nhuyễn các tri thức (nhất là tri thức phương pháp), ta có thể tìm được nhiều giải pháp, xét theo nhiều phương diện để nhận thức và giải quyết vấn đề. Nếu không nhuần nhuyễn, không thành thạo, chưa biết hết mọi nhẽ thì đã khó có thể hiểu được, giải quyết được vấn đề, huống chi là suy nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Tính mềm dẻo giúp ta nhanh chóng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. Tính độc đáo là đặc trưng của sáng tạo. Ngoài ra còn có những yếu tố quan trọng khác như: Tính nhậy cảm vấn đề, tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại,... * Mục đích của biện pháp: Biện pháp này giúp cho các thầy cô giáo trong tương lai có trình độ chuyên môn vững vàng, xứng đáng là “bậc thầy” của HS. Biện pháp này góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho SV. * Cách thực hiện biện pháp: Bồi dưỡng các yếu tố của tư duy sáng tạo cho SV thông qua những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, giảng viên đưa ra những vấn đề như sau: Vấn đề 1. Giải bài toán sau bằng nhiều cách: Cho khối chóp OABC với OA = a,OB = b, OC = c. Góc ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 600. Tính thể tích khối chóp OABC? (i) Tính trực tiếp thể tích khối chóp theo công thức? 128 Rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm phát triển năng lực dạy học cho sinh viên Sư phạm toán (ii) Tính gián tiếp thể tích khối chóp nhờ định lí về tỉ số thể tích? (iii) Giải bằng phương pháp tọa độ? (iv) Giải bằng cách khác? (Bài toán trên nhằm rèn luyện sự nhuần nhuyễn trong giải toán cho SV) Vấn đề 2. Thay đổi giả thiết của bài toán trên bằng cách thay đổi số đo các góc ∠AOB,∠BOC,∠COA ta được những bài toán mới; ta có thể giải bài toán mới bằng những cách của bài toán ở trên hay không? Hãy phân tích những thuận lợi và khó khăn mới nảy sinh, đưa ra những giải pháp khắc phục. (Thông qua vấn đề này, ta có thể rèn luyện cho SV sự linh hoạt, sáng tạo trong giải toán). Vần đề 3. Đề xuất bài toán tổng quát từ những bài toán trên, hướng dẫn SV giải bài toán đó. (Thông qua vấn đề này, ta có thể rèn luyện cho SV tính sáng tạo trong giải toán). + Giải quyết vấn đề 1(giải bằng nhiều cách) Hình 1 Hình 2 Hình 3 Cách 1: Lấy ∆OAB làm đáy, tính khoảng cách CH từ C đến mặt phẳng (OAB) dựa vào khoảng cách CE,CF từ C đến OA, OB (Hình 1). Ta có OE = OF = c 2 . Suy ra OH = OE cos 300 = c√ 3 ⇒ CH = c √ 2√ 3 ⇒ VOABC = 1 3 .SOAB.CH = 1 3 . ab √ 3 4 . c √ 2√ 3 = abc √ 2 12 Cách 2: Trên tiaOB lấy điểmB′, trên tiaOC lấy điểm C ′, sao cho OB′ = OC ′ = a, ta được OAB′C ′ là tứ diện đều và V = a3 √ 2 12 (Hình2). Từ đó: VOABC VOAB′C′ = a.b.c a3 ⇒ VOABC = abc √ 2 12 Cách 3: Phương pháp tọa độ. Lập hệ tọa độ vuông góc Oxyz với O là gốc tọa độ, chiều dương trụcOx đi quaA, điểmB thuộc mặt phẳng (Oxy), thì A(a; 0; 0), B ( b 2 ; b √ 3 2 ; 0 ) (Hình 3). 129 Bùi Văn Nghị và Đỗ Thị Trinh Giả sử C(x0; y0; z0), z0 > 0 ta có:   cos( −→ OA, −→ OC) = cos 600 cos( −−→ OB, −→ OC) = cos 600 OC = c ⇒   ax0 ac = 1 2 bx0 + by0 √ 3 2ac = 1 2 x20 + y 2 0 + z 2 0 = c 2 ⇒   x0 = c 2 y0 = c √ 3 6 z0 = c √ 6 3 ⇒ VOABC = 1 3 .SOAB.CH = 1 3 . ab √ 3 4 . c √ 2√ 3 = abc √ 2 12 . + Giải quyết vấn đề 2: Thay đổi giả thiết của bài toán trên bằng cách thay đổi số đo các góc ∠AOB, ∠BOC, ∠COA, ta được những bài toán mới, chẳng hạn: Bài 1: Cho khối chóp OABC với OA = a,OB = b, OC = c, góc ∠AOB = 900, các góc ∠BOC = ∠COA = 600. Tính thể tích khối chóp OABC. Bài 2: Cho khối chóp OABC với OA = a,OB = b, OC = c, góc ∠AOB = 600, các góc ∠BOC = ∠COA = 450. Tính thể tích khối chóp OABC? Có thể giải bài 1 hoàn toàn tương tự như bài toán ban đầu, bằng cả 3 cách. Nhưng với bài toán 2, nếu giải theo cách 2, làm một cách rập khuôn, máy móc (trên tia OB lấy điểm B′, trên tia OC lấy điểm C ′, sao cho OB′ = OC ′ = a, rồi sử dụng tỉ số thể tích) thì các tam giác OAB′, OAC ′ là những tam giác cân đỉnh O có góc ở đỉnh bẳng 450, tính toán phức tạp hơn. Cũng với cách làm tương tự, nhưng cần phải linh hoạt hơn: trên tiaOB lấy điểm B′, trên tia OC lấy điểm C ′, sao cho OB′ = OC ′ = a √ 2, ta được các tam giác OAB′, OAC ′, OB′C ′ là các tam giác vuông cân sẽ thuận lợi cho việc tính toán. + Giải quyết vần đề 3: Bài toán tổng quát của những bài toán trên như sau: Cho khối chóp OABC với OA = a,OB = b, OC = c. Các góc ∠BOC,∠COA,∠AOB lần lượt bằng α, β, γ. Tính thể tích khối chóp OABC? Dựa theo những cách giải các bài toán cụ thể ở trên, ta có thể hướng dẫn SV giải bài toán tổng quát theo cách 1, như sau: Lấy ∆OAB làm đáy, tính khoảng cách CH từ C đến mặt phẳng (OAB) dựa vào khoảng cách CE,CF từC đếnOA,OB (Hình vẽ). Ta có:OE = c. cosα,OF = c. cos β. Áp dụng định lý sin và định lí côsin vào∆OEF , ta có: EF 2 = c2cos2α + c2cos2β − 2c2.cosα.cosβ.cosγ; OH = EF sin γ , CH = √ c2 −OH2 130 Rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm phát triển năng lực dạy học cho sinh viên Sư phạm toán = c sin γ √ 1− cos2 α− cos2 β − cos2 γ + 2 cosα. cosβ. cos γ. Vậy: Vc = abc 6 √ 1− cos2 α− cos2 β − cos2 γ + 2 cosα. cos β. cos γ. Giảng viên đưa ra và giải quyết những vấn đề trên nhằm tạo ra “tầm”, “tâm thế” cho người giáo viên. 3. Kết luận Trong các trường đào tạo giáo viên toán, việc rèn luyện kĩ năng giải toán để phát triển năng lực dạy học cho SV rất quan trọng, vì có kĩ năng giải toán là điều kiện cần, điều kiện tiên quyết của người giáo viên toán. Có thể rèn luyện kĩ năng giải toán cho SV bằng việc hệ thống hóa các dạng toán và các phương pháp giải mỗi dạng toán đó, đồng thời chú ý tới việc đề xuất bài toán tổng quát, các bài toán tương tự và sáng tạo các bài toán mới. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Như An, 1999. Về quy trình rèn luyện kỹ năng dạy học cho sinh viên sư phạm. Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, số 2. [2] Bùi Hiền, Nguyễn Văn Giao, Nguyễn Hữu Quỳnh và Vũ Văn Tảo, 2001. Từ điển Giáo dục học, Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội. [3] Nguyễn Bá Kim, 2003. Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [4] Bùi Văn Nghị, 2008. Giáo trình Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. ABSTRACT Teaching math problem solving skills to improve the teaching ability of math teachers now in training At teacher training colleges, the teaching of math problem solving skills is very important. Every math teacher should be able to teach mathematics problem solving skills. It would be a good idea to teach mathematics problem solving skills to students using systematic mathematics problem formats while at the same time pay attention to the proposed general problem and potential new problems. 131