Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên sư phạm Toán

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2011, Vol. 56, No. 4, pp. 3-12 RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHAI THÁC BÀI TOÁN CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN Bùi Duy Hưng Trường Đại học Sư phạm Hà Nội E-mail: buiduyhungtb@yahoo.com.vn Tóm tắt. Việc rèn luyện cho sinh viên sư phạm toán giải một cách sáng tạo các bài toán trong chương trình Toán ở trường trung học phổ thông là một trong các biện pháp góp phần nâng cao chất lượng đào tạo của trường Đại học Sư phạm. Bài báo đề xuất các hướng khai thác bài tập toán trung học phổ thông và cách tổ chức rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu các bài toán cho sinh viên sư phạm toán trên các giờ học chuyên đề tự chọn. 1. Mở đầu Để nâng cao chất lượng đào tạo giáo viên giảng dạy Toán ở các trường phổ thông, ngoài việc trang bị cho sinh viên sư phạm toán của các trường Đại học Sư phạm (ĐHSP) tri thức về phương pháp dạy học, cần rèn luyện và phát triển cho họ khả năng và phương pháp giải một cách sáng tạo các bài tập thuộc chương trình môn toán trung học phổ thông (THPT). Qua khảo sát thực tế, chúng tôi nhận thấy rằng nhiều sinh viên sư phạm toán chưa vận dụng thành thạo các tri thức cơ bản trong chương trình toán THPT để giải các bài tập, còn nhiều lúng túng khi gặp phải các bài toán khó trong sách giáo khoa môn Toán, đặc biệt hầu như chưa biết phương pháp khai thác, tìm tòi sáng tạo từ các bài toán. Để khắc phục những tồn tại đó chúng tôi cho rằng cần bồi dưỡng năng lực giải các bài tập và rèn luyện phương pháp khai thác các bài toán cho sinh viên sư phạm toán thông qua một hệ thống các bài tập toán THPT cùng với các biện pháp sư phạm phù hợp. Trong bài báo này chúng tôi đề xuất các hướng khai thác bài tập toán và cách tổ chức rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên sư phạm toán ở trường ĐHSP. 2. Nội dung nghiên cứu Tìm hiểu việc dạy học Toán ở trường THPT cho thấy một thực tế là việc dạy học một bài toán thường được kết thúc khi học sinh đã có được một lời giải cho bài toán. Nhiều giáo viên toán chưa chú trọng tới việc khai thác đào sâu các bài toán, 3 Bùi Duy Hưng nhằm phát triển năng lực trí tuệ nói chung và khả năng sáng tạo của học sinh nói riêng. Chúng tôi nhận thấy cần làm cho sinh viên sư phạm toán, trường ĐHSP nhận thấy sự cần thiết và hiệu quả của việc khai thác, đào sâu bài toán trong dạy học; trang bị cho họ phương pháp khai thác, đào sâu bài toán; áp dụng các biện pháp cần thiết để rèn luyện cho họ thực hành thông qua một hệ thống chọn lọc các bài toán thuộc chương trình môn toán THPT. Làm được như vậy sẽ đạt được mục tiêu kép. Thứ nhất, thông qua việc giải và khai thác bài toán thì sinh viên sẽ nắm chắc kiến thức môn toán THPT, hiểu sâu sắc những nội dung khó trong sách giáo khoa, trước mắt giảng dạy tốt trong các đợt thực tập sư phạm ở trường phổ thông. Thứ hai, giúp cho các giáo viên toán THPT tương lai biết cách khai thác, đào sâu một bài toán, từ đó có thể hướng dẫn, tổ chức học sinh thực hiện các công việc khai thác đó, góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn Toán. Việc khai thác bài toán có thể được thực hiện theo các hướng sau: - Nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm ra nhiều lời giải của bài toán, từ đó tìm lời giải hợp lí nhất. - Tiến hành các hoạt động đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa để tìm ra các kết quả mới, đề xuất các bài toán mới. - Tiến hành lật ngược vấn đề, đề xuất và nghiên cứu bài toán đảo. - Biến đổi bài toán và phát biểu chúng dưới các hình thức khác nhau để tạo sự linh hoạt và mềm dẻo của tư duy học sinh, góp phần hình thành cho họ các phẩm chất trí tuệ. Cần phải chú ý rằng, các kết quả nhận được nhờ suy đoán bằng tương tự, bằng khái quát hóa hay lật ngược vấn đề chỉ là các giả thuyết, có thể đúng, có thể sai, cần được kiểm nghiệm, chứng minh hay bác bỏ. Với mỗi bài toán có thể khai thác đào sâu theo những hướng khác nhau để thu được những kết quả mới, độc đáo, từ đó đề xuất được các bài toán mới. Chúng tôi đã tiến hành trang bị và rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu bài toán cho sinh viên sư phạm toán trên các giờ học chuyên đề tự chọn theo quy trình gồm các bước như sau: Bước 1. Trang bị tri thức Giảng viên trang bị cho sinh viên những tri thức lí luận cơ bản nhất về khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự, những dạng suy đoán thường gặp trong dạy học toán ở trường THPT. Bước 2. Nắm vững phương pháp Giới thiệu cho sinh viên các hướng khai thác, đào sâu một bài toán. Tổ chức cho sinh viên tập luyện hoạt động khai thác, đào sâu các bài toán theo từng hướng riêng rẽ như tiếp cận bài toán theo nhiều hướng khác nhau, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, lật ngược vấn đề, chuyển đổi bài toán sang dạng khác. Bước 3. Thực hành theo nhóm 4 Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên... Giảng viên lựa chọn các bài toán tiềm năng thuộc một số dạng điển hình trong sách giáo khoa môn Toán THPT. Các nhóm sinh viên tiến hành khai thác, đào sâu các bài toán đó. Họ thảo luận, bàn bạc với nhau về cách thức tiến hành công việc, về các kết quả đạt được, cùng đề xuất và giải quyết các bài toán mới. Bước 4. Tập luyện tổng hợp Giảng viên tổ chức và điều hành cho sinh viên các nhóm báo cáo các kết quả khai thác, đào sâu các bài toán đã được chuẩn bị. Trong bước này, việc khai thác đào sâu bài toán được tiến hành một cách toàn diện, hệ thống, tuần tự theo các hướng đã nêu ở trên, giúp cho sinh viên hiểu kỹ, khắc sâu và dần thành thạo việc khai thác, đào sâu bài toán, nâng cao khả năng giải và sáng tạo về toán THPT. Sau đây chúng tôi trình bày một số bài toán và các kết quả khai thác, đào sâu từ các bài toán đó. Bài toán 1. Chứng minh rằng trong hình bình hành ABCD có đẳng thức: AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2 (2.1) * Thứ nhất, Có thể chứng minh đẳng thức (2.1) theo các hướng sau: - Sử dụng công thức trung tuyến. m2a = b2 + c2 2 − a 2 4 hoặc b2 + c2 = 1 2 a2 + 2m2a vào ∆ABC và ACD. - Sử dụng các biểu thức véc tơ, để biến đổi vế phải của đẳng thức (2.1) như sau: AC2 +BD2 = −→ AC2 + −−→ BD2 = (−→ AB + −−→ BC )2 + (−−→ BC −−−→DC )2 = (−→ AB + −−→ BC )2 + (−−→ BC −−→AB )2 - Sử dụng công thức Cosine trong ∆ABC và ∆ABD. - Áp dụng dịnh lí Pitago sau khi hạ các đường vuông góc AH và DK lên đường thẳng BC. * Thứ hai, khai thác bài toán bằng đặc biệt hóa: Chuyển từ hình bình hành về các hình vuông hoặc hình thoi. Kết quả thu được thể hiện trong bài toán sau. Bài toán 1.1. Chứng minh rằng trong hình thoi cạnh a, tổng các bình phương hai đường chéo bằng 4a2. Đây là một bài toán dễ với học sinh lớp 10, có thể áp dụng định lí Pitago để giải bài toán mà không cần tới định lí Cosine. Tuy nhiên cũng nên nêu ra để sinh viên thấy được mối quan hệ của các bài toán. * Thứ ba, khai thác bài toán bằng cách phát biểu và giải bài toán đảo. 5 Bùi Duy Hưng Bài toán 1.2. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD thoả mãn đẳng thức (2.1) thì ABCD là hình bình hành. Việc giải trực tiếp bài toán 1.2 quả là không dễ dàng ngay cả với học sinh khá, giỏi của lớp 10 THPT, chúng ta sẽ trở lại bài toán này ở phần sau. * Thứ tư, khai thác bài toán bằng khái quát hóa, chuyển từ hình bình hành sang tứ giác bất kỳ. Khi nghiên cứu tứ giác ABCD ta có thể áp dụng công thức tổng bình phương hai cạnh của ∆ABC và ∆ACD như đã áp dụng trong hướng thứ nhất. Gọi M,N tương ứng là trung điểm các đường chéo AC và BD của tứ giác. Khi đó áp dụng công thức đường trung tuyến cho ∆ABC và ∆ACD có: AB2 +BC2 = 1 2 AC2 + 2BM2 DA2 +DC2 = 1 2 AC2 + 2DM2 Cộng hai đẳng thức được: AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 + 2(BM2 +DM2) (2.2) Tương tự, ∆MBD có: BM2 +DM2 = 1 2 BD2 + 2MN2 (2.3) Thế (2.3) vào (2.2) được: AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2 + 4MN2 (2.4) Từ kết quả này chúng ta có thể phát biểu bài toán cho tứ giác như sau. Bài toán 1.3. Chứng minh rằng trong tứ giác bất kỳ ABCD với trung điểm hai đường chéo là M và N luôn có đẳng thức: AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2 + 4MN2 Nhận thấy rằng khi đặc biệt hóa tứ giác ABCD bằng cách cho điểm M trùng với điểm N thì tứ giác ABCD trở thành hình bình hành và hệ thức (2.4) thành hệ thức (2.1). Từ đó nhận được kết quả: tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi thoả mãn hệ thức (2.1). Vậy bài toán 1.2 được giải nhờ vận dụng bài toán 1.3. Tiếp tục xem xét đẳng thức (2.4), nhận thấy đại lượng 4MN2 ≥ 0. Từ đó đề xuất được bài toán Bài toán 1.4. Chứng minh rằng trong tứ giác bất kỳ, tổng các bình phương bốn cạnh không nhỏ hơn tổng các bình phương hai đường chéo của nó. 6 Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên... * Thứ năm, khai thác bằng tương tự từ Hình học phẳng sang Hình học không gian. Trong Hình học không gian, hình hộp thường được coi là hình tương tự với hình bình hành trong Hình học phẳng. Khá nhiều tính chất của hình bình hành nhờ phép tương tự được chuyển thành các tính chất của hình hộp. Người giáo viên toán cần nắm được điều này, từ đó có cách hướng dẫn học sinh lớp 11 dựa vào kết quả đã biết của hình bình hành để giải bài toán trong hình hộp. Tính chất được đề cập trong bài toán 1 được chuyển thành bài toán sau đây, có mặt trong các sách giáo khoa Hình học lớp 11 THPT Bài toán 1.5. Chứng minh rằng tổng bình phương các cạnh của một hình hộp bằng tổng bình phương bốn đường chéo của nó. Việc giải bài toán 1.5 giúp học sinh củng cố tri thức về hình bình hành và thấy được mối liên hệ giữa các tri thức trong Hình học phẳng và Hình học không gian. Ngoài ra, giảng viên cũng gợi ý để những sinh viên có thể tiếp tục khai thác bài toán 1.3 theo các hướng như xét tứ diện ABCD, khái quát hóa trung điểmM,N của các đoạn AC,BD thành các điểm chia các đoạn đó theo tỉ số k nào đó. Bài toán 2. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Việc giải bài toán khá đơn giản với đa số học sinh lớp 12, chỉ cần tính diện tích tam giác đều ABC cạnh a và đường cao SH nhờ định lí Pitago, kết quả thu được là: V = 1 12 a2 √ 3b2 − a2 (2.5) Khi đặc biệt hóa bài toán 2, chúng ta cho a = b thì hình chóp đều trở thành tứ diện đều và chúng ta nhận được bài toán sau: Bài toán 2.1. Tính thể tích khối tứ diện đều có các cạnh bằng a. Kết quả nhận được thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V = √ 2a3 12 (2.6) Khai thác bài toán theo hướng thay hằng bởi biến Chúng ta cho một yếu tố nào đó của hình chóp đều S.ABC thay đổi và giữ nguyên yếu tố khác, khi đó thể tích V của khối chóp sẽ là một hàm số của một biến nào đó. Trước hết chúng ta cố định cạnh đáy hình chóp bằng a, cho cạnh bên SA = x thay đổi. Khi đó thể tích khối chóp S.ABC tính được là V = a2 √ 3x2 − a2 12 = f(x) (2.7) 7 Bùi Duy Hưng Thể tích V của khối chóp là một hàm số theo biến x thuộc khoảng ( a√ 3 ;+∞). Tính đạo hàm của hàm số, nhận thấy f ′(x) luôn dương, từ đó suy ra hàm f(x) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Đến đây có lẽ chúng ta chưa thu được kết quả thú vị nào. Theo một hướng khác, ta cố định cạnh bên SA = b và cho cạnh đáy của hình chóp thay đổi, đặt AB = x. Theo công thức (2.5) ta có được thể tích khối chóp là: V = x2 √ 3b2 − x2 12 = f(x) (2.8) Thể tích khối chóp bằng giá trị hàm số f(x) với biến x thuộc khoảng ( 0 ; √ 3 b ). Tính đạo hàm f ′(x) và lập bảng biến thiên của f(x) nhận được giá trị lớn nhất của thể tích V là: maxV = b3 6 , giá trị lớn nhất đạt được khi x = √ 2b. Từ kết quả nhận được ta đề xuất bài toán cực trị như sau. Bài toán 2.2. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB = x, cạnh bên SA = b. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo x và b. Khi x thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất của V . Một hướng khai thác bài toán 2 là biến đổi nó thành bài toán mở như sau Bài toán 2.3. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên SA = b, các yếu tố còn lại thay đổi. Tìm GTLN của thể tích V khối chóp S.ABC. Bài toán trên có tác dụng tốt trong việc rèn luyện và phát triển tư duy học sinh THPT, đặc biệt là tư duy sáng tạo, bởi vì thường có nhiều hướng tiếp cận để tìm lời giải bài toán. Ở đây có ba hướng mà giảng viên cần gợi ý cho sinh viên thực hiện tìm lời giải của bài toán. - Hướng 1: Đặt AB = x và tiến hành như giải bài toán 2.2. - Hướng 2: Đặt SH = x. Tính được: V = √ 3 4 x(b2 − x2). Từ đó có maxV = b 3 6 khi x = √ 3b 3 - Hướng 3: Gọi góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy bằng α. Không khó để học sinh tính được thể tích khối chóp là: V = √ 3 b3 cos2 α sinα 4 = √ 3 b3(1− sin2 x) sin x 4 (2.9) Sau đó đặt t = sinα, nhờ lập bảng biến thiên của hàm số y = t − t3 với t ∈ (0; 1) nhận được kết quả như đã có ở trên. Ngoài ra chúng ta có thể tiếp cận theo những hướng khác nữa, chẳng hạn đặt AH = x, gọi góc giữa cạnh bên SA và đường cao SH bằng β, hoặc góc ÂSB = 2α. Chuyển từ bài toán tính toán thành bài toán chứng minh bất đẳng thức (BĐT). 8 Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên... Trở lại bài toán 2, sau khi tính được thể tích khối chóp đều S.ABC theo công thức (2.5) ta biến đổi biểu thức V như sau: V = 1 24 √ (2a2)(2a2)(3b2 − a2) (2.10) Áp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dương được: (2a2)(2a2)(3b2 − a2) ≤ ( 2a2 + 2a2 + 3b2 − a2 3 )3 = ( a2 + b2 )3 (2.11) Từ (2.10) và (2.11) nhận được: V ≤ 1 24 √ (a2 + b2)3. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. Vậy bài toán ban đầu được chuyển thành bài toán về BĐT hình học sau đây: Bài toán 2.4. Khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b và có thể tích V . Chứng minh: V ≤ 1 24 √ (a2 + b2)3 Đến đây giảng viên khuyến khích sinh viên bằng cách biến đổi khéo léo và cũng áp dụng BĐT để tìm thêm một số bài toán tương tự nêu sau đây: Bài toán 2.5. Khối chóp đều S.ABC với cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b, có thể tích V . Chứng minh: V ≤ √ 2 60 √ (a2 + 2b2)3 Bài toán 2.6. Khối chóp đều S.ABC với cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b, có thể tích V . Chứng minh: V ≤ 1 120 √ (3a2 + b2)3 Ngoài các hướng đã xét ở trên, giảng viên còn gợi ý để sinh viên thực hiện các khai thác, đào sâu tương tự cho hình chóp tứ giác đều, ngũ giác đều và khái quát hóa cho hình chóp n-giác đều. Bài toán 3. Cho ba số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: ab c + bc a + ca b ≥ a+ b+ c (2.12) - Để chứng minh (2.12) có thể tiến hành theo nhiều hướng khác nhau. Dưới đây là một vài hướng phù hợp với các học sinh lớp 10 THPT với trình độ trung bình. Theo hướng thứ nhất, ta chỉ dùng các phép biến đổi đại số đơn giản, như quy đồng mẫu số vế trái, chuyển vế và thực hiện nhóm các số hạng phù hợp như sau: (2.12)⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b+ c) ⇔ 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 − 2abc(a + b+ c) ≥ 0 ⇔ (ab− bc)2 + (bc− ca)2 + (ca− ab)2 ≥ 0 (2.13) 9 Bùi Duy Hưng BĐT (2.13) đúng, vậy BĐT (2.12) được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: ab = bc = ca⇔ a = b = c. Theo hướng thứ hai, áp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số dương cho từng cặp số hạng ở vế trái của (2.12) ab c + bc a ≥ 2 √ ab c bc a = 2b, bc a + ca b ≥ 2c, ca b + ab c ≥ 2a Cộng vế với vế ba BĐT và rút gọn ta được BĐT (2.12). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có: ab c = bc a = ca b ⇔ a = b = c. Theo hướng thứ ba, từ BĐT quen thuộc: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, với x, y, z ∈ R, nhờ việc đặt: ab c = x2, bc a = y2, ca b = z2 ta nhận được (2.12). Tiếp theo chúng tôi chỉ ra các hướng có thể khai thác, đào sâu (2.12), đề xuất các bài toán phù hợp với chương trình môn toán lớp 10 THPT. - Trong bài toán 3 cho giả thiết a, b, c là các số dương và yêu cầu chứng minh (2.12). Theo hướng lật ngược vấn đề, ta đề nghị học sinh tìm điều kiện cần và đủ của các số a, b, c khác 0 để (2.12) đúng. Để tìm câu trả lời cần trở lại xem xét các lời giải ở trên của bài toán 3. Theo hướng thứ nhất tìm được điều kiện tích abc phải là số dương, theo hướng thứ hai thì không thể tìm được điều kiện đó. - Theo hướng đặc biệt hóa bài toán 3 có thể bổ sung điều kiện nào đó của ba số dương a, b, c. Chẳng hạn, hoặc là cho c = 1, hoặc là cho a + b + c = 1, cũng có thể cho ab c + bc a + ca b = 3 ta nhận được các bài toán sau Bài toán 3.1. Cho hai số dương a, b. Chứng minh: ab+ b a + a b ≥ a+ b+ 1 Bài toán 3.2. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a+ b+ c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: T = ab c + bc a + ca b Bài toán 3.3. Cho các số dương a, b, c thoả mãn a2b2+ b2c2+ c2a2 = 3abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a+ b+ c. - Khi xem xét tìm kiếm các BĐT tương tự với (2.12) cần chú ý tới mối liên hệ giữa số mũ của các thừa số có mặt ở tử thức, ở mẫu thức cả trong vế trái và vế phải của BĐT này. Không khó để có thể đề xuất các bài toán tương tự như sau: Bài toán 3.4. Cho các số dương a, b, c. Hãy chứng minh BĐT a2b c2 + b2c a2 + c2a b2 ≥ a + b+ c (2.14) 10 Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên... Bài toán 3.5. Cho các số dương a, b, c. Hãy chứng minh BĐT a3b c3 + b3c a3 + c3a b3 ≥ a+ b+ c (2.15) Bài toán 3.6. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh: a3b c3 + b3c a3 + c3a b3 ≥ a+ b+ c (2.16) Có thể chứng minh (2.14), (2.15), (2.16) bằng cách sử dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho các số dương. Chẳng hạn chứng minh BĐT (2.14) như sau: Áp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 3 số dương. a2b c2 + b2c a2 + c ≥ 3 3 √ a2b c2 b2c a2 .c = 3b⇒ a 2b c2 + b2c a2 ≥ 3b− c Tương tự có: b2c a2 + c2a b2 ≥ 3c− a và c 2a b2 + a2b c2 ≥ 3a− b Cộng ba BĐT theo các vế và rút gọn được (2.14). Ta cũng nêu ra được BĐT tương tự sau đây với các số dương a, b, c: a2b c + b2c a + c2a b ≥ a2 + b2 + c2 (2.17) Đây là một BĐT có hình thức khá đẹp, tuy nhiên khi bắt tay vào chứng minh nó chúng ta mới nhận ra rằng hoàn toàn không dễ dàng. Các phương pháp chứng minh thông thường được đem ra áp dụng đều không đạt kết quả. Khi đó tự nhiên nảy sinh một nghi vấn: hay là BĐT (2.17) là sai? Ta thử tìm một bộ ba số dương a, b, c mà (2.17) sai. Sau một hồi thử với các bộ ba số dương khác nhau, chúng tôi tìm thấy với a = 1, b = 2, c = 7 thì vế trái của (2.17) bằng 52 + 11 14 , còn vế phải bằng 54. Vậy (2.17) là sai với a = 1, b = 2, c = 7. Như vậy (2.17) không là BĐT đúng với mọi a, b, c dương. Tuy nhiên chúng ta lại đặt ra câu hỏi: Với điều kiện nào của các số dương a, b, c thì (2.17) là một BĐT đúng? Đây là vấn đề hay và khó, đề nghị các sinh viên khá, giỏi tiếp tục nghiên cứu. - Bây giờ ta chuyển sang tổng quát hóa BĐT (2.12) theo các hướng sau: Thứ nhất, tăng số biến, nghĩa là tăng số các số dương có mặt trong (2.12) từ ba số thành n số, với n nguyên dương lớn hơn 3. Thứ hai, tăng số mũ của các thừa số có mặt trong các vế của (2.12) từ 1, 2, 3 lên n. Có thể nhận được một số BĐT tổng quát của (2.12), một trong số đó là: 11 Bùi Duy Hưng Bài toán 3.6. Cho các số dương a, b, c và n là số nguyên dương tùy ý. Chứng minh: anb cn + bnc an + cna bn ≥ a+ b+ c (2.18) Giảng viên đề nghị sinh viên chứng minh các BĐT ở trên và tiếp tục nghiên cứu giải quyết trọn vẹn những vấn đế đã đặt ra mà việc nghiên cứu còn còn dở dang. 3. Kết luận Qua thực tế giảng dạy chuyên đề Giải toán THPT cho sinh viên chúng tôi nhận thấy rằng: Việc rèn luyện và phát triển năng lực khai thác, đào sâu các bài toán THPT cho sinh viên sư phạm toán, trường ĐHSP là cần thiết để nâng cao chất lượng đào tạo giáo viên toán. Việc đó có thể thực hiện được thông qua một hệ thống các bài toán và các biện pháp sư phạm phù hợp trên các giờ học chuyên đề tự chọn hoặc các buổi sinh hoạt của nhóm sinh viên yêu thích giải toán THPT. Qua đó góp phần làm cho sinh viên nâng cao khả năng giải toán, sáng tạo các bài toán và thêm yêu thích công việc giảng dạy Toán sau này ở trường THPT. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Polia G, 2010. Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [2] Polia G, 2010. Toán học và những suy luận có lý. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] Hoàng Chúng, 1969. Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [4] Nguyễn Cảnh Toàn, 1992. Tập