Tóm tắt. Việc rèn luyện cho sinh viên sư phạm toán giải một cách sáng tạo
các bài toán trong chương trình Toán ở trường trung học phổ thông là một
trong các biện pháp góp phần nâng cao chất lượng đào tạo của trường Đại
học Sư phạm. Bài báo đề xuất các hướng khai thác bài tập toán trung học
phổ thông và cách tổ chức rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu các
bài toán cho sinh viên sư phạm toán trên các giờ học chuyên đề tự chọn.
10 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 185 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên sư phạm Toán, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Sci. 2011, Vol. 56, No. 4, pp. 3-12
RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
KHAI THÁC BÀI TOÁN CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN
Bùi Duy Hưng
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
E-mail: buiduyhungtb@yahoo.com.vn
Tóm tắt. Việc rèn luyện cho sinh viên sư phạm toán giải một cách sáng tạo
các bài toán trong chương trình Toán ở trường trung học phổ thông là một
trong các biện pháp góp phần nâng cao chất lượng đào tạo của trường Đại
học Sư phạm. Bài báo đề xuất các hướng khai thác bài tập toán trung học
phổ thông và cách tổ chức rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu các
bài toán cho sinh viên sư phạm toán trên các giờ học chuyên đề tự chọn.
1. Mở đầu
Để nâng cao chất lượng đào tạo giáo viên giảng dạy Toán ở các trường phổ
thông, ngoài việc trang bị cho sinh viên sư phạm toán của các trường Đại học Sư
phạm (ĐHSP) tri thức về phương pháp dạy học, cần rèn luyện và phát triển cho họ
khả năng và phương pháp giải một cách sáng tạo các bài tập thuộc chương trình
môn toán trung học phổ thông (THPT). Qua khảo sát thực tế, chúng tôi nhận thấy
rằng nhiều sinh viên sư phạm toán chưa vận dụng thành thạo các tri thức cơ bản
trong chương trình toán THPT để giải các bài tập, còn nhiều lúng túng khi gặp phải
các bài toán khó trong sách giáo khoa môn Toán, đặc biệt hầu như chưa biết phương
pháp khai thác, tìm tòi sáng tạo từ các bài toán. Để khắc phục những tồn tại đó
chúng tôi cho rằng cần bồi dưỡng năng lực giải các bài tập và rèn luyện phương
pháp khai thác các bài toán cho sinh viên sư phạm toán thông qua một hệ thống
các bài tập toán THPT cùng với các biện pháp sư phạm phù hợp.
Trong bài báo này chúng tôi đề xuất các hướng khai thác bài tập toán và cách
tổ chức rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên sư phạm
toán ở trường ĐHSP.
2. Nội dung nghiên cứu
Tìm hiểu việc dạy học Toán ở trường THPT cho thấy một thực tế là việc dạy
học một bài toán thường được kết thúc khi học sinh đã có được một lời giải cho bài
toán. Nhiều giáo viên toán chưa chú trọng tới việc khai thác đào sâu các bài toán,
3
Bùi Duy Hưng
nhằm phát triển năng lực trí tuệ nói chung và khả năng sáng tạo của học sinh nói
riêng. Chúng tôi nhận thấy cần làm cho sinh viên sư phạm toán, trường ĐHSP nhận
thấy sự cần thiết và hiệu quả của việc khai thác, đào sâu bài toán trong dạy học;
trang bị cho họ phương pháp khai thác, đào sâu bài toán; áp dụng các biện pháp
cần thiết để rèn luyện cho họ thực hành thông qua một hệ thống chọn lọc các bài
toán thuộc chương trình môn toán THPT. Làm được như vậy sẽ đạt được mục tiêu
kép. Thứ nhất, thông qua việc giải và khai thác bài toán thì sinh viên sẽ nắm chắc
kiến thức môn toán THPT, hiểu sâu sắc những nội dung khó trong sách giáo khoa,
trước mắt giảng dạy tốt trong các đợt thực tập sư phạm ở trường phổ thông. Thứ
hai, giúp cho các giáo viên toán THPT tương lai biết cách khai thác, đào sâu một
bài toán, từ đó có thể hướng dẫn, tổ chức học sinh thực hiện các công việc khai thác
đó, góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và nâng cao hiệu quả dạy học
bộ môn Toán.
Việc khai thác bài toán có thể được thực hiện theo các hướng sau:
- Nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm ra nhiều lời giải của
bài toán, từ đó tìm lời giải hợp lí nhất.
- Tiến hành các hoạt động đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa để tìm
ra các kết quả mới, đề xuất các bài toán mới.
- Tiến hành lật ngược vấn đề, đề xuất và nghiên cứu bài toán đảo.
- Biến đổi bài toán và phát biểu chúng dưới các hình thức khác nhau để tạo sự
linh hoạt và mềm dẻo của tư duy học sinh, góp phần hình thành cho họ các phẩm
chất trí tuệ.
Cần phải chú ý rằng, các kết quả nhận được nhờ suy đoán bằng tương tự,
bằng khái quát hóa hay lật ngược vấn đề chỉ là các giả thuyết, có thể đúng, có thể
sai, cần được kiểm nghiệm, chứng minh hay bác bỏ. Với mỗi bài toán có thể khai
thác đào sâu theo những hướng khác nhau để thu được những kết quả mới, độc đáo,
từ đó đề xuất được các bài toán mới.
Chúng tôi đã tiến hành trang bị và rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu
bài toán cho sinh viên sư phạm toán trên các giờ học chuyên đề tự chọn theo quy
trình gồm các bước như sau:
Bước 1. Trang bị tri thức
Giảng viên trang bị cho sinh viên những tri thức lí luận cơ bản nhất về khái
quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự, những dạng suy đoán thường gặp trong dạy học
toán ở trường THPT.
Bước 2. Nắm vững phương pháp
Giới thiệu cho sinh viên các hướng khai thác, đào sâu một bài toán. Tổ chức
cho sinh viên tập luyện hoạt động khai thác, đào sâu các bài toán theo từng hướng
riêng rẽ như tiếp cận bài toán theo nhiều hướng khác nhau, khái quát hóa, đặc biệt
hóa, tương tự hóa, lật ngược vấn đề, chuyển đổi bài toán sang dạng khác.
Bước 3. Thực hành theo nhóm
4
Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên...
Giảng viên lựa chọn các bài toán tiềm năng thuộc một số dạng điển hình trong
sách giáo khoa môn Toán THPT. Các nhóm sinh viên tiến hành khai thác, đào sâu
các bài toán đó. Họ thảo luận, bàn bạc với nhau về cách thức tiến hành công việc,
về các kết quả đạt được, cùng đề xuất và giải quyết các bài toán mới.
Bước 4. Tập luyện tổng hợp
Giảng viên tổ chức và điều hành cho sinh viên các nhóm báo cáo các kết quả
khai thác, đào sâu các bài toán đã được chuẩn bị. Trong bước này, việc khai thác
đào sâu bài toán được tiến hành một cách toàn diện, hệ thống, tuần tự theo các
hướng đã nêu ở trên, giúp cho sinh viên hiểu kỹ, khắc sâu và dần thành thạo việc
khai thác, đào sâu bài toán, nâng cao khả năng giải và sáng tạo về toán THPT.
Sau đây chúng tôi trình bày một số bài toán và các kết quả khai thác, đào sâu
từ các bài toán đó.
Bài toán 1. Chứng minh rằng trong hình bình hành ABCD có đẳng thức:
AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2 (2.1)
* Thứ nhất, Có thể chứng minh đẳng thức (2.1) theo các hướng sau:
- Sử dụng công thức trung tuyến.
m2a =
b2 + c2
2
− a
2
4
hoặc b2 + c2 =
1
2
a2 + 2m2a vào ∆ABC và ACD.
- Sử dụng các biểu thức véc tơ, để biến đổi vế phải của đẳng thức (2.1) như
sau:
AC2 +BD2 =
−→
AC2 +
−−→
BD2
=
(−→
AB +
−−→
BC
)2
+
(−−→
BC −−−→DC
)2
=
(−→
AB +
−−→
BC
)2
+
(−−→
BC −−→AB
)2
- Sử dụng công thức Cosine trong ∆ABC và ∆ABD.
- Áp dụng dịnh lí Pitago sau khi hạ các đường vuông góc AH và DK lên
đường thẳng BC.
* Thứ hai, khai thác bài toán bằng đặc biệt hóa: Chuyển từ hình bình hành
về các hình vuông hoặc hình thoi. Kết quả thu được thể hiện trong bài toán sau.
Bài toán 1.1. Chứng minh rằng trong hình thoi cạnh a, tổng các bình phương
hai đường chéo bằng 4a2.
Đây là một bài toán dễ với học sinh lớp 10, có thể áp dụng định lí Pitago để
giải bài toán mà không cần tới định lí Cosine. Tuy nhiên cũng nên nêu ra để sinh
viên thấy được mối quan hệ của các bài toán.
* Thứ ba, khai thác bài toán bằng cách phát biểu và giải bài toán đảo.
5
Bùi Duy Hưng
Bài toán 1.2. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD thoả mãn đẳng thức (2.1)
thì ABCD là hình bình hành.
Việc giải trực tiếp bài toán 1.2 quả là không dễ dàng ngay cả với học sinh khá,
giỏi của lớp 10 THPT, chúng ta sẽ trở lại bài toán này ở phần sau.
* Thứ tư, khai thác bài toán bằng khái quát hóa, chuyển từ hình bình hành
sang tứ giác bất kỳ. Khi nghiên cứu tứ giác ABCD ta có thể áp dụng công thức
tổng bình phương hai cạnh của ∆ABC và ∆ACD như đã áp dụng trong hướng thứ
nhất.
Gọi M,N tương ứng là trung điểm các đường chéo AC và BD của tứ giác.
Khi đó áp dụng công thức đường trung tuyến cho ∆ABC và ∆ACD có:
AB2 +BC2 =
1
2
AC2 + 2BM2
DA2 +DC2 =
1
2
AC2 + 2DM2
Cộng hai đẳng thức được:
AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 + 2(BM2 +DM2) (2.2)
Tương tự, ∆MBD có:
BM2 +DM2 =
1
2
BD2 + 2MN2 (2.3)
Thế (2.3) vào (2.2) được:
AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2 + 4MN2 (2.4)
Từ kết quả này chúng ta có thể phát biểu bài toán cho tứ giác như sau.
Bài toán 1.3. Chứng minh rằng trong tứ giác bất kỳ ABCD với trung điểm
hai đường chéo là M và N luôn có đẳng thức:
AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2 + 4MN2
Nhận thấy rằng khi đặc biệt hóa tứ giác ABCD bằng cách cho điểm M trùng
với điểm N thì tứ giác ABCD trở thành hình bình hành và hệ thức (2.4) thành hệ
thức (2.1). Từ đó nhận được kết quả: tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ
khi thoả mãn hệ thức (2.1). Vậy bài toán 1.2 được giải nhờ vận dụng bài toán 1.3.
Tiếp tục xem xét đẳng thức (2.4), nhận thấy đại lượng 4MN2 ≥ 0. Từ đó đề
xuất được bài toán
Bài toán 1.4. Chứng minh rằng trong tứ giác bất kỳ, tổng các bình phương bốn
cạnh không nhỏ hơn tổng các bình phương hai đường chéo của nó.
6
Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên...
* Thứ năm, khai thác bằng tương tự từ Hình học phẳng sang Hình học không
gian.
Trong Hình học không gian, hình hộp thường được coi là hình tương tự với
hình bình hành trong Hình học phẳng. Khá nhiều tính chất của hình bình hành nhờ
phép tương tự được chuyển thành các tính chất của hình hộp. Người giáo viên toán
cần nắm được điều này, từ đó có cách hướng dẫn học sinh lớp 11 dựa vào kết quả
đã biết của hình bình hành để giải bài toán trong hình hộp. Tính chất được đề cập
trong bài toán 1 được chuyển thành bài toán sau đây, có mặt trong các sách giáo
khoa Hình học lớp 11 THPT
Bài toán 1.5. Chứng minh rằng tổng bình phương các cạnh của một hình hộp
bằng tổng bình phương bốn đường chéo của nó.
Việc giải bài toán 1.5 giúp học sinh củng cố tri thức về hình bình hành và
thấy được mối liên hệ giữa các tri thức trong Hình học phẳng và Hình học không
gian.
Ngoài ra, giảng viên cũng gợi ý để những sinh viên có thể tiếp tục khai thác
bài toán 1.3 theo các hướng như xét tứ diện ABCD, khái quát hóa trung điểmM,N
của các đoạn AC,BD thành các điểm chia các đoạn đó theo tỉ số k nào đó.
Bài toán 2. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
b. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Việc giải bài toán khá đơn giản với đa số học sinh lớp 12, chỉ cần tính diện
tích tam giác đều ABC cạnh a và đường cao SH nhờ định lí Pitago, kết quả thu
được là:
V =
1
12
a2
√
3b2 − a2 (2.5)
Khi đặc biệt hóa bài toán 2, chúng ta cho a = b thì hình chóp đều trở thành
tứ diện đều và chúng ta nhận được bài toán sau:
Bài toán 2.1. Tính thể tích khối tứ diện đều có các cạnh bằng a.
Kết quả nhận được thể tích khối tứ diện đều cạnh a là
V =
√
2a3
12
(2.6)
Khai thác bài toán theo hướng thay hằng bởi biến
Chúng ta cho một yếu tố nào đó của hình chóp đều S.ABC thay đổi và giữ
nguyên yếu tố khác, khi đó thể tích V của khối chóp sẽ là một hàm số của một biến
nào đó.
Trước hết chúng ta cố định cạnh đáy hình chóp bằng a, cho cạnh bên SA = x
thay đổi. Khi đó thể tích khối chóp S.ABC tính được là
V =
a2
√
3x2 − a2
12
= f(x) (2.7)
7
Bùi Duy Hưng
Thể tích V của khối chóp là một hàm số theo biến x thuộc khoảng (
a√
3
;+∞).
Tính đạo hàm của hàm số, nhận thấy f ′(x) luôn dương, từ đó suy ra hàm f(x) đồng
biến trên từng khoảng xác định của nó. Đến đây có lẽ chúng ta chưa thu được kết
quả thú vị nào.
Theo một hướng khác, ta cố định cạnh bên SA = b và cho cạnh đáy của hình
chóp thay đổi, đặt AB = x. Theo công thức (2.5) ta có được thể tích khối chóp là:
V =
x2
√
3b2 − x2
12
= f(x) (2.8)
Thể tích khối chóp bằng giá trị hàm số f(x) với biến x thuộc khoảng ( 0 ;
√
3 b ).
Tính đạo hàm f ′(x) và lập bảng biến thiên của f(x) nhận được giá trị lớn
nhất của thể tích V là: maxV =
b3
6
, giá trị lớn nhất đạt được khi x =
√
2b.
Từ kết quả nhận được ta đề xuất bài toán cực trị như sau.
Bài toán 2.2. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB = x, cạnh bên
SA = b. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo x và b. Khi x thay đổi, hãy tìm
giá trị lớn nhất của V .
Một hướng khai thác bài toán 2 là biến đổi nó thành bài toán mở như sau
Bài toán 2.3. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên SA = b, các yếu tố còn
lại thay đổi. Tìm GTLN của thể tích V khối chóp S.ABC.
Bài toán trên có tác dụng tốt trong việc rèn luyện và phát triển tư duy học
sinh THPT, đặc biệt là tư duy sáng tạo, bởi vì thường có nhiều hướng tiếp cận để
tìm lời giải bài toán. Ở đây có ba hướng mà giảng viên cần gợi ý cho sinh viên thực
hiện tìm lời giải của bài toán.
- Hướng 1: Đặt AB = x và tiến hành như giải bài toán 2.2.
- Hướng 2: Đặt SH = x.
Tính được: V =
√
3
4
x(b2 − x2). Từ đó có maxV = b
3
6
khi x =
√
3b
3
- Hướng 3: Gọi góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy bằng α. Không khó để học
sinh tính được thể tích khối chóp là:
V =
√
3 b3 cos2 α sinα
4
=
√
3 b3(1− sin2 x) sin x
4
(2.9)
Sau đó đặt t = sinα, nhờ lập bảng biến thiên của hàm số y = t − t3 với
t ∈ (0; 1) nhận được kết quả như đã có ở trên.
Ngoài ra chúng ta có thể tiếp cận theo những hướng khác nữa, chẳng hạn đặt
AH = x, gọi góc giữa cạnh bên SA và đường cao SH bằng β, hoặc góc ÂSB = 2α.
Chuyển từ bài toán tính toán thành bài toán chứng minh bất đẳng thức
(BĐT).
8
Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên...
Trở lại bài toán 2, sau khi tính được thể tích khối chóp đều S.ABC theo công
thức (2.5) ta biến đổi biểu thức V như sau:
V =
1
24
√
(2a2)(2a2)(3b2 − a2) (2.10)
Áp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dương được:
(2a2)(2a2)(3b2 − a2) ≤
(
2a2 + 2a2 + 3b2 − a2
3
)3
=
(
a2 + b2
)3 (2.11)
Từ (2.10) và (2.11) nhận được: V ≤ 1
24
√
(a2 + b2)3. Dấu đẳng thức xảy ra khi
a = b. Vậy bài toán ban đầu được chuyển thành bài toán về BĐT hình học sau đây:
Bài toán 2.4. Khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b
và có thể tích V . Chứng minh: V ≤ 1
24
√
(a2 + b2)3
Đến đây giảng viên khuyến khích sinh viên bằng cách biến đổi khéo léo và
cũng áp dụng BĐT để tìm thêm một số bài toán tương tự nêu sau đây:
Bài toán 2.5. Khối chóp đều S.ABC với cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b,
có thể tích V . Chứng minh: V ≤
√
2
60
√
(a2 + 2b2)3
Bài toán 2.6. Khối chóp đều S.ABC với cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b,
có thể tích V . Chứng minh: V ≤ 1
120
√
(3a2 + b2)3
Ngoài các hướng đã xét ở trên, giảng viên còn gợi ý để sinh viên thực hiện các
khai thác, đào sâu tương tự cho hình chóp tứ giác đều, ngũ giác đều và khái quát
hóa cho hình chóp n-giác đều.
Bài toán 3. Cho ba số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
≥ a+ b+ c (2.12)
- Để chứng minh (2.12) có thể tiến hành theo nhiều hướng khác nhau. Dưới
đây là một vài hướng phù hợp với các học sinh lớp 10 THPT với trình độ trung
bình.
Theo hướng thứ nhất, ta chỉ dùng các phép biến đổi đại số đơn giản, như quy
đồng mẫu số vế trái, chuyển vế và thực hiện nhóm các số hạng phù hợp như sau:
(2.12)⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b+ c)
⇔ 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 − 2abc(a + b+ c) ≥ 0
⇔ (ab− bc)2 + (bc− ca)2 + (ca− ab)2 ≥ 0 (2.13)
9
Bùi Duy Hưng
BĐT (2.13) đúng, vậy BĐT (2.12) được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: ab = bc = ca⇔ a = b = c.
Theo hướng thứ hai, áp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân
của hai số dương cho từng cặp số hạng ở vế trái của (2.12)
ab
c
+
bc
a
≥ 2
√
ab
c
bc
a
= 2b,
bc
a
+
ca
b
≥ 2c, ca
b
+
ab
c
≥ 2a
Cộng vế với vế ba BĐT và rút gọn ta được BĐT (2.12).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có:
ab
c
=
bc
a
=
ca
b
⇔ a = b = c.
Theo hướng thứ ba, từ BĐT quen thuộc: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, với
x, y, z ∈ R, nhờ việc đặt: ab
c
= x2,
bc
a
= y2,
ca
b
= z2 ta nhận được (2.12).
Tiếp theo chúng tôi chỉ ra các hướng có thể khai thác, đào sâu (2.12), đề xuất
các bài toán phù hợp với chương trình môn toán lớp 10 THPT.
- Trong bài toán 3 cho giả thiết a, b, c là các số dương và yêu cầu chứng minh
(2.12). Theo hướng lật ngược vấn đề, ta đề nghị học sinh tìm điều kiện cần và đủ
của các số a, b, c khác 0 để (2.12) đúng. Để tìm câu trả lời cần trở lại xem xét các
lời giải ở trên của bài toán 3. Theo hướng thứ nhất tìm được điều kiện tích abc phải
là số dương, theo hướng thứ hai thì không thể tìm được điều kiện đó.
- Theo hướng đặc biệt hóa bài toán 3 có thể bổ sung điều kiện nào đó của ba
số dương a, b, c. Chẳng hạn, hoặc là cho c = 1, hoặc là cho a + b + c = 1, cũng có
thể cho
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
= 3 ta nhận được các bài toán sau
Bài toán 3.1. Cho hai số dương a, b. Chứng minh: ab+
b
a
+
a
b
≥ a+ b+ 1
Bài toán 3.2. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a+ b+ c = 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của: T =
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
Bài toán 3.3. Cho các số dương a, b, c thoả mãn a2b2+ b2c2+ c2a2 = 3abc. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức P = a+ b+ c.
- Khi xem xét tìm kiếm các BĐT tương tự với (2.12) cần chú ý tới mối liên
hệ giữa số mũ của các thừa số có mặt ở tử thức, ở mẫu thức cả trong vế trái và vế
phải của BĐT này.
Không khó để có thể đề xuất các bài toán tương tự như sau:
Bài toán 3.4. Cho các số dương a, b, c. Hãy chứng minh BĐT
a2b
c2
+
b2c
a2
+
c2a
b2
≥ a + b+ c (2.14)
10
Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên...
Bài toán 3.5. Cho các số dương a, b, c. Hãy chứng minh BĐT
a3b
c3
+
b3c
a3
+
c3a
b3
≥ a+ b+ c (2.15)
Bài toán 3.6. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh:
a3b
c3
+
b3c
a3
+
c3a
b3
≥ a+ b+ c (2.16)
Có thể chứng minh (2.14), (2.15), (2.16) bằng cách sử dụng BĐT giữa trung
bình cộng và trung bình nhân cho các số dương. Chẳng hạn chứng minh BĐT (2.14)
như sau:
Áp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 3 số dương.
a2b
c2
+
b2c
a2
+ c ≥ 3 3
√
a2b
c2
b2c
a2
.c = 3b⇒ a
2b
c2
+
b2c
a2
≥ 3b− c
Tương tự có:
b2c
a2
+
c2a
b2
≥ 3c− a và c
2a
b2
+
a2b
c2
≥ 3a− b
Cộng ba BĐT theo các vế và rút gọn được (2.14).
Ta cũng nêu ra được BĐT tương tự sau đây với các số dương a, b, c:
a2b
c
+
b2c
a
+
c2a
b
≥ a2 + b2 + c2 (2.17)
Đây là một BĐT có hình thức khá đẹp, tuy nhiên khi bắt tay vào chứng minh nó
chúng ta mới nhận ra rằng hoàn toàn không dễ dàng. Các phương pháp chứng minh
thông thường được đem ra áp dụng đều không đạt kết quả. Khi đó tự nhiên nảy
sinh một nghi vấn: hay là BĐT (2.17) là sai? Ta thử tìm một bộ ba số dương a, b, c
mà (2.17) sai. Sau một hồi thử với các bộ ba số dương khác nhau, chúng tôi tìm
thấy với a = 1, b = 2, c = 7 thì vế trái của (2.17) bằng 52 +
11
14
, còn vế phải bằng
54. Vậy (2.17) là sai với a = 1, b = 2, c = 7. Như vậy (2.17) không là BĐT đúng với
mọi a, b, c dương. Tuy nhiên chúng ta lại đặt ra câu hỏi: Với điều kiện nào của các
số dương a, b, c thì (2.17) là một BĐT đúng? Đây là vấn đề hay và khó, đề nghị các
sinh viên khá, giỏi tiếp tục nghiên cứu.
- Bây giờ ta chuyển sang tổng quát hóa BĐT (2.12) theo các hướng sau: Thứ
nhất, tăng số biến, nghĩa là tăng số các số dương có mặt trong (2.12) từ ba số thành
n số, với n nguyên dương lớn hơn 3.
Thứ hai, tăng số mũ của các thừa số có mặt trong các vế của (2.12) từ 1, 2, 3
lên n.
Có thể nhận được một số BĐT tổng quát của (2.12), một trong số đó là:
11
Bùi Duy Hưng
Bài toán 3.6. Cho các số dương a, b, c và n là số nguyên dương tùy ý. Chứng
minh:
anb
cn
+
bnc
an
+
cna
bn
≥ a+ b+ c (2.18)
Giảng viên đề nghị sinh viên chứng minh các BĐT ở trên và tiếp tục nghiên
cứu giải quyết trọn vẹn những vấn đế đã đặt ra mà việc nghiên cứu còn còn dở dang.
3. Kết luận
Qua thực tế giảng dạy chuyên đề Giải toán THPT cho sinh viên chúng tôi
nhận thấy rằng: Việc rèn luyện và phát triển năng lực khai thác, đào sâu các bài
toán THPT cho sinh viên sư phạm toán, trường ĐHSP là cần thiết để nâng cao
chất lượng đào tạo giáo viên toán. Việc đó có thể thực hiện được thông qua một hệ
thống các bài toán và các biện pháp sư phạm phù hợp trên các giờ học chuyên đề tự
chọn hoặc các buổi sinh hoạt của nhóm sinh viên yêu thích giải toán THPT. Qua
đó góp phần làm cho sinh viên nâng cao khả năng giải toán, sáng tạo các bài toán
và thêm yêu thích công việc giảng dạy Toán sau này ở trường THPT.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Polia G, 2010. Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[2] Polia G, 2010. Toán học và những suy luận có lý. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[3] Hoàng Chúng, 1969. Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông.
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[4] Nguyễn Cảnh Toàn, 1992. Tập