Rút gọn các biểu thức số

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) b) c) Lời giải : 𝑎) √20 − √45 + 3√18 + √72 = √22. 5 − √32. 5 + 3√32. 2 + √62. 2 = 2√5 − 3√5 + 3.3√2 + 6√2 = (2 − 3)√5 + (9 + 6)√2 = 15√2 − √5 𝑏) (√28 − 2√3 + √7)√7 + √84 = (√22. 7 − 2√3 + √7)√7 + √22. 21 = (2√7 − 2√3 + √7)√7 + 2√21 = 2√7. √7 − 2√3. √7 + √7. √7 + 2√21 = 2.7 + 7 − 2√21 + 2√21 = 21 𝑐) (√6 + √5)2 − √120 = 6 + 2√30 + 5 − √22. 30 = 11 + 2√30 − 2√30 = 11 Nhận xét 1: Đối với các bài toán trên thường ta phải khôn khéo trong quá trình biến đổi làm sao để đưa một thừa số ra ngoài dấu căn bằng cách áp dụng công thức √𝐴2. 𝐵 = 𝐴√𝐵 và trong quá trình biến đổi ta được kết quả như sau: 𝑎√𝐴 + 𝑏√𝐴 − 𝑐√𝐴 + 𝑑 = (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)√𝐴 + 𝑑 với 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑅 𝑣à 𝐴 ≥ 0 -----hoc247.vn----- Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau 𝑎) 𝐴 = 1 √5 + 3 − 1 √5 − 3 𝑏) 𝐵 = √4 − 2√3 √6 − √2 𝑐) 𝐶 = 1 2 + √3 + √2 √6 − 2 3 + √3 Lời giải: 𝑎) 𝐴 = 1 √5 + 3 − 1 √5 − 3 = √5−3−√5−3 (√5−3)(√5+3) = −6 5−9 = −6 −4 = 3 2 𝑏) 𝐵 = √4 − 2√3 √6 − √2 = √3−2√3+1 √6−√3 = √(√3−1)2 √6−√2 = √3−1 √6−√2 = √3−1 √3.2−√2 = √3−1 √2(√3−1) = 1 √2 c) C = 1 2 + √3 + √2 √6 − 2 3 + √3 = 1 2+√3 + √2 √2.3 − 2 √3(√3+1) = 1 2+√3 + 1 √3 − 2 √3(√3+1) Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai = √3(√3+1)+(2+√3)(√3+1)−2(2+√3) (2+√3)√3(√3+1) = 3+√3+2√3+2+3+√3−4−2√3 (2+√3)√3(√3+1) = 2√3+4 (2+√3)√3(√3+1) = 2(√3+2) (2+√3)√3(√3+1) = 2 √3(√3 + 1) = 2.√3(√3−1) √3.√3(√3+1)(√3−1) = 2√3(√3−1) 3.(3−1) = 2√3(√3−1) 3.2 = 3−√3 3 = 1 − √3 3 Nhận xét 2: Đối với những bài tập rút gọn biểu thức chứa căn ở dạng phân số thường ta sẽ quy đồng mẫu số, sau đó rút gọn tử số, khi đã rút gọn tử số ta phân tích tử số thành tích các thừa số nếu như ở cả tử và mẫu đều có thừa số chung khác không ta đơn giản chúng đi. . Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau 𝑎) 2√2(√3 − 2) + (1 + 2√2)2 − 2√6 = 9 𝑏) √2 + √3 + √2 − √3 = √6 Lời giải: 𝑎) 2√2(√3 − 2) + (1 + 2√2)2 − 2√6 = 9 Biến đổi vế trái ta có 2√2(√3 − 2) + (1 + 2√2) 2 − 2√6 = 2√2. √3 − 4√2 + 1 + 4√2 + 8 − 2√6 = 2√6 − 4√2 + 1 + 4√2 + 8 − 2√6 = 9 = Vế phải Vậy đẳng thức được chứng minh Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai 𝑏) √2 + √3 + √2 − √3 = √6 𝐵𝑖ế𝑛 đổ𝑖 𝑣ế 𝑡𝑟á𝑖 𝑡𝑎 𝑐ó: √2 + √3 + √2 − √3 = √2 (√2 + √3 + √2 − √3) √2 = √4 + 2√3 + √4 − 2√3 √2 = √(√3 + 1)2 + √(√3 − 1)2 √2 = |√3 + 1| + |√3 − 1| √2 = √3 + 1 + √3 − 1 √2 = 2√3 √2 = √3. √2 = √6 = Vế phải Vậy đẳng thức đã được chứng minh Nhận xét 3: Đối với những bài tập chứng minh đẳng thức ta thường chọn vế phức tạp để biến đổi, sau khi biến rút gọn ta được vế phải và từ đó đẳng thức được chứng minh Lưu ý: Nếu như khi làm bài xuất hiện √𝐴2với 𝐴 ∈ 𝑅 nếu như ta biến đổi thành √𝐴2 = 𝐴 là sai do 𝐴 ∈ 𝑅 ta chưa biết được 𝐴 là số dương hay số âm nếu 𝐴 là số âm tức là √𝐴2là số âm điều này là vô lí nên khi làm bài ta nên biến √𝐴2 = |𝐴| rồi ta xét em nếu 𝐴 là số âm thì|𝐴| = −(−𝐴) còn nếu 𝐴 là số dương thì |𝐴| = 𝐴.