Sóng gió Chương 6 Các đặc trưng thống kê của sóng gió

Ch−ơng 6 CáC ĐặC TRƯNG THốNG KÊ CủA SóNG GIó 6.1 Các ph−ơng pháp thống kê dùng mô tả sóng ngẫu nhiên 6.1.1 Sóng mặt đại d−ơng nh− là một hàm thống kê Tốc độ gió là một biến ngẫu nhiên cả về quy mô thời gian ngắn và dài. Trong một quy mô ngắn, một vài phút, tốc độ gió tại một điểm có một giá trị và h−ớng trung bình nào đó, nh−ng nó thay đổi xung quanh các giá trị này một cách ngẫu nhiên, không dự đoán đ−ợc. Tuy nhiên, trong một khoảng thời gian ngắn thì các đặc tr−ng thống kê ở một mức độ nào đó là không đổi. Do vậy mà ta có thể coi đó là một quá trình ngẫu nhiên dừng. Các biến đổi ngắn hạn này có thể đ−ợc mô tả một cách thống kê. Các quan trắc cho thấy rằng biên độ của vận tốc gió tại một thời điểm nào đó một cách gần đúng tuân theo phân bố Gauss (xem Hình 6.1) Trên một quy mô thời gian dài hơn, các giá trị trung bình trong khoảng thời gian ngắn tự thân chúng là biến đổi. ở đây, ta có thể phân biệt các quy mô thời gian vài giờ, vài ngày, vài tuần, vài tháng, mấy mùa, mấy năm hay mấy thập kỷ v.v.... ở quy mô thời gian nhiều nhất là vài ngày, có thể dự báo đ−ợc vận tốc gió trung bình ngắn hạn bằng một mô hình khí quyển với số liệu đầu vào là trạng thái thời tiết hiện tại (dự báo thời tiết). Trong ngành kỹ thuật ngoài khơi và bờ biển, ng−ời ta th−ờng phải xem xét những hiệu ứng tích lũy nhiều năm hay nhiều thập kỷ (nh− hình thái bờ biển, sự đổ vỡ của các công trình) hay các sự kiện đặc biệt có xác suất xảy ra nhỏ trong khoảng thời gian nhiều năm, nh− là tuổi thọ thiết kế của công trình. Trong cả hai tr−ờng hợp quy mô thời gian là vài thập kỷ. Với quy mô thời gian đó, vận tốc gió trung bình ngắn hạn là không thể dự báo đ−ợc một cách xác định vì ta không biết rằng khi nào thì một cơn bão với một c−ờng độ và hình thái nào đó xảy ra, hoặc là thậm chí nó có xảy ra hay không. Trên một quy mô thời gian dài đó, trung bình ngắn hạn của vận tốc gió có thể đ−ợc xử lý nh− là một biến ngẫu nhiên có các tính chất thống kê nhất thiết phải đ−ợc tính toán từ các quan trắc (các số liệu chế độ gió). Trong những tr−ờng hợp này ta nói tới các đặc tr−ng thống kê dài hạn. Những ph−ơng pháp phân loại t−ơng tự có thể đ−ợc áp dụng cho sóng gió. Sóng gió trong biển có thể đ−ợc coi là các quá trình dừng trong một khoảng thời gian cho tới khoảng chừng nửa giờ. Trên một quy mô thời gian dài hơn, những biến đổi về vận tốc gió, sự thay đổi của mực n−ớc triều hay dòng triều có thể thay đổi các đặc tr−ng của sóng gió. 66 Tốc độ gió (m/s) Biểu đồ Hàm phân bố Gauss Hình 6.1 Phân bố xác suất của vận tốc gió tức thời tại độ cao 12 m trên mực n−ớc biển (MSL), so sánh với một hàm Gauss pdf (Theo Battjes, 1984) Hiện tại, chúng ta hãy bỏ qua các tính chất không gian của mặt biển và chỉ xem xét dao động của mặt n−ớc ( )tζ đối với mặt n−ớc biển trung bình ngắn hạn tại một điểm cố định. Hình 6.2 cho ta một số ghi nhận của ( )tζ trong một số tr−ờng hợp biến đổi nhiều, từ sóng gió với quy mô hẹp của phòng thí nghiệm tới sóng lừng đại d−ơng. Các ghi chép này có một điểm chung là chúng cho thấy một bộ phận của các dao động biến đổi theo dạng và độ cao, và không bao giờ lặp lại một cách chính xác. Bởi vì một tính chất cơ bản của sóng bề mặt là tính ngẫu nhiên của nó, việc dự báo sóng chỉ có thể thực hiện đ−ợc bằng cách phân tích thống kê mặt biển qua ba miền: thời gian, tần số và xác suất. Trong miền thời gian, các hàm tự t−ơng quan và t−ơng quan chéo đ−ợc tính từ các ghi chép sóng. Hàm tự t−ơng quan là th−ớc đo của mối liên hệ giữa hai giá trị ( )tζ và ( )τζ +t của biến ngẫu nhiên ζ . Từ chuỗi thời gian của một đại l−ợng cho tr−ớc, nh− bề mặt n−ớc, vận tốc quỹ đạo hay áp suất, các moment thống kê đầu tiên có thể đ−ợc tính toán một cách trực tiếp. Phân tích tần số áp dụng chủ yếu cho việc đánh giá sự phân bố của năng l−ợng sóng theo tần số và h−ớng. Có hai ph−ơng pháp tìm phổ tần số. Ph−ơng pháp truyền thống là dựa trên việc biến đổi Fourier của hàm t−ơng quan. Cơ sở lý thuyết của phép biến đổi này đ−ợc cho bởi định lý Wiener-Khinchine. Việc biến đổi hàm t−ơng quan cho ta hàm mật độ phổ của một biến nào đó. Một cách biểu hiện phổ tổng hợp của sóng mặt có thể có đ−ợc khi mà phân 67 bố năng l−ợng theo tần số cũng nh− h−ớng đ−ợc tính đến. Phổ đạt đ−ợc đ−ợc gọi là phổ tần số và h−ớng. Hình 6.2 Ghi chép của mặt n−ớc khi có sóng (Wiegel, 1964) Ph−ơng pháp thứ hai là chuyển một cách trực tiếp chuỗi thời gian thành các thành phần 68 Fourier. Kỹ thuật này, th−ờng đ−ợc gọi là biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform, FFT), đ−ợc Cooley and Tukey (1965) đ−a ra lần đầu tiên. Nó giảm bớt số l−ợng các tính toán từ một số tỷ lệ với (n là số l−ợng các mẫu) thành một số gần tỷ lệ với và đã tạo ra một cuộc cách mạng trong phân tích phổ các chuỗi thời gian. 2n nn log Nếu sóng lan truyền trong một môi tr−ờng không đồng nhất, phổ của sóng biến đổi theo không gian và thời gian. Điều này chủ yếu là do t−ơng tác của sóng với tr−ờng gió, dòng chảy biến đổi và độ sâu n−ớc. Việc biến đổi chậm chạp của phổ đ−ợc biểu diễn bằng ph−ơng trình vận chuyển bức xạ (hay ph−ơng trình vận chuyển hay ph−ơng trình động năng). Trong miền xác suất, các thông số sóng cụ thể nh− là tọa độ của các dịch chuyển bề mặt tại một thời điểm cho tr−ớc, biên độ sóng, độ cao sóng, chu kỳ sóng v.v... đ−ợc coi là các sự kiện ngẫu nhiên cơ bản. Cách tiếp cận bằng xác suất là dễ hiểu khi ta xử lý các số liệu đã đ−ợc số hoá. Các số liệu đã đ−ợc số hoá của một thông số nào đó tạo ra một tập hợp các thể hiện ngẫu nhiên của một biến ngẫu nhiên, khi mà chuỗi thời gian của biến đ−ợc xem xét. Kết quả cuối cùng của ph−ơng pháp tiếp cận này đ−ợc biểu hiện bằng các hàm mật độ xác suất, các hàm phân bố và các moment thống kê. Có thể thu đ−ợc đặc tr−ng thống kê đơn giản nhất khi mà ta giả thiết rằng tr−ờng sóng quan trắc là tổng của một số l−ợng rất lớn các sóng độc lập về mặt động lực học. Đây là cơ sở của mô hình Gauss, mà nó chỉ cần hai moment đầu tiên là đủ để mô tả tr−ờng sóng một cách thống kê hoàn chỉnh. Tuy nhiên, trong đại d−ơng thực, do có t−ơng tác phi tuyến của các thành phần phổ và các quá trình tiêu tán năng l−ợng, có thể thấy một sự khác biệt lớn so với mô hình Gauss. Sóng đại d−ơng trong rất nhiều tr−ờng hợp cần đ−ợc xem là các quá trình thống kê phi Gauss. 6.1.2 Các định nghĩa và khái niệm cơ bản của phân tích chuỗi thời gian a) Biến thống kê Nh− đã trình bày tr−ớc, mực n−ớc tại một thời điểm nào đó sẽ đ−ợc coi là một biến thống kê ζ . Hàm mật độ xác suất ( )ζp , định nghĩa là xác xuất để ζ có đ−ợc một giá trị giữa 1ζ và 2ζ đ−ợc cho bởi: { } ζζζζζζ ζζ ζ dpdP d r ∫ + =+<< 1 1 11 ( ) (6.1) 69 ( ) ( ) dxxpP ∫ ∞− = ζ ζ Hình 6.3 Hàm mật độ xác suất ( )ζp và hàm phân bố ( )ζP t−ơng ứng Theo đó thì xác xuất để ζ là nhỏ hơn hay bằng 1ζ là: { } ( ) ( 11 1 ζζζζζ ζ PdpPr ==≤ ∫ ∞− ) (6.2) ( )ζP đ−ợc gọi là hàm phân bố của ζ . Một diễn giải của hàm mật độ xác suất ( )ζp và hàm phân bố ( )ζP đ−ợc trình bày trên hình 6.3. Một biến thống kê ζ có thể đ−ợc đặc tr−ng bằng giá trị trung bình, độ lệch tiêu chuẩn, skewness và kurtosis t−ơng ứng đ−ợc định nghĩa là: trung bình (6.3) [ ] ( ) ζζζζμζ dpE ∫∞ ∞− === 70 độ lệch tiêu chuẩn (6.4) ( ) ( ) 2/12 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −== ∫∞ ∞− ζζμζσ ζζ dp skewness ( ) ( ) 3/131 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ∫∞ ∞− ζζμζσ ζζ dp (6.5) kurtosis ( ) ( ) 4/141 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ∫∞ ∞− ζζμζσ ζζ dp (6.6) với [ ]ζE ký hiệu giá trị trung bình của ζ . Bình ph−ơng của độ lệch tiêu chuẩn đ−ợc gọi là variance của biến thống kê ζ . Một hàm mật độ xác suất rất phổ biến là hàm mật độ xác suất Gauss, đ−ợc định nghĩa là: ( ) ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−= 2 2 2 exp 2 1 ζ ζ ζ σ μζ πσζp (6.7) Trong thực tế, các giá trị trung bình th−ờng đ−ợc tính không phải từ các hàm mật độ xác suất mà từ một tập hợp các giá trị mẫu của ζ (ensemble). Giá trị trung bình đ−ợc tính nh− vậy đ−ợc gọi là trung bình tập hợp và đ−ợc ký hiệu là: trung bình ∑ = == N i iN 1 1 ζμζ (6.8) variance ( 2 1 2 1 ∑ = −== N iN ζζ μζσ ) (6.9) với N là số l−ợng các số liệu của tập hợp mẫu. Một tập hợp của hai biến thống kê ξζ , đ−ợc đặc tr−ng hoàn toàn bằng một hàm mật độ xác suất chung ( )ξζ ,p (một hàm mật độ xác suất hai chiều). T−ơng tự với ở trên, hàm này đ−ợc định nghĩa sao cho xác suất để ζ nhận một giá trị giữa 1ζ và ζζ d+1 , và để ξ nhận một giá trị giữa 1ξ và ξξ d+1 đ−ợc cho bởi { } ( ) ξζξζξζξζξξξξζζζζ ζζ ζ ξξ ξ ddpddpddP d d r 111111 ,,, 1 1 1 1 ≈=+≤≤+≤≤ ∫ ∫ + + ( ) (6.10) Mối liên hệ giữa hai biến thống kê đ−ợc biểu thị bằng hệ số t−ơng quan, đ−ợc định nghĩa nh− sau: ( )( ){ }ξζ ξζ ξζ μξμζσσ −−= EK 1 , (6.11) b) Các quá trình thống kê 71 Một tập hợp các biến thống kê có thể đ−ợc xếp thứ tự theo một nghĩa nào đó. Thí dụ, một tập hợp rất lớn độ cao của mặt n−ớc biển tại một vị trí nào đó có thể đ−ợc xếp thứ tự căn cứ vào thời gian quan trắc. Chú ý rằng một biến thống kê ζ tại một thời điểm t là một biến thống kê khác ζ tại thời điểm , và là một biến thống kê khác 2t ζ tại thời điểm v.v... Một tập hợp có thứ tự nh− vậy của các biến thống kê 3t( )itζ đ−ợc gọi là một quá trình thống kê, biểu thị nh− là ( ){ t }ζ . Thí dụ nh− chúng ta hãy xem xét một máng sóng trong đó có một máy tạo gió để tạo ra sóng tại mặt n−ớc trong máng. Máy đo sóng đo đạc độ cao mực n−ớc nh− là một hàm của thời gian tại một điểm nào đó trong máng. Các đo đạc bắt đầu khi mà gió bắt đầu thổi, tức là từ một mặt n−ớc phẳng. Ban đầu các sóng còn nhỏ nh−ng khi mà gió tiếp tục thổi thì sóng trở nên lớn hơn và dài hơn. Cuối cùng đạt tới một trạng thái theo một số nghĩa nào đó là không đổi theo thời gian. Kết quả của thí nghiệm là một chuỗi mẫu của các biến thống kê ( )1tζ , ( )2tζ , ( )3tζ v.v..., với ( )itζ là độ cao mặt n−ớc tại một thời điểm nào đó trong thí nghiệm. Một thí nghiệm giống hệt nh− thế có thể đ−ợc lặp lại để có đ−ợc nhiều mẫu số liệu trong những điều kiện giống hệt nhau. Biến thống kê ( )itζ giống nh− nhiều biến thống kê khác, đ−ợc đặc tr−ng bởi hàm mật độ xác suất (có thể là hay không phải là dạng Gauss). Điều này có nghĩa là cần một hàm mật độ xác suất (th−ờng là khác nhau) để đặc tr−ng cho mực n−ớc tại mỗi thời điểm . it Các hàm mật độ xác xuất chung của biến tại hai thời điểm khác nhau là cần thiết để biểu thị các biến thống kê nh− là một quá trình, thí dụ nh− tập hợp của mực n−ớc đ−ợc xếp theo thứ tự thời gian. Mỗi mẫu số liệu đ−ợc gọi là một thể hiện của biến thống kê và đ−ợc biểu thị bằng một chỉ số thể hiện k và nh− vậythể hiện thứ k của biến thống kê it ( )itζ đ−ợc ký hiệu bằng ( )ik tζ . Tập hợp của tất cả các thể hiện đ−ợc gọi là một tập hợp. Các giá trị trung bình tính từ các thể hiện này đ−ợc gọi là trung bình tập hợp. Nếu tất cả các hàm mật độ xác suất của các biến thống kê của một quá trình là Gaussian, quá trình đ−ợc gọi là quá trình Gauss. Một quá trình Gauss là khá đơn giản để mô tả vì ta chỉ cần giá trị trung bình và covariance. Giả thiết là tồn tại một tập hợp k các ghi chép sóng ( ){ }tkζ , thu đ−ợc với các điều kiện vĩ mô giống hệt nhau, thí dụ nh− vị trí trên mặt đại d−ơng, độ sâu n−ớc, tốc độ gió trung bình, vận tốc gió trung bình, nhiệt độ n−ớc và không khí v.v... Thậm chí trong các điều kiện đồng nhất, chúng ta không thể hy vọng rằng các ghi chép sóng này là đồng nhất hay rất giống nhau về các chi tiết. Vì vậy, một họ ( ){ tk }ζ diễn tả k thể hiện của quá trình thống kê ( )tζ . Với 72 một k cho tr−ớc, ( )tζ là một hàm của thời gian t, khi mà 1tt = , ( ){ }tkζ là một biến ngẫu nhiên. Các quá trình thống kê có thể thuộc về một trong ba loại: a) dừng và ergodic, b) dừng, và c) không dừng. Một quá trình ngẫu nhiên (hay hàm ngẫu nhiên) là dừng theo một nghĩa rộng nếu nó có một giá trị trung bình theo thời gian không đổi và một hàm tự t−ơng quan có giá trị chỉ phụ thuộc vào khác biệt thời gian ( )[ ] consttE == ζζ (6.12) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )τζζ KttEttKttK ==−= 212121 , , 21 tt −=τ (6.13) trong đó K( ) là một hàm tự t−ơng quan. Nói một cách chặt chẽ, một quá trình ngẫu nhiên là dừng nếu nh− nó không đổi cho dù có biến đổi thời gian. Cả hai định nghĩa dừng này là trùng hợp khi mà ζ là một quá trình Gauss với tất cả các đặc tr−ng thống kê của ζ hoàn toàn đ−ợc xác định bởi các moment thứ nhất và thứ hai. Định nghĩa chặt chẽ này th−ờng đ−ợc nới lỏng và khái niệm dừng theo nghĩa rộng th−ờng đ−ợc sử dụng. Nói chung, khi mà dùng một tập hợp các ghi chép sóng ( ){ }tkζ , chúng ta có thể tìm ra một hàm bất kỳ của ζ , thí dụ F, sao cho ( ){ }tF kζ . Cụ thể hơn, chúng ta hãy chọn thời gian , trong họ 1tt = ( ){ tk }ζ . Khi mà F chính là giá trị ζ thì phép lấy trung bình ( ){ 1tF k }ζ với k sẽ cho ta một trung bình tập hợp của quá trình tại 1tt = , tức là: ( ){ }[ ] ( )[ ] ( ) N t tEtFE N k k Nkkkk ∑ = ∞→== 1 1 11 lim ζ ζζ (6.14) Điều kiện chỉ là khái niệm vì trong thực tế N luôn luôn là hữu hạn. ∞→N Khi mà ( ){ } ( )[ 211 ttF kk ζζ = ] , thì phép lấy trung bình ( ){ }1tF kζ với k cho ta variance tại . 1tt = Bây giờ ta định nghĩa F nh− sau: ( ){ } ( ) ⎩⎨ ⎧ ≤<= khác hợptr−ờng u nế 0 1 1 1 bta tF kk ζζ (6.15) Phép lấy trung bình trên một tập hợp ( ){ }[ ]kk tFE 1ζ có thể đ−ợc diễn giải là xác suất tập hợp sao cho ( )1tkζ nằm trong khoảng từ a tới b tại 1tt = . Lặp lại phép lấy trung bình trên tại các thời gian khác nhau giúp cho ta có đ−ợc các giá 73 trị số trị khác nhau của các đặc tr−ng thống kê. Tuy nhiên, kỹ thuật quan trắc lặp lại cho phép ta có đ−ợc một tập hợp k ghi chép sóng có thể áp dụng trong bể sóng phòng thí nghiệm, nh−ng không thể áp dụng cho hiện t−ợng sóng ngoài hiện tr−ờng. Để giải quyết các khó khăn này, định lý ergodic th−ờng đ−ợc sử dụng. Định lý này cho phép ta thay thế trung bình tập hợp bằng trung bình thời gian. Định lý ergodic phát biểu rằng (Kinsman, 1965): Nếu ( )tkζ là một hàm ngẫu nhiên dừng thỏa mãn tính ergodic, các đặc tr−ng thống kê tính đ−ợc bằng cách lấy trung bình tập hợp tại một thời điểm *tt = là đồng nhất với các đặc tr−ng thống kê t−ơng ứng tính bằng phép lấy trung bình thời gian đối với mỗi thể hiện cho tr−ớc . *kk = Nh− vậy, một quá trình dừng thỏa mãn tính ergodic cần thỏa mãn đẳng thức sau: ( ){ }[ ] ( ) ( ){ }[ ] ( ){ }∫ ∑ − =∞→ = = ∞→ = = = == T T kkt tkk N k k Nkk dttF T tFE N tt ttFE * * 2 1lim lim 1 * * ζ ζ ζ ζ (6.16) Chúng ta có thể nói rằng các quá trình dừng là một tập hợp con của các quá trình thống kê thì các quá trình ergodic thậm chí còn là một tập hợp con của các quá trình dừng. Tầm quan trọng của định lý ergodic là nó cho phép ta tìm đ−ợc các đặc tr−ng thống kê của quá trình ( )tζ bằng cách dùng một thể hiện đủ dài. Tuy nhiên, ng−ời ta ch−a bao giờ chứng minh đ−ợc tính ergodic của sóng đại d−ơng vì các thí nghiệm không thể lặp lại một cách chính xác trong đại d−ơng nh− chúng đ−ợc lặp lại trong phòng thí nghiệm. Có thể chứng minh rằng điều kiện đủ để một quá trình sóng dừng ( )tζ là ergodic là hàm tự tuơng quan ( )τK thoả mãn điều kiện sau (Tikhonov, 1966): ( ) 0=τK tại ∞→τ (6.17) Giờ chúng ta hãy biểu diễn khả năng áp dụng của định lý ergodic và điều kiện (6.17) cho một quá trình đơn giản. Chúng ta giả thiết là chúng ta có một tập hợp các ghi chép của một quá trình ( ){ } kk zt =ζ . Điều này có nghĩa là với một k nào đó, quá trình ( )tkζ là không đổi và bằng . Rõ ràng là quá trình này là dừng. Tại một thời điểm t, bất cứ một đặc tr−ng thống kê nào, thí dụ nh− giá trị trung bình tính với cả tập hợp cho một số đồng nhất. Tuy nhiên khi mà một ghi chép đơn kz ( )tkk= *ζ đ−ợc lựa chọn ngẫu nhiên và trung bình thời gian của nó đ−ợc tính nh− sau: 74 ( )[ ] ( )∫ − = ∞→ = = T T kk t tkk dtt T tE ** 2 1lim ζζ (6.18) thì rõ ràng là: ( )[ ] ( )[ ] tkktk tEttE ** =≠= ζζ (6.19) Nh− vậy, rõ ràng là quá trình đơn giản này là dừng, nh−ng không ergodic. Điều kiện (6.17) rõ ràng là không đ−ợc thỏa mãn vì: ( ) ( ) ( )[ ] 22 **** 2 1lim k T ktkkkk zdtz T ttEK ==+= ∫ −∞→ == τζζτ T } (6.20) Trong các phần tiếp theo ta giả thiết rằng tính ergodic là thỏa mãn cho các quá trình trình bày trong bài giảng này. Nh− vậy, thay thế cho một tập hợp các ghi chép ( ){ tkζ , một ghi chép đơn ( )tζ sẽ đ−ợc sử dụng. 6.1.3 Các cơ sở của việc mô tả phổ sóng đại d−ơng Chúng ta hãy bắt đầu bằng việc mô tả chuỗi sóng quan trắc đ−ợc tại một điểm P(x,y) bằng ph−ơng pháp xác định. Ph−ơng pháp mô tả xác định là khởi đầu tự nhiên của các mô hình ngẫu nhiên đ−ợc cho sau đây. Dạng mặt n−ớc của một sóng lan truyền theo ph−ơng tạo một góc θ với trục x có thể đ−ợc biểu thị nh− sau: ( ) ( )[ ]ϕωθθζ +−+= tyxkatyx sincoscos,, (6.21) trong đó h là độ sâu n−ớc, ϕ là dịch chuyển pha và k là số sóng ( L/2π= với L là b−ớc sóng) liên hệ với tần số góc ω ( fT ππ 2/2 == với f là tần số sóng) bằng mối liên hệ phân tán tuyến tính: ( )khgk tanh2 =ω (6.22) Cách đơn giản và tự nhiên nhất dùng để diễn tả mặt n−ớc là chồng chất tuyến tính nhiều thành phần điều hoà lan truyền theo nhiều h−ớng khác nhau. Một diễn giải đơn giản của quá trình chồng chất này là thí dụ trên hình 6.4 mà 13 thành phần đ−ợc cộng lại để tạo ra một profile sóng cuối cùng. Nh− vậy, dùng ph−ơng trình (6.21), ph−ơng trình mô tả mặt n−ớc khi có sóng có thể đ−ợc viết nh− sau: ( ) ( )[∑ = +−+= N l llllll tyxkatyx 1 sincoscos,, ϕωθθζ ] (6.23) H−ớng lθ và pha lϕ phủ một khoảng ππ ,− ; và biên độ sóng và tần số nằm trong khoảng và ∞≤≤ la0 ∞≤≤ lω0 . 75 B iê n độ Thời gian Mặt n−ớc khi có sóng Các thành phần phổ Năng l−ợng phổ M ặt n −ớ c bi ển Hình 6.4 Chồng chất của các thành phần phổ và phổ kết quả Nếu nh− có thể giả thiết là mặt sóng là một chồng chất tuyến tính của một số vô hạn các sóng điều hoà lan truyền theo các h−ớng khác nhau và có biên độ thay đổi liên tục theo tần số và h−ớng truyền, ph−ơng trình (6.23) trở thành: ( ) ( ) ( )[ θωϕωθθθωζ π π ddtyxkatyx ∫ ∫∞ − +−+= 0 sincoscos,2,, ] (6.24) Dùng ký hiệu của Euler's: ( ) ( )[ ααα ii −+= expexp 2 1cos ] (6.25) chúng ta có thể viết lại ph−ơng trình (6.24) d−ới dạng: 76 ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ θωθθθωϕθωζ π π ddyxikiatyx sincosexp,exp,,, 0 += ∫ ∫∞ − ] (6.26) 6.2 Mô tả sóng gió bằng phổ 6.2.1 Phổ năng l−ợng của sóng gió Variance của mặt n−ớc, đ−ợc viết là trong đó 2ζσ ζσ là độ lệch tiêu chuẩn, là một đại l−ợng quan trọng để mô tả thống kê các quá trình sóng. Giá trị này liên hệ chặt chẽ với năng l−ợng sóng trung bình trên một đơn vị diện tích E 2 ζσρgE = (6.27) Vì lý do này mà hai khái niệm “variance” và “năng l−ợng” sẽ đ−ợc dùng thay thế cho nhau vì thực ra chỉ là bỏ qua ρg khi nói tới năng l−ợng sóng. Với một quá trình dừng, cần phải xác định giá trị trung bình (hay là giá trị bình ph−ơng trung bình của các dao động xung quanh giá trị trung bình) trong một ghi chép trong một khoảng thời gian đủ dài (về mặt lý thuyết là dài vô hạn). Với các điều kiện nào đó luôn thoả mãn cho sóng tạo bởi gió, thí dụ nh− các trung bình thời gian cho kết quả đồng nhất với các kết quả của trung bình tập hợp t−ơng ứng. Điều này dùng rất nhiều trong tự nhiên, loại trừ là khoảng thời gian lấy trung bình là hữu hạn (th−ờng là 15 tới 30 phút với sóng gió) và tạo ra các sai số lấy mẫu trong các kết quả. Tuy nhiên, nếu ta cố gắng giảm các sai số này bằng cách dùng các ghi chép thời gian dài hơn, có thể phát sinh vấn đề về tính không dừng của bài toán. Nh− ta đã trình bày tr−ớc, tính dao động của sóng gió (và các quá trình t−ơng tự) cho ta giả thiết rằng ta có thể xem nó nh− là một chồng chất tuyến tính của một số sóng hình sin có biên độ, tần số và pha khác nhau. Các sóng này đ−ợc gọi là các thành phần phổ. Trong phép phân tích phổ hay phân tích Fourier, một ghi chép nào đó đ−ợc phân chia thành các thành phần phổ. Các hàm biểu thị sự phân bố của năng l−ợng và pha