Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 18-27 This paper is available online at SỬ DỤNG QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA TRONG DẠY HỌC XÁC SUẤT Ở NHÀ TRƯỜNG PHỔ THÔNG Nguyễn Thị Tân An Khoa Toán, Đại học Sư phạm Huế Email: tanan0704@gmail.com Tóm tắt. Bài báo khảo sát cách học sinh giải quyết hai tình huống xác suất thực tế cụ thể từ đó đề xuất một số biện pháp tích hợp quá trình toán học hóa (THH) vào dạy học giúp phát triển hiểu biết xác suất của học sinh. Qua thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy rằng mặc dù học sinh chưa biết về quá trình THH, nhưng khi đối mặt với một tình huống thực tế, các em có xu hướng thực hiện 3 bước của quá trình này. Từ khóa: Quá trình toán học hóa, hiểu biết thống kê, dạy học xác suất. 1. Đặt vấn đề Toán học hóa dựa trên giả thuyết “Giáo dục toán học thực tế” của Freudenthal, bắt đầu ở Hà Lan vào những năm 1980. Theo giả thuyết này, toán học là một khía cạnh quan trọng và cần thiết của sự phát triển kinh tế vì vậy giáo dục toán nên xuất phát từ các tình huống thực tế và với mục đích tạo ra các kĩ năng có thể áp dụng được trong các tình huống xã hội. THH cho phép học sinh kết nối giữa toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng ứng dụng của các ý tưởng toán. Khi gặp một tình huống thực tế, học sinh cần hiểu tình huống, đặt giả thiết và đưa ra phương pháp giải quyết. Nói cách khác, THH giúp học sinh hiểu toán sâu sắc hơn và nâng cao chất lượng của việc học toán. Ý tưởng của bài báo này là tích hợp quá trình THH vào dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông dưới dạng ẩn tàng thông qua các tình huống thực tế, nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu hơn các khái niệm xác suất cũng như thấy được mối liên hệ giữa xác suất và thực tế. Trước tiên, chúng tôi xem xét nội dung xác suất trong chương trình hiện nay và chú trọng đến phân tích các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu định nghĩa và các thành phần của hiểu biết xác suất, cũng như đề cập đến bốn bước của quá trình THH. Cuối cùng là phần trình bày chi tiết kết quả nghiên cứu cùng với thảo luận. 18 Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Xác suất trong chương trình Hai thập kỉ qua, chương trình toán trong nhà trường ở nhiều nước trên thế giới đã có sự chú ý đáng kể đối với lĩnh vực xác suất và thống kê. Ở nước ta, nếu không kể đến chương trình thí điểm phân ban năm 1995, trong các sách giáo khoa toán trước đây chỉ trình bày phần tổ hợp mà không có phần xác suất. Nhận thức được vai trò quan trọng của xác suất đối với con người trong xã hội hiện đại, từ năm 2006 nội dung xác suất lần đầu tiên đã được đưa vào dạy đại trà cho học sinh THPT với mục đích “giúp học sinh làm quen với những vấn đề đơn giản có nội dung liên quan đến xác suất thường gặp trong đời sống và khoa học”, “từng bước đưa chương trình THPT của ta dần hội nhập với quốc tế” (Bộ GD & ĐT, 2007). Phần xác suất trong chương trình toán nâng cao của lớp 11 gồm 11 tiết, cấu trúc thành ba bài “Biến cố và xác suất của biến cố”, “Các quy tắc tính xác suất”, “Biến ngẫu nhiên rời rạc”. Mục tiêu của nội dung xác suất được đưa ra cụ thể trong sách giáo viên (Bộ GD & ĐT, 2007) như sau: Về kiến thức, giúp học sinh: - Nắm được các khái niệm xác suất cơ bản: phép thử, không gian mẫu, biến cố liên quan đến phép thử, tập hợp mô tả biến cố, kết quả thuận lợi cho một biến cố; - Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển; - Nắm chắc các khái niệm hợp và giao của hai biến cố, nhận biết hai biến cố xung khắc, hai biến cố độc lập; - Nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất; - Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của nó là kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn. Nắm được công thức tính và hiểu được ý nghĩa của kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn. Về kĩ năng, giúp học sinh: - Biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển của xác suất; - Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán đơn giản; - Biết lập bảng phân bố xác suất, biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc đơn giản. Những tình huống xuất hiện trong các bài tập ở sách giáo khoa của chủ đề xác suất phần lớn đều chứa đựng nội dung thực tế (28/38 ≈ 73.7%), tuy nhiên các kiểu nhiệm vụ đặt ra để học sinh giải quyết thì hầu như không có tính thực tế, chủ yếu là hai kiểu nhiệm vụ 1 và 2 sau đây: 19 Nguyễn Thị Tân An Bảng 1. Các kiểu nhiệm vụ của nội dung xác suất trong SGK 11 STT Kiểu nhiệm vụ Tri thức toán mong đợi được sử dụng Số lượng bài tập 1 Tính xác suất Định nghĩa cổ điển của xác suất. 18/38 (47.4%) Quy tắc cộng và/hoặc quy tắc nhân xác suất. 10/38 (26.3%) 2 Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Cho sẵn bảng phân bố xác suất. Công thức tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn 5/38 (13.2%) Yêu cầu lập bảng phân bố xác suất và tính. 3/38 (7.9%) 3 Tính giá trị trung bình của một biến Công thức tính 1/38 ngẫu nhiên rời rạc X kì vọng (2.6%) Nhìn vào bảng 1 ta thấy rằng hầu hết các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa đều chú trọng đến kĩ năng tính toán. Những dạng bài tập như vậy là cần thiết nhưng không đủ để học sinh có thể chọn và sử dụng những kiến thức, kĩ năng phù hợp khi giải quyết vấn đề xuất hiện trong các tình huống thực tế. Hơn nữa, học sinh sẽ khó khăn khi gặp các tình huống xác suất mà hai kiểu nhiệm vụ trên (1 và 2) không xuất hiện một cách tường minh, cũng như khó để phát triển hiểu biết xác suất của học sinh nếu các em chỉ được làm quen với các kiểu nhiệm vụ như vậy. Ngày nay, có nhiều bằng chứng từ nghiên cứu và thực hành cho thấy rằng không có sự chuyển đổi một cách tự động từ việc học toán lí thuyết sang việc có thể sử dụng kiến thức toán đó vào tình huống ngoài toán. Học sinh không thể giải quyết tốt các nhiệm vụ trong thực tế nếu họ không có cơ hội thực hành chúng (Lovett & Greenhouse, 2000). 2.2. Hiểu biết xác suất Trong thực tế, chúng ta thường gặp những biến cố ngẫu nhiên, những hiện tượng may rủi, những sự kiện không thể dự đoán một cách chắc chắn có xảy ra hay không, đó đều là các tình huống liên quan đến lí thuyết xác suất chẳng hạn như dự báo tài chính, dự báo thời tiết, nguy cơ về sức khỏe, nguy cơ phá sản của một công ty, chính sách bảo hiểm, khả năng giành được giải thưởng trong một trò chơi. Vì vậy, mỗi cá nhân cần có hiểu biết xác suất để đối phó một cách hiệu quả khi gặp các tình huống đó. Theo Gal (2005), hai lí do chính để xác suất được lựa chọn đưa vào dạy và học trong chương trình phổ thông đó là: - Xác suất là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học mà học sinh được 20 Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông quyền học như là một phần của nền giáo dục hiện đại; - Xác suất trang bị cho học sinh những kiến thức cần thiết trong cuộc sống để trở thành những công dân “hiểu biết xác suất”, bởi vì các tình huống chứa đựng các yếu tố xác suất xảy ra rất nhiều xung quanh ta dưới nhiều cách khác nhau và với các mức độ khác nhau. Trong bài báo này, hiểu biết xác suất (Probability Literacy) được xem xét như một bộ phận của hiểu biết toán và có mối quan hệ chặt chẽ, không thể tách rời đối với hiểu biết định lượng và hiểu biết thống kê. Quan hệ đó được thể hiện qua sơ đồ dưới đây: Sơ đồ 1. Mối quan hệ giữa hiểu biết xác suất và hiểu biết toán Dựa trên khái niệm hiểu biết thống kê của Gal (2004), chúng tôi đưa ra khái niệm hiểu biết xác suất như sau: Hiểu biết xác suất là khả năng hiểu, giải thích, đưa ra các nhận định có tính phê phán đối với các tình huống chứa đựng các yếu tố xác suất gặp phải trong cuộc sống hàng ngày. Để có một cái nhìn đầy đủ hơn, bảng dưới đây tóm tắt các thành phần của hiểu biết xác suất, phỏng theo mô hình của Gal (2005), bao gồm kiến thức và khuynh hướng, đó là các yếu tố ảnh hưởng đến tư duy và thái độ khi chúng ta đứng trước một tình huống xác suất trong thực tế: Bảng 2. Các thành phần của hiểu biết xác suất Kiến thức: - Kiến thức xác suất cơ bản. - Kiến thức toán. - Kiến thức về tình huống mà vấn đề xác suất được xem xét. 21 Nguyễn Thị Tân An - Kiến thức về ngôn ngữ (khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ, kí hiệu, xác suất sang ngôn ngữ sử dụng hàng ngày và ngược lại, khả năng diễn đạt, giải thích, hiểu các ý tưởng liên quan đến xác suất). - Khả năng phê phán khi gặp một phát biểu liên quan đến xác suất. Khuynh hướng: - Niềm tin, thái độ. - Lập trường, quan điểm. Dựa trên ý tưởng của Gal (2005) “để phát triển hiểu biết xác suất cần chú ý kĩ năng chuyển đổi từ kiến thức được học trong lớp học đến các tình huống bên ngoài lớp học”, chúng tôi cho rằng, bên cạnh thành phần kiến thức và khuynh hướng, quá trình THH là công cụ hữu ích để phát triển hiểu biết xác suất của học sinh. 2.3. Quá trình Toán học hóa Nếu như trước đây, mục đích của việc dạy toán là trang bị những kĩ năng để tính toán hằng ngày, thì trong thế giới thông tin hiện nay, chương trình nhà trường không thể phủ tất cả những kiến thức được xem là cần thiết mà dạy cho học sinh tư duy toán là quan trọng hơn. Quá trình THH (Mathematisation process) trong nhà trường ngày càng được chấp nhận rộng rãi nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng thực tế được đặt ra bởi nhiều quan điểm giáo dục từ giữa thế kỉ 20 đến nay. Toán học hóa là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong tình huống thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận (PISA, 2006). THH là một hoạt động phức hợp, đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế được xem xét. Nhiều sơ đồ đã được sử dụng để chỉ ra bản chất của hoạt động THH, như là một hướng dẫn để thiết kế các nhiệm vụ THH và thực hiện THH trong lớp học (Blum 2005, PISA 2006, Stillman 2007). Các chu trình THH đều liên quan đến sự chuyển đổi giữa toán và thực tế theo cả hai chiều và gồm 4 bước chính, các bước này mô tả những hoạt động mà học sinh sẽ thực hiện trong suốt quá trình THH (An, 2012). Quá trình THH bắt đầu với 1 vấn đề thực tế - một vấn đề xuất phát từ thế giới thực với các dữ liệu thực. - Bước 1. Chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán: xác định các thông tin toán học cần thiết, nhận ra các khái niệm toán học, đưa ra các cấu trúc, biểu diễn, đặc trưng toán liên quan để xây dựng tình huống đã cho theo ngôn ngữ toán học, mô tả bản chất các yếu tố và mối quan hệ trong tình huống thực tế. 22 Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông Sơ đồ 2. Chu trình toán học hóa - Bước 2. Giải toán: lựa chọn, sử dụng phương pháp và công cụ toán học phù hợp để giải quyết một vấn đề đã được thiết lập dưới dạng mô hình toán học. Sản phẩm cuối cùng ở bước này là một kết quả toán học. - Bước 3. Chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế: xem xét kết quả toán học trong ngữ cảnh của tình huống thực tế ban đầu và làm cho kết quả đó có ý nghĩa. - Bước 4. Phản ánh: xem lại các giả thuyết và những hạn chế của mô hình, các phương pháp cũng như công cụ được sử dụng trong giải quyết vấn đề. Điều này có thể dẫn đến một sự cải tiến trong mô hình cũng như lời giải hoặc tạo ra một quá trình mới nếu cần thiết. 2.4. Kết quả nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu này là tìm hiểu cách học sinh giải quyết các tình huống xác suất thực tế, và làm thế nào để đưa quá trình THH vào dạy học giúp học sinh phát triển hiểu biết xác suất. Để đảm bảo tính khách quan của nghiên cứu, học sinh tham gia thực nghiệm không bị chi phối bởi tình huống có trước, cũng như cách thức tiến hành, kiểu câu hỏi của giáo viên, khảo sát thực hiện trên hai nhóm học sinh lớp 11 gồm 24 em, mỗi nhóm giải quyết một tình huống khác nhau. Các học sinh tham gia thực nghiệm đã học xong chương “Tổ hợp và xác suất” của chương trình toán 11 nâng cao. Hai tình huống thực tế được lựa chọn thực nghiệm có nội dung toán nằm trong chương trình (tính xác suất và kì vọng), và ngữ cảnh đặt ra là trò chơi quay số khá quen thuộc. Chúng tôi chia mỗi nhóm thành 3 nhóm nhỏ, các em sẽ tiếp xúc với tình huống, làm việc cá nhân, sau đó thảo luận, trao đổi cùng các bạn trong nhóm để đi đến thống nhất cách giải quyết. Mỗi nhóm nhỏ có một giáo viên quan sát, ghi chép lại các ý kiến, suy nghĩ của học sinh và đưa ra các câu hỏi liên quan đến quá trình THH khi cần thiết. Trong phân tích nghiên cứu, chúng tôi tập trung vào các bước của quá trình THH được học sinh sử dụng, thể hiện dưới dạng ngầm ẩn, khi giải quyết một tình huống thực tế liên quan đến xác suất. 23 Nguyễn Thị Tân An Tình huống 1 Trò chơi trong một gian hàng ở hội chợ xuân liên quan đến một bảng tròn có gắn kim quay và một túi bi như hình vẽ bên. Mỗi lần chơi, người chơi sẽ quay bảng tròn và bốc một viên bi trong túi. Người chơi sẽ được nhận phần thưởng nếu mũi kim dừng lại ở một số chẵn và bốc được bi màu đen. Thùy chơi trò chơi một lần. Khả năng mà Thùy được nhận phần thưởng là như thế nào? A. Không thể B. Ít khả năng (< 50%) C. 50% khả năng D. Nhiều khả năng (> 50%) E. Chắc chắn Đối với tình huống này, lúc đầu học sinh khá lúng túng vì tình huống đưa ra không giống những dạng bài tập mà các em đã gặp trong sách giáo khoa. Nhưng sau khi đọc kĩ đề bài, tất cả học sinh đều nhận ra những thông tin quan trọng của tình huống: bảng kim quay có 6 ô số, trong đó 5 ô số chẵn; túi bi có 20 viên gồm 6 bi đen và 14 bi trắng; người chơi sẽ thắng nếu quay được ô số chẵn và bốc được bi đen. Đồng thời, các em cũng “phiên dịch” được yêu cầu của tình huống là tính xác suất để Thùy được nhận phần thưởng. Để tính xác suất trên, các em đã sử dụng những cách giải quyết sau: - Dùng định nghĩa cổ điển của xác suất: Xác suất = số kết quả thuận lợi / số phần tử của không gian mẫu. Tuy nhiên, nhiều học sinh giải theo cách này đã xác định sai số kết quả thuận lợi hoặc số phần tử của không gian mẫu. - Xác suất nhận phần thưởng là xác suất để cả hai biến cố độc lập “quay được ô chẵn” và “bốc được bi đen” xảy ra đồng thời, từ đó sử dụng quy tắc nhân xác suất. Ở bước này, có học sinh đề nghị sử dụng quy tắc cộng xác suất vì nhầm lẫn trong việc chuyển đổi từ “và” với “phép toán cộng”. - Sử dụng quy tắc đếm: “Khả năng quay vào 5 ô chẵn là C56 , khả năng quay vào một trong 5 ô chẵn là C51 , khả năng lấy được 6 bi đen trong túi là C 2 60, khả năng lấy được 1 bi đen trong 6 bi đen là C61 . Vậy xác suất P = C 5 6 × C15 × C620 × C16”. Đây là sai lầm trong suy luận khi giải bài toán của 2 học sinh, nhưng sau đó các em nhận ra kết quả này không đúng, vì giá trị của xác suất P phải thuộc đoạn [0;1]. Khi đã tính được xác suất để quay vào ô chẵn và bốc được bi đen, các học sinh đều trả lời được câu hỏi mà tình huống đặt ra, nhóm có kết quả xác suất nhỏ hơn 0.5 chọn ô “ít khả năng”, nhóm có kết quả lớn hơn 0.5, do sai lầm trong quá trình giải toán, chọn ô “nhiều khả năng” và các em chấm dứt bài làm của nhóm mình mà không có bước kiểm tra lại nào. Dưới đây là một đoạn phỏng vấn của giáo viên với học sinh trong nhóm tìm ra kết quả đúng P = 0.25 đã bộc lộ quan niệm sai lầm của học sinh đối với ý nghĩa của xác suất dẫn đến việc giải thích kết quả toán ngược trở lại tình huống thực tế không đúng. 24 Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông GV: Em hiểu kết quả này như thế nào? HS: Nếu chơi 4 lần thì sẽ thắng 1 lần. GV: Em có nghĩ rằng có người chỉ chơi 1 lần mà thắng, và có người chơi 4 lần mà không thắng? HS: Không... Nhưng cũng có thể chơi 1 lần mà thắng, như vậy là quá hên, còn chơi 4 lần thì nhất định có 1 lần thắng, không phải lần thứ 4 thì có thể lần thứ 3 hoặc thứ 2, một lần nào đó trong 4 lần chơi vì xác suất thắng là 0.25 = 1 4 . Mặc dù đạt được kết quả đúng nhưng học sinh trên đã có sự nhầm lẫn khi cho rằng khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên là có tính chắc chắn với số lần thử không đủ lớn. Tình huống 2 Trong hội trại sắp tới, lớp 11A dự định tổ chức một trò chơi. Bạn Lâm đề nghị sử dụng một bánh xe số với các số từ 1 đến 10 (hình vẽ). Mỗi lần chơi, người chơi phải trả 10.000 đồng, sau đó được chọn hai trong 10 số và quay bánh xe. Nếu bánh xe dừng lại ở một trong hai số đã chọn thì người chơi được nhận 60.000 đồng. Em có đồng ý với ý kiến của bạn Lâm không? Tại sao? Khi tiếp xúc với tình huống này, mặc dù mất nhiều thời gian hơn so với tình huống 1, nhưng học sinh vẫn hiểu và nắm được yêu cầu của tình huống - Thực hiện trò chơi quay số theo cách của bạn Lâm có lời không và sẽ đồng ý nếu cách đó có lời. Tuy nhiên khi thiết lập mô hình toán từ tình huống đã cho, các em lại đưa về bài toán: so sánh xác suất thắng và xác suất thua của trò chơi. Cách giải quyết này không phản ánh được bản chất của tình huống vì không bị ràng buộc bởi yếu tố tiền chơi và tiền thưởng. Khi giáo viên yêu cầu “So sánh số tiền trung bình mà trò chơi phải trả cho người thắng cuộc và số tiền trung bình thu được”, 4 học sinh cho rằng cần phải tính kì vọng do dựa vào từ khóa “số tiền trung bình” nhưng không chắc chắn với suy nghĩ của mình và không biết bắt đầu như thế nào. Giáo viên tiếp tục đề nghị: “Gọi X là số tiền mà trò chơi phải trả cho người chơi. Lập bảng phân bố xác suất củaX và tính E(X).” Gợi ý này của giáo viên tương tự những kiểu nhiệm vụ mà các em gặp trong SGK, do đó hầu hết các em thực hiện tốt bước giải toán. Sau khi lập bảng, tính kì vọng, các em nhận thấy thực hiện trò chơi theo cách bạn Lâm thì sẽ lỗ do: E(X) = 0. 8 10 + 60000. 2 10 = 12000 > 10000 (2.1) 25 Nguyễn Thị Tân An Với câu hỏi “Chúng ta sẽ thay đổi một số yếu tố nào của trò chơi để xoay ngược tình hình?”, học sinh đã dựa vào công thức (2.1) và đưa ra các ý kiến sau: - Tăng giá tiền mỗi lần chơi (trên 12000 đồng); - Cho người chơi chọn một số thay vì chọn hai số để giảm xác suất thắng xuống 1 10 ; - Giảm giải thưởng cho mỗi lần thắng (dưới 50000 đồng); Như vậy, học sinh học công thức tính kì vọng nhưng không hiểu ý nghĩa của công thức, không thấy mối liên hệ giữa khái niệm kì vọng với tình huống thực tế, mặc dù đây là một yêu cầu đặt ra của chương trình và cụ thể trong sách giáo khoa, sau định nghĩa kì vọng, có đề cập “E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình củaX . Vì thế kì vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình củaX .” Ở ví dụ này, kì vọngE(X) = 12000 cho ta một hình dung, nếu trò chơi có nhiều người chơi thì số tiền thưởng trung bình là 12000 đồng cho mỗi lượt trong khi số tiền thu vào chỉ 10000 đồng, điều đó có nghĩa là phương án của bạn Lâm đưa ra không thể chấp nhận. 3. Kết luận Qua thực nghiệm trên, chúng tôi nhận thấy rằng mặc dù học sinh chưa biết về quá trình THH, nhưng khi đối mặt với một tình huống thực tế, các em có xu hướng thực hiện 3 bước của quá trình này: Chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán⇒ Giải toán⇒ Chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế. - Ở bước chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán: học sinh đã đọc các yếu tố liên quan rất cẩn thận để có một hình dung rõ ràng và hiểu được yêu cầu của tình huống, nhận ra các thông tin có giá trị, các đại lượng ảnh hưởng đến tình huống. Trong mỗi tình huống, học sinh cố gắng xây dựng mô hình toán học tương ứng, tuy nhiên đôi khi chưa phù hợp do những sai lầm trong tư duy, suy luận của các em. - Bước giải toán, ở hai ví dụ thực nghiệm, phần lớn học sinh thực hiện khá tốt bởi vì lúc này tình huống đã phát biểu dưới dạng toán và yêu cầu đặt ra tương tự các kiểu nhiệm vụ mà các em được học mặc dù vẫn còn tồn tại những sai lầm trong tính toán, vận dụng công thức, quy tắc đếm. - Bước chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế: sau khi có kết quả toán, các em chỉ trả lời câu hỏi tình huống đưa ra mà không xem xét ý nghĩa của kết quả đó. - Bước phản ánh: học sinh hầu như không có thói quen thực hiện bước này, nhưng nếu sau mỗi tình huống thực tế, giáo viên đều đặt ra những c