Sự hội tụ của hệ tựa gradient chứa số hạng giảm xóc

Năm học 2015 - 2016 35 SỰ HỘI TỤ CỦA HỆ TỰA GRADIENT CHỨA SỐ HẠNG GIẢM XÓC Bùi Nhựt Minh (Sinh viên năm 4, Khoa Toán – Tin học) GVHD: TS Nguyễn Thành Nhân TÓM TẮT Bài viết khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của phương trình trong đó, g là một metric Riemann, với một số điều kiện khác nhau của hàm . Thêm vào đó, bài viết bàn về những hướng mở rộng của các kết quả và những vấn đề liên quan. 1. Giới thiệu Trong [1], các tác giả đã trình bày về việc khảo sát dáng điệu tiệm cận (tức là khảo sát giới hạn tại vô cực) của nghiệm bị chặn của phương trình trong đó g là một metric Riemann trên không gian Hilbert . Xuất phát từ bài toán này, bài viết trình bày về việc khảo sát dạng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của phương trình với các điều kiện khác nhau của lượng “nhiễu nhỏ” . Sự mở rộng này là cần thiết, vì (1) “quá lí tưởng” để có thể bắt gặp thường xuyên. Hình thức mở rộng tương tự có thể được tìm thấy trong [4,5,6] đối với hệ gradient bậc nhất và bậc 2. 2. Một số định nghĩa và kí hiệu Trong suốt bài viết này, ta giả sử là không gian Hilbert thực, với tích vô hướng và chuẩn tương ứng . Ngoài ra, ta kí hiệu là tập tất cả các tích vô hướng trên . Cuối cùng, ta quy ước và . Metric Riemann và gradient ứng với metric Riemann Ta kí hiệu là không gian các dạng song tuyến tính bị chặn trên , tức là các ánh xạ song tuyến tính sao cho có một số thỏa mãn Ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng là không gian vectơ trên với phép toán cộng hai ánh xạ và phép toán nhân vô hướng một số thực với ánh xạ thông thường. Hơn nữa, là không gian Banach với chuẩn Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 36 trong đó, . Do định nghĩa của tích vô hướng và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta suy ra ; do đó, ta có thể bàn về sự hội tụ trên . Một metric Riemann trên là một ánh xạ liên tục . Với mỗi , để thuận tiện về mặt kí hiệu, ta viết thay cho . Cho là một ánh xạ khả vi Fréchet và cho g là một metric Riemann trên . Ta kí hiệu Cho , không khó để kiểm tra được rằng phần tử nói trên là duy nhất; do đó, ta có thể kí hiệu . Ngoài ra, ta gọi là gradient của ứng với metric g. Ta có nhận xét đơn giản sau trong đó, là gradient Fréchet của trên . Tập - giới hạn của một ánh xạ liên tục trên Cho là một không gian metric và cho là một ánh xạ liên tục. Tập được gọi là tập -giới hạn của ánh xạ u. 3. Sự hội tụ của hệ gradient Trong mục này, ta giả sử là một ánh xạ khả vi Fréchet, hàm và g là một metric Riemann trên . Mục tiêu của ta trong mục này là nghiên cứu sự hội tụ của phương trình với một trong hai điều kiện sau của hàm : (i) Điều kiện thứ nhất (ii) Điều kiện thứ hai Cho tới thời điểm hiện tại, tác giả vẫn chưa tìm được mối liên hệ giữa các điều kiện (4) và (5). Tuy nhiên, do nên ta có thể dự đoán rằng không có Năm học 2015 - 2016 37 điều kiện nào là hệ quả của điều kiện còn lại. Ngoài ra, sự khác nhau giữa hai điều kiện này dẫn tới sự khác biệt đôi chút trong chứng minh mà người đọc có thể dễ dàng nhận ra. Cho . Ta nói u là nghiệm của phương trình (3) nếu , với mọi t thì và phương trình (3) được thỏa. Từ giờ về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu là nghiệm của phương trình (3). Trước khi vào kết quả chính, ta nhắc lại một khái niệm về bất đẳng thức gradient được trình bày trong [4, Definition 2.2]. Định nghĩa 3.1. Cho và . Khi đó, ta nói thỏa mãn bất đẳng thức gradient lớp gần nếu có hàm và thỏa mãn các điều kiện sau: (i) và ; (ii) . 3.1. Sự hội tụ với điều kiện (4) Kết quả chính trong mục này của ta được phát biểu như sau Định lí 3.2. Giả sử: (i) và thỏa (4); (ii) Tập compact tương đối trong ; (iii) Có các hằng số dương a,b sao cho ; (iv) Có sao cho thỏa bất đẳng thức gradient lớp gần (với các dữ kiện như trong Định nghĩa 3.1). Khi đó Chứng minh. Xét Ta có với hầu hết , Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 38 Ngoài ra, ta có Tiếp theo, ta định nghĩa Cố định sao cho và đặt Do tính liên tục của u, ta suy ra . Với hầu hết , ta có và do (9), ta được kết hợp với (8), ta suy ra Năm học 2015 - 2016 39 Từ đó và (9), với hầu hết , ta có Từ đây, ta có thể chứng tỏ Nhận xét 3.3. Thực ra giả thiết có số sao cho có thể bỏ được. Vì trong chứng minh, ta chỉ cần sử dụng tuy nhiên, điều này có thể được suy ra từ tính liên tục của metric g và tính tiền compact của tập bằng cách áp dụng nguyên lí bị chặn đều. 3.2. Sự hội tụ với điều kiện (5) Định lí 3.4. Giả sử các điều kiện (ii)&(iii)&(iv) của Định lí 3.2 được thỏa. Ngoài ra, ta giả sử và thỏa (5). Khi đó, Chứng minh. Dễ thấy rằng hàm cho bởi Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 40 xác định đúng. Hơn nữa, do u là nghiệm của phương trình (3) nên với hầu hết t thì Tiếp theo, ta định nghĩa Cố định sao cho và đặt Do tính liên tục của u, ta suy ra . Với hầu hết , ta có thêm vào đó, theo giả thiết về hàm và (9), ta được trong đó . Tổng hợp lại, ta có Năm học 2015 - 2016 41 và do đó Từ đây, ta có thể chứng tỏ Nhận xét 3.5. So với chứng minh của Định lí 3.2, ta thấy chứng minh của định lí trên không cần sử dụng giả thiết có số b dương sao cho 4. Kết luận Bài viết đã trình bày việc khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của phương trình với hàm điều kiện khác nhau của hàm . Tuy nhiên, vấn đề còn sót lại là mối liên hệ giữa hai điều kiện đã trình bày trong bài viết. Liệu rằng hai điều kiện này là độc lập với nhau, hay có một điều kiện là hệ quả của điều kiện còn lại? Câu hỏi này xin để lại cho bạn đọc và những thế hệ sinh viên sau của khoa Toán-Tin. Dựa vào [2, Theorem 1], các kết quả trong bài viết có thể dùng để khảo sát hệ với hàm thỏa một số điều kiện nhất định. Đây chính là mở rộng của kết quả có trong [3]. Ngoài ra, tác giả tin rằng, bằng phương pháp nghiên cứu và lí luận như đã làm trong bài viết, ta cũng có thể mở rộng kết qua cho hệ (được khảo sát trong [6]) thành kết quả cho hệ trong đó, g là một metric Riemann trên không gian Hilbert đang xét. Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Ralph Chill, Eva Faˇsangova (2010), Gradient Systems, 13th International Internet Seminar, June 7. 2. Tomaˇs Barta, Ralph Chill, Eva Faˇsangova (2012), “Every ordinary differential equation with a strict Lyapunov function is a gradient system”, Monatsh Math, 166:57-72. 3. Ralph Chill, Alain Haraux, and Mohamed Ali Jendoubi (2009), “Applications of the Lojasiewicz-Simon gradient inequality to gradient-like evolution equations”, Anal. Appl. (Singap.), 7(4): 351-372. 4. Sen-Zhong Huang (2006), Gradient Inequalities with Applications to Asymptotic Behavior and Stability of Gradient-like Systems, American Mathematical Society. 5. H. Attouch, X. Goudou, P. Redont (2000), "The heavy ball with friction method", I. The continuous dynamical system: Global exploration of the local minima of a real-valued function by asymptotic analysis of a dissipative dynamical system”, Commun Contemp Math.02, 1. DOI: 6. Mohamed Ali Jendoubi, Ramzi May (2014), “Asymptotics for a second-order differential equation with nonautonomous damping and an integrable source term”, Applicable Analysis, DOI: