Sự ổn định mũ của hệ phương trình vi phân phi tuyến theo phương pháp hàm Lyapunov

NGÀNH TOÁN 87Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Sự ổn định mũ của hệ phương trình vi phân phi tuyến theo phương pháp hàm Lyapunov Exponential stability of nonlinear differential equations by the method of Lyapunov function Nguyễn Thị Huệ Email: minhhuesaodo@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 15/01/2019 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 24/3/2019 Ngày chấp nhận đĕng: 28/3/2019 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov đưa ra điều kiện đủ để hệ phương trình vi phân phi tuyến ổn định mũ bằng cách xác định tựa hàm Lyapunov. Ngoài ra, trong trường hợp phương trình vi phân phi tuyến có điểm cân bằng ổn định, thì chỉ ra được công thức xác định hàm Lyapunov trong lân cận compact của điểm cân bằng. Từ khóa: Phương trình vi phân phi tuyến; phương pháp hàm Lyapunov; điểm cân bằng; ổn định mũ. Abstract In this paper, we use the method of Lyapunov function to give sufficient conditions for the nonlinear differential equations to exponential stabilize the caps by Lyapunov-like function. In addition, in the case of nonlinear differential equations having a stable equilibrium point, the formula for determining Lyapunov function in the compact neighborhood of equilibrium is shown. Keywords: Nonlinear differential equations; the method of Lyapunov function; equilibrium point; exponentially stable. 1. GIỚI THIỆU Nghiên cứu tính ổn định là nội dung chính của lý thuyết các hệ thống kỹ thuật. Để khảo sát sự ổn định của những quá trình trên người ta thường mô hình hóa toán học các hệ đó, sau đó nghiên cứu sự ổn định nghiệm của mô hình toán học. Chúng ta đã biết một số phương pháp chính như: phương pháp xấp xỉ; phương pháp so sánh; phương pháp Lyapunov thứ nhất, thứ hai. Trong đó phương pháp thứ hai của Lyapunov là một công cụ được sử dụng rộng rãi nhất để nghiên cứu tính ổn định của hệ thống kỹ thuật. Nghiên cứu tính ổn định của các hệ phi tuyến bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov đã được nghiên cứu rộng rãi ([4, 6]). Đã có một số tiêu chí ổn định cho các hệ phi tuyến, nhưng có hạn chế là làm giảm các điều kiện ổn định tiệm cận hoặc đặt các điều kiện khá chặt cho hàm Lyapunov. Mục đích của bài báo này là thiết lập các điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của một lớp các hệ phi tuyến bằng cách xây dựng một lớp hàm giống như hàm Lyapunov. Ngoài ra, bài báo nghiên cứu trường hợp phương trình vi phân phi tuyến có điểm cân bằng ổn định, khi đó kết hợp phương pháp CPA [5]) tìm được công thức xác định hàm Lyapunov trong lân cận compact của điểm cân bằng. 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ ĐẦU Một số kí hiệu sử dụng trong bài báo:n là không gian vectơ Euclidean n chiều; + là tập các số thực không âm; x là chuẩn Euclidean của vectơ ∈nx . Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có dạng (1) Ở đây ( ) ( ) +∈ × →   n n nx t f t x. , , : là một hàm phi tuyến thỏa mãn ( ) =f t,0 0 với mọi +∈t . Chúng ta sẽ giả sử rằng các điều kiện đặt trên hệ (1) sao cho sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ được đảm bảo. Định nghĩa 2.1. Nghiệm ban đầu của (1) là ổn định mũ nếu mọi nghiệm ( )x t 0,x của (1) thỏa mãnNgười phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Vĕn Ninh 2. TS. Đào Trọng Quyết ( ) ( )( ) ( ) = ≥ = ≥ x t f t x t t x t x t . 0 0 0 , , 0, , 0. 88 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Ở đây: ( ) + + +β × →  h t, : là hàm không âm, tĕng với +∈h , và δ là một hằng số dương. Nếu hàm ( )β . trong định nghĩa trên không phụ thuộc t0 , nghiệm ban đầu được gọi là ổn định tiệm cận mũ. Từ đây về sau, để cho ngắn gọn, nếu nghiệm ban đầu ổn định thì ta nói rằng hệ ổn định. Đặt ⊂ nD là một tập mở chứa gốc và đặt ( ) + × → V t x D, : là một hàm đã cho. Ta định nghĩa += ×W D và Ở đây ( )f . là hàm bên vế phải của (1). +fD V được gọi là đạo hàm trên Dini của ( )V . dọc theo quỹ đạo của (1). Đặt ( )x t là một nghiệm của (1) và kí hiệu ( )+d V t x, là đạo hàm trên - phải của ( )( )V t x t, , Định nghĩa 2.2. Một hàm ( ) + × →  nV t x, : gọi là Lipschitz theo x nếu tồn tại số >L 0 , thỏa mãn với mọi +∈t , ( ) ( ) ( )− ≤ − ∈ × n nV t x V t x L x x x x1 2 1 2 1 2, , , , . Phần tiếp theo, chúng ta giả sử rằng ( )V t x, là hàm liên tục theo t và Lipschitz theo x với hệ số Lipschitz >L 0 . Trong trường hợp này +d V và + f d V có liên hệ: ( ) ( )fd V t d V t,x ,x .+ +≤ (2) Khi đó, nếu ( )+ ≤fd V t,x 0 và theo (2) suy ra ( )+ ≤d V t,x 0 thì hàm ( )( )V t t,x là hàm không tĕng theo t, điều đó có nghĩa là ( )V t,x là không tĕng theo một nghiệm của (1). Định nghĩa 2.3. Hàm ( ) + × → V t D,x : được gọi là hàm Lyapunov nếu ( )V t,x là hàm liên tục theo +∈t và ∈x D và i. ( ) ( )≥ = ⇔ =V t V t x,x 0, ,x 0 0. ii. ( ) ≤ ∀ ≠V t x. ,x 0, 0. Định nghĩa 2.4. Điểm x * là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phi tuyến ( )=x f t x. , khi ( ) = ∀ ≥f t x t*, 0, 0. Giả sử x * là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phi tuyến ( )=x f t x. , . Nếu tồn tại hàm Lyapunov ( )V t,x thỏa mãn: i. ( ) ( )= >V t V t*,x 0, ,x 0 khi { }∈ xx U x* *\ . ii. ( ) ≤ ∀ ∈ x V t x U * . ,x 0, . Thì x * được gọi là điểm cân bằng ổn định. Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định thì kí hiệu ( ) ( ){ } t A x x t x x* *: | limsup , 0 →∞ = ∈ φ − = là miền thu hút của x *. Định nghĩa 2.5. Một hàm ( ) + × → V t D,x : được gọi là hàm tựa Lyapunov của (1) nếu ( )V t,x là hàm liên tục theo +∈t và ∈x D , tồn tại các số dương λ λ λ δK p q r1 2 3, , , , , , , sao cho ( ) ( )λ ≤ ≤ λ ∀ ∈p qx V t x x t x W1 2, , , , (4) ( ) { }r tfD V t x Ke t x D3,x , 0, \ 0 .−δ≤ −λ + ∀ ≥ ∈ (5) Định nghĩa 2.6. Một hàm ( ) → V t W,x : được gọi là hàm tựa Lyapunov tổng quát của (1) nếu ( )V t,x là hàm liên tục theo +∈t và Lipschitz theo ∈x D , tồn tại các số dương δK p q r, , , , thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( )λ ≤ ≤ λ ∀ ∈p qt x V t x t x t x W1 2, , , , (6) ( ) ( ) { }r tfD V t t x Ke t x D3,x , 0, \ 0 .+ −δ≤ −λ + ∀ ≥ ∈ (7) 3. KẾT QUẢ CHÍNH Trong bài báo này, chúng tôi chỉ ra điều kiện đủ cho hệ phi tuyến ổn định và giới thiệu một phương pháp chỉ ra phiếm hàm Lyapunov trong trường hợp hệ có điểm cân bằng ổn định. 3.1. Điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của hệ phi tuyến Trước hết, ta có kết quả từ [7] về sự ổn định mũ của (1), với sự tồn tại một hàm tựa hàm Lyapunov. ( ) ( ) ( )−δ −≤ β ∀ ≥t tx t x t e t t00 0 0 0,x , , , ( ) ( ) ( )++ → + + −= f h V t h x hf V t x D V t x h0 , , , lim sup , ( )( ) ( )( ) ( )( )++ → + + −= h V t h x t h V t x td V t x t h0 , , , lim sup . 3 NGÀNH TOÁN 89Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Định lý 3.1. ([7]) Giả sử rằng hệ (1) thừa nhận một hàm tựa Lyapunov khi = =p q r . Hệ (1) là ổn định tiệm cận mũ nếu λδ > λ 3 2 . Trong hai định lý dưới đây, chúng tôi có điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của hệ (1) với một hàm tựa Lyapunov tổng quát. Định lý 3.2 Hệ (1) là ổn định tiệm cận nếu có một hàm tựa Lyapunov và hai điều kiện sau được thỏa mãn với mọi ( )∈t x W, : i. λδ > λ r q 3 2 , (8) ii. ∃γ > 0, sao cho ( ) ( ) −δ− ≤ γr tqV t x V t x e, , . (9) Chứng minh Xét thời gian ban đầu bất kỳ ≥t0 0, và đặt ( )x t là một nghiệm của (1) với ( ) =x t x0 0. Đặt ( ) ( ) ( )− λ= = λ M t t r q Q t x V t x e M0 3 2 , , , . Thế thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− −= +M t t M t tfQ t x D V t x e MV t x e0 0' , , , . Thế (5) vào đẳng thức trên, với mọi ≥ ∈t t x D0, , ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) −−δ − = −λ + + r M t tt M t t Q t x t x Ke e MV t x e 0 0 3' , , . Theo điều kiện (4) ta có ( )≥ λ q V x t x 2 , , bất đẳng thức tương đương ( ) − ≤ −  λ  r q r V x t x 2 , . Vì thế, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −−δ −  λ ≤ − + λ  + r M t ttq r q M t t Q t x V t x Ke e MV t x e 0 0 3 2 ' , , , . Từ λ = ∀ ≥ λ r q t3 2 M, 0, ta có ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( )− −δ −≤ − +r M t t M t tqQ t x M V t x V t x e Ke0 0' , , , . Sử dụng (9), ta được ( ) ( ) ( )( )−δ −≤ + γ M t tQ t x K M e 0' , . Tích phân từ t0 đến t hai vế của bất đẳng thức, ta được ( ) ( ) ( ) ( )( )−δ −− ≤ + γ∫t M s t t Q t x Q t x K M e ds0 0 0, , , ( ) ( )( ){ }−δ −= + γ −− δ M t tK M eM 01 1 . Đặt ( )δ = − − δM1 , theo (8) ta có δ >1 0 và ( ) ( ) ( )( )−δ −+ γ + γ≤ + −δ δ M t t K M K M Q t x Q t x e 00 1 1 , , ( ) + γ≤ + δ K M Q t x0 1 , . Từ ( ) ( )= ≤ λ qQ t x V t x x0 0 0 0 2 0, , , ta có ( )( ) + γ≤ λ + δq K MQ t x t x2 0 1, . Đặt ( )+ γλ + = β >δq K Mx x2 0 01 0, ta có ( )( ) ( )≤ β ∀ ≥Q t x t x t t0 0, , . (10) Mặt khác, từ (4) chứng tỏ rằng ( ) ( )( )λ ≤px t V t x t1 , , ( ) ( )( )  ≤  λ   pV t x t x t 1 1 , . Thay thế ( ) ( ) ( )−= M t tV t x Q t x e 0, , / vào bất đẳng thức cuối, ta được ( ) ( )( )( )−  ≤  λ   p M t t Q t x t x t e 0 1 1 , . . (11) Kết hợp (10) và (11) ta được ( ) ( )( ) ( ) ( )− −−   β β   ≤ = ∀ ≥   λλ       Mp p t t p M t t x x x t e t t e 0 0 1 1 0 0 0 11 , . . (12) Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng (1) là ổn định tiệm cận mũ. Vì vậy, việc chứng minh định lý đã hoàn thành. Chú ý rằng, Định lý 3.1 là trường hợp đặc biệt của Định lý 3.2 khi = =p q r . Bây giờ ta có điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của (1) khi có một tựa hàm Lyapunov tổng quát. Định lý 3.3 Hệ (1) là ổn định mũ nếu nó thừa nhận một hàm Lyapunov tổng quát và hai điều kiện sau được thỏa mãn với mọi ( )∈t x W, :: 90 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 i. ( )( )+∈ λδ > > λ rt q t t 3 2 inf 0. (13) ii. 0∃γ > sao cho ( ) ( ) −δ − ≤ γ  r tqV t x V t x e, , . (14) Chứng minh Chúng ta xét hàm ( )( ) ( )( ) ( )−= M t tQ t x t V t x t e 0, , , ở đây ( )( )+∈ λ= λ rt q t M t 3 2 inf . Chúng ta thấy rằng < δM và ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )− −+ += +M t t M t tf fD Q t x t D V t x t e MV t x t e0 0, , , . Bằng lập luận được sử dụng trong Định lý 3.2, chúng tôi dẫn đến thực tế rằng ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) r M t tt f M t t D Q t x t t x Ke e MV t x t e 0 0 3, , . −+ −δ − ≤ −λ + + Sử dụng điều kiện (6) và từ giả thiết ( )λ >t2 0 với mọi +∈t , ta có ( ) ( )≥ λ q V t x x t2 , , Tương đương ( ) ( )  − ≥ −  λ   r q r V t x x t2 , . Vì vậy, ta có ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) −+ −δ −  λ ≤ − +  λ   + r q M t tt f r q M t t t D Q t x V t x t Ke e t MV t x t e 0 0 3 2 , , , . Từ ( )( ) λ ≥ ∀ ≥  λ  r q t M t t 3 2 , 0, và theo điều kiện (14) Ta có Vì vậy, ( ) ( ) ( )( )−δ −+ ≤ + γ M t tfD Q t x K M e 0, . Khi đó ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ } t M s t t M t t Q t x t Q t x K M e ds K M e M 0 0 0 0 0, , 1 1 . −δ − −δ − − ≤ + γ = + γ −− δ ∫ Đặt ( )δ = − − δM1 , theo điều kiện (13) ta có δ >1 0 và ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) −δ −+ γ + γ≤ + −δ δ + γ≤ + δ M t tK M K M Q t x t Q t x e K M Q t x 0 0 0 1 1 0 0 1 , , , . Từ ( ) ( ) ( )= ≤ λ qQ t x V t x t x0 0 0 0 2 0 0, , ta có ( )( ) ( ) + γ≤ λ + δq K MQ t x t t x2 0 0 1, . Đặt ( ) ( )+ γλ + = β >δq K Mt x x t2 0 0 0 01 , 0, Ta có ( )( ) ( )≤ β ∀ ≥Q t x t x t t t0 0 0, , , . (15) Hơn nữa, từ điều kiện (6), nó chứng tỏ rằng ( ) ( ) ( )( )λ ≤pt x t V t t1 ,x , ( ) ( )( )( )   ≤  λ   pV t t x t t 1 1 ,x . Từ ( )λ t1 không giảm, ( ) ( )λ ≥ λt t1 1 0 , ta có ( ) ( )( )( )   ≤  λ   pV t t x t t 1 1 0 ,x . Thay thế ( ) ( )( )−= M t tQ t xt x e 0 , V , , Vào bất đẳng thức trên, ta được ( ) ( )( ) ( )−   ≤  λ   p M t t Q t x x t e t0 1 1 0 , . (16) Kết hợp (15) và (16), ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − −    β β   ≤ =   λλ       Mp p t t p M t t x t x t x t e te t 0 0 1 1 0 0 0 0 1 01 0 , , . (17) Liên hệ (17) chứng tỏ rằng hệ (1) ổn định mũ. Định lý đã được chứng minh. Ghi chú: Chú ý rằng trong Định lý 3., chúng ta giả thiết rằng hàm ( )λ t1 là hàm không giảm. Trong trường hợp hàm ( )λ t1 thỏa mãn điều kiện ( ) −∃ > < λ ≥ ∀ ≥ata a M t e t10 : , , 0, (18) Thì ta có thể thay thế giả thiết hàm không giảm bởi điều kiện (18), ở đây ( )( )+∈ λ=  λ  r q t t M t 3 2 inf . ( ) ( )( ) ( )( ){ } ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −+ −δ − − −−δ −δ −−δ −δ − − ≤ − + ≤ γ + = + γ ≤ + γ r q M t t f M t t M t t M t tt t M t tt t t M t t D Q t x M V t x t V t x t e Ke M e e Ke e K M e e K M e e 0 0 0 0 0 0 0 , , , . NGÀNH TOÁN 91Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Các kết quả trong Định lý 3.2 và Định lý 3.3 đã chỉ ra điều điện đủ để phương trình phi tuyến là ổn định. Tuy nhiên, chưa có công thức cụ thể để xác định các tựa hàm Lyapunov. Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu phương pháp để xác định một hàm V giống như một hàm Lyapunov hoàn chỉnh trên một tập hợp con nhỏ gọn của không gian trạng thái D chứa điểm cân bằng ổn định x *. 3.2. Một phương pháp tìm hàm Lyapunov Phương pháp CPA ([5, 8]): Trước tiên, tính toán các xấp xỉ bên ngoài của miền thu hút bằng phương pháp lý thuyết đồ thị ([5]); tiếp theo là một tính toán số tìm một ứng cử viên hàm Lyapunov; Sau đó, ứng viên được sử dụng để tham số hóa một hàm Lyapunov liên tục và từng phần (CPA), trong đó điều kiện giảm theo quỹ đạo nghiệm có thể được xác minh chính xác bằng cách kiểm tra một tập hợp bất đẳng thức tuyến tính nhất định. Xét hệ thống liên tục theo thời gian bởi phương trình vi phân ( ) ( )( )=x t f t x t. , (19) trong đó: ( )∈  d df C2 , . Giả sử ( )( )φ t x t, là nghiệm của phương trình (19). Trong [5], đầu tiên tính toán các xấp xỉ bên ngoài i F của các tập hút địa phương Ω =i i N, 1,2,..., chứa tập compact ⊂ dD xác định trước. Định nghĩa hàm đủ trơn +γ → D: thỏa mãn ( ) ( ) =γ ≥ γ = ⇔ ∈∪ N i i x x x F0, 0 . Theo Định lý 3.2 ([5]), ta có hàm ( ) ( )( )= γ φ∫TW x t x dt0: , Có quỹ đạo đạo hàm không âm trong lân cận của mỗi iF . ( ) ( )( ) ( )+→ φ −= h W h x W xW x h . 0 , limsup . Ngoài ra, ( ) = ∀ ∈ΩiW x x0, và ( ) >W x 0 trong lân cận của iF . Vậy ( )W x giống như một hàm Lyapunov theo nghĩa là các thành phần được kết nối của [ ]( )W c1 0,− , là các tập hợp con của D0 và bao quanh iF . Rõ ràng ( )W x có thể được xác định bởi một số lượng hữu hạn các tính toán. Trong [5] đã xác định thuật toán hữu ích bằng cách kết hợp với phương pháp CPA: Chia tập D thành tập hợp T các d − đơn giản ℑ có đầy đủ các tính chất; sau đó tính gần đúng hàm ( )W x tại x0 ∈ℑ bằng cách giải bài toán giá trị ban đầu ( )x f x. ,= ( )x x00 = và tính tích phân ( )( )T t x dt0 0 , .γ φ∫ Trong bài báo này, chúng tôi xét trường hợp đặc biệt, khi tập hút chứa các điểm cân bằng ổn định mũ. Khi đó, áp dụng CPA trong [5] ta xác định được ( ) ( )x f xγ = , và sẽ chứng minh rằng hàm ( ) ( )( )TV x f t x dt 0 ,= φ∫ (20) Là hàm Lyapunov trong lân cận x K D* ⊂ của điểm cân bằng x D* ∈ khi T đủ lớn. Kết quả của định lý sau chứng tỏ rằng nghiệm của phương trình (19) ổn định mũ trong lân cận compact của điểm cân bằng với hàm Lyapunov có dạng (20). Bổ đề 3.1 ([9]) Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định mũ của hệ (19) và ( )xK A x* *⊂ là tập compact. Thì tồn tại các hằng số C 1≥ và 0λ > thỏa mãn ( ) t xt x x Ce x x x K t* * *, , , 0.−λφ − ≤ − ∀ ∈ > Định lý 3.4 Giả sử x * là điểm cân bằng ổn định mũ của hệ (19) và ( )xK A x* *⊂ là tập compact. Thì tồn tại các hằng số a b c T, , , 0> thỏa mãn ( )a x x V x b x x* *− ≤ ≤ − (21) ( )V x c x x *' ≤ − − (22) Với x x K *∀ ∈ và ( )V x được xác định bởi (20). Chứng minh Theo bổ đề 1 thì tồn tại C 1≥ và 0λ > thỏa mãn ( ) t xt x x Ce x x x K t* * *, , , 0.−λφ − ≤ − ∀ ∈ > Chọn xx K *∈ ta tính toán ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T V x f x d x d T x x x x T x x Ce x x . 0 0 * * * , , , , 1 .−λ = φ τ τ ≥ φ τ τ = φ − ≥ − − φ − = − − ∫ ∫ (23) 92 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Đặt L 0> là hằng số Lipchitz của f . Ta có (24) Ngoài ra ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h T h T h h T h h h T T V h x V x W x h f x d f x d h f x d f x d h f T x f x L T x x f x LCe x x f x . 0 0 0 0 0 , limsup 1 limsup , , 1 limsup , , , , * * . + + + → + → + → −λ φ −=  = φ τ τ − φ τ τ    = φ τ τ − φ τ τ   = φ − ≤ φ − − ≤ − − ∫ ∫ ∫ ∫ (25) Vì ( )f x * 0= và f C2∈ theo định lý Taylor thì tồn tại lân cận compact x F * . của điểm x * và hằng số F thỏa mãn ( ) ( )( ) xf x f x x x F x x x F *2* * *' , .− − ≤ − ∀ ∈ Vì x * ổn định mũ và 0µ > là bình phương của giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận xác định dương ( ) ( )TDf x Df x* * ta có ( ) ( )( ) ( ) f x Df x x x F x x x x F x x x x 2 * * * * * *1 2 ≥ − − − ≥ − µ − − ≥ µ − (26) Với mọi x x K *∈ cùng với ( )x x F* / 2 .− ≤ µ Do đó có ε − cầu ( )B x *ε quanh x * sao cho (26) đúng với mọi ( )x B x * .ε∈ Đặt ( ) ( ) x x K B x f x x x** * * \ inf . ε∈ α = − Vì ( )xK B x* *\ ε là tập compact nhỏ nhất và không chứa điểm cân bằng của f ta có * 0.α > Đặt *min , , 2 µ α = α   ta có ( )f x x x *≥ α − với x x K *∀ ∈ Và nó chứng tỏ bởi (25) rằng ( ) ( )TV x LCe x x *' .−λ≤ − α − − (27) Do đó, với LT C1 ln ln > + λ α  ta có T 0> bởi vì rõ ràng L C, 1≥ α ≥ và 0.λ > Từ CT ln> λ và từ (23) suy ra tồn tại a 0,> từ T 0> và (24) suy ra tồn tại a b, 0,> từ (27) và ( )CLT ln \ α> λ suy ra tồn tại a c, 0> thỏa mãn ( )a x x V x b x x* *− ≤ ≤ − Và ( ) x V x c x x x K * *' , .≤ − − ∀ ∈ Chú ý: Khi làm ví dụ cụ thể thì việc xác định hàm ( ) ( )( )TV x f t x dt 0 ,= φ∫ có thể được xác định bằng phương pháp số ( ) ( )( ) ( )( )T T t i V x f t x dt t f t x / 00 , i , . ∆ = = φ = ∆ φ ∆∑∫ Kết luận Bài báo đã xét được tính ổn định mũ của hệ phi tuyến. Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov chỉ ra điều kiện đủ để hệ phương trình vi phân phi tuyến ổn định bằng các tựa hàm Lyapunov. Ngoài ra, bài báo giới thiệu phương pháp CPA và sử dụng phương pháp CPA trong trường hợp hệ phi tuyến có điểm cân bằng ổn định thì chỉ ra được công thức xác định hàm Lyapunov trong lân cận compact của điểm cân bằng. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục. [2]. Bùi Quý Lực (2011), Kỹ thuật điều khiển tự động, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. [3]. Nguyen Manh Linh, Vu Ngoc Phat (2001), Exponential stability of nonlinear time-varying, Electronic Joural of Differential equations, Vol 2011, No 34. [4]. Bellman B (1959), Stability Theory of Diferential Equations, Mac Graw-Hill. [5]. J. Bjornsson, P. Giesl, S. Hafstein, C. Kellett and H. li (2015), Computation of Lyapunov functions for systems with multiple attractors, Discrete Contin. Dyn. Syst.Ser. A, 35(9):4019-4039. [6]. Katko J. and Jaqi P (1990), Stability via the Lyapunov function with a discontinuous derivative, J. Math. Anal. Appl., 152 (1990), 299-239. ( ) ( )( ) ( ) ( ) T T T T V x f x d L x x d LC LC x x e d Ce x x * 0 0 * * 0 , , 1 .−λτ −λ = φ τ τ ≤ φ τ − τ ≤ − τ = − −λ ∫ ∫ ∫ NGÀNH TOÁN 93Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Nguyễn Thị Huệ - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu: + Nĕm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh + Nĕm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê - Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Nghiên cứu toán lý thuyết và cá