Sự tồn tại hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets và phương pháp đa phân giải tín hiệu trong xử lý thông tin

80 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Sự tồn tại hiện tượng Gibbs của hàm xấp xỉ Wavelets và phương pháp đa phân giải tín hiệu trong xử lý thông tin Existence of the Gibbs phenomenon of Wavelets approximations functions and the method multiresolution analysis in information handling Nguyễn Kiều Hiên Email: nguyenkieuhien@gmail.com.vn Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 14/01/2019 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 25/3/2019 Ngày chấp nhận đĕng: 28/3/2019 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại của hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets của hàm bước nhảy có điểm gián đoạn và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy nếu hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện phân giải tín hiệu (xem [2]). Từ khóa: Phép biến đổi Wavelets; hiện tượng Gibbs; điểm gián đoạn. Abstract In this paper, we research the existence of Gibbs for a function Wavelets approximation of functions with a jump discontinuity and show the Gibbs phenomenon near the jump if the scaling function approximation satisfies a certain decay condition (see [2]). Keywords: Transformation Wavelets; Gibbs phenomenon; discontinuity point. 1. GIỚI THIỆU Nĕm 1975, Morlet đã phát triển phương pháp đa phân giải. Trong đó, Morlet đã sử dụng một xung dao động, được hiểu là một Wavelets (một sóng nhỏ) cho thay đổi kích thước và so sánh với tín hiệu ở từng đoạn riêng biệt. Kỹ thuật này bắt đầu với sóng nhỏ Wavelets chứa các dao động tần số khá thấp, sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu phân tích để có hình ảnh toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô. Sau đó, sóng nhỏ được nén lại để nâng cao dần tần số dao động. Quá trình này gọi là thay đổi tỉ lệ phân tích. Khi thực hiện tiếp bước so sánh, tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết ở độ phân giải cao hơn, giúp phát hiện các thành phần biến thiên nhanh còn ẩn bên trong tín hiệu. Phương pháp đa phân giải Wavelets đã khắc phục được hạn chế của phép biến đổi Fourier là chỉ cung cấp thông tin có tính toàn cục và chỉ thích hợp cho những tín hiệu tuần hoàn không chứa các đột biến hoặc các thay đổi không dự báo được. Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng không gian các hàm giảm nhanh Schwartz ( )S  và đưa ra điều kiện mở rộng xấp xỉ hàm Wavelets cho hàm bước nhảy gián đoạn. Và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy nếu hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện phân giải tín hiệu. 2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa 1 (xem [2]) Cho không gian Schwartz ( )S  hoặc không gian các hàm giảm nhanh ( )C∞  được định nghĩa bởi ( ) ( ),( ) { : }1 kl l kf x CC xS f −∞= ∈ ≤ + , .k l Z +∀ ∈ Định nghĩa 2 (xem [2]) Ta định nghĩa không gian các hàm giảm nhanh ( )rC  trong ( )rS  bởi ( ) ( ),( ) : }1{ kl lrr kS f C xC f x −= ≤ +∈Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Vĕn Ninh 2. TS. Đào Trọng Quyết NGÀNH TOÁN 81Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 0 , , .l r k l Z +≤ ≤ ∀ ∈ Định nghĩa hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets 2: , ( )f f L→ ∈   Được xác định với hàm bước nhảy gián đoạn ở gốc tương tự như định nghĩa sau. Định nghĩa 3 (xem [3]) Cho 2 ( )Lϕ∈  khi đó hàm ,j kϕ được cho bởi ( ) ( )2, ,2 2j jj k j kx x kϕ ϕ= − thì hệ Wavelets { }, ,j k j k Zϕ ∈ trực chuẩn trong không gian 2 ( )L  . Hơn nữa { }, ,j k j k Zϕ ∈ là cở sở trực giao của không gian 2 ( )L  . Khi đó hàm ,j kϕ gọi là các Wavelets, và 2 ( )Lϕ∈  gọi là hàm sinh bởi các Wavelets. Định nghĩa 4 (xem [3]) Đa phân giải một Wavelet, tức là tồn tại một dãy { }j j ZV ∈ không gian con đóng của không gian 2 ( )L  thỏa mãn 1) , ,j ji V V j Z+⊂ ∀ ∈ { }) 0 ,j j Z ii V ∈ = ) j j Z iii V ∈  trù mật trong 2 ( )L  , Mỗi ( ) 0,j Z f x V∀ ∈ ∈ khi và chỉ khi ( )2 j jf x V∈ , Mỗi ( ) 0,k Z f x V∀ ∈ ∈ khi và chỉ khi ( ) 0f x k V− ∈ , Nếu tồn tại hàm 0Vϕ∈ là hàm gộp, hoặc hàm sinh bởi các Wavelets, thỏa mãn ( ){ } k Z x kϕ ∈− là cơ sở trực giao của không gian 0V . Định nghĩa 5 (xem [2]) Giả sử hàm ( )f x có bước nhảy gián đoạn tại 0x = ( ) ( ) 0 0 lim , x f f x+ + → = < ∞ ( ) ( ) 0 0 lim , x f f x− − → = < ∞ hàm ( ) ( )0 0 .f f+ −≠ Ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm ( )f x tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía phải của 0x = nếu dãy 0.jx > Tại 0x = thỏa mãn ( ) ( ) 0 lim 0j j j P f x f+ + → > nếu ( ) ( )0 0 ,f f+ −> hoặc ( ) ( ) 0 lim 0j j j P f x f+ + → < nếu ( ) ( )0 0f f+ −< . Tương tự ta nói rằng xấp xỉ Wavelets của hàm ( )f x tồn tại hiện tượng Gibbs ở phía trái của 0x = nếu dãy 0.jx < Tại 0x = thỏa mãn ( ) ( ) 0 lim 0j j j P f x f− − → < nếu ( ) ( )0 0 ,f f+ −> hoặc ( ) ( ) 0 lim 0j j j P f x f− − → > nếu ( ) ( )0 0f f+ −< . Ví dụ 1: Cho ( )rSϕ∈  và hàm ( ) 2 ( )f x L∈  được cho bởi như sau ( ) 1 , 1 0, 1 , 0 1, 0, 1, 1. x x f x x x x x − − − ≤  Gọi hình chiếu trực chuẩn của f trên jV xác định bởi ( ) ( ), ,,j j j k j k k Z P f x f x ∈ =∑ ϕ ϕ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , j k j k k Z j k j k k Z f y y dy x f y y dy x ∞ −∞∈ ∞ −∞∈ ∞ −∞ ∈ = =  =    ∑ ∫ ∑ ∫ ∑∫ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 82 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 trong đó: ( ) ( ) ( ), ,,j j k j k k Z K x y y xϕ ϕ ∈ =∑ . Khi đó ta gọi ( ),jK x y là hạt nhân của jV . Ta cần chỉ rõ jK trong thỏa mãn điều kiện 0K của hạt nhân trong 0V trong trường hợp cụ thể như sau ( ) ( ) ( ), ,,j j k j k k Z K x y x yϕ ϕ ∈ =∑ ( ) ( )2 2, ,2 2 2 2j j j jj k j k k Z x k y kϕ ϕ ∈ = − −∑ ( ) ( ), ,2 2 2j j jj k j k k Z x k y kϕ ϕ ∈ = − −∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0, 0, 0 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 . j j j j k j k k Z j j j k k k Z j j j x k y k x y K x y ϕ ϕ ϕ ϕ ∈ ∈ = − − = = ∑ ∑ Với ( ) ( ) ( )0 , k Z K x y y k x kϕ ϕ ∈ = − −∑ . Định lý 1 (xem [1]) Cho hàm ( )rSϕ∈  và ( ) ( ) ( )0 , k Z K x y y k x kϕ ϕ ∈ = − −∑ . Khi đó Chứng minh )i Vì ( ) ( ) ( )0 0 0, , 1, 1 .K x y K y x K x y= = + + Không mất tính tổng quát giả sử 1x y+ ≤ và x y≥ . Nếu 0k ≥ có Và Từ (1) và (2) ta có Tương tự nếu 0k < ta được Giả sử rằng ( )rSϕ∈  khi đó tồn tại hằng số K và 1β > sao cho (5) Từ (5) suy ra ( ) ( ) ,1 K x k x k βϕ − ≤ + − Và ( ) ( ) .1 K y k y k βϕ − ≤ + − Do vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , k K x y x k y k K K ∈ ∈ ≤ − − ≤ + − + − ∑ ∑ β β ϕ ϕ   1 , 2 2 x y k −≥ − − (1) 2 2 x y x y k − +≥ + − 2 2 2 2 x y x y y k k x y x y k + −− = − − − +   = − − − −       1 1 . 2 2 2 2 x y x y k − −≥ + − ≥ − (2) (3) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 . 4 x k y k x y x y k x y k x y + − + − ≥  −  − − + +     = − − + − + (4) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 2 1 1 . 4 x k y k x y k x y + − + − ≥ − + + − + ( ) ( ) .1 K x x ≤ + βϕ ( ) ( ), .jf y K x y dy∞−∞= ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,j k j k k Z f y y x dy ∞ −∞∈ ∞ −∞∈ ∞ −∞ ∈ = =  =    ∑ ∫ ∑ ∫ ∑∫ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) 0 0 ) , , , 1 ) , 1, . C i K x y N x y ii K x y dy x β β β ∞ −∞ ≤ ∈+ − = ∀ ∈∫  2 2 x y x y x k k + −− = + − − +   = − − −       − +≥ − − 2 2 2 2 x y x y k x y x y k + −− = + − − +   = − − −       − +≥ − − NGÀNH TOÁN 83Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Từ (3) và (4) ta có ( ) ( ) ( ) 2 0 0 4 , ( 1 2 1k K x y K x y k x y β β β> ≤ + − − − +∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 4 ) 1 2 1 4 1 2 , . 1 1 2 k k x y k x y K t x y t k β β β β β β < > + + − + − + = ∈− + + − ∑ ∑  Từ (6) có ( )1 2 2 .t k t kβ β+ − ≥ − Vì vậy ( ) 1 1 . 21 2 t kt k β β≤ −+ − Cho cố định t∈ , nên ta tìm N +∈ thỏa mãn 2t k k− ≥ với k N≥ . Khi đó 1 1 . 2 kt k β β≤− Dùng phép so sánh ta đạt được ( )0 0 0 1 1 21 2 1 , 1. k k k t kt k k β β β β > > > ≤ −+ − ≤ ∑ ∑ ∑ Do vậy: ( ) ( )0 , , 1.1 C K x y x y β β β≤ >+ − )ii Cho , , , 2n m d m n += ∈ ∈  là số nhị nguyên, và j∈ thỏa mãn j n≥ . Biết rằng: Nên có ( ) ( )2,0 2 2 .j jj jx x Vϕ ϕ− −− −= ∈ Do vậy: ( ) ( ): 2 .j jh x x Vϕ − −= ∈ Dẫn đến ( ) 0 0.jh x V V V−∈ ⇒ ⊆ Vì vậy suy ra ( ) 02 .j x d Vϕ − + ∈ Và ( ) ( )( )2 2 2 .j j jx d x mϕ ϕ− − −+ = + Xác định hình chiếu lên 0V có ( ) ( ) ( ) ( )20 , , .P g x K x y g y dy g L∞−∞= ∀ ∈∫  Chọn hàm ( ) ( ) 02 .jg x x d Vϕ −= + ∈ Thu được ( ) ( ) ,g x P g x=  Và ( ) ( ) ( ) ( )0 2 , 2 . j j g x x d K x y y d dy ϕ ϕ − ∞ − −∞ = + = +∫ Hơn nữa ( )0 ,K x y khả tích và ( )xϕ có điều kiện ràng buộc. Theo sự hội tụ của tích phân Lebesgue cho j→∞ có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , . d K x y d dy d K x y dy ϕ ϕ ϕ ∞ −∞ ∞ −∞ = = ∫ ∫ Bây giờ chỉ ra tồn tại số d là số nhị nguyên thỏa mãn ( ) 0dϕ ≠ . Giả sử ( ) 0dϕ = với d là số nhị nguyên. Và đồng thời cho a là số thực thỏa mãn ( ) 0.a ≠ϕ Theo định nghĩa cần tìm dãy { } 1n n d ∞ = thỏa mãn , ,nd a n→ →∞ khi đó ( ) ( ) , ,nd a nϕ ϕ→ →∞ Do vậy ( )0 , 1, .K x y dy x∞−∞ = ∀ ∈∫  ( ) ( )0 1 1 ). 1 1k x k y k< + + − + −∑ β β ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 k k K K x k y k ∈ ∈ ≤ − − ≤ + − + − ∑ ∑ β β ϕ ϕ   ( ) ( ) 2 0 1 1 ( 1 1k K x k y k> = + − + −∑ β β { }, .j j k kV span ϕ− − ∈=  84 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 3. SỰ TỒN TẠI HIỆN TƯỢNG GIBBS VỚI HÀM XẤP XỈ WAVELETS Định lý 2 (xem [4]) Cho f là một số thực. Khi đó ( ) ( )0 0 lim 2 2 , 1.jj j P f a K a u du ∞− →∞ = −∫ Bây giờ, ta đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn tại của hiện tượng Gibbs. Định lý 3 (xem [3]) Cho hàm f như sau ( ) 1 , 1 0 1 , 0 1 0, 1, 1. x x f x x x x x − − − ≤  Và cho ( )rSϕ∈  . Khi đó xuất hiện hiện tượng Gibbs của hàm f gần 0x = nếu tồn tại một số thực 0a > thỏa mãn ( )0 0 , 1.K a u du ∞ >∫ Hoặc tồn tại một số thực 0a < thỏa mãn ( )0 0 , 0.K a u du ∞ <∫ Chứng minh Cho 2 ,jjx a a R−= ∈ , Do đó ( ) ( )lim lim 2 1, 0,jj j j f x f a a−→∞ →∞= = > ( ) ( )lim lim 2 1, 0.jj j j f x f a a−→∞ →∞= = − < Áp dụng định lý 2 có ( ) ( )lim lim .j j j j j P f x f x→∞ →∞> Nếu ( )0 0 , 1, 0.K a u du a ∞ > ∀ >∫ Hoặc ( ) ( )lim lim ,j j j j j P f x f x→∞ →∞< Nếu ( )0 0 , 0, 0.K a u du a ∞ < ∀ <∫ Định lý sau phát biểu làm thay đổi điều kiện của hàm ( )rSϕ∈  . Nhận xét 1 Cho hàm ( )h x được định nghĩa như sau; ( ) 1, 0, 1, 0. x h x x ≥= − < Từ định lý 2 có ( ) ( ) ( )0lim 2 2 , .jj j P f x K x y h y dy ∞− −∞→∞ = ∫ Giới hạn này còn gọi là hàm Gibbs. Chúng ta xác định hàm ( )r x như sau; ( ) ( ) ( ) ( )0 , .r x h x K x y h y dy∞−∞= − ∫ Áp dụng kết quả định lý 2 ta chỉ ra hàm Gibbs Vì vậy thay vào hàm ( )r x được Nếu ( )xϕ là hàm liên tục thì liên tục. Tiếp theo chúng ta sử dụng hàm ( )r x được phát biểu trong bổ đề sau. Bổ đề 1 (xem [4]) Giả sử ( )xϕ là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng Khi đó nếu tồn tại 0M > thỏa mãn ( ) ( ) 11 , M r x x x β −≤ ∈+  trong đó: ( )r x được định nghĩa như (6). Hơn nữa nếu 3 2 β > thì ( ) ( )2r x L∈  là trực chuẩn trong 0.V ( ) ( ) ( )0 0 0 , 2 , 1.K x y h y dy K x y dy ∞ ∞ −∞ = −∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 , 1 2 2 , 0, 1 2 , 1, 0. 2 2 , , 0, 2 , , 0. r x h x K x y dy K x y dy x K x y dy x K x y dy K x y dy x K x y dy x ∞ ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ ∞ = − −  − ≥= − − + <  − − ≥= − < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 0 0 2 , 0, 2 , 1, 0. K x y dy x K x y dy x −∞ ∞  ≥= − + < ∫ ∫ (6) ( ) ( ) ( ) ( )0 ,r x h x K x y h y dy∞−∞= − ∫ ( ) ( ) , 0, 1. (1 C x x C x βϕ β≤ ∈ > >+  (7) NGÀNH TOÁN 85Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Bổ đề 2 (xem [4]) Giả sử ( )xϕ là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng, nó có thể phân biệt được với số nhị thức d với ( ) 0.dϕ′ ≠ Cho ( )2g L∈  là trực chuẩn trong 0 ,V và ( ) ( )1 .xg x L∈  Thì ( ) 0.xg x dx∞−∞ =∫ Nếu ( )xϕ thỏa mãn điều kiện (7) thì ( )rSϕ∈  và sử dụng kết quả định lý 3. Nếu 0a > thỏa mãn ( ) 0r x < thì ( )0 0 2 , 1 1.K a u du ∞ − >∫ Với ( )0 0 , 1.K a u du ∞ >∫ Định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại phía phải của điểm 0x = . Tương tự, nếu 0a và ( )0 0 2 , 1 1.K a u du ∞ − < −∫ Khi đó ( )0 0 , 0.K a u du ∞ <∫ Vì vậy kết quả của định lý 3 chỉ ra rằng hiện tượng Gibbs xảy ra tại phía trái của điểm 0x = . Định lý 4 Giả sử ( )xϕ là hàm liên tục trong không gian hàm suy rộng, với số nhị thức d thỏa mãn ( ) 0.dϕ′ ≠ và ( ) ( ) , 0, 3.1 C x x C x βϕ β≤ ∈ > >+  Khi đó hàm xấp xỉ Wavelets tương ứng chỉ ra hiện tượng Gibbs ở phía phải hoặc phía trái của điểm 0x = . Chứng minh Giả sử hàm ( )xϕ thỏa mãn bổ đề 1. Khi đó tồn tại 0M > thỏa mãn ( ) ( ) 11 . M r x x x β −≤ ∈+  Trong đó: Hàm ( )r x được định nghĩa như (6) Bên cạnh đó, vì 3β > theo bổ đề 2 thì ( ) ( )2r x L∈  là trực chuẩn trong 0.V Bây giờ ta chỉ ra rằng ( ) ( )1xr x L∈  thật vậy ( ) ( ) 1 3.1 xM xr x dx dx x β β−≤ +∫ ∫  Giả sử hàm ( )r x thỏa mãn bổ đề 2 với ( ) ( )g x r x= . Do đó Giả sử rằng ( ) 0r x ≥ với 0,x > và ( ) 0r x ≤ với 0.x < Do vậy ( ) 0r x = hầu như ở khắp nơi. Tuy nhiên trong nhận xét 1, ( ) ( )r x h x− liên tục trong khi ( )h x là hàm bước nhảy gián đoạn tại 0.x = Khi đó, nếu tồn tại 0x > thỏa mãn ( ) 0r x < , hoặc 0x 4. KẾT LUẬN Bài viết trình bày sự tồn tại hiện tượng Gibbs đối với hàm xấp xỉ Wavelets và đưa ra điều kiện mở rộng xấp xỉ hàm Wavelets cho hàm bước nhảy gián đoạn, và chỉ ra hiện tượng Gibbs gần bước nhảy. Ngoài ra Shannon Wavelets dùng dãy xấp xỉ dương để loại bỏ hiện tượng Gibbs trong Wavelets. Tuy nhiên do khuôn khổ bài báo, chúng tôi không đề cập ở đây. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Anders Vretblad (2003), Fourier analysis and its applications, SpingerVerlag, New York. [2]. Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford. ( ) 0.xr x dx∞−∞ =∫ (8) 86 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(64).2019 Nguyễn Kiều Hiên - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Nĕm 2007: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán học khoa Khoa học tự nhiên - Đại học Thái Nguyên + Nĕm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ ngành Toán giải tích Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Toán giải tích - Email: nguyenkieuhien@gmail.com - Điện thoại: 0985330644 THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ [3]. H.T. Shim (1994), On Gibbs phenomenon in wavelet subspaces and summability, Ph.D.thesis, The University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee. [4]. Kourosh Raeen (2008), A study of the Gibbs phenomenon in Fourier series and wavelets, M.A.thesis, The University of New Mexico, Albuquerque, New Mexico.