Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 70 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra Existence, solution properties of the linear random integral equation Fredholm and Volterra forms Nguyễn Thị Huệ Email: minhhuesaodo@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 02/7/2020 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 28/9/2020 Ngày chấp nhận đăng: 30/9/2020 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra. Chứng minh sự được tồn tại nghiệm của phương trình ứng với các điều kiện của hạch K (x,y) chỉ ra được dạng nghiệm tương ứng. Xét được tính chất bình phương liên tục của nghiệm, thiết lập sự tồn tại của hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2) của nghiệm. Từ khóa: Phương trình tích phân; phương trình tích phân Fredholm; phương trình tích phân Volterra; hạch; hàm giải thức; hàm hiệp phương sai. Abstract In this paper, we consider the following linear random integral equation Fredholm and Volterra forms. To prove the existence of the solution of the equation to the conditions of kernel K (x,y) indicating the corresponding solution. Considering the average square of the solution, establish the existence of the covariance function Rf (x1,x2) of the solution. Keywords: Integral equation; the integral equation Fredholm form; the integral equation Volterra form; kernel; solver function; covariance function. Sự tồn tại, tính duy nhất, dạng biểu diễn và các tính chất nghiệm của các dạng phương trình tích phân. Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra tương ứng là: ( ) ( ) ( ) ( )w w w- =ò, , , , .b a f x K x y f y dy g x (1) (2) ( ) ( ) ( ) ( )w w w- =ò, , , , .x a f x K x y f y dy g x Trong đó: x ≥ 0, w là một điểm của Ω; g (t, w) là hàm ngẫu nhiên xác định với x ≥ 0, w ∈ Ω; f (t, w) là hàm ngẫu nhiên chưa biết với x ≥ 0; hạch ngẫu nhiên K (x,y) xác định với 0 ≤ x ≤ y<∞. 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng một số kí hiệu như: 1. GIỚI THIỆU Nhiều vấn đề trong toán học cũng như các bài toán thực tế của cơ học, vật lý, kỹ thuật dẫn đến phương trình mà các hàm chưa biết nằm dưới dấu tích phân, đó chính là dạng phương trình tích phân. Lý thuyết tổng quát về các loại phương trình tích phân tuyến tính được xây dựng từ cuối thế kỉ XIX đầu thế kỉ XX, chủ yếu là trong các công trình của Volterra, Fredholm và Hilbert. Trong các tài liệu [4, 5, 6, 7], các tác giả đã trình bày tổng quát về phương trình tích phân tuyến tính dạng tất định. Tuy nhiên, khi cả hàm cần tìm và các yếu tố đã cho trong phương trình tích phân đều chứa biến ngẫu nhiên thì được lớp phương trình tích phân ngẫu nhiên. Nghiên cứu về bài toán về phương trình tích phân ngẫu nhiên ta thường quan tâm đến các vấn đề: Người phản biện: 1. PGS. TS. Khuất Văn Ninh 2. TS. Nguyễn Viết Tuân NGÀNH TOÁN HỌC 71Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 - ( ), ,PW F là không gian xác suất, đo được. - L2 [a,b] là không gian các hàm thực bình phương khả tích trên [a,b]. Định nghĩa 1 (Xem [2]): Quá trình ngẫu nhiên ( ){ }t Tx t Î là họ các biến ngẫu nhiên ( ){ }:x t t TÎ được xác định trên không gian xác suất ( ), ,PW F với tham số t của tập chỉ số .T Biến ngẫu nhiên x (t) có các đặc trưng như: Kì vọng, phương sai, hàm tự tương quan... Định nghĩa 2 (Xem [2]): Cho x (t) t ∈ T là một quá trình ngẫu nhiên. Khi đó: - Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên ( ){ }t Ix t Î là ( ) ( ), .m t Ex t t T= Î - Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên ( ){ }t Ix t Î là: ( ) ( ) ( )é ù= = -ë û, cov , ( ) ( ) ( ) ( ).K s t x s x t Ex s x t m s m t - Hàm hiệp phương sai của hai quá tình ngẫu nhiên ( ) ( ), , ,x s y t s t TÎ là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) é ù= ë û é ù= - -ë û , cov , . R s t x s y t E x s E x s y t E y t Định lí 1 (Xem [2]): Hàm ngẫu nhiên x (t), t ∈ T = [a,b] là hàm 2L khả tích trên T khi và chỉ khi hàm trung bình m (t) khả tích trên T và hàm tự tương quan K (s,t) khả tích trên T × T. Khi đó ta có: ( ) ( ) ( )= =ò ò ò ;b b b a a a E x t dt Ex t dt m t dt ( ) ( )=ò ò ò , ;b b b a a a Var x t dt K s t dsdt ( ) ( ) ( ) æ öç ÷ =ç ÷è øò ò ò ò, , . b d b d a c a c Cov x t dt x t dt K s t dsdt Nếu ( ) [ ], ; ,x t t T a bÎ = ( ) [ ], ;y t t T c dÎ = là 2L khả tích trên T = [a,b] thì ( ) ( ) ( ) ( ) é ù é ùê ú ê ú =ê ú ê úë û ë ûò ò ò ò ; b d b d a c a c E x t dt y t dt Ex s y t dsdt ( ) ( ) ( ) ( )cov , cov , . b d b d a c a c x t dt y t dt x s y t dsdt é ùê ú é ù= ë ûê úë ûò ò ò ò Định lí 2 (Xem [2]): (Khai triển Karunen-Loève) cho x (t), t ∈ T = [a,b] là hàm ngẫu nhiên 2L liên tục. Khi đó tồn tại dãy các đại lượng ngẫu nhiên zn đôi một không tương quan với kì vọng 0 và dãy hàm tất định ( )n tf sao cho [ ];t a b" Î ta có khai triển sau: ( ) ( ) ( )n n n x t m t tx f ¥ = = +å Trong đó: - m(t) là hàm trung bình của x (t); - Dãy ( )n tf là cơ sở trực chuẩn của L2 [a,b] và là các hàm riêng của toán tử tích phân A: L2 [a,b] → L2 [a,b] cho bởi: ( ) ( ) ( ), b a Ax t K s t x s ds= ò Ở đó: K (s,t) là hàm tự tương quan của x (t). 0,n n nE Varx x l= = Trong đó: l n là giá trị riêng của A ứng với hàm riêng ( )n tf Sự hội tụ của chuỗi (1.37) là hội tụ trong 2.L Định nghĩa 3 (Xem [2]): Hàm g (x,w) với [ ],x a bÎ là hàm bình phương liên tục nếu g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn điều kiện: ( ){ } [ ] ( ) ( ){ } [ ] w w w ®¥ ì < ¥ " Îïïíï + - = " Îïî 2 2 1. , , x , . 2. lim , , 0, , . h E g x a b g x h g x x a b Nghiệm của phương (1); (2) là một hàm ngẫu nhiên f (x,w), mà tính chất ngẫu nhiên của nó phụ thuộc vào tính chất ngẫu nhiên của hàm g (x,w). Ta có định lý về nghiệm của phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên. Định lí 3: Nếu i. ( ) [ ], ; , ,K x y x y a bÎ là hạch Fredholm và ( ), 1K x y < . ii. g (x,w) với [ ], , ;x y a b wÎ ÎW là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn điều kiện bình phương liên tục. Khi đó: Hàm f (x,w) được xác định bởi: ( ) ( ) ( ) ( ), , , , b a f x g x x y g y dyw w w= - Gò (3) Với [ ], , ;x y a b wÎ ÎW và ( ),x yG là giải thức liên kết với K (x,y) sẽ là nghiệm của phương trình Fredholm (1) trên [a,b] × Ω. Chứng minh: Đối ứng từ phương trình (1) là: NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 72 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 ( ) ( ) ( ) ( ), , , , b a g x f x x y g y dyw w w= - Gò (4) Trong đó: ( ),x yG là giải thức liên kết với K (x,y) được xác định như sau: ( ) ( ) ( ) ¥ = G = -å 1 , ,n n x y K x y (5) Với ( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , ...K x y K x y được xác định quy nạp như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ò 1 2 , , ; , , , ; b a K x y K x y K x y K x z K z y dz Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-= =ò 1, , , , 3,4....bn n a K x y K x z K z y dz n Với giả thiết ( ), 1K x y < thì giải thức liên kết loại Neumann (5) là hội tụ tuyệt đối. Từ g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn điều kiện bình phương liên tục ta có: (h.c.c). ( ) 2, b a g x dxw < ¥ò (6) Từ hàm giải thức ( ),x yG là một hạch 2L trên [a,b], suy ra: ( ) [ ]G < ¥ " Îò 2, , , .b a x y dy x a b Do đó, tích phân ( ) ( ), , b a x y g y dywGò tồn tại trên [a,b] × Ω. Từ đó, ta có thể kết luận rằng: ( ) ( ) ( ) ( ), , , , b a f x g x x y g y dyw w w= - Gò Là định nghĩa tốt trên [a,b] × Ω. Bây giờ ta chứng minh rằng ( ) ( ) [ ]2, , , b a x y g y dy L a bwG Îò Với hầu hết mọi w" ÎW . Ứng dụng bất đẳng thức Holder’s, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )w wæ öç ÷G < Gç ÷è øò ò ò 2 2 2, , , , . b b b a a a x y g y dy x y dy g y dy Do đó: ( ) ( ) 2 2 2 , , , , b b a a b b b a a a x y g y dy dx x y dy g y dy dx w w æ öç ÷Gç ÷è ø æ öç ÷Gç ÷è ø ò ò ò ò ò 2 2, . , . . . b b b a a a g y dy x y dxdy h c cw G ¥ò ò ò ( ) ( ) 2 2 2 , , , , b b a a b b b a a a x y g y dy dx x y dy g y dy dx w w æ öç ÷Gç ÷è ø æ öç ÷< Gç ÷è ø ò ò ò ò ò ( ) ( ) ( ) 2 2, . , . . . b b b a a a g y dy x y dxdy h c cw= G < ¥ò ò ò Cuối cùng, ta chỉ ra rằng hàm ngẫu nhiên f (x,w) được xác định bởi (4) thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên Fredholm (1) trên [a,b] × Ω hầu chắc chắn. Xét sự độc lập: ( ) ( ) ( ) ( )+ G - G =ò, , , , 0.b a K x y x y K x z z y dz (7) Nhân cả hai vế (7) với g (x,w) và lấy tích phân trên [a,b], ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w æ öç ÷+ G - G =ç ÷è øò ò, , , , , 0. b b a a g y K x y x y K x z z y dz dy Khi sắp xếp lại, được kết quả là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , b b b a a a g y K x y dy K x z z y g y dzdyw w- Gò ò ò ( ) ( ) w= - Gò , , .b a x y g y dy (8) Từ ( ) ( ) [ ] ( )2 2, , , , . . b a x y g y dy L a b h c cwG Îò và từ ( ) [ ] [ ]2, , , ,K x z L a b x a bÎ " Î ta có: ( ) ( ) ( ) ( )wG < ¥ò ò, , , . . .b b a a K x z dz x y g y dy h c c Áp dụng kết quả của định lý Tonelli cho tích phân thứ 2 trong vế trái của (8) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w G æ öç ÷Gç ÷è ø ò ò ò ò = , , , , , , . b b a a bb a a K x z z y g y dzdy K x z z y g y dy dz (9) Với tích phân đầu trong vế trái của (8), ta đổi biến từ y sang z và sử dụng (9) thì ta viết lại được (8) như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w w æ öç ÷- Gç ÷è ø - G ò ò ò = , , , , , , . bb a a b a K x z g z z y g y dy dz x y g y dy Sử dụng định nghĩa của f (x,w) cho bởi (3), biểu thức trên trở thành: ( ) ( ) ( ) ( )w w= - Gò ò, , , , .bba aK x z f z dz x y g y dy (10) NGÀNH TOÁN HỌC 73Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 Viết lại (10) và sử dụng định nghĩa của f (x,w) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , . b a b a K x z f z dz g x x y g y dy g x f x g x w w w w w w = - G - = - ò ò Tức là, biểu thức (10) tương đương với phương trình Fredholm (1). Chú ý: Kết quả của Định lí 3 dễ dàng đặc biệt hóa với phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên Volterra (2). Khi đó, nghiệm của (2) có dạng: ( ) ( ) ( ) ( )w w w= - Gò, , x, , .x a f x g x y g y dy (11) Hệ quả: Nếu K (x,y) là một hạch Volterra trên [ ] [ ]0, 0, , 0r r r´ > và nếu g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai trên [0,∞] × Ω, liên tục trên hình vuông [0,r] × [0,r] mà thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên Volterra thì hàm ngẫu nhiên f (x,w) được xác định bởi (11) trên [0,∞] × Ω thỏa mãn phương trình (2) trên [0,∞] × Ω. Vấn đề chỉ ra dạng nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính Fredholm - Volterra đã được giải quyết. 3. KẾT QUẢ CHÍNH Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về tính chất của nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính Fredholm - Volterra. 3.1. Hàm hiệp phương sai của nghiệm Định lí 4: Nếu hàm ngẫu nhiên f (x,w) là nghiệm của (1), (2) theo Định lí 3 thì hàm hiệp phương sai của f (x,w) được xác định bởi: ( ) ( ) ( ){ } [ ]w w= Î1 2 1 2 1 2, , , , , , .fR x x E f x f x x x a b (12) Chứng minh: Để thiết lập sự tồn tại của hàm Rf (x1,x2), ta chứng tỏ rằng ( ){ } [ ]w £ ¥ " Î2, , ,E f x x a b , nghĩa là f (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai. Từ bất đẳng thức bất đẳng thức Holder’s: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2, , , , b b b a a a x y g y dy x y dy g y dyw wæ öç ÷G < Gç ÷è øò ò ò Và ( ) ( ) w w ì üæ öï ïç ÷Gí ýç ÷ï ïè øî þ ì üï ï < G < ¥í ýï ïî þ ò ò ò 2 2 2 , , , , b a b b a a E x y g y dy x y dy E g y dy Với [ ], ,x y a b" Î , từ g (x,w) liên tục trong hình vuông. Như vậy, nó theo sau từ (3) là ( ){ } [ ]w £ ¥ " Î2, , ,E f x x a b , thiết lập sự tồn tại của hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2). Phép tính của hàm Rf (x1,x2) là tính trực tiếp. Từ (12) và (3) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w w w ì üæ öï ïç ÷- Gç ÷ï ïïè ø ï = í ýæ öï ïç ÷- Gï ïç ÷ï ïè øî þ ò ò 1 1 1 2 2 2 , , , , , , , b a f b a g x x y g y dy R x x E g x x y g y dy ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w w w w w w w = ì üï ï- Gí ýï ïî þ ì üï ï- Gí ýï ïî þ ì üï ï + G Gí ýï ïî þ ò ò ò ò 1 2 1 2 2 1 1 2 , , , , , , , , , , , , . b a b a b b a a E g x g x E g x x y g y dy E g x x y g y dy E x y g y dy x y g y dy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) w w = - Gò 1 2 1 2 2 1 , , , , , f g b a R x x R x x x y E g x g y dy ( ) ( ) ( ){ }( ) w w- Gò 1 2, , ,b a x y E g y g x dy w w- G Gò ò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , ,b b a a x y x y E g x g x dy dy - Gò1 2 2 1, , ,bg g a R x x x y R x y dy - Gò 1 2, y,xb g a x y R dy - G Gò ò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , .b b g a a x y x y R y y dy dy Đặt ( ) ( ) ( ) ( )= - Gò1 2 1 2 2 1, , , , .bg g a H x x R x x x y R x y dy Phép tính đơn giản dưới đây biểu diễn cho Rf (x1,x2) của hàm hiệp phương sai Rg (x1,x2) đặt trong hàm ngẫu nhiên g (x,w): ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1, , , , b f g a R x x H x x x y R x y dy= - Gò ( ) ( )w w ì üæ öï ïç ÷Gí ýç ÷ï ïè øî þ ì üï ïG ¥í ýï ïî þ ò ò ò 2 2 2 , , , , b a b b a a E x y g y dy x y dy E g y dy w w w w ì üæ öï ïç ÷- Gç ÷ï ïïè ø ïí ýæ öç ÷- Gï ïç ÷è øî þ ò ò 1 1 1 2 2 2 , , , , , , , b a f b a g x x y g y dy R x x E g x x y g y dy w w w w w w w w ì üï ï- Gí ý î þ ì üï ï- Gí ý î þ ì üï ïG Gí ý î þ ò ò ò ò 1 2 1 2 2 1 1 2 , , , , , , , , , , , , . b a b a b b a a E g x g x E g x x y g y dy E g x x y g y dy E x y g y dy x y g y dy w w- Gò 1 2 1 2 2 1 , , , , , f g b a R x x R x x x y E g x g y dy w w- Gò 1 2, , ,b a x y E g y g x dy ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) w w- G Gò ò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , ,b b a a x y x y E g x g x dy dy - Gò1 2 2 1, , ,bg g a R x x x y R x y dy - Gò 1 2, y,xb g a x y R dy - G Gò ò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , .b b g a a x y x y R y y dy dy w w w w ì üæ öï ïç ÷- Gç ÷ï ïïè ø ïí ýæ öï ïç ÷- Gï ïç ÷ï ïè øî þ ò ò 1 1 1 2 2 2 , , , , , , , b a f b a g x x y g y dy R x x E g x x y g y dy w w w w w w w w ì üï ï- Gí ýï ïî þ ì üï ï- Gí ýï ïî þ ì üï ïG Gí ýï ïî þ ò ò ò ò 1 2 1 2 2 1 1 2 , , , , , , , , , , , , . b a b a b b a a E g x g x E g x x y g y dy E g x x y g y dy E x y g y dy x y g y dy w w- Gò 1 2 1 2 2 1 , , , , , f g b a R x x R x x x y E g x g y dy w w- Gò 1 2, , ,b a x y E g y g x dy w w- G Gò ò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , ,b b a a x y x y E g x g x dy dy ( ) ( ) ( ) = - Gò1 2 2 1, , ,bg g a R x x x y R x y dy - Gò 1 2, y,xb g a x y R dy - G Gò ò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , .b b g a a x y x y R y y dy dy w w w w ì üæ öï ïç ÷- Gç ÷ï ïïè ø ïí ýæ öï ïç ÷- Gï ïç ÷è øî þ ò ò 1 1 1 2 2 2 , , , , , , , b a f b a g x x y g y dy R x x E g x x y g y dy w w w w w w w w ì üï ï- Gí ýï ïî þ ì üï ï- Gí ýï ïî þ ì üï ïG Gí ýï ïî þ ò ò ò ò 1 2 1 2 2 1 1 2 , , , , , , , , , , , , . b a b a b b a a E g x g x E g x x y g y dy E g x x y g y dy E x y g y dy x y g y dy w w- Gò 1 2 1 2 2 1 , , , , , f g b a R x x R x x x y E g x g y dy w w- Gò 1 2, , ,b a x y E g y g x dy w w- G Gò ò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , ,b b a a x y x y E g x g x dy dy - Gò1 2 2 1, , ,bg g a R x x x y R x y dy ( ) ( )- Gò 1 2, y,xb g a x y R dy - G Gò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , .b g a x y x y R y y dy dy w w w ì üæ öï ïç ÷- Gç ÷ï ïïè ø ïí ýöï ï÷ï ï÷øî þ ò1 1 1 2 2 2 , , , , , , , b a f g x x y g y dy R x x E y g y dy w w w w w w ì üï ï- Gí ý î þ ì üï ïG Gí ý î þ ò ò ò 1 2 1 2 2 1 1 2 , , , , , , , , , , , , . b a b b a a E g x g x E g x x y g y dy E x y g y dy x y g y dy w w- Gò 1 2 1 2 2 1 , , , , , f g b a R x x R x x x y E g x g y dy w w- Gò 1 2, , ,b a x y E g y g x dy w w- G Gò ò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , ,b b a a x y x y E g x g x dy dy - Gò1 2 2 1, , ,bg g a R x x x y R x y dy - Gò 1 2, y,xb g a x y R dy ( ) ( ) ( )( ) - G Gò 1 1 2 2 1 2 1 2, , , .b b g a a x y x y R y y dy dy NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 74 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 Với hàm g (x,w) là liên tục trong hình vuông, hàm hiệp phương sai của nó Rg (x1,x2) là hàm đối xứng không âm liên tục trên [a,b] × [a,b]. Do đó, từ định lý Mercer: ( ) ( ) ( )l f f ¥ = =å1 2 1 2 1 , .g n n n n R x x x x (13) Trong (13), φn(x) là dãy hàm số đặc trưng của Rg (x1,x2) và λn là dãy các giá trị riêng liên kết. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) l f f f f d ´ = Î = = ò ò , , , . b n n g n a b m n m n a x R r x r dr x a b x x dx x Ở đó, l f f f f d ´ Î = = ò ò , , , . b n n g n a b m n m n a x R r x r dr x a b x x dx x là delta Kronecker. Đặt ( ) ( ) ( )x w w f= =ò , , 1,2,3....bn n a g x x dx n Biến ngẫu nhiên ( )nx w được xác định từ ( ) 2, b a g x dxw < ¥ò (h.c.c) và hàm đặc trưng liên tục trên [a,b]. Trình tự ( ) 1n nx w ¥= là trực giao trên Ω và [ ],x a b" Î : ( ) ( ) 1 2 1 n n n n xl x w f ¥ = å Là đại diện cho g (x,w) với nghĩa sau: ( ) ( ) ( )w l x w f®¥ = ì üï ï- =í ýï ïî þ å 21 2 1 lim , 0. N n n nn n E g x x Đặt ( ), 1,2,3...n x ny = là nghiệm của phương trình tích phân (xác định): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y f y f y - = = - G ò ò , , . b n n n n a b n n a x K x y y dy x x x x y y dy Như trước ( ),x yG , là giải thức của hạch K (x,y) Fredholm (hoặc Volterra). Nó có thể chứng tỏ f (x,w) là nghiệm của (1), nhận ( )n xy làm đại diện trực giao. ( ) ( ) ( ) [ ]w l x w y ¥ = = Îå 12 1 , , , .n n n n f x x x a b Mà theo sau nó là hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2) nhận ( )n xy làm đại diện trực giao. Vậy ( ) ( ) ( )l y y ¥ = =å1 2 1 2 1 , .f n n n n R x x x x 3.2. Sự bình phương liên tục của nghiệm Bây giờ ta chứng tỏ rằng nghiệm ngẫu nhiên f (x,w) là bình phương liên tục nếu hạch K (x,y) của toán tử tích phân là liên tục. Định lý 5. Cho K (x,y) là hạch Fredholm trên [a,b] × [a,b] và ( ),x yG biểu thị cho liên kết giải thức. Nếu K (x,y) liên tục trên [a,b] × [a,b] thì nghiệm f (x,w) của phương trình tích phân (1) là bình phương liên tục trên [a,b]. Chứng minh: Đặt [ ]0 ,x a bÎ . Từ (3) và ứng dụng của bất đẳng thức Minkowski: ( ) ( ){ }w wæ ö-ç ÷è ø 1 2 2 0, ,E f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) w w w æ ö-ç ÷ç ÷= ç ÷+ ´ G - Gç ÷ç ÷è ø ò 1 2 2 0 2 0 , , , , , b a g x g x E g y x y x y dy ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) w w w æ ö< -ç ÷è ø æ öì üï ïç ÷ + G - Gí ýç ÷ï ïç ÷î þè ø ò 1 2 2 0 1 2 2 0 , , , , , . b a E g x g x E g y x y x y dy Từ g (x,w) là bình phương liên tục. ( ) ( ){ }w w® - =0 2 0lim , , 0.x x E g x g x Từ đây, nó biểu diễn là: ( ) ( ) ( )( )w® G - G =ò0 2 0lim , , , 0. b x x a g y x y x y dy (14) Ứng dụng của bất đẳng thức Holder: ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 0 , , , , . , , . b a b b a a g y x y x y dy g y dy x y x y dy w w ´ G - G < G - G ò ò ò Từ g (x,w) là bình phương liên tục, ( )wì üï ï = < ¥í ýï ïî þò 2, . b a E g y dy M Do đó: ( ) ( ) ( )( )( )w ì üï ï´ G - Gí ýï ïî þ G - G ò ò 2 0 2 0 , , , . , , . b a b a E g y x y x y dy M x y x y dy NGÀNH TOÁN HỌC 75Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 ( ) ( ) w ì üï ï´ G - Gí ýï ïî þ < G - G ò ò 2 0 2 0 , , , . , , . b a b a E g y x y x y dy M x y x y dy Bởi vậy, nó còn được biểu diễn là: ( ) ( )® G - G =ò0 20lim , , 0. b x x a x y x y dy Với ε > 0, giả thiết K (x,y) liên tục trên [a,b] × [a,b] do đó giải thức ( ),x yG cũng liên tục trên [a,b] × [a,b]. Từ ( ),x yG liên tục đều trên [a,b] × [a,b], ta có thể chọn d > 0 mà: ( ) ( ) 20, , b a x y x y dy eG - G <ò Với 0x x d- < . Điều này thiết lập (14). 4. KẾT LUẬN Bài báo trình bày được các điều kiện tồn tại nghiệm, xác định dạng nghiệm của phương trìn