Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Đại số tuyến tính ở trường cao đẳng sư phạm

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 61-67 This paper is available online at TĂNG CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM Phan Văn Lý Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Phước Tóm tắt. Hiện nay, chương trình đào tạo giáo viên (GV) Toán Trung học cơ sở (THCS) đã đảm bảo mục tiêu đặt ra của từng học phần. Tuy nhiên, so với xu hướng dạy học môn Toán hiện nay trên thế giới và khu vực, chẳng hạn theo hướng đánh giá học sinh toàn cầu (PISA) là vận dụng Toán học vào thực tiễn thì chương trình đào tạo GV Toán THCS lại thiếu. Vì vậy việc dạy học Toán ở trường Cao đẳng Sư phạm theo hướng vận dụng Toán học vào thực tiễn là cần thiết và cấp bách. Bài báo này, trình bày việc xây dựng một số bài toán có nội dung thực tiễn để dạy học trong giai đoạn xây dựng lí thuyết và củng cố bài học của học phần Đại số tuyến tính. Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệu cho sinh viên bài toán thực tế được xây dựng theo quan điểm liên môn nhằm tạo hứng thú trong học tập và chuẩn bị tiềm năng dạy học vận dụng Toán học vào thực tiễn cho sinh viên ngành Toán ở THCS sau nay. Từ khóa: Bài toán thực tiễn, đại số tuyến tính. 1. Mở đầu Trong đời sống xã hội, toán học chiếm một vị trí quan trọng do sự phát triển mạnh mẽ và khả năng ứng dụng vô tận của nó. Nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh là một trong những mục tiêu cơ bản của việc dạy học toán ở THCS. Nét nổi bật của dạy học Toán ở bậc phổ thông ngày nay là chú trọng phát triển tư duy, coi trọng tính hệ thống của tri thức và gắn chặt tri thức truyền thụ với đời sống thực tiễn. Điều khẳng định của các tác giả R.Courant; H.Robbins: “Việc thiết lập lại mối liên hệ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú là nhiệm vụ của Toán học trong một tương lai gần” [1], đang trở thành hiện thực. Ở nước ta, nguyên tắc xây dựng chương trình của môn Toán ở THCS phải đảm bảo các mục tiêu: - Tính chỉnh thể của chương trình môn Toán trong nhà trường phổ thông, chương trình Toán THCS phải được xây dựng cùng với chương trình Toán tiểu học và chương trình Toán THPT theo một hệ thống quan điểm chỉ đạo chung, đảm bảo tính hệ thống giữa các lớp trong toàn cấp THCS. - Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong chương trình, hạn chế đưa vào chương trình những kết quả có ý nghĩa lí thuyết thuần túy và các phép chứng minh dài dòng, phức tạp không phù hợp với đại đa số học sinh. Tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh được luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác [5]. Liên hệ: Phan Văn Lý, e-mail: pvly74@yahoo.com.vn. 61 Phan Văn Lý Trong những năm đầu của thế kỉ 21, các nước trong tổ chức OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development: Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế) đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) cho HS phổ thông ở lứa tuổi 15. Phạm vi đánh giá năng lực học sinh của PISA có liên quan đến khả năng phân tích, suy luận kết nối ý tưởng một cách có hiệu quả khi họ đặt câu hỏi, lập công thức, giải quyết vấn đề trong các tình huống. Đánh giá của PISA tập trung vào vấn đề thực tế, chuyển những tình huống dạng này về vấn đề điển hình có thể gặp phải trong lớp học. Chẳng hạn, khi mua bán, tham gia giao thông, khi giải quyết những công việc liên quan đến chính trị, xã hội,. . . mà ở đó trình độ Toán học nhất định sẽ tạo điều kiện thuận lợi để giải quyết vấn đề [6]. Theo tác giả của [4] cho rằng: Ngày nay, trong bối cảnh kinh tế hội nhập và cạnh tranh toàn cầu, nâng cao và bảo đảm chất lượng giáo dục là một trong những yêu cầu mà một đất nước cần phải quan tâm. Các chương trình đánh giá học sinh quốc tế phần lớn không chỉ đơn thuần là sự xếp hạng mà nó còn nêu ra được những điểm mạnh và điểm yếu của hệ thống giáo dục của các quốc gia tham gia khảo sát để không ngừng cải thiện chất lượng giáo dục. Hiểu biết toán được xác định như là năng lực của học sinh để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với Toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống. Đánh giá Toán PISA mong muốn tìm kiếm học sinh tuổi 15 cần có những hiểu biết Toán học nào để chuẩn bị cho cuộc sống trưởng thành mà các em sắp sửa bước vào. Tổng thư kí của OECD, Angel Gurria, phát biểu rằng: “PISA là một công cụ hỗ trợ các chính phủ đưa ra các lựa chọn chính sách giáo dục. Ông cho rằng “điều tra PISA không chỉ để xếp hạng, điều quan trọng là nó chỉ ra điểm mạnh, điểm yếu của hệ thống giáo dục của các quốc gia, đồng thời chỉ ra hướng đi cải cách hệ thống giáo dục ấy”. Về nhiệm vụ của các trường Sư phạm, Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành chỉ thị số 15/1999/CT-BGD&ĐT ngày 20/04/1999 về việc “Đẩy mạnh hoạt động đổi mới phương pháp giảng dạy và học tập trong các trường sư phạm”, chỉ thị nhấn mạnh sự cần thiết phải đẩy mạnh nghiên cứu khoa học về đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy, học tập ở trường sư phạm gắn với yêu cầu đổi mới giáo dục phổ thông. Như vậy các trường sư phạm cần phải trang bị cho giáo viên Toán tương lai tiềm năng khai thác các yếu tố thực tiễn trong dạy học Toán như thế nào để họ thực hiện một cách có hiệu quả nguyên lí giáo dục “làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn” trong dạy học Toán THCS sau khi tốt nghiệp. Các học phần Toán trong chương trình đào tạo GV THCS ngành Toán như: Phép tính vi phân, tích phân hàm số một biến số; Phép tính vi phân, tích phân hàm số nhiều biến số; Đại số tuyến tính; Xác suất thống kê là những học phần có thể dạy học theo hướng tăng cường vận dụng Toán học vào thực tiễn. Điều này đồng nghĩa với việc Giảng viên thực hiện nguyên lí giáo dục “làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn” trong dạy học Toán cho Giáo sinh ngành Toán ở trường Cao đẳng Sư phạm. 2. Nội dung nghiên cứu Chúng tôi đã xây dựng một số tình huống phát triển thành bài toán có nội dung thực tiễn trong giai đoạn xây dựng lí thuyết của bài học, củng cố bài học đại số tuyến tính. Ngoài ra chúng tôi còn giới thiệu cho sinh viên bài toán thực tế được xây dựng theo quan điểm liên môn nhằm gây hứng thú trong học tập cho sinh viên. 62 Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Đại số tuyến tính... 2.1. Bài toán thực tế trong giờ lí thuyết Một trong những động lực thúc đẩy sự phát triển của các lí thuyết toán học và giúp hoàn thiện quá trình xây dựng một mức chặt chẽ thống nhất trong toàn bộ tri thức toán và lĩnh vực ứng dụng của toán học, trong đó có giải quyết những tình huống mới (có thể từ thực tế) nảy sinh. Vì vậy, trong giai đoạn xây dựng lí thuyết cần thiết lập những bài toán với những yêu cầu mới từ một tình huống nào đó để phát triển hệ thống lí thuyết toán học của bài học. Ví dụ: Để dạy nội dung Hệ phương trình Cramer, chúng tôi xét tình huống trong kinh tế về mô hình cân bằng thị trường như sau: [3;28-35] + Hàm cung: Cung (Supply) là toàn bộ mối quan hệ giữa giá (p) và lượng cung, do đó cung được biểu diễn như một hàm số của giá: QS = f(p) + Hàm cầu: Cầu (Demand) phản ánh toàn bộ mối quan hệ giữa giá (p) và lượng cầu vì vậy cầu được trình bày như một hàm số của giá và nó được biểu diễn qua hàm số: QD = f(p). + Thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu: QS = QD, tại điểm cân bằng của thị trường sẽ xác định được giá cân bằng. Xét các bài toán: 1) Thị trường có 3 loại sản phẩm, lượng cung (QS), lượng cầu (QD) được cho cụ thể: Sản phẩm 1: QS1 = 8p1 + p2 + p3 − 40 và QD1 = −11p1 + 3p2 + 2p3 + 133 Sản phẩm 2: QS2 = p1 + 15p2 − 23 và QD2 = 2p1 − 7p2 + p3 + 70 Sản phẩm 3: QS3 = −p1 + 7p3 − 20 và QD3 = 2p2 − 10p3 + 79 Trong đó, p1 là giá bán sản phẩm 1, p2 là giá bán sản phẩm 2, p3 là giá bán sản phẩm 3. Tìm điểm cân bằng trên thị trường (p1, p2, p3)? Như chúng ta đã biết, thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu, tức là: QS1 = QD1 ⇔ 8p1+p2+p3−40 = −11p1+3p2+2p3+133 ⇔ 19p1 − 2p2− p3 = 173 (1) QS2 = QD2 ⇔ p1 + 15p2 − 23 = 2p1 − 7p2 + p3 +70 ⇔ −p1 +22p2 − p3 = 93 (2) QS3 = QD3 ⇔ −p1 + 7p3 − 20 = 2p2 − 10p3 + 79⇔ −p1 − 2p2 + 17p3 = 99 (3) Các phương trình (1), (2), (3) tạo thành một hệ ba phương trình ba ẩn số (đã học ở lớp 10). 2) Tổng quát thị trường có n sản phẩm, với QSi là lượng cung của sản phẩm thứ i, với QDi là lượng cầu của sản phẩm thứ i, với Pi là giá bán của sản phẩm thứ i. Giả định các yếu tố khác không đổi, hàm cung, hàm cầu sản phẩm thứ i là: QSi = ai0 + ai1P1 + ....+ ainPn (i = 1, 2, ..., n) QDi = bi0 + bi1P1 + ....+ binPn (i = 1, 2, ..., n) Thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu, tức là: Qsi = QDi , ∀i = 1, n ⇔   a10 + a11P1 + ....+ a1nPn = b10 + b11P1 + ....+ b1nPn a20 + a21P1 + ....+ a2nPn = b20 + b21P1 + ....+ b2nPn ............................................................. an0 + an1P1 + ....+ annPn = bn0 + bn1P1 + .... + bnnPn 63 Phan Văn Lý ⇔   c11P1 + c12P2 + ....+ c1nPn = −c10 c21P1 + c22P2 + ....+ c2nPn = −c20 ...................................................... cn1P1 + cn2P2 + .... + cnnPn = −cn0 (∗) với cik = aik − bik (i = 1, 2, ..., n; k = 0, 1, 2, ..., n). Đặt C =   c11 c12 ... c1n c21 c22 ... c2n .. .. ... .. cn1 cn1 ... cnn  , với det(C) 6= 0 hệ (*) được gọi là hệ phương trình Cramer. Giải được hệ phương trình (*) là tìm được giá của các sản phẩm tại thời điểm thị trường cân bằng. Từ đó định nghĩa hệ phương trình Cramer một cách tổng quát: Một hệ phương trình Cramer là một hệ n (n ≥ 1) phương trình tuyến tính đối với n ẩn x1, x2, ..., xn:   a11x1 + a12x2 + ....+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ....+ a2nxn = b2 ............................................................ an1x1 + an2x2 + ....+ a2nxn = bn (1) Trong đó các aij và bi ∈ K, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., n, và định thức D thành lập bởi các hệ số aij là khác 0. Nghiệm của hệ phương trình Cramer là duy nhất cho bởi công thức: xj = Dj D , j = 1, 2, ... , n Trong đó Dj suy ra từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột các số hạng tự do bi của hệ phương trình. Như vậy, từ tình huống đã phát triển thành bài toán có nội dung thực tiễn để xây dựng lí thuyết của bài học Hệ phương trình Cramer cho sinh viên. 2.2. Bài toán thực tế trong giai đoạn củng cố bài học Trong toán học, củng cố kiến thức diễn ra dưới các hình thức luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn tập. Sau khi hoàn chỉnh một phần lí thuyết bài học, người học có thêm những kiến thức mới để có những hướng mới phát triển bài toán ban đầu. Phát triển tình huống thực tế khi củng cố kiến thức bài học giúp nhìn nhận tình huống thực tế đã xét trong giai đoạn trước đó một cách đầy đủ, phong phú và tổng quan hơn [2]. Ví dụ: 1) Sau khi dạy xong phần lí thuyết của bài học Hệ phương trình Cramer, chúng tôi yêu cầu sinh viên tiếp tục giải hệ phương trình ở bài toán 1 của ví dụ mục 2.1  19p1 − 2p2 − p3 = 173 −p1 + 22p2 − p3 = 93 −p1 − 2p2 + 17p3 = 99 (1) Giải hệ phương trình (1), ta tìm được điểm cân bằng thị trường (p1, p2, p3) 64 Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Đại số tuyến tính... Giải: Hệ phương trình (1) là hệ Cramer vì có số phương trình bằng số ẩn số, bằng 3 và ma trận hệ số: A =   19 − 2 − 1−1 22 − 1 −1 − 2 17  , với D = ∣∣∣∣∣∣ 19 − 2 − 1 −1 22 − 1 −1 − 2 17 ∣∣∣∣∣∣ = 7008 6= 0. Khi đó, hệ phương trình (1) có duy nhất nghiệm: pj = Dj D , j = 1, 2, 3 D1 = ∣∣∣∣∣∣ 173 − 2 − 1 93 22 − 1 99 − 2 17 ∣∣∣∣∣∣ = 70080, D2 = ∣∣∣∣∣∣ 19 173 − 1 −1 93 − 1 −1 99 17 ∣∣∣∣∣∣ = 35040, D3 = ∣∣∣∣∣∣ 19 − 2 173 −1 22 93 −1 − 2 99 ∣∣∣∣∣∣ = 49056 Thay vào công thức nghiệm, ta được: p1 = 10, p2 = 5, p3 = 7 Vậy điểm cân bằng trên thị trường là: (p1, p2, p3) = (10, 5, 7) Như vậy, thông qua việc giải bài toán trên, sinh viên đã áp dụng kiến thức vừa học vào một tình huống thực tế. 2) Sau khi dạy xong phần lí thuyết của bài học Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, ngoài những ví dụ toán học thuần túy như: Cho ma trận: A =   2 5 − 11 − 2 1 0 1 3   . Tính ma trận nghịch đảo của A, chúng tôi cung cấp một tình huống trong kinh tế có vận dụng cả kiến thức Hệ phương trình Cramer [9]. Ứng dụng vào Mô hình cân đối liên ngành hay Mô hình đầu vào - đầu ra Leontief: Cho A =   a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ........................... an1 an2 ... ann  : được gọi là ma trận chi phí trực tiếp, phần tử aik của A là chi phí ngành k trả cho việc mua sản phẩm, hàng hóa, dịch vụ của ngành i tính bình quân trên 1 USD ngành k làm được. P =   p1 p2 ... pn   là ma trận tổng cầu của nền kinh tế. d =   d1 d2 ... dn   là ma trận cầu cuối cùng (cầu tiêu dùng và xuất khẩu). Giải phương trình: (I −A)P = d⇔ P = (I −A)−1d tìm được mức tổng cầu P (I là ma trận đơn vị cấp n). Ma trận (I −A) là khả nghịch, mang tên ma trận Leontief do nhà toán học, kinh tế học Leontief tìm ra. Bài toán: Một nền kinh tế mở với ba ngành công nghiệp: hoạt động khai thác than, nhà máy phát điện và một nhà máy tự động sản xuất. Ma trận chi phí trực tiếp A =   0.1 0.25 0.20.3 0.4 0.5 0.1 0.15 0.1   65 Phan Văn Lý Giả sử rằng cũng trong khoảng thời gian một tuần, nền kinh tế có mức cầu tiêu dung và xuất khẩu 50.000 USD giá trị của than, 75,000 USD giá trị của điện, và 125,000 USD giá trị của xe ô tô. Tìm mức tổng cầu của mỗi ngành công nghiệp. Giải: Ta có: (I −A)P = d⇔ P = (I −A)−1d, với d =   50.00075.000 125.000  , và I −A =   0.9 −0.25 −0.2−0.3 0.6 −0.5 −0.1 −0.15 0.1  ⇒ (I −A)−1 =   1.464 0.803 0.7711.007 2.488 1.606 0.330 0.503 1.464   Do đó: P =   1.464 0.803 0.7711.007 2.488 1.606 0.330 0.503 1.464     50, 00075, 000 125, 000   =   22921.59437795.27 237401.57   Vì vậy, tổng sản lượng của các hoạt động khai thác than là 229.921,59 USD, tổng sản lượng cho các nhà máy phát điện là 437.795,27 USD và tổng sản lượng cho các nhà máy tự động sản xuất là 237.401,57 USD. 2.3. Bài toán thực tế được xây dựng trong quan điểm liên môn Thực hiện quan điểm liên môn trong xây dựng bài toán thực tế sẽ dẫn đến việc xem xét một tình huống thực tế bằng các kiến thức của những môn học khác nhau để được cung cấp thêm các giả thiết, các vật liệu, các công cụ khác nhau giúp nhìn nhận tình huống thực tế đó trên nhiều phương diện nhằm xây dựng phong phú các bài toán thực tế thiếu mối liên hệ liên môn thì chưa đủ điều kiện để nhìn nhận tình huống thực tế đó ở các góc độ khác. Ví dụ: Ma trận là một kiến thức rất hữu ích của nghiên cứu đồ thị trong môn Tin học. Khi dạy định nghĩa khái niệm ma trận xong, ngoài những ví dụ toán học thuần túy, chúng tôi xét tình huống thực tế như sau [10]: Đồ thị G Sơ đồ dưới bên đại diện cho bản đồ lộ trình của một công ty phân phối, trong đó A, B, C, D, E là thành phố phục vụ của công ty. Xét bài toán: Tìm ma trận A thỏa: Cho đồ thị G ứng với thứ tự các đỉnh v1, v2, ... , vn, ma trận A = (aij)n×n, ∀i, j = 1, n, trong đó aij là số cạnh hoặc cung nối từ đỉnh vi đến đỉnh vj với i, j = 1, n (A được gọi là ma trận kề của đồ thị G). Giải: Ma trận A của đồ thị G là: A B C D E A B C D E   0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0   66 Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học Đại số tuyến tính... Từ ma trận trên cũng cho chúng ta biết được có hay không lộ trình của một công ty phân phối từ thành phố này đến thành phố khác. Ví dụ trên cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa Đại số tuyến tính và Lí thuyết đồ thị trong đào tạo ngành Tin học, tức là đã thực hiện được quan điểm liên môn. 3. Kết luận Để đáp ứng đòi hỏi của thực tiễn dạy học Toán ở trường THCS trong giai đoạn hiện nay, là đào tạo thế hệ trẻ có ý thức và khả năng ứng dụng Toán học vào đời sống thực tiễn, tham gia vào các chương trình đánh giá PISA thì các trường Cao đẳng Sư phạm cần phải chuẩn bị tiềm năng dạy học vận dụng Toán học vào thực tiễn cho sinh viên Toán trong toàn bộ quá trình dạy học Đại số tuyến tính nói riêng và các môn Toán nói chung. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R. Courant và H. Robbins, 1984. Toán học là gì - Tập 1 (Hàn Liên Hải dịch). Nxb Khoa học kĩ thuật. [2] Nguyễn Bá Kim, 2006. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm. [3] Phạm Văn Minh, Trần Thị Hồng Việt, 2010. Giáo trình kinh tế học vi mô. Nxb Giáo dục. [4] Trần Vui, 2008. Đánh giá hiểu biết Toán cho học sinh 15 tuổi, chương trình đánh giá học sinh Quốc tế (PISA). Nxb Giáo dục, Hà Nội. [5] Chương trình THCS các môn Toán, Tin học (Ban hành theo QĐ: 03/2002/QĐ - Bộ GD & ĐT ngày 24/01/2002 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo). Nxb Giáo dục, Hà Nội. [6] Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, 2009. Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán. Nxb Đại học Quốc gia TP. HCM. [7] Nguyễn Duy Thuận, 2003. Đại số tuyến tính. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [8] E. Possani et al., 2009. Use of models in the teaching of linear algebra. Linear Algebra Appl., doi:10.1016/j.laa.2009.05.004. [9] Application to Leontief input-output model. jkhoury/leonteif.htm. [10] Application to Graph theory. jkhoury/graph.htm. [11] Bui Van Nghi, 2010. Connecting mathematics with real life. Journal of Science, Hanoi National Universty of Education, Vol. 55, No. 1. [12] Realistic Mathematics Education, Steve Mathematics Teaching. Jul 2007; 203; ProQuest pp. 34. ABSTRACT Improving the practice of teaching linear algebra in pedagogical college Mathematics teachers undergo junior training with set targets for each module. However, the trend worldwide is now to teach math that can be applied by the students in a practical manner. The teaching of mathematics in Vietnamese high school does not meet this objective. Therefore, teaching math in Pedagogical colleges which has practical applications is necessary and urgent. This paper, we present problems with practical content that can be used in teaching of linear algebra. In addition, we present to students real life problems with an interdisciplinary perspective to stimulate in learning and prepare potential teachers to teach practical mathematics. 67