Tìm hiểu về Mạng đảo

MẠNG ĐẢO Mạng đảo – tập hợp điểm ảo được xây dựng trên cách mà hướng của một véctơ từ điểm này đến điểm khác trùng với hướng của pháp tuyến của mặt mạng thực và khoảng cách của những điểm đó (giá trị tuyệt đối của véctơ) bằng với nghịch đảo của khoảng cách mặt mạng thực. Mạng đảoMạng tinh thể 0 2-2 2 -2 0 -2 -2 0 -2 2 -2 2 0 2 2 (Imaginary) Reciprocal LatticeCrystal Lattice 0 2-2 2 -2 0 -2 -2 0 -2 2 -2 2 0 2 2 dN g = 2/d g Reciprocal LatticeCrystal Lattice 0 2-2 2 -2 0 -2 -2 0 -2 2 -2 2 0 2 2 dN g g = 2/d Reciprocal LatticeCrystal Lattice 0 2-2 2 -2 0 -2 -2 0 -2 2 -2 2 0 2 2 g = 2/d dN g Reciprocal LatticeCrystal Lattice 0 2-2 2 -2 0 -2 -2 0 -2 2 -2 2 0 2 2 N d g g = 2/d 0 2-2 2 -2 0 -2 -2 0 -2 2 -2 2 0 2 2 Reciprocal LatticeCrystal Lattice 0 2-2 2 -2 0 -2 -2 0 -2 2 -2 2 0 2 2 g g = 2/d N d Reflection Planes in a Cubic Lattice 1 CO 2 * )230(d OA    /1 2/* sin )230(d CO OA  )230(* sin2 d    )230( )230( * 1 d d  sin2 )230(d Hình 3.7 cho thấy sự sắp xếp ở đó điểm (230) được mang vào tiếp xúc với cầu Ewald. Bằng cách định nghĩa và Do vậy Suy ra kết quả Từ định nghĩa của vector đảo Mối liên hệ Bragg! Reciprocal LatticeCrystal Lattice Reciprocal unit cell Reciprocal unit cell Real unit cell Real unit cell c* b* a* a b c a* b* c* c b a  Vector mạng đảo  mặt mạng thực tương ứmg * 3 * 2 * 1 * blbkbhghkl   hkl hklhkl d gg 1**    Chiều dài của vector mạng đảo tỉ lệ nghịch với khoảng cách mặt mạng thực tương ứng  Mặt tinh thể trở thành điểm mạng đảo  luân chuyển thành cấu trúc mạng đảo  Điểm mạng đảo đặc trưng cho hướng và khoảng cách của tập hợp mạng. Mô hình vật lý của tán xạ tia X Xem hai sóng phẳng song song tán xạ đàn hồi từ hai nguyên tử A và B cận nhau trong mạng tinh thể: k  k   A B P O )( trki incident e    )( trki scattered e r f      Tán xạ đàn hồi: f = hệ số hình thành nguyên tử (công suất tán xạ của nguyên tử) kk     Độ lệch pha giữa hai sóng Đôi với các sóng cầu tán xạ từ A và B (của cùng một loại): )( trki A e r f      ở đó: = vị trí thu đối với A = vị trí thu đối với B = vị trí của B đối với A = hiệu số pha giữa và )(  trki B B e r f   r   Br     A B kkkkk    )( Chậm pha từ O  B Nhanh pha từ A  P Véctơ tán xạ Tổng sóng tán xạ Vì thế sóng tán xạ từ nguyên tử thứ j: )( ktrki j j j je r f        Đối với mẫu nhỏ, khoảng cách tất cả rj thì tương đương ( R). Do đó chúng ta thấy rằng giao thoa cực đại và cực tiểu giữa những sóng tán xạ đạt đến điểm thu nhờ vào tổng nguyên tử. Vị trí điểm thu được xác định bởi vectơ sóng được tán xạ và do đó .. = vị trí của nguyên tử thứ j so với A Do đó sóng tán xạ toàn phần ở điểm thu là:    atomsall kitrkijki atomsall trki j j jj ee R f ee r f )()()()(    k   k   Tổng đối với tất cả nguyên tử Bây giở giả sử một tinh thể mạng của nó có 3 vectơ cơ bản , với số nguyên tử tổng dọc theo mỗi trục M, N, và P, tương ứng: cba  ,, Chúng có thể được sắp xếp lại: Do đó biên độ của sóng tổng hợp ở điểm thu tỉ lệ với:          1 0 1 0 1 0 ])[()( M m N n P p kcpbnami atomsall ki ee j   a  b c  3 1 0 1 0 1 0 1 0                     M m kaim M m N n P p kcipkbinkaim eeee   Tính tổng Chúng ta chỉ cần tính tổng bên trong dấu ngoặc: Ướt lược ta có: Bây gìơ cường độ của sóng tổng hợp ở điểm thu được cho bởi:      kaikai kaiMkaiM ee ee I        11 11 * 2    kai kaiMM m m kai M m kaim e e ee              1 11 0 1 0    ka kaM ee ee I kaikai kaiMkaiM             cos22 cos22 2 2    ka kaM I      cos1 cos1 Ta có: Kết quả thu được: Kết quả có cùng cường độ như cách tử nhiễu xạ M khe. Nếu M lớn ( 108 đối với tinh thể vĩ mô), khe rất hẹp, đỉnh cường độ ở đó mẫu số tiến tới 0. giữa hai đỉnh cường độ bằng không. Nhớ rằng có ba số hạng trong phương trình cường độ, đỉnh xảy ra khi: xxxx 222 sin21sincos2cos         ka kaM ka kaM I           2 12 2 12 sin sin cos1 cos1 n1, n2, n3 số nguyên 12 nka   22 nkb   32 nkc   So mối liên hệ này với tính chất của vectơ mạng đảo: lcG kbG haG hkl hkl hkl    2 2 2       Tính tổng Điều kiện Laue Đặt lại n1n2n3 với họ hkl, ta có: ClBkAhGk hkl   Điều kiện Laue (Max von Laue, 1911) Vì thế, điều kiện để cường độ bằng không trong tia X được tán là vectơ tán xạ là vectơ tịnh tiến của mạng đảo. Bởi vì mỗi điểm mạng đảo được ký hiệu bởi hkl tương ứng với họ mặt mạng (hkl), chúng ta thấy rằng tia X được tán xạ từ mặt mạng (hkl) chịu giao thoa tăng cường chỉ ở một vị trí duy nhất của điểm thu. k   Xác nhận thí nghiệm đầu tiên của nhiễu xạ tia X bởi tinh thể rắn đến từ đồng nghiệp trẻ của von Laue là Friedrich và Knipping vào năm 1911. dù như thế, von Laue nghiêng về toán học hơn là phân tìch thực nghiệm tán xạ tia X. ứng dụng thực tế công trình của von Laue thông quả nổ lực của thành viên khác. Từ Laue đến Bragg Tại sao là góc 2 ? Bây giờ độ lớn của vector tán xạ phụ tguộc vào góc giữa vectơ sóng tới và vectơ sóng tán xạ: k   k  k   k   2   hkld k  k    Tán xạ đàn hồi đòi hỏi:  2  kkk  Vì thế từ góc vectơ sóng và điều kiện Laue chúng ta thấy:     sin 4 sin2  kk   sin2 hkldĐưa ra định luật Bragg: hkl hkl d G 2   Đối với mỗi họ (hkl) tia X chỉ nhiễu xạ một góc Diễn giải sau cùng Tuy nhiên, trong thực tế ta cần chỉ xem giá trị n = 1, bởi vì n = 2 và những giá trị cao của mặt (hkl) tương ứng đối với giá trị n = 1 đối với mặt (nh nk nl), và điều này là dư thừa. Khoảng cách giữa hai mặt (hkl) là . Bằng cách kiểm tra chúng ta thấy rằng khoảng cách giữa hai mặt (nh nk nl) là . Điều này có nghĩa rằng chúng ta có thể viết điều kiện Bragg cho các mặt: hkld ndhkl /    sin/2 ndhkl ,...3,2,1sin2  ndn hkl  Câu hỏi: bạn có thể thấy nguồn gốc đơn giản của định luật Bragg bởi yêu cầu giao thoa tăng cường giữa đường dẫn 1 và 2?   hkld k  k    1 2 B. Hệ số cấu trúc Shkl Chúng ta biết rằng cường độ tán xạ tia X tỉ lệ với: Laue và Bragg nhắc chúng ta rằng đối với I  0 ở điểm thu: ỉơ đó tổng chạy cho toàn bộ các điểm mạng và chúng ta giả sử rằng chỉ có một nguyên tử đơn ở mỗi điểm mạng. 2 1 0 1 0 1 0 ])[( 2 )(          M m N n P p kcpbnami atomsall ki eeI j   sin2dorGk hkl   Nhưng nếu chúng ta có nhiều hơn một nguyên tử mỗi nút mạng, chúng ta phải tổng tất cả các nguyên tử! HỆ SỐ CẤU TRÚC Shkl Tổng số tia X tán xạ được tìm là: Hệ số cấu trúc là tổng của tất cả các nguyên tử cơ bản:   atomsall ki j trki jefe R )()(       lattice basis Gi j atomsall ki j hkljj efefA )()(   Vì thế biên độ tổng là: Hệ số cấu trúc hklS    j Gi jhkl hkljefS )(   Vị trí của tất cả các nguyên tử cơ bản được cho bởi: cwbvau jjjj   Ví dụ Đối với mạng lập phương đơn giản với một nguyên tử cơ bản: 22)0( fSIfefS hklhkl i hkl  Vì thế cường độ tia X không bằng không đối với tất cả các gia trị (hkl), tuỳ thuộc vào điều kiện Bragg, mà có thể biễu diển. sin2 hkld   2/1222 lkh a dhkl  Bây giờ chúng ta biết mạng lập phương: Thay vào và bình phương hai vế  222 2 2 2 4 sin lkh a    Do đó, nếu chúng ta biết bước sóng tia X và có thể đo được góc ở đó mỗi đỉnh cường độ nhiễu xạ xảy ra, chúng ta có thể xác định hằng số mạng như thế nào? 2sin 222 lkh  Ví dụ Xem mạng lập phương tâm khối với một nguyên tử cơ bản. Giống mạng lập phương đơn giản với hai nguyên tử cơ bản, những nguyên tử ở vị trí [000] và [½½½]: hkl cba Gkjiii hkl feefS    )ˆˆˆ()0( 222    )()( 11 lkhilkhihkl efefS    Véctơ mạng đảo: lcGkbGhaG hklhklhkl  222   Chúng ta nhận: Chỉ có hai giá trị: hklS 2f if h+k+l is even 0 if h+k+l is odd Kết quả Có thể xác địng hằng số mạng : 2sin 222 lkh  Đối với một tinh thể mạng bcc và một nguyên tử cơ bản, cường độ tia X không bằng không cho tất cả các mặt (hkl), tuỳ vào điều kiện Bragg, trừ những mặt ở đó h+k+l is lẽ. Do đó, đỉnh nhiễu xạ sẽ được quan sát đối với những mặt sau: (100) (110) (111) (200) (210) (211) (220) (221) (300) The Ewald Sphere  Điểm mạng đảo là giá trị của sự truyền xung lượng khi phương trình Bragg được thõa  Khi nhiễu xạ xảy ra vectơ tán xạ phải bằng với vecto mạng đảo  Nếu nguồn gốc của không gian đảo được đặt ở đầu ki thì nhiễu xạ sẽ xảy ra chỉ đối với những điểm mạng nằm trên bề mặt cầu Ewald See Cullity’s book: A15-4 hklhkl Sindn  2    2 12 hkl hkl hkl d d Sin   Vẽ vòng tròn đường kính 2/  Xây dựng một góc với đường kính như là một đường huyền và 1/dhkl như là cạnh : AOP  Góc đối diện với cạnh 1/d là hkl Phương trình Bragg đảo hkl hklhkl d gg 1**     2 12 hkl hkl hkl d d Sin  Bức xạ liên quan đến thông tin được hiển thị trên cầu Ewald Thông tin tinh thể liên quang được thể hiện qua tinh thể mạng đảo Cấu trúc cầu Ewald sinh ra hình ảnh nhiễu xạ Cấu trúc cầu Ewald 01 10 02 00 20 2 (41) Ki KD K Reciprocal Space K = K =g = Diffraction Vector Cầu Ewald Cầu Ewald Sphere tiếp xúc với mạng đảo (đối với điểm 41)  Phương trình được thỏa mãn với điểm 41 (Cu K) = 1.54 Å, 1/ = 0.65 Å −1 (2/ = 1.3 Å−1), aAl = 4.05 Å, d111 = 2.34 Å, 1/d111 = 0.43 Å −1 Cầu Ewald  tia X Phương pháp bột Hình nón của tia nhiễu xạ Hình nón nhiễu xạ và cấu hình Debye-Scherrer Màng có thể được thay bằng đầu thu Hình nón khác nhau cho nhiễu xạ khác nhau Phương pháp bột The 440 reflection is not observed The 331 reflection is not observed