Truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh bằng phản chứng trong dạy học Toán cho học sinh trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 102-107 This paper is available online at TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP VỀ CHỨNGMINH BẰNG PHẢN CHỨNG TRONG DẠY HỌC TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG La Đức Minh Viện Dân tộc Tóm tắt. Tri thức phương pháp là tri thức về phương pháp được tiến hành giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó. Mà phương pháp đó được thực hiện dựa trên hệ thống các nguyên tắc, hệ thống các thao tác nhằm thực hiện mục đích xác định. Tri thức phương pháp định hướng trực tiếp cho hoạt động và ảnh hưởng quan trọng đến việc hình thành kỹ năng của học sinh. Bài báo đề cập đến một tri thức phương pháp cụ thể là phương pháp chứng minh phản chứng, trong đó làm rõ nguyên lí chứng minh bằng phản chứng và đề xuất một số cách thức truyền thụ phương pháp chứng minh phản chứng cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, gồm: Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh bằng phản chứng một cách trực tiếp; Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh bằng phản chứng một cách gián tiếp. Từ khóa: Tri thức phương pháp, chứng minh, chứng minh phản chứng. 1. Mở đầu Theo Nguyễn Bá Kim có bốn loại tri thức trong dạy học, gồm: tri thức sự vật, tri thức phương pháp, tri thức chuẩn, tri thức giá trị [3;41]. Trong đó tri thức phương pháp vừa là điều kiện và là kết quả của hoạt động [3;143]. Hoạt động giải toán ở trường phổ thông là điều kiện để thực hiện tốt các mục tiêu dạy học môn Toán. Do đó việc truyền thụ tri thức phương pháp thông qua dạy học giải toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Tác giả Nguyễn Bá Kim cũng đề cập đến những những tri thức phương pháp thường gặp là: Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động tương ứng với nội dung toán học cụ thể như cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỉ, giải phương trình trùng phương,..; Những tri thức về phương pháp thực hiện những hạt động toán học phức hợp như định nghĩa, chứng minh,... [3;143]; Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ biến; Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ chung như so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,. . . ; Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ lôgic như thiết lập mệnh đề đảo của mệnh đề cho trước,... [3;144]. Như vậy, một trong những tri thức phương pháp cụ thể của môn Toán cần được truyền thụ cho học sinh là phương pháp chứng minh phản chứng. Trong quá trình truyền thụ tri thức chứng minh bằng phản chứng người giáo viên cần quan tâm tập luyện cho học sinh chứng minh bằng các hoạt động: Gợi động cơ chứng minh để học sinh Liên hệ: La Đức Minh, e-mail: laducminh1979@gmail.com. 102 Truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh bằng phản chứng trong dạy học Toán... thấy được sự cần thiết phải chứng minh; tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hoá. . . ; hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh đó là những tri thức về quy tắc kết luận lôgic, tập luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc đó; Phân bậc hoạt động chứng minh. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Tri thức phương pháp chứng minh phản chứng Theo Lôgic học thì chứng minh là quá trình tư tưởng nhằm luận chứng tính chân thực của một luận điểm nào đó nờ các luận điểm khác đã được xác minh là chân thực [4;208]. Bài toán chứng minh bằng phương pháp phản chứng nằm trong phương pháp chứng minh gián tiếp. Chứng minh gián tiếp đó là phép chứng minh trong đó phản luận đề (phán đoán trái ngược với luận đề) được chứng minh là giả dối và từ chỗ đó rút ra kết luận rằng luận đề là chân thực. Phản luận đề là phán đoán mâu thuẫn với luận đề. Nếu luận đề được biểu thị bằng A thì phản luận đề là A. Giả định A là chân thực rút ra các hệ quả, nếu một trong các hệ quả mâu thuẫn với hiện thực hoặc hoặc luận điểm đã biết là chân thực thì hệ quả ấy là giả dối [2;136]. Vì vậy phản luận đề cũng sẽ là giả dối, nhưng khi phản luận đề là giả dối thì bản thân luận đề là chân thực. Như vậy, nguyên lí của nó như sau: Để chứng minh mệnh đề A là đúng nghĩa là phải chứng minh A sai, ta giả sửA sai, từ đó chỉ ra rằng A đúng. Điều này mâu thuẫn A sai, vậy A đúng. Mệnh đề A thường có dạng: A ≡ P ⇒ Q. Nói cách khác để chứng minh bằng phản chứng P ⇒ Q đúng ta giả sử P ⇒ Q không đúng. Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc điều vô lí. Từ đó kết luận không tồn tại giả sử, nên P ⇒ Q phải đúng. Vì vậy quy trình chứng minh phản chứng là như sau: Bước 1: Giả sử Q sai, có nghĩa là Q đúng. Bước 2: Suy luận trực tiếp từ các tiền đề P và Q dẫn tới điều mâu thuẫn. Kiểu suy luận có thể là: P ∧Q⇒ P ; P ∧Q⇒ C ∧ C (là mệnh đề nào đó); P ∧Q⇒ Q; P ∧Q⇒ T (là mệnh đề sai đã biết). Bước 3: Kết luận P ⇒ Q (đúng (hay A đúng). Muốn sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng ngoài việc giúp HS nắm vững quy trình chứng minh, người GV tạo cho HS tiến hành thông thạo việc phân tích các trường hợp có thể xảy ra trong một sự kiện [1;105]. Ví dụ muốn chứng minh a < b bằng phản chứng thì HS phải hiểu được rằng nếu a không nhỏ hơn b tức là a ≥ b chứ không phải a > b, có như vậy thì yêu cầu bài toán mới được giải quyết một cách hiệu quả. Ví dụ 1: Để chứng minh √ 2 là một số vô tỉ bằng phản chứng ta giả sử rằng √ 2 là số hữu tỉ, có nghĩa là: √ 2 = a b , trong đó a và b là các số nguyên khác 0 có ước số chung lớn nhất là 1. Do đó, a = b √ 2⇒ a2 = 2b2, nên a2 là số chẵn. Vì vậy a là số chẵn, nên a = 2c ⇒ 2b2 = (2c)2 = 4c2 ⇒ b2 = 2c2, do đó a, b chẵn và có một ước số chung là 2. Điều này mâu thuẫn với a, b có ước 103 La Đức Minh chung lớn nhất là 1. Vậy √ 2 là số vô tỉ. Đứng trước một bài toán việc tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc điểm riêng biệt của nó, đồng thời phân tích để thấy rõ giả thiết và yêu cầu của bài toán. Từ đó giúp cho việc định hướng học sinh phương pháp giải bài toán đó. Tuỳ vào dấu hiệu và đặc điểm của bài toán mà có định hướng cách giải phù hợp. Đối với thể loại bài toán chứng minh, và những bài toán có đặc điểm cấu trúc nếu có thì có B. . . chúng ta có thể liên tưởng đến việc sử dụng phương pháp phản chứng. Như vậy những dạng toán có thể vận dụng phương pháp phản chứng để giải quyết như: Chứng minh bất đẳng thức, nghiệm của phương trình, bài toán lượng giác, bài toán hình học. Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu a+ b = 2cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây đúng: c2 ≥ a; d2 ≥ b. Giả sử hai bất đẳng thức trên đều sai, có nghĩa là:{ c2 < a d2 < b ⇒ { c2 − a < 0 d2 − b < 0 ⇒ c 2 − a+ d2 − b < 0⇒ c2 + d2 − (a+ b) < 0 ⇒ c2 + d2 − 2cd < 0 ⇒ (c+ d)2 < 0 vô lí. Điều đó chứng tỏ hai bất đẳng thức trên không thể cùng sai. Vậy ít nhất có một đẳng thức đúng. Để chứng minh mệnh đề P ⇒ Q bằng phương pháp phản chứng có hiệu quả đòi hỏi phải nắm chắc phủ định của mệnh đề . Đặc biệt khi Q có dạng sau đây [5;72]: Q = Q1 ∧Q2 thì Q = Q1 ∧Q2 = Q1 ∨Q2; Q = Q1 ∨Q2 thì Q = Q1 ∨Q2 = Q1 ∧Q2; Q = ∀x,R(x) thì Q = ∀x,R(x) = ∃x,R(x); Q = ∃x,R(x) thì Q = ∃x,R(x) = ∀x,R(x). 2.2. Cách thức truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh trong dạy học toán ở trường Trung học phổ thông 2.2.1. Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh bằng phản chứng một cách trực tiếp Trong trường hợp này, tri thức phương pháp là đối tượng trung tâm của một tình huống dạy học cụ thể, kết quả là tri thức này được trình bày một cách tổng quát và tường minh dưới dạng một quy tắc, một thuật toán hay một danh sách các lời khuyên, chỉ dẫn. . . Ở cấp độ này, GV phải rèn luyện cho HS những HĐ dựa trên tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát, không chỉ dừng ở mức độ thực hành theo mẫu ăn khớp với tri thức phương pháp này. Từng bước hành động, phải làm cho HS hiểu được ngôn ngữ diễn tả từng bước đó và tập cho họ biết hành động dựa trên phương tiện ngôn ngữ đó. Ta có thể dạy tường minh tri thức phương pháp chứng minh phản chứng theo quy trình 3 bước ở trên. Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu a1a2 ≥ 2(b1 + b2) (*) thì ít nhất một trong hai phương trình: x2 + a1x+ b1 = 0 ; x2 + a2x+ b2 = 0 có nghiệm. Đứng trước bài toán này người giáo đưa ra hệ thống chỉ dẫn, lời khuyên hướng học sinh vào các hoạt động nhận thức, tiến hành quy trình giải bài toán. 104 Truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh bằng phản chứng trong dạy học Toán... HĐ 1(GV): Em có nhận xét gì về giả thiết và yêu cầu của bài toán? HĐ 2 (HS): Bài toán cho giả thiết A và yêu cầu chứng minh B. HĐ 3 (GV): Có thể dùng phương pháp phản chứng giải quyết hay không? Em hãy nêu quy trình gải bài toán này? HĐ 4 (HS): Nêu quy trình bước 1. Bước 1: Giả sử cả 2 phương trình trên đều không có nghiệm, có nghĩa là:{ ∆1 = a1 2 − 4b1 < 0 ∆2 = a2 2 − 4b2 < 0 (I) Sau khi HS đưa ra giả sử trên và dẫn đến KL (I), giáo viên đưa ra câu hỏi HĐ 5 (GV): Từ kết luận (I) suy ra điều gì? Và điều đó có liên hệ gì với giả thiết (*)? HĐ 6 (HS): Từ đó học sinh đưa ra bước 2. Bước 2: Từ (I)⇒ a12 + a22 − 4(b1 + b2) < 0, Kết hợp với (*) ta có: a1 2 + a2 2 − 2a1a2 ≤ a12 + a22 − 4(b1 + b2) < 0⇒ (a1 − a2)2 < 0 vô lí. HĐ 7 (GV): Từ đó em có kết luận gì? Có điều giả sử trên không? HĐ 8 (HS): Không tồn tại giả sử cả 2 phương trình trên đều không có nghiệm. Dẫn đến bước 3. Bước 3 : Kết luận nếu a1a2 ≥ 2(b1 + b2) (*) thì ít nhất một trong hai phương trình: x2 + a1x+ b1 = 0 ; x2 + a2x+ b2 = 0 có nghiệm. HĐ 9 (GV): Như vậy, bài toán này đã được giải quyết bằng phương pháp phản chứng. Em hãy đề xuất bài toán tương tự? 2.2.2. Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh bằng phản chứng một cách gián tiếp Khác với cấp độ trên, ở đây tri thức phương pháp không phải là đối tượng chủ yếu của một tình huống dạy học cụ thể mà chỉ cần được thông báo trong quá trình dạy học. Thông báo này có thể được lặp lại trong nhiều cơ hội khác nhau, ở nhiều thời điểm khác nhau. Đây là những trường hợp thường áp dụng cho các tri thức phương pháp chưa được quy định trong chương trình nhưng phải thoả mãn các yêu cầu: - Những tri thức phương pháp này giúp HS dễ dàng thực hiện một số HĐ quan trọng nào đó được quy định trong chương trình. + Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian. Chẳng hạn, "quy lạ về quen" là một tri thức phương pháp không được quy định trong chương trình nhưng thoả mãn cả hai điều kiện trên. Ví dụ 4: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx+ c(a 6= 0) và số thực α. Nếu af(α) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và x1 < α < x2. Để truyền thụ cho HS theo cấp độ này, đặc biệt là tập luyện cho HS hoạt động quy lạ về quen. Hoạt động này được thông báo trong quá trình dạy học, thông báo này có thể được lặp lại ở nhiều thời điểm khác nhau. Cụ thể đối với bài toán này, người giáo viên có thể tiến hành như sau: HĐ 1(GV) : Tiến hành thông báo như sau: Đối với tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 0. 105 La Đức Minh HĐ 2(GV): Như vậy để chứng minh tam thức bậc hai có 2 nghiệm phân biệt bằng phương pháp phản chứng thì ta cần chứng minh như thế nào? HĐ 3(HS): Để chứng minh ∆ > 0 bằng phản chứng ta giả sử rằng . HĐ 4(GV): Thông báo tiếp theo định lí về dấu của tam thức bậc hai: Với ∆ 0,∀α ∈ R. Với ∆ = 0 thì af(α) = 0, khi α = −b 2a ; af(α) > 0,∀α 6= −b 2a . HĐ 5(GV): Thông báo đến HS để chứng minh x1 < α < x2 bằng phương pháp phản chứng ta phải chứng minh như thế nào? HĐ 6(HS): Ta cần giả sử rằng α /∈ (x1, x2). HĐ 7(GV): Yêu cầu học sinh đưa ra quy trình giả quyết bài toán trên bằng phương pháp phản chứng? HĐ 8(HS): Đưa ra quy trình giả quyết bài toán trên bằng phương pháp phản chứng như sau: Bước 1: + Giả sử ∆ ≤ 0 và α /∈ (x1, x2). + Giả sử α /∈ (x1, x2)⇒ af(α) ≥ 0, trái với giả thiết af(α) < 0. Bước 2: + Với ∆ ≤ 0 khi đó ta có: af(α) ≥ 0, trái với giả thiết af(α) < 0. + Với α /∈ (x1, x2)⇒ af(α) ≥ 0, trái với giả thiết af(α) < 0. Bước 3: Như vậy không tồn tại giả sử ∆ ≤ 0 và α /∈ (x1, x2). Kết luận: bài toán được giải quyết. GV cũng có thể tập luyện cho HS những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp, tổ chức các HĐ theo một mục đích xác định. Những tri thức phương pháp này cần được GV vận dụng một cách có ý thức trong việc ra bài tập, trong việc hướng dẫn và nhận xét hay bình luận các HĐ của HS. Nhờ những việc làm đó, HS được làm quen và có thể vận dụng trong quá trình HĐ. Ví dụ 5: Chứng minh phương trình 5x−2 = 3− x có nghiệm duy nhất. Đứng trước bài toán này, người giáo viên nên truyền thụ cho học sinh theo phương án truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc luyện tập những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp. Giáo viên nên lặp đi, lặp một cách có dụng ý những chỉ dẫn hoặc những câu hỏi: HĐ 1(GV): Em hãy nhận dạng phương trình (1); Phương trình (1) có đặc điểm gì? HĐ 2 (HS): Phương trình (1) có dạng: f(x) = g(x), trong đó f(x) là hàm số đồng biến, g(x) là hàm số nghịch biến. HĐ 3 (GV): Em có biết quy trình nào để giải quyết bài toán trên chưa? HĐ 4 (HS): Trả lời đối với bài toán này chưa có quy trình giải, nhưng có thể biến đổi phương trình về dạng quen thuộc; HĐ 5 (GV): Việc biến đổi phương trình (1) về phương dạng quen thuộc có gặp khó khăn trở ngại gì không? Em có thể dự đoán nghiệm của phương trình này không? HĐ 6 (HS): Dự đoán phương trình (1) có nghiệm x = 2. HĐ 7 (GV): Cơ sở nào em dự đoán phương trình (1) nghiệm x = 2. HĐ 8 (HS): Vì f(2) = g(2) = 1, nên x = 2 là nghiệm của phương trình. 106 Truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh bằng phản chứng trong dạy học Toán... HĐ 9 (GV): Vậy có phải là nghiệm duy nhất của phương trình (1) không? Chứng minh nó như thế nào? Có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng không? HĐ 10 (HS): x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) và có thể chứng minh như sau: Bước 1: Giả sử x = 2 không phải là nghiệm duy nhất, tức là phương trình có nghiệm x 6= 2. Bước 2: Với⇒ f(x) < f(2) = g(2) < g(x) chứng tỏ phương trình không thỏa mãn. Với⇒ f(x) > f(2) = g(2) > g(x) chứng tỏ phương trình không thỏa mãn. Bước 3: Chứng tỏ điều giả sử là sai. Vậy phương tình dã cho có nghiệm duy nhất x = 2. Sau khi hướng dẫn học sinh giải thì giáo viên có những câu hỏi đối với học sinh phương trình dạng: f(x) = g(x), trong đó f(x) là hàm số đồng biến, g(x) là hàm số nghịch biến nếu có nghiệm, thì nghiệm đó có phải là nghiệm duy nhất không? Việc chứng minh khẳng định đó có thể liên tưởng đến phương pháp chứng minh nào? 3. Kết luận Việc vận dụng tri thức phương pháp chứng minh phản chứng vào giải toán cho phép HS giải quyết bài toán rất hiệu quả, vấn đề là ở chỗ đứng trước bài toán người giáo viên hướng học sinh vào những hoạt động để lựa chọn được công cụ đó để giải quyết bài toán đặt ra nhận diện được khi nào thì sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Chúng, Võ ứng Đoài, Nguyễn Văn Bàng, 1960. Phương pháp tổng quát giảng dạy toán học ở trường phổ thông. Nxb Giáo dục. [2] Vương Tất Đạt, 1992. Lôgíc hình thức. Trường Đại học sư phạm Hà nội I. [3] Nguyễn Bá Kim, 2006. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm. [4] Goor-ki, 1974. Lôgíc học. Nxb Giáo dục. [5] Lê Văn Tiến, 2005. Phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông (các tình huống dạy học điển hình). Nxb Quốc gia Thành phố Hồ chí Minh. ABSTRACT Method knowledge of disproof in mathematics for high school students Method knowledge is the knowledge of a method that solve a certain type of task, which is based on the principle of the system, manipulating the system to proform identification purposes. Knowledge of method for direct operations and an important influence on the shape of student skills.The paper mentions a specific method of knowledge is the method of feedback-evidence demonstration, which makes the demonstration principles by using feedback- evidence clear and suggests some ways to transmit the method of feedback-evidence demonstration to students in teaching Mathematics in high school, including: Method of transfer knowledge demonstrated by an direct contradiction. Method of transfer knowledge demonstrated by an direct disproof. 107