Ước lượng khả năng của quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE FIT., 2013, Vol. 58, pp. 113-121 This paper is available online at ƯỚC LƯỢNG KHẢ NĂNG CỦA QUAN HỆ KHÔNG CHẮC CHẮN GIỮA HAI ĐIỂM THỜI GIAN BẤT ĐỊNH Hà Đặng Cao Tùng Khoa Công nghệ thông tin, Trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội Email: hdctung@cdsphanoi.edu.vn Tóm tắt. Trong nhiều ứng dụng của trí tuệ nhân tạo, chẳng hạn khi cần phải xử lí các truy vấn trong cơ sở dữ liệu thời gian, người ta cần phải xác định quan hệ giữa hai yếu tố thời gian ngay cả khi dữ liệu về thời gian không được biết một cách chính xác. Trong [9], Ryabov đã ước lượng quan hệ không chắc chắn giữa hai phần tử thời gian bất định bằng phương pháp xác suất. Dubois [4] lại đề xuất cách ước lượng quan hệ không chắc chắn giữa hai phần tử thời gian chính xác với mối quan hệ cơ bản được cho bằng những công thức mờ. Trong bài nghiên cứu này, chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận nhằm biểu diễn và ước lượng quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định dựa trên lí thuyết khả năng. Việc xem xét một thí dụ ở phần cuối bài báo là gợi ý về lĩnh vực ứng dụng của cách tiếp cận được đề xuất. Từ khóa: Điểm thời gian bất định, quan hệ không chắc chắn. 1. Giới thiệu Biểu diễn và lập luận với thông tin có yếu tố thời gian là vấn đề xuất hiện trong nhiều nghiên cứu thuộc những lĩnh vực khác nhau trong trí tuệ nhân tạo [2]. Lí thuyết hình thức về thời gian được ứng dụng chẳng hạn trong việc xử lí ngôn ngữ tự nhiên, lập kế hoạch,. . . và đặc biệt là trong cơ sở dữ liệu thời gian, trong đó tiến trình theo thời gian của các sự kiện đóng một vai trò quan trọng [1,5,7]. Trong vài thập kỉ qua, nhiều nghiên cứu đã được công bố trong lĩnh vực biểu diễn và lập luận với thời gian, trong đó nhiều lí thuyết hình thức đã được đề xuất [2]. Tuy nhiên, vẫn còn những chủ đề trong lĩnh vực này cần được nghiên cứu tiếp tục. Một trong những chủ đề như vậy là tìm một cơ chế với khả năng xử lí thông tin không chắc chắn trong các mối quan hệ thời gian [4,9]. Yếu tố thời gian trong thông tin tác nghiệp thường được biết không hoàn toàn chính xác. Chẳng hạn, một sự kiện được biết xảy ra “vào buổi chiều, trong khoảng từ 3 giờ đến 113 Hà Đặng Cao Tùng 5 giờ”, “vào một lúc nào đó tuần trước” hay “vào khoảng giữa tháng”,. . . Đó là những khoảng thời gian không xác định hay bất định. Trong [9], Ryabov đã đề nghị một cách tiếp cận dựa trên mô hình xác suất. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng, yếu tố không chắc chắn trong thông tin về thời gian lại có tính chất chủ quan dựa trên kinh nghiệm của các chuyên gia hơn là dựa trên các phép thống kê theo mô hình xác suất. Trong những trường hợp như vậy, kinh nghiệm của chuyên gia sẽ mang tính mờ nhiều hơn tính thống kê, do đó, việc ước lượng quan hệ giữa các điểm thời gian dựa trên tiếp cận khả năng sẽ gần với thực tế hơn cách tiếp cận xác suất. Trong [4], các tác giả đã đề xuất cách ước lượng quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian chính xác trên mô hình thời gian liên tục với mối quan hệ cơ bản được cho bằng những công thức mờ. Với mục tiêu hướng tới những ứng dụng trong Cơ sở dữ liệu thời gian, lĩnh vực mà thời gian thường được xem xét trong mô hình rời rạc [5,7], ttrong bài báo này, chúng ta sẽ thảo luận về việc sử dụng độ đo khả năng để ước lượng mối quan hệ tương đối giữa hai điểm thời gian bất định, làm cơ sở cho việc ước lượng quan hệ không chắc chắn giữa hai khoảng thời gian như được trình bày trong [6]. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Một số khái niệm Trong phần này, chúng ta định nghĩa các khái niệm chính được sử dụng trong suốt bài báo, trong đó khái niệm trung tâm là quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian và điểm thời gian bất định. Giữa hai điểm thời gian a và b, có ba quan hệ cơ bản là trước (before), đồng thời (at the same time) và sau (after), lần lượt được ký hiệu là “” (a > b). Tổ hợp các quan hệ cơ bản này, người ta có các quan hệ thứ cấp như: trước hoặc đồng thời (“≤”), sau hoặc đồng thời (“≥”) và không đồng thời (“6=”). Dựa trên ba quan hệ cơ bản trên, quan hệ không chắc chắn giữa các điểm thời gian được định nghĩa như sau dựa trên lí thuyết khả năng [4,6]. Định nghĩa 1. Một quan hệ không chắc chắn rab giữa hai điểm thời gian a và b là một véc tơ khả năng được chuẩn hóa Πab = (π<ab, π = ab, π > ab), trong đó π < ab (tương ứng π = ab và π>ab) là khả năng a b). Thuật ngữ “chuẩn hóa” trong định nghĩa được lấy từ lí thuyết khả năng [3] được hiểu là max (π<ab, π = ab, π > ab) = 1. Ngoài ra, đôi khi thay vì Πab = (π < ab, π = ab, π > ab), nếu không gây ra hiểu nhầm, ta cũng viết rab = (π<ab, π = ab, π > ab). Trong các nghiên cứu, thời gian thường được phân loại theo các mô hình như rời rạc, trù mật hay liên tục [4,8,9]. Trong bài này, chúng ta sử dụng mô hình rời rạc, mô hình 114 Ước lượng khả năng của quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định phổ biến trong lĩnh vực nghiên cứu cơ sở dữ liệu thời gian [9]. Chronon là đơn vị thời gian không phân chia được, không có kích thước cụ thể mà phụ thuộc vào các ứng dụng [8,9]. Tập hợp các chronons đẳng cấu với tập số nguyên (nghĩa là mỗi điểm có một phần tử kề trước duy nhất và một điểm kề sau duy nhất) được gọi là đường thời gian (time line). Đường thời gian được biểu diễn bởi một dãy những chronon giống nhau, thường được đánh số bằng các số tự nhiên. Điểm thời gian (temporal points) là khái niệm gắn với nhận thức chủ quan về thời gian xảy ra một sự kiện. Điểm thời gian là tất định (determinate) nếu nó được biết chính xác trùng với chronon nào trên đường thời gian. Điểm thời gian là bất định (indeterminate) nếu nó được biết thuộc vào một tập những chronon nào đó mà không biết chính xác trùng với chronon nào trên đường thời gian [1,9]. Định nghĩa 2. Một điểm thời gian bất định a là một điểm thời gian sao cho a ∈ [al, au], trong đó al (cận dưới) là chronon đầu tiên, au (cận trên) là chronon cuối cùng và al ≤ au. Đối với nhiều ứng dụng, khả năng điểm thời gian rơi vào một trong các chronons của nó không hoàn toàn như nhau. Ta giả định rằng mỗi điểm thời gian bất định có một hàm phân bố khả năng (p.d.f. - possibility distribution function) xác định trên tập các chronons của nó. Hàm phân bố khả năng π(a) được gắn với điểm bất định a phải thỏa mãn các điều kiện sau: π(a) = 0 với a /∈ [al, au]; π(a) ∈ [0, 1] với a ∈ [al, au]; (1) π(al) > 0, π(au) > 0, max a∈[al,au] (π (a)) = 1 Yêu cầu chuẩn hóa của p.d.f. xuất phát từ cách chúng ta quan niệm rằng điểm thời gian phải rơi đúng vào một chronons nào đó dù cho nó là bất định. Hình 1 minh họa khái niệm p.d.f. π1 xác định trên [1, 5] π2 xác định trên [3, 9] Hình 1. Minh họa hàm phân bố khả năng (p.d.f.) 115 Hà Đặng Cao Tùng Khi ta xét các điểm thời gian bất định, quan hệ giữa chúng không thể được xác định một cách rõ ràng. Chẳng hạn, điểm a gắn với khoảng [1, 5] và điểm b gắn với khoảng [3, 9]. Khi đó không thể khẳng định chắc chắn quan hệ giữa a và b là “” hay “=”. Vì vậy, quan hệ giữa hai điểm thời gian bất định là quan hệ không chắc chắn, được biểu thị bằng véc tơ khả năng như trình bày trong định nghĩa 1. Giả sử a và b là những điểm thời gian bất định, được cho lần lượt bởi các p.d.f. π1 và π2 trên các tập chronons tương ứng A vàB. Gọi π<ab, π > ab và π = ab lần lượt là khả năng xảy ra sự kiện a b và a = b. Phương pháp tính các giá trị trên được hình thành một cách tự nhiên bằng cách duyệt qua tất cả các cặp (a, b) với a ∈ A, b ∈ B. Chẳng hạn, với (a, b) ∈ A×B, nếu a < b thì cặp này sẽ tham gia vào việc tính π<ab với giá trị π <(a, b). ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, π< (a, b) = { min (π1 (a) , π2 (b)) a < b 0 a ≥ b (2) Công thức (2) biểu thị khả năng của sự kiện (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)∧ (a < b). Vì (a, b) nhận một trong các giá trị có thể của A× B, nên khả năng của sự kiện (a < b) được tính bằng công thức π<ab = max a∈A,b∈B π< (a, b). Ta có: π<ab = max a∈A,b∈B,a<b (min (π1 (a) , π2 (b))) (3) Hoàn toàn tương tự, khả năng của sự kiện (a > b) và (a = b) được tính bằng các công thức tương ứng (4) và (5): π>ab = max a∈A,b∈B,a>b (min (π1 (a) , π2 (b))) (4) π=ab = max a∈A,b∈B,a=b (min (π1 (a) , π2 (b))) (5) Vì π1 và π2 là các p.d.f. nên chúng phải thỏa mãn điều kiện (1), nghĩa là có a0 ∈ A và b0 ∈ B sao cho π1(a0) = 1 và π2(b0) = 1. Khi đó tùy theo a0 b0 hay a0 = b0 mà một trong ba thành phần π<ab, π > ab hoặc π = ab của rab sẽ nhận giá trị 1. Từ đó suy ra rằng max a∈A,b∈B (π<ab, π = ab, π > ab) = 1. Mệnh đề 1. rab là véc tơ khả năng được chuẩn hóa. Mệnh đề 1 là cơ sở cho định nghĩa dưới đây về quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định. Định nghĩa 3. Giả sử a và b là những điểm thời gian bất định, được cho lần lượt bởi các p.d.f. π1 và π2 trên các khoảng chronon tương ứng A[al, au] và B[bl, bu]. Khi đó, quan hệ không chắc chắn rab giữa a và b là véc tơ khả năng được chuẩn hóa rab = (π<ab, π = ab, π > ab) với các thành phần được cho bởi công thức (3) - (5). 2.2. Ước lượng khả năng của quan hệ giữa hai điểm thời gian bất định Các công thức (3), (4) và (5) đòi hỏi phải thực hiện nhiều phép tính, nhất là khi mỗi điểm thời gian bất định chứa nhiều chronon. Trên thực tế, không nhất thiết phải so sánh 116 Ước lượng khả năng của quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định tất cả giá trị có thể có của các cặp (a, b). Mệnh đề 2 dưới đây cung cấp thuật toán tính các thành phần của véc tơ khả năng của quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định bằng cách loại bỏ những cặp không cần thiết. Mệnh đề 2. Giả sử a và b là những điểm thời gian bất định, được cho lần lượt bởi các hàm phân bố khả năng (p.d.f.) π1 và π2 trên các khoảng chronon tương ứng A[al, au] và B[bl, bu]. Khi đó, véc tơ quan hệ không chắc chắn giữa a và b được tính bằng các công thức sau: pi< ab = max ( max al≤a≤cl−1 (pi1 (a)) , max cu+1≤b≤bu (pi2 (b)) , max cl≤a≤cu−1 ( min ( pi1 (a) , max a+1≤b≤cu pi2 (b) ))) (6) pi> ab = max ( max bu≤b≤cl−1 (pi2 (b)) , max cu+1≤a≤au (pi1 (a)) , max cl≤b≤cu−1 ( min ( max b+1≤a≤cu pi1 (a) , pi2 (b) ))) (7) pi= ab = max cl≤a≤cu (min (pi1 (a) , pi2 (a))) (8) trong đó, cl = max(al, bl), cu = min(au, bu). Chứng minh. Công thức (8) được chứng minh khá đơn giản. Công thức (7) được chứng minh tương tự như với công thức (6). Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh (6) là đủ. Nhận xét rằng A có phẩn tử chung với B khi và chỉ khi cl ≤ cu và A ∩ B = [cl, cu] (nếu cận dưới lớn hơn cận trên, khoảng là rỗng). A vàB được phân hoạch như sau và được minh họa trong hình 2. Hình 2. Phân hoạch A[al, au] và B[bl, bu] A = [al, cl − 1] ∪ [cl, cu] ∪ [cu + 1, au] B = [bl, cl − 1] ∪ [cl, cu] ∪ [cu + 1, bu] Khi đó, (a, b) có các cách tổ hợp như sau: 1) a ∈ [al, cl − 1]. Áp dụng (1) và (2), ta có: max b∈B π< (a, b) = max b∈B (min (π1 (a) , π2 (b))) = min ( π1 (a) ,max b∈B π2 (b) ) (9) = min (π1 (a) , 1) = π1 (a) 2) b ∈ [cu + 1, bu]. Áp dụng (1) và (2), ta có: 117 Hà Đặng Cao Tùng max a∈A π< (a, b) = max a∈A (min (π1 (a) , π2 (b))) = min ( max a∈A π1 (a) , π2 (b) ) (10) = min (1, π2 (b)) = π2 (b) 3) a ∈ [cu + 1, au], b ∈ [bl, cl − 1] ∪ [cl, cu]. Vì a > b nên theo (2): π<(a, b) = 0 (11) 4) a ∈ [cl, cu], b ∈ [bl, cl − 1]. Tương tự như 3): π<(a, b) = 0 (12) 5) a ∈ [cl, cu], b ∈ [cl, cu]. Khi đó: max cl≤a<b≤cu π< (a, b) = max cl≤a≤cu−1 ( min ( π1 (a) , max a+1≤b≤cu π2 (b) )) (13) Lấy giá trị lớn nhất từ các kết quả thu được ở trên (9) - (13), bỏ qua các giá trị bằng 0 ở các trường hợp 3) và 4), ta chứng minh được (6). 2 Khi tính toán dựa trên định nghĩa 3 với việc áp dụng các công thức (3), (4) và (5), thời gian thực hiện thuật toán sẽ là O(|A| × |B|) cho cả ba giá trị π<ab, π > ab và π = ab. Mệnh đề 2 cho phép đưa ra giải thuật có thời gian thực hiện cỡ O(max(|A|, |B|, |A∩ B|2)) đối với π<ab và π > ab khi áp dụng các công thức (6), (7) và thời gian thực hiện cỡ O(|A∩B|) đối với π=ab khi áp dụng công thức (8). Dưới đây trình bày thuật toán tính π < ab theo mệnh đề 2, trong đó T1, T2, T3 là các thành phần theo thứ tự của phép lấy max trong công thức (6). Thuật toán tính khả năng π<ab giữa hai điểm thời gian bất định: T1 = 0;T2 = 0;T3 = 0; for a = al to cl − 1 do T1 = max(T1, π1(a)); for b = cu + 1 to bu do T2 = max(T2, π2(b)); for a = cl to cu − 1 do for b = a+ 1 to cu do T3 = max(T3, min(π1(a), π2(b))); π<ab = max(T1, T2, T3); 2.3. Thí dụ Trong mục này, chúng ta xét một thí dụ áp dụng cơ chế ước lượng như đã đề xuất ở trên. Một nhà sản xuất lập kế hoạch sản xuất ống thép từ phôi thép được nhập theo hợp đồng với nhà cung ứng thép. Giả sử trong kế hoạch có hai cơ sở dữ liệu thời gian với đơn 118 Ước lượng khả năng của quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định vị thời gian tính theo ngày cho việc giao nhận phôi thép và sản xuất ống. Cấu trúc của cơ sở dữ liệu đó được cho trong bảng 1 và bảng 2. Bảng 1. Dữ liệu giao nhận phôi thép KyHieu NguoiNhan NgayGiao B10 Western 01 - 05/01 B20 Eastern 03 - 07/01 B26 Western 05 - 10/01 Bảng 2. Dữ liệu sản xuất ống thép KyHieu BatDauSX PhePham (%) T10 03/01 - 09/01 11 T11 07/01 - 11/01 5 T12 03/02 - 07/02 3 Thông thường, thời điểm bắt đầu và kết thúc sản xuất là những điểm thời gian bất định. Chẳng hạn, việc sản xuất xê ri T10 được khởi động vào tuần thứ hai của tháng giêng. Tương tự như trên, ngày giao nhận phôi thép cũng là điểm thời gian bất định do phải chuyển trong nhiều ngày và thời gian vận chuyển cũng không hoàn toàn cố định. Giả sử thời gian giao nhận xê ri phôi B10 (điểm bất định a) được cho bởi p.d.f. π1 trên khoảng A[1 − 5], thời gian giao nhận xê ri phôi B20 (điểm bất định b) được cho bởi p.d.f. π2 trên khoảng A[3 − 7], thời gian giao nhận xê ri phôi B26 (điểm bất định c) được cho bởi p.d.f. π3 trên khoảng A[5− 10], và thời gian bắt đầu sản xuất xê ri T10 (điểm bất định d) được cho bởi p.d.f. π4 trên khoảng D[3 − 9]. Do không có dữ liệu thống kê, các hàm π1, π2, π3 và π4 được cho bởi những người có kinh nghiệm (chuyên gia) như trong bảng 3. Bảng 3. p.d.f. gắn với các điểm bất định a, b, c và d. chronons 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 π1(a) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 π2(b) 0.8 1.0 0.7 0.4 0.1 π3(c) 0.4 0.6 1.0 0.6 0.4 0.2 π4(d) 0.3 0.6 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 Khi một xê ri ống thép được sản xuất ra có tỉ lệ phế phẩm cao (PhePham cao hơn 10%), người ta quan tâm đến xê ri phôi thép nào đã được sử dụng để sản xuất ra xê ri ống thép đó. Để trả lời câu hỏi này, ta cần biết quan hệ giữa thời gian giao nhận phôi và thời gian sản xuất ống thép. Trong nhiều tình huống, ta không thể suy diễn được quan hệ chắc chắn giữa các giá trị thời gian này do chúng là bất định nhưng bằng cách áp dụng cách tiếp cận đã trình bày trong bài báo này, ta có thể ước lượng được quan hệ thời gian không chắc chắn giữa chúng. Việc tính giá trị của các véc tơ khả năng rad, rbd và rcd được thể hiện trực quan trong bảng 4. Kết quả rad = (π<ad, π = ad, π > ad) = (0.8, 1.0, 0.6), rbd = (π < bd, π = bd, π > bd) = (1.0, 0.7, 0.6), rcd = (π<cd, π = cd, π > cd) = (0.6, 0.6, 1.0) cho biết rằng trong các điểm bất định a, b, c, điểm có khả năng đứng trước d cao nhất là b. Đó cũng có nghĩa là xê ri nguyên liệu không tốt gây nên lỗi của T10 có nhiều khả năng là B20. 119 Hà Đặng Cao Tùng Bảng 4. Tính các giá trị của véc tơ khả năng giữa hai điểm thời gian bất định a) Tính rad = (π<ad, π = ad, π > ad) chronons 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 π1(a) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 π4(d) 0.3 0.6 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸ π<ad = 0.8 0.4 0.8 0.8 π=ad = 1.0 1.0 π>ad = 0.6 0.6 b) Tính rbd = (π<bd, π = bd, π > bd) chronons 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 π2(b) 0.8 1.0 0.7 0.4 0.1 π4(d) 0.3 0.6 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸ π<bd = 1.0 1.0 0.4 π=bd = 0.7 0.7 π>bd = 0.6 0.6 c) Tính rcd = (π<cd, π = cd, π > cd) chronons 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 π3(c) 0.4 0.6 1.0 0.6 0.4 0.2 π4(d) 0.3 0.6 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸ ︸︷︷︸ π<cd = 0.6 0.6 π=cd = 0.6 0.6 π>cd = 1.0 0.6 1.0 0.2 3. Kết luận Quan hệ giữa hai điểm thời gian bất định được biểu diễn bằng một véc tơ với ba giá trị biểu thị khả năng của ba quan hệ cơ bản giữa các điểm này [4]. Trong bài báo, chúng ta đã đề nghị một cách tiếp cận nhằm ước lượng quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định thông qua việc tính khả năng của các quan hệ cơ bản giữa tất cả các cặp chronons của chúng. Chúng ta cũng đã xét một thí dụ trong Cơ sở dữ liệu thời gian để làm rõ tính ứng dụng của phương pháp đã nêu. Cách tiếp cận ước lượng khả năng của quan hệ giữa các điểm thời gian bất định được đề xuất trong bài báo này là cơ sở cho việc ước lượng quan hệ không chắc chắn giữa hai khoảng thời gian dựa trên các quan hệ cơ bản của Allen như đã được đề cập trong [6]. 120 Ước lượng khả năng của quan hệ không chắc chắn giữa hai điểm thời gian bất định TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anselma L., Terenziani P. and Snodgrass R.T, 2010. Valid-Time Indeterminacy in Temporal Relational Databases: A Family of Data Models. TIME IEEE Computer Society pp. 139-145. [2] Chittaro L. and MontanariA, 1996. Trends in Temporal Representation and Reasoning. The Knowledge Engineering Review, Vol. 11, No. 3, pp. 281-288. [3] Dubois D. and Prade H, 1988. Possibility Theory: An Approach to the Computerized Processing of Uncertainty. Plenum Press, New York. [4] Dubois D., HadjAli A., Prade H, 2003. Fuzziness and Uncertainty in Temporal Reasoning. Journal of Universal Computer Science, Vol. 9, pp. 1168-1194. [5] Etzion O., Jajodia S., Sripada S, 1998. Temporal Databases: Research and Practice. Springer, Verlag Berlin. [6] Hà Đặng Cao Tùng, 2011. Tiếp cận dựa trên lí thuyết khả năng xử lí quan hệ không chắc chắn giữa các khoảng thời gian. Đặc san khoa học, Đại học Sư phạm Hà Nội, Vol. 56, pp. 81 - 90. [7] Jensen C., Snodgrass R, 1997. Temporal Data Management. Technical Report TR-17, Time Center. [8] Lévi, Robert, 1927. Théorie de l’action universelle et discontinue. Journal de Physique et le Radium, Vol. 8, pp. 182–198. [9] Ryabov V., Puuronen S, 2001. Probabilistic Reasoning about Uncertain Relations between Temporal Points. TIME IEEE Computer Society, pp. 35-40. ABSTRACT Estimate probability of uncertainty relations between the two indeterminate temporal primitives In a wide range of AI applications, for example, during query processing in temporal databases, there is a need to know the relation between two temporal factors even when the temporal data is known inexactly. In [9], Ryabov used probability theory to estimate uncertainty relations between two indeterminate temporal primitives. Dubois [4] proposed how to estimate uncertain relations between two determinate temporal points whose basic relations are given by fuzzy formulas. In this paper we propose an approach to represent and estimate uncertain relations between two indeterminate temporal points based on possibility theory. The investigation of an example at the end of this article helps to figure out possible application areas of the proposed approach. 121