Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn cho học sinh lớp 11 THPT chuyên

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2012, Vol. 57, No. 9, pp. 20-30 VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO VÀO VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN CHO HS LỚP 11 THPT CHUYÊN. Phạm Sỹ Nam Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An E-mail: phamsynampbc@gmail.com Tóm tắt. Một trong những khó khăn lớn nhất trong việc giảng dạy và học tập các khái niệm giới hạn không chỉ nằm trong sự phong phú và phức tạp của nó, mà còn trong phạm vi mà các khía cạnh nhận thức không có thể được tạo ra hoàn toàn từ định nghĩa toán học. Trong bài báo này, chúng tôi thiết kế các nhiệm vụ toán học cơ bản để hỗ trợ học sinh kiến tạo kiến thức về giới hạn của dãy số. Kết quả nghiên cứu cho thấy việc thực nghiệm bằng cách sử dụng các thao tác động, cho phép học sinh dễ dàng hơn trong việc hình thành các giả thuyết, kiểm nghiệm, bác bỏ những cái sai và xây dựng kiến thức về giới hạn của dãy số. Từ khóa: Lý thuyết kiến tạo, giới hạn dãy số, mô hình động. 1. Mở đầu Lý thuyết kiến tạo có ảnh hưởng mạnh mẽ trong giáo dục bởi việc vận dụng Lý thuyết kiến tạo trong dạy học đáp ứng được các yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học. Trong bài viết này chúng tôi trình bày một số quan điểm của Lý thuyết kiến tạo và việc vận dụng vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn cho HS lớp 11 THPT chuyên. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Một số quan điểm của Lý thuyết kiến tạo trong dạy học 1. Lý thuyết kiến tạo khẳng định “tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức, chứ không phải được tiếp nhận một cách thụ động từ môi trường bên ngoài” [3;208]. Và rằng, “nhận thức là quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người [3;208]. 2. Trong một môi trường học tập kiến tạo, học sinh (HS) thật sự bị cuốn hút vào việc học, thay vì chỉ là những người lắng nghe thụ động. Lý thuyết kiến tạo cũng cho rằng, giáo viên (GV) nên tìm kiếm và coi trọng những quan điểm, những lý giải của học sinh bởi vì chúng là cánh cửa mở đến những tri thức. 20 Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn... 3. Quá trình dạy học cần phải được thực hiện sao cho HS kiến tạo được kiến thức chứ không phải để HS ghi nhớ kiến thức. Để HS có thể kiến tạo được kiến thức thì việc tổ chức quá trình dạy học cần phải tạo điều kiện để kiến thức mới được kết nối với kiến thức cũ, khiến HS tái hiện một cách tích cực các ý tưởng đã có, trên cơ sở đó phát triển nhận thức của bản thân. “Quá trình dạy học cần đưa người học đi từ sự bao quát bề mặt về một chủ đề tới chỗ hiểu cặn kẽ hơn kiến thức của chủ đề đó, bao gồm việc rà soát khảo cứu và tổ chức các thông tin ý tưởng về chủ đề từ rất nhiều góc nhìn hoặc quan điểm khác nhau, phù hợp với giai đoạn phát triển của người học” [4;30]. Để thực hiện được điều này đòi hỏi GV phải suy nghĩ về cách thức hình thành các kiến thức mới bằng việc gắn kết với các kiến thức cũ, đồng thời xem xét những mối liên hệ giữa các kiến thức. 2.2. Vận dụng Lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số cho HS lớp 11 THPT chuyên Từ các quan điểm nêu trên, ta có thể thấy quá trình dạy học khái niệm toán học nói chung và khái niệm Giải tích nói riêng theo Lý thuyết kiến tạo diễn ra theo quy trình sau: 2.2.1. Bước 1: Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức ở HS thông qua hoạt động trực quan Cách làm tốt nhất để nảy sinh nhu cầu nhận thức ở HS là tạo ra tình huống sư phạm nhằm xuất hiện trong ý thức của HS một tình huống có vấn đề. Đó là tình huống (lý thuyết hay thực tiễn) chứa đựng mâu thuẫn giữa cái đã biết và cái chưa biết. Mâu thuẫn này được HS ý thức và có nhu cầu giải quyết. Thông qua việc giải quyết mâu thuẫn này HS giành được một cái mới (kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo. . . ). Mặt khác, ta thấy rằng hầu hết các khái niệm Giải tích có bản chất “động” với những thuật ngữ thường được sử dụng trong định nghĩa khái niệm như “dần tới”, “nhỏ tùy ý” ... . Vì vậy, các mô hình động, dễ tác động trực tiếp vào các giác quan của con người, là điều kiện thuận lợi để giúp HS chiếm lĩnh những thuật ngữ như vậy. Trong bước này người giáo viên cần thực hiện hai công đoạn: - GV giới thiệu những vấn đề, hiện tượng thực tiễn hay những nghịch lý xuất phát từ khái niệm mới sắp học nhằm tạo động cơ, thu hút sự chú ý và sự tích cực của HS tham gia vào việc tìm hiểu và giải quyết các vấn đề mà GV đặt ra. - GV giới thiệu, hướng dẫn sử dụng mô hình động và nêu nhiệm vụ mà HS cần thực hiện khi thao tác với mô hình động đó, kết quả của việc thao tác, khám phá với mô hình chứa đựng kiến thức mới. 2.2.2. Bước 2: HS khám phá, khảo sát nhằm đưa ra các phán đoán và đề xuất các giả thuyết về khái niệm. Hình thành biểu tượng về khái niệm Trong bước này: - HS được thao tác trực tiếp với các mô hình động, HS huy động các kiến thức đã có, cũng những trải nghiệm phát hiện những khó khăn, chướng ngại, có thể xuất hiện những 21 Phạm Sỹ Nam tình huống mới nảy sinh đòi hỏi các em phải đặt ra được những câu hỏi, thu thập được dữ liệu và tiến hành nghiên cứu. Những câu hỏi trọng tâm vào kiến thức sẽ được học chỉ có thể trả lời bởi các em tham gia tích cực vào quá trình khám phá và học tập. - HS trải qua tình huống có vấn đề, được khám phá mô hình trong đó chứa đựng những nội dung kiến thức, những thao tác, kỹ năng để làm nảy sinh kiến thức mới. Từ đó đưa ra các phán đoán, đề xuất các giả thuyết về khái niệm. Bước này hình thành ở người học những nền tảng kinh nghiệm ban đầu về hiện tượng. Trên cơ sở mối liên hệ bên ngoài (chứ không phải mối liên hệ bên trong) mà cấu tạo nên tổ hợp chưa rõ nét và thiếu sắp xếp của đối tượng, chủ yếu dựa vào khả năng tổng hợp các quá trình tri giác của HS. Ở đây diễn ra hai thời kì: Thời kì thử sai trong tư duy và hình ảnh tổng hợp (còn chưa tách bạch, quyện với nhau) tương đương với khái niệm được hình thành trên một cơ sở phức tạp hơn, dựa vào kết quả các đại diện của các nhóm khác nhau được đưa về một nghĩa thống nhất trong tri giác. Sau quá trình trên, việc nhận thức của HS về khái niệm được chuyển sang một giai đoạn mới - tầng bậc hình thành từng bộ (nhóm) đối tượng: phương pháp tư duy bây giờ dẫn đến cấu tạo nên các mối liên hệ, quan hệ giữa các ấn tượng cụ thể khác nhau, tập hợp lại, khái quát lên, sắp xếp hệ thống toàn bộ kinh nghiệm. 2.2.3. Bước 3: Kiểm nghiệm – giải thích, khái quát hóa để rút ra các dấu hiệu bản chất của khái niệm Trong bước này: - HS tiến hành quá trình phân tích những kết quả khảo sát được. Những hiểu biết của các em được làm sáng tỏ và chính xác hóa nhờ có những hoạt động phản hồi của các HS khác hoặc của GV. - HS kết nối các ý tưởng đưa ra các giả thuyết và các kết quả quan sát, khám phá được thông qua, HS bắt đầu hình thành những hiểu biết khái quát thông qua những gì mà các em thu nhận được sau quá trình trao đổi và tranh luận thông tin. Quá trình tìm tòi khám phá của HS là định hướng cho GV đưa ra các chỉ dẫn trong suốt quá trình học. GV có thể cung cấp mô hình mới và yêu cầu HS tiếp tục khảo sát nếu như dấu hiệu mà HS đưa ra chưa phải là dấu hiệu bản chất, hoặc HS có những dự đoán sai (trong trường hợp này mô hình sẽ đóng vai trò như là phản ví dụ). Các hoạt động trên có thể thực hiện với lớp, hoặc nhóm nhỏ, cá nhân, cặp đôi HS. Ngôn ngữ là công cụ để giao tiếp, nó giúp người học phát triển các ý tưởng, lập luận các giả định, xác lập giả thuyết, từ đó trình bày ý kiến bản thân. Thông qua đó, GV định hướng và điều chỉnh câu trả lời của HS. Trong giai đoạn này HS có tư duy tổng hợp với hai đặc điểm; sắp xếp biểu tượng vào các nhóm, bộ và có khái quát đồng thời có thêm phân tích (tách bạch các biểu tượng) trừu tượng, để riêng rẽ các yếu tố ra, có kỹ năng xem xét các thành tố này ở ngoài mối liên hệ cụ thể, có thực. Giai đoạn này có hai pha: pha đầu là pha khái quát các đối tượng cụ 22 Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn... thể khác nhau theo những chỗ rất giống nhau; pha thứ hai là pha có khái niệm tiềm năng, đưa xếp vào một nhóm đối tượng theo một tính chất. 2.2.4. Bước 4: Nhận biết thuật ngữ, kí hiệu và phát biểu khái niệm Khi tư duy phát triển thì kéo theo khả năng ngôn ngữ của HS cũng phát triển. Ngôn ngữ bên ngoài và bên trong đã phát triển, tuy nhiên việc diễn đạt các suy nghĩ của HS nhiều khi chưa được rành mạch, rõ ràng. Các hoạt động của HS trong bước này là: - Thông qua những dấu hiệu của các khái niệm mà HS lĩnh hội, GV cần tổ chức cho HS quan sát, hướng dẫn HS nhận xét sự khác nhau giữa những thuộc tính bản chất và không bản chất của các đối tượng và sử dụng các thuật ngữ để kết nối liên hệ những dấu hiệu đã được tách ra nhưng chung cho cả một lớp các đối tượng. GV phân tích và đưa ra thuật ngữ, kí hiệu cho khái niệm mới. HS sử dụng các thuật ngữ, hướng dẫn mà GV cung cấp để phát biểu khái niệm. - GV khuyến khích HS phát biểu khái niệm dưới nhiều hình thức khác nhau theo cách hiểu các em. GV điều chỉnh phát biểu của HS nếu có sai sót hoặc dùng từ chưa chính xác. Đến đây, việc nhận thức về khái niệm được chuyển sang một giai đoạn mới - tầng bậc có khái niệm thực sự: khái niệm xuất hiện khi cả một loạt dấu hiệu trừu tượng một lần nữa được tổng hợp lại ở một trình độ cao hơn, khi tổng hợp trừu tượng này trở thành phương thức chủ yếu của tư duy mà trẻ dùng để tiếp cận và suy nghĩ về thực tại xung quanh. Ở đây từ giữ vai trò quyết định. Vygotsky viết: “Chính nhờ vào từ trẻ chủ định hướng chủ ý của mình vào một số dấu hiệu, nhờ vào từ trẻ tổng hợp các dấu hiệu ấy, nhờ vào từ trẻ biểu trưng hóa khái niệm trừu tượng và sử dụng khái niệm như là một dấu hiệu cao nhất trong tất cả các dấu hiệu do tư duy của con người tạo ra ” [5;201] 2.2.5. Bước 5: Củng cố và vận dụng khái niệm Một khái niệm được lĩnh hội khi và chỉ khi HS có thể vận dụng được khái niệm đó. Ở bước này, HS tiến hành các hoạt động để luyện tập, củng cố và vận dụng khái niệm vừa học. Việc thực hiện bước này thông qua giải quyết hệ thống bài tập mà GV đưa ra. Đây là giai đoạn rèn luyện cho HS các thao tác tư duy, khả năng suy luận và diễn đạt ngôn ngữ. Việc củng cố và vận dụng khái niệm bao gồm các hoạt động: - Nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ. - Vận dụng khái niệm, ý tưởng được hình thành trong quá trình xây dựng khái niệm để giải thích vấn đề trong thực tiễn cuộc sống, vào giải quyết các bài tập. Các bài tập cần được thiết kế sao cho khi giải, HS có thể bị mắc phải những lỗi sai do hiểu chưa đúng về khái niệm, các bài tập cần đa dạng về thể loại và có mức độ khó được nâng dần. 2.2.6. Bước 6: Mở rộng và hệ thống hóa khái niệm Trong bước này: 23 Phạm Sỹ Nam - GV yêu cầu HS tìm mối liên hệ giữa khái niệm vừa học với những khái niệm đã có, đặt khái niệm mới vào hệ thống khái niệm. - Khai thác, phát triển khái niệm đã có để mở rộng sang khái niệm mới, có phạm vi rộng hơn. 2.3. Ví dụ áp dụng: Dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn cho HS lớp 11 THPT chuyên Bước 1: Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức ở HS thông qua hoạt động trực quan Giới thiệu vấn đề. Nhằm thu hút HS tham gia vào hoạt động học tập, GV giới thiệu nghịch lí Zenon sau đây: “D’Elec Zénon (496 – 429) một triết gia người Hi lạp cổ đại vào thế kỷ thứ V trước Công nguyên, đã đưa ra bài toán A-sin (Achilis) đuổi rùa và lập luận như sau: A-sin là một lực sĩ trong thần thoại Hi lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân nhanh như gió “đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Giả sử A-sin xuất phát tại vị trí a1 và rùa xuất phát tại vị trí t1 (như Hình 1). Khi A-sin đến điểm a2 = t1 thì rùa chạy lên phía trước tại vị trí t2. Khi A-sin đến vị trí a3 = t2 thì rùa đến vị trí t3... Quá trình này tiếp tục vô hạn và được minh họa bằng Hình 1”. Hình 1. A-sin đuổi rùa GV: Bằng lập luận như trên, theo em A-sin có đuổi kịp rùa không? GV: Theo em, kết luận đó có đúng không? Vì sao? GV đặt vấn đề vào bài học: Như vậy, chúng ta nhận ra được là lập luận trên không đúng, nhưng có thể vận dụng kiến thức Toán học nào để chứng tỏ lập luận trên là sai? Bài học hôm nay sẽ giúp chúng ta sẽ đi tìm hiểu kiến thức như vậy. Giới thiệu mô hình động và nêu nhiệm vụ: GV giới thiệu mô hình động cho HS gồm ba phần: Giới thiệu, hướng dẫn thao tác với mô hình hoặc khảo sát tự do hoặc câu hỏi. Giới thiệu, hướng dẫn HS cách thao tác với mô hình: HS được biết mô hình bao gồm cái gì, tất cả các yếu tố và đối tượng được mô tả chi tiết và GV hướng dẫn cách làm thế nào để tương tác với chúng. Cho dãy số un = (−1)n n . Trên đồ thị ở Hình 2, mỗi chấm đỏ thể hiện hai thông số (n; un), chẳng hạn chấm đỏ thứ hai (kể từ trái sang phải) là ứng với n = 2 và un = 1 2 . Các chấm đỏ có thể được xóa bằng cách nhấn phím Esc trên bàn phím nhiều lần. Chấm đỏ có 24 Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn... Hình 2. Cách thể hiện sự phụ thuộc của un vào n trên màn hình vòng đen bao quanh là giá trị hiện tại của n. Giá trị của n thay đổi được bằng cách kéo rê đầu mút của thanh trượt tham số. Khảo sát tự do: Gợi ý một số thao tác mà HS nên làm, sau đó HS sẽ thao tác với mô hình và có giới hạn thời gian. • Thay đổi giá trị của n bằng cách kéo rê thanh trượt tham số. Hãy quan sát những thay đổi của các đối tượng khác. • Nhấn phím ESC để xóa vết. • Thay đổi độ dài đơn vị bằng cách kéo điểm 1 trên trục hoành ra xa hoặc tới gốc tọa độ. Với mỗi lần thay đổi, hãy nhấn ESC để xóa vết cũ. Câu hỏi cho HS Đây là phần chính của nhiệm vụ, HS cần phải khảo sát với mô hình để trả lời các câu hỏi. Mức độ khó khăn của câu hỏi được tăng dần từ trực quan đến trừu tượng, từ cụ thể đến khái quát. Phần này yêu cầu HS trả lời các câu hỏi sau khi thao tác với mô hình. HS sẽ khảo sát các giá trị của dãy số un khi n thay đổi, thông qua các kết quả với các giá trị cụ thể của n, để từ đó có những dự đoán tổng quát và đi đến xây dựng định nghĩa dãy số có giới hạn 0. Câu hỏi 1: Em hãy thay đổi giá trị của tham số n từ đó đưa ra nhận xét về sự thay đổi các giá trị un khi n càng lớn? Câu hỏi 2: Em hãy chỉ ra ít nhất 5 giá trị của n để khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn 1 100 ? Em có thể chỉ ra số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên không? Em hãy lấy một số tự nhiênM lớn hơn 100 và hãy chỉ ra số tự nhiên n nhỏ nhất để khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn 1 M ? 25 Phạm Sỹ Nam Câu hỏi 3: Nếu thay 1 M bởi một số dương ε bé tùy ý, liệu ta luôn có thể tìm được số tự nhiên un để với mọi n > n0 thì khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn ε hay không? Tại sao? Bước 2. HS khám phá, khảo sát nhằm đưa ra các phán đoán và đề xuất các giả thuyết về khái niệm. Hình thành biểu tượng về khái niệm Trong các hoạt động, các thao tác cụ thể cần làm rõ được: Phải tách ra những dấu hiệu nào của đối tượng và theo trình tự nào? Phải thực hiện những hành động nào khi có những dấu hiệu này hay những dấu hiệu khác? Những hành động này có thể mang lại những kết quả nào? Với yêu cầu thứ nhất “thay đổi giá trị của tham số n” HS thực hiện hành động “dịch chuyển đầu mut đỏ của thanh n sang phải (sang trái)” nhằm tăng (giảm) giá trị của n, khi đó HS có được hình ảnh sau (Hình 3). Hình 3. Khi n cành tăng khoảng cách giữa un và 0 càng nhỏ Hình ảnh thu được giúp HS nhận ra được dấu hiệu “khi n càng tăng thì khoảng cách giữa un và 0 càng nhỏ”. Đây là một dấu hiệu cần thiết mà chúng ta mong muốn HS nhận ra. Tuy nhiên đó chưa phải là dấu hiệu bản chất. Trong kết quả này nảy sinh vấn đề chưa rõ ràng là “khoảng cách đó nhỏ đi như thế nào?”. Để trả lời được câu hỏi, đòi hỏi HS phải có hành động tiếp đó là: Kéo thanh n ra xa hơn nữa nhằm tăng giá trị n, tăng đơn vị trên trục tung để có thêm dữ liệu cho các phán đoán về dấu hiệu. Các yêu cầu trong câu hỏi 2) nhằm giúp HS thấy được tồn tại giá trị n thỏa mãn điều kiện trên và có thể có nhiều giá trị như vậy và bằng việc thao tác với mô hình động có thể giúp HS xác định được số n lớn nhất và tập hợp các giá trị n thỏa mãn điều kiện đó. Yêu cầu thứ ba nhằm giúp HS nhận ra được rằng nếu chúng ta muốn khoảng cách giữa un và số 0 nhỏ hơn một số nhỏ hơn 1 100 thì cũng luôn tìm được giá trị n thỏa mãn, điều này tạo cơ sở cho câu trả lời trong câu hỏi tiếp theo. Với câu hỏi 3) có thể có hai hướng mà dẫn tới câu trả lời đúng của HS. Thứ nhất, từ các hành động và kết quả trong các trường hợp cụ thể tạo niềm tin để HS có thể khẳng 26 Vận dụng lý thuyết kiến tạo vào việc dạy học khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn... định là luôn tìm được n0, cũng có thể HS sẽ khảo sát thêm vài giá trị cụ thể để tạo sự tự tin cho câu trả lời của mình. Thứ hai, HS có thể sử dụng các kiến thức để chứng minh chặt chẽ. Kết quả này giúp các em có được sự khái quát hóa dấu hiệu bản chất để tiến tới hình thành định nghĩa giới hạn dãy số. Bước 3. Kiểm nghiệm - giải thích, khái quát hóa để rút ra các dấu hiệu bản chất của khái niệm Trong bước này, GV yêu cầu HS giải thích các kết quả khảo sát được. Nếu HS chưa nêu được những dấu hiệu bản chất thì GV sử dụng các câu hỏi (nếu cần thiết), đưa ra thêm yêu cầu nhằm trợ giúp HS. Chẳng hạn, nhằm giúp HS nhận ra được "khi n càng dần tới dương vô cực thì khoảng cách giữa un và 0 càng nhỏ và nhỏ bao nhiêu cũng được". GV yêu cầu: "Chúng ta thử kéo n ra xa hơn nữa xem sự thay đổi sẽ như thế nào?". Tuy nhiên hành động "kéo đầu mút thanh trượt ra xa" có thể gây khó khăn cho HS, bởi thanh trượt đi hết màn hình, khó khăn này có thể giải quyết bằng việc giảm đơn vị trên trục hoành bằng cách di chuyển chấm đỏ trên trục hoành sang trái, khi đó có thể thu được hình ảnh điểm "(n, un) nằm trên trục hoành". Hình ảnh này có thể gây ra quan niệm sai "khoảng cách giữa un và 0 càng nhỏ dần và đến một lúc nào đó nó sẽ bằng 0". Vấn đề là làm thế nào để HS có thể tránh hoặc nhận ra quan niệm trên là sai? Có thể thấy rằng, nguyên nhân dẫn đến quan niệm sai này là do sự hạn chế của việc biểu diễn các điểm trên đồ thị, số các điểm vô hạn trong khi đó phần hình ảnh mặt phẳng có hạn. Nhằm giúp HS giải quyết được sai lầm này, GV có thể trợ giúp bằng các cách sau. Cách thứ nhất GV có thể trợ giúp bằng cách gợi ý thêm các hoạt động. Chẳng hạn: "Chúng ta thử tăng độ dài đơn vị trên trục tung lớn hơn xem hình ảnh sẽ như thế nào?". Hành động "tăng đơn vị trên trục tung" sẽ giúp HS nhận ra được rằng khi chúng ta càng tăng đơn vị thì "điểm (n, un) càng cách xa trục hoành", hành động tăng đơn vị như là một cách phóng to hình ảnh trên, tương tự như việc nhìn bằng mắt thường và nhìn bằng kính lúp. Tuy nhiên, nếu HS vẫn còn quan niệm sai lầm trên thì có thể yêu cầu HS thực hiện việc "tăng đơn vị trên trục tung" tiếp và cuối cùng HS có thể nhận ra được dấu hiệu "khoảng cách giữa un và 0 càng nhỏ dần và không bao giờ bằng 0", "khoảng cách giữa un và 0 nhỏ bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn". Cách thứ hai, GV yêu cầu HS vận dụng suy luận để kiểm tra tính đúng đắn của quan niệm trên để từ đó khẳng định "(n, un) không thể nằm trên trục hoành", và khoảng cách càng nhỏ khi n càng lớn, bởi | (−1n) n | = 1 n > 0 và f(n) = 1 n là hàm nghịch biến. Như vậy, trong quá trình thao tác, không phải ngay một lúc có thể “tách” được các dấu hiệu bản chất, mà để đi đến được dấu hiệu bản chất HS phải trải qua một quá trình và trên quá trình đó các dấu hiệu thu được càng ngày càng gần với dấu hiệu bản chất và trên quá trình đó không tránh khỏi những quan niệm sai, những khó khăn, việc giải quyết các vấn đề này đòi hỏi HS tích cực suy nghĩ tìm hướng giải quyết và cần sự trợ giúp của GV bằng việc gợi ý, yêu cầu HS thực hiện các hoạt động cần thiết để đối tượng bộc lộ ra dấu hiệu cần nghiên cứu và kiểm tra được tính đúng đắn của một quan niệm. Trong việc giải thích tính đúng đắn của các quan niệm, nên yêu cầu HS sử dụng nhiều hình thức khác 27 Phạm Sỹ Nam nhau có thể sử dụng mô hình trực quan, có thể sử dụng suy luận. Ở đây cũng cần lưu ý rằng, việc thao tác với mô hình trực quan cho chúng ta những dấu hiệu được diễn tả bằng lời dưới hình thức mô tả là chính. Bước 4. Nhận biết thuật ngữ, kí hiệu và phát biểu khái niệm Có một khó khăn nhất định về mặt tâm lí trong việc hình thành một biểu