Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạng bài tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ ở Lớp 10 trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 154-161 This paper is available online at VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠNG BÀI TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎAMÃN ĐẲNG THỨC VÉCTƠ Ở LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Đỗ Thị Hồng Minh Phòng Khảo thí và Kiểm định chất lượng, Trường Đại học Hải Phòng E-mail: hongminh.dhhp@gmail.com Tóm tắt. Trong bài báo này, tác giả đã trình bày bản chất của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và quy trình thực hiện phương pháp đó cùng những mức độ của phương pháp. Bài báo còn trình bày việc ứng dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Tìm tập hợp điểm của chương trình hình học véctơ lớp 10 Trung học Phổ thông áp dụng cho đối tượng học sinh khá giỏi. Qua đó, giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về vấn đề tìm tập hợp điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ và xoá bỏ mặc cảm cho các em khi gặp một dạng toán khó. Đồng thời, rèn luyện cho người học khả năng biết phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong cuộc sống. Từ khóa: Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, tập hợp điểm, môn Hình học véctơ lớp 10. 1. Mở đầu Trong một xã hội phát triển nhanh, cạnh tranh gay gắt - một xã hội chỉ dành chỗ tốt đẹp hơn cho những cá thể và tập thể có sự sáng tạo, việc phát hiện sớm và giải quyết hợp lí các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn là một năng lực đảm bảo sự thành đạt của cá nhân và của tập thể trong cuộc sống. Vì vậy, tập dượt và rèn luyện cho người học khả năng biết phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong cuộc sống là một mục tiêu giáo dục quan trọng. Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, có những vấn đề nhìn riêng lẻ từng bài toán thì khó thấy được bản chất chung của chúng, trong khi đó trang bị cho học sinh cách nhìn tổng quát hơn thì học sinh lại dễ tiếp thu, dễ nắm được cái cốt lõi của bài dạy đó. Vấn đề tìm tập hợp điểm trong môn Hình học véctơ lớp 10 là một vấn đề như vậy. Bài báo này trình bày việc ứng dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề tìm tập hợp điểm của chương trình hình học véctơ lớp 10 Trung học Phổ thông áp dụng cho đối tượng học sinh khá giỏi. Với mục đích phát huy trí lực của học 154 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạng bài tìm tập hợp điểm... sinh, từng bước tổng quát hóa đưa đến nắm được phương pháp chung tìm ra lời giải đối với dạng toán tìm tập hợp điểm, xoá bớt nỗi lo sợ của các em khi gặp một dạng toán khó, qua đó rèn luyện khả năng phán đoán và giải quyết vấn đề trong cuộc sống. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề * Bản chất của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phương pháp dạy học trong đó giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác. Đặc trưng cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là "tình huống gợi vấn đề" vì tư duy chỉ bắt đầu khi xuất hiện tình huống có vấn đề. Thực chất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là việc giáo viên đặt câu hỏi hoặc nêu vấn đề về bài toán có vấn đề, còn học sinh thì tự lực suy nghĩ, thảo luận, giải đáp dưới sự định hướng của giáo viên. Quá trình suy nghĩ, thảo luận, giải đáp là điều kiện tốt để kích thích tính năng động sáng tạo, sự độc lập suy nghĩ của học sinh, đồng thời dần dần tiếp thu kinh nghiệm hoạt động sáng tạo hình thành phong cách học tập và làm việc mới. Trong quá trình đó, giáo viên vừa là người cung cấp thông tin, truyền đạt kiến thức (bằng cách nêu vấn đề) để học sinh lĩnh hội, vừa là người kích thích tính tự giác, tích cực suy nghĩ sáng tạo của học sinh trong học tập đồng thời tạo ra bầu không khí dân chủ giữa thầy và trò để đạt hiệu quả cao trong học tập. Tuy nhiên, cần lưu ý trong quá trình đó giáo viên không phải là người độc quyền đưa ra các vấn đề và phương pháp giải quyết các vấn đề đó mà cần gợi cho học sinh suy nghĩ, tìm tòi sáng tạo để đưa ra cách giải quyết mới, ý tưởng mới. Thậm chí trong các ý tưởng mới đó lại là một vấn đề mới được đặt ra và có thể vấn đề mới đó vượt qua khả năng kiểm soát của thầy, đòi hỏi thầy phải tiếp tục nghiên cứu để làm sáng tỏ. Rõ ràng, điểm mấu chốt của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề chính là “phương pháp dạy phương pháp”, đó là một phương pháp dạy học hiện đại. Tác động của thầy dù là quan trọng đến đâu, có hiệu lực đến mấy vẫn là ngoại lực, vẫn chỉ là hỗ trợ, thúc đẩy, xúc tác, tạo điều kiện. Sức tự học, tự tìm tòi nghiên cứu của học sinh dù còn yếu kém đến đâu vẫn là nội lực quyết định sự phát triển của bản thân người học. Yêu cầu cuối cùng của phương pháp dạy học này là không chỉ truyền thụ cho học sinh một lượng kiến thức khoa học cần thiết mà cái cần đạt tới là giáo dục, xây dựng cho học sinh có một phương pháp khoa học trong việc tìm tòi nghiên cứu, tìm hiểu và giải quyết mọi vấn đề gặp phải trong quá trình học tập trước mắt và trong cuộc sống sau này. Khi áp dụng phương pháp dạy học này, có ý kiến cho rằng vai trò của giáo viên được giảm nhẹ. Ngược lại, nếu xét về bản chất của phương pháp, ta thấy công việc của người 155 Đỗ Thị Hồng Minh thầy trở nên cực kì khó khăn. Thầy phải nghiên cứu cho một bài giảng công phu hơn, phải kết hợp tốt chuyên môn khoa học và năng lực sư phạm. Lênin đã từng nói: “Không ai thay thế được ông thầy trong nhà trường”. Như vậy, người giáo viên có vai trò quyết định trong việc thực hiện phương pháp dạy học này, góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả của quá trình dạy học * Tình huống gợi vấn đề Theo Nguyễn Bá Kim [1; 187], tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. Một tình huống gợi vấn đề cần thỏa mãn các điều kiện sau đây: Tồn tại một vấn đề, gợi nhu cầu nhận thức, gây niềm tin ở khả năng. * Các bước thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim [2; 192-195], hạt nhân của kiểu dạy học này là sự điều khiển của giáo viên trong quá trình nghiên cứu vấn đề của học trò. Quá trình này có thể chia thành các bước sau: Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề - Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra. Có thể liên tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, gợi động cơ mở đầu. - Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng các vấn đề được đặt ra. - Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó. Bước 2. Tìm giải pháp - Khi phân tích vấn đề, cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm. Trong môn Toán, ta thường dựa vào những vốn tri thức đã học, liên tưởng tới những định nghĩa và định lí thích hợp. - Khi đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức, thường hay sử dụng những phương pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận, như hướng đích, quy lạ về quen; đặc biệt hoá và chuyển qua những trường hợp suy biến; xem xét tương tự, khái quát hoá; xét những mối liên hệ và phụ thuộc; suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi. Phương hướng được đề xuất không phải là bất biến, trái lại có thể phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết. Khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi đúng. - Sau khi tìm ra được một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác, so sánh chúng với nhau để có thể tìm ra giải pháp hợp lí nhất. Bước 3. Trình bày giải pháp Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát 156 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạng bài tìm tập hợp điểm... biểu vấn đề cho tới giải pháp. Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì có thể không cần phát biểu lại vấn đề. Trong khi trình bày, cần tuân thủ các chuẩn mực đề ra trong nhà trường như ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận đối với bài toán dựng hình, giữ gìn vở sạch, chữ đẹp,... Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp - Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả. - Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề,... và giải quyết nếu có thể. * Các mức độ của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Mức 1: Người dạy đặt vấn đề, nêu cách giải quyết vấn đề. Người học thực hiện cách giải quyết vấn đề theo hướng dẫn của người dạy. Người dạy đánh giá kết quả làm việc của học sinh. Mức 2: Người dạy đặt vấn đề, gơi ý cho người học nêu cách giải quyết vấn đề. Người học thực hiện cách giải quyết vấn đề theo hướng dẫn của người dạy khi cần. Người dạy và người học cùng tham gia đánh giá. Mức 3: Người dạy cung cấp thông tin tạo tình huống có vấn đề. Người học phát hiện và xác định vấn đề nảy sinh, tự lực đề xuất các cách giải quyết vấn đề. Người học tự thực hiện cách giải quyết vấn đề. Người dạy đánh giá kết quả làm việc của học sinh. Mức 4: Người học tự phát hiện tình huống có vấn đề, tự phát biểu được bài toán cần giải quyết, tự tìm ra cách giải quyết vấn đề, tự thực hiện việc giải quyết vấn đề, tự đánh giá việc giải quyết vấn đề. Người dạy chỉ có ý kiến bổ sung. 2.2. Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ Dù là học sinh khá vẫn thường “sợ” những bài toán tìm tập hợp điểm. Do đó để loại bỏ tâm lí này, giáo viên nên đặt ra các vấn đề đơn giản từ dễ đến khó, chỉ những “điểm nút” cần thiết nhất mới gợi mở cho học sinh tổng quát hóa. Tuy bài toán dạng này chưa hẳn đã thật khó, nhưng nó yêu cầu nhiều thao tác mà nếu học sinh không tự suy nghĩ tìm tòi thì sẽ dễ chán nản và không thể tiếp thu tốt. Đối với đối tượng học sinh khá giỏi, giáo viên có thể dạy theo các bước sau: Hoạt động 1: (Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề): Chia lớp thành các nhóm nhỏ và giao việc cho các em về nhà tìm các quỹ tích đã biết trong hình học phẳng. Các nhóm tự trao đổi và thống nhất, buổi học sau giáo viên gọi đại diện các nhóm lên bảng ghi lại các quỹ tích đã thống kê được lên bảng. Sau đó, giáo viên chốt lại những tập hợp điểm cần thiết có liên quan đến véctơ lớp 10. Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh chuyển các quỹ tích đó sang ngôn ngữ véctơ, ta được các “quỹ tích cơ bản” sau: 1) −−→ MA = k−→v với A cố định,−→v không đổi 157 Đỗ Thị Hồng Minh Tập hợpM là đường thẳng qua A và cùng phương −→v 2) |−−→MA| = |−−→MB| với A,B cố định Tập hợpM là đường thẳng trung trực của AB 3) −−→ MA.−→v = 0 với A cố định và −→v không đổi Là đường thẳng đi qua A và vuông góc với −→v 4) −−→ MA. −−→ MB = 0 với A,B cố định Tập hợpM là đường tròn đường kính AB 5) |−−→MO| = |−→v | Tập hợpM là đường tròn tâm O bán kính R = |−→v |. Hoạt động 2 (Tìm giải pháp): Để giúp học sinh tìm ra phương pháp giải các bài toán dạng này, giáo viên đưa ra tình huống có vấn đề là bài toán sau: Bài toán: Cho tam giác đều ABC, cạnh a, tìm tập hợp điểmM thỏa mãn: 1) −−→ MA( −−→ MB + −−−→ MC) = 0 2) −−→ MA(3 −−→ MB + −−→ MC) = 0 3) 3MA2 = MB2 +MC2 4) −−→ MA. −−→ BC = a2 Sau đó giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thông qua các câu hỏi gợi mở vấn đáp như sau: GV: Phương hướng để giải bài toán này là gì? HS: Biến đổi để đưa về biểu thức đơn giản có dạng là quỹ tích cơ bản. Sau đó các em tự suy nghĩ làm câu 1 và dễ dàng giải như sau: Lấy I là trung điểm BC, ta có: −−→ MA( −−→ MB + −−−→ MC) = 0⇔ −−→MA.2−−→MI = 0⇔ −−→MA.−−→MI = 0. Suy ra tập hợp điểmM là đường tròn đường kính AI . Đến câu 2 hầu như học sinh lúng túng, giáo viên có thể tiếp tục gợi mở: GV: Tại sao các em lại nhanh chóng giải được câu 1? HS: Vì chọn được điểm I sao cho −−→ MB + −−→ MC = 2 −−→ MI GV: Nghĩa là đưa một tổng véctơ về một véctơ k −−→ MI? Vậy muốn giải được câu 2 cần phải làm gì? HS: Tìm điểm I sao cho 3 −−→ MB + −−→ MC = k −−→ MI 158 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạng bài tìm tập hợp điểm... Đến đây hầu như các em “bừng tỉnh” vì việc xác định điểm I như vậy học sinh đã được trang bị rồi. Tuy nhiên giáo viên vẫn tiếp tục kiểm tra lại để nhắc nhở các em học sinh chưa thật chắc kiến thức cũ. GV: Xác định điểm I như thế nào? HS: Xen 1 điểm I nào đó ta được 3 −−→ MB + −−→ MC = 4 −−→ MI + (3 −→ IB + −−→ IC) Suy ra chỉ cần chọn điểm I sao cho 3 −→ IB + −→ IC = −→ 0 , hay I là điểm chia BC theo tỉ lệ k = −1 3 . Từ đó tương tự câu trên suy ra lời giải. Đến câu 3, học sinh đều lúng túng vì hình thức của đẳng thức đã xa với quỹ tích cơ bản, khi đó giáo viên có thể tiếp tục gợi mở như sau: GV: Các em hãy nhận dạng đặc điểm các biểu thức véctơ trong các quỹ tích cơ bản. Học sinh có nhiều ý kiến khác nhau và phân tán, sau đó giáo viên cần nhấn mạnh: Đặc điểm lớn nhất của biểu thức véctơ trong các quỹ tích cơ bản là số lần xuất hiện M trong biểu thức đó. GV: Vậy ta cần làm gì? HS: Cần “cô lập” điểmM . Và khi đó học sinh biết xen 1 điểm I nào đó vào và sau khi “cô lập” nó có dạng:−−→ MI2 + 2 −−→ MI(3 −→ IA−−→IB −−→IC) + 3−→IA2 −−→IB2 −−→IC2 = 0 GV: Vậy ta chọn điểm I như thế nào? Vì sao? HS: Ta chọn 3 −→ IA−−→IB −−→IC = 0 vì không thể chọnM ≡ I Sau đó yêu cầu học sinh xác định vị trí cụ thể của điểm I là điểm IA = 2AK; Với K là trung điểm BC. Và học sinh dễ dàng hoàn thiện các yếu tố còn lại và tìm ra tập điểm là một đường tròn tâm I bán kính R = √−→ IB2 + −→ IC2 − 3−→IA2. Với câu 4, học sinh nhận thấy rất gần với quỹ tích cơ bản nhưng không biết cách đưa về quỹ tích cơ bản, khi đó giáo viên gợi ý: GV: Nguyên nhân vì sao chưa áp dụng được quỹ tích cơ bản? HS: Do có a2 ở vế phải. GV: Vậy liệu có thể có cách nào để giải quyết? (học sinh thường không trả lời được câu hỏi này) GV: Các em có thể tách vế trái ra một số sao cho đúng bằng a2 , tách như thế nào? Khi đó học sinh tìm ra cách xen điểm I vào như sau:−−→ MA. −−→ BC = a2 ⇔ (−−→MI +−→IA)−−→BC = a2 ⇔ −−→MI.−−→BC +−→IC.−−→BC = a2 Suy ra cần xác định I sao cho −→ IA. −−→ BC = a2 159 Đỗ Thị Hồng Minh GV: Cách chọn dễ nhất để có thể tính tích vô hướng là gì? HS: Chọn sao cho −→ IA cùng phương −−→ BC, hoặc −→ IA vuông góc −−→ BC. Sau đó giáo viên cùng học sinh tìm điểm I bằng cách: Giả sử đã có −→ IA cùng phương −−→ BC mà −→ IA. −−→ BC = a2, suy ra −→ IA cùng chiều −−→ BC và IA = a2 BC = a Suy ra I là đỉnh thứ 4 của hình bình hành ACBI . Hoạt động 3: (Trình bày giải pháp) Sau khi giúp học sinh trình bày lời giải bài toán sao cho chuẩn và ngắn gọn, giáo viên yêu cầu học sinh nhìn lại và nêu phương pháp chung để giải quyết các bài toán tìm tập hợp điểm, cuối cùng chốt lại các bước cơ bản để giải bài toán tìm tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức véctơ như sau: 1. Phải tìm cách “cô lập” điểmM bằng cách dùng một hệ thức quen thuộc hoặc bằng cách xen một điểm I nào đó. Sau đó tìm vị trí của I làm cho biểu thức véctơ đạt yêu cầu gần nhất với quỹ tích cơ bản. 2. Xác định rõ vị trí của điểm đó và tính được các biểu thức còn lại đưa đẳng thức về dạng cơ bản. 3. Trình bày lời giải ngắn gọn và chính xác. Hoạt động 4: (Nghiên cứu sâu giải pháp): Luyện tập và thực hành phương pháp giải bài toán tìm tập hợp điểm thỏa mãn 1 đẳng thức véctơ. Giáo viên có thể sử dụng một số bài có chứa thêm tham số như sau: Bài 1: Cho tam giác ABC và k ∈ R, tìm tập hợp điểmM thỏa mãn: a) −−→ MA. −−→ BC = k b) −−→ MA2 + 2 −−→ MB2 = k c) 2 −−→ MA2 − 3−−→MB2 = k Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, tìm tập hợp điểmM thỏa mãn: a) −−→ MB. −−→ MC = −−→ MA2 + a2 2 b) −−→ MA. −−→ MB + −−→ MB. −−→ MC + −−→ MC. −−→ MA = 5a2 2 c) −−→ MA2 + −−→ MB2 + −−→ MC2 = k d) |−−→MA| = |2−−→MB| Qua một loạt những hoạt động nhận thức của giáo viên đưa ra nhằm hình thành ở học sinh cách giải bài toán dạng tìm tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức véctơ theo phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, hầu hết các em đều rất hứng thú trong học tập và không còn “sợ” khi gặp bài toán dạng này. 160 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạng bài tìm tập hợp điểm... 3. Kết luận So với cách dạy từng vấn đề đơn lẻ, nếu giáo viên dạy cho học sinh vấn đề tổng quát như vậy thì học sinh lại dễ tiếp thu và hứng thú khi học Toán, nhất là các em học sinh khá. Có thể nói, với phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề áp dụng trong bài dạy tìm tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức véctơ, đã giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập và xóa bớt nỗi lo sợ của các em khi gặp một dạng toán khó. Dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề là quá trình dạy cho học sinh không những nắm được những tri thức cần thiết của môn học, mà cao hơn nữa là biết vận dụng những tri thức đó để giải quyết các vấn đề và tình huống gặp phải trong học tập và trong cuộc sống. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2007. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [2] Bùi Văn Nghị, 2008. Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. ABSTRACT The application of the ‘problem posing and solving method’ in teaching “Finding the set of points that satisfy the vector equation" of a grade 10 math program Using the ‘problem posing and proplem solving’ teaching method means that the teachers ask questions or give problems, students discuss the problem, and then produce an answer within the structure provided by the teacher. Thinking, discussing and formulating answers do stimulate creativity , independent thinking in students, and gradually acquiring the ability to form new learning styles and work. Teaching which follows the “problem posing and solving” method is the process of teaching students not only how to grasp the necessary information on the subject but also to apply that knowledge to solve problems and situations encountered in school and in life. 161