Vận dụng tư duy thuận nghịch trong dạy học môn Toán

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 141-146 This paper is available online at VẬN DỤNG TƯ DUY THUẬN NGHỊCH TRONG DẠY HỌCMÔN TOÁN Thái Thị Hồng Lam Khoa Toán, Trường Đại học Vinh Email: hlamdhv@gmail.com Tóm tắt. Trong quá trình dạy học môn Toán, chúng ta thường sử dụng tư duy thuận nghịch khi xem xét, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. Giáo viên có thể phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong các tình huống điển hình dạy học môn Toán. Từ khóa: Tư duy thuận nghịch, môn Toán. 1. Đặt vấn đề Nhiệm vụ dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông không chỉ là trang bị những tri thức toán học cho học sinh, làm công cụ để tiếp thu những tri thức khoa học khác, mà quan trọng hơn là phát triển tư duy cho học sinh qua môn Toán. Tuy nhiên, hiện nay vẫn còn một số giáo viên chưa quan tâm đúng mức đến nhiệm vụ này. Những loại hình tư duy thường gặp trong môn Toán có thể kể đến là: tư duy sáng tạo, tư duy lôgic, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy thuận nghịch... Tư duy thuận nghịch thể hiện trước hết trong quá trình nhận thức của con người. Trong quá trình nhận thức trước hết con người có được những nhận thức do ngũ quan đem lại (nhìn, ngửi , nghe, nếm, cảm nhận), gọi là nhận thức cảm tính. Sau đó, nhờ có tư duy, con người có được những nhận thức lí tính. Những nhận thức lí tính đó trở lại giúp người ta nhận thức được sự vật, hiện tượng và những mối quan hệ của tự nhiên và xã hội tốt hơn so với những nhận thức có được từ ngũ quan đem lại ban đầu. Như vậy, tính thuận nghịch xuất hiện giữa hoạt động trí tuệ với những nhận thức lí tính từ bên ngoài. Điều này hoàn toàn phù hợp với một nguyên lí của chủ nghĩa duy vật biện chứng: Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng lại trở về thực tiễn. Theo Nguyễn Bá Kim [2; 129 ]: “Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục đích đó. Điều này được thực hiện trong dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục đích mà quan trọng hơn còn do gợi động cơ”. 141 Thái Thị Hồng Lam Goeffrey Petty [1; 38] cho rằng: “Cả giáo viên giàu kinh nghiệm lẫn giáo viên không có kinh nghiệm đều coi động cơ là một điều kiện tiên quyết để học có hiệu quả. Thách thức lớn nhất mà nhiều giáo viên phải đối mặt là làm thế nào để học sinh muốn học. Nếu bạn biết cách tạo động cơ cho các em, bạn có thể tăng hiệu suất học tập của các em lên rất nhiều”. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Vận dụng tư duy thuận nghịch trong chứng minh Một yêu cầu cơ bản trong hoạt động chứng minh là phải xác nhận hay bác bỏ một phán đoán nào đó dựa vào các tiền đề đã có. Để trình bày phép chứng minh, ta dùng phép tổng hợp (phép suy xuôi), tức là từ phân tích giả thiết, liên tưởng và huy động các định nghĩa, định lí, quy tắc... đã học, từng bước suy diễn, tính toán cho đến khi tìm được kết quả. Tức là đi từ “cái đã biết” tìm “cái suy ra” để cuối cùng đi đến “cái cần tìm hoặc cần chứng minh”. Tuy nhiên, trong chứng minh, cũng có khi ta gặp trường hợp do thiếu định hướng đúng đắn hoặc do mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận “quá xa”, hoặc các phép biến đổi từ giả thiết đến kết luận là những phép biến đổi “ngược” (phức tạp), nên sau một số phép biến đổi trong quá trình suy diễn, dẫn đến hoặc là kết quả ngày càng phức tạp hơn, hoặc là sau một vòng luẩn quẩn trở về cái đích ban đầu. Muốn có những định hướng đúng đắn, chúng ta phải biết cách chuyển sang hướng ngược lại, xuất phát từ kết luận, giả sử kết quả đó tồn tại, để tìm điều kiện dẫn nến nó là gì?. Cứ từng bước truy ngược như thế cho đến khi gặp được các dữ kiện đã biết, tức là từ “cái cần tìm” từng bước tìm được “cái đã biết”, làm cho giả thiết gần gũi với kết luận của bài toán. Phương pháp này ngược chiều với phép tổng hợp, gọi là phép phân tích (phép suy ngược). Đây là một phương pháp thường được sử dụng, đặc biệt trong giải toán hình học. Như vậy, để tìm đường lối chứng minh, ta thường sử dụng một chuỗi suy ngược (phép suy ngược lùi), thực chất là tìm điều kiện đủ hay là nguyên nhân của kết luận. Tuy nhiên, trong quá trình suy ngược đó, cũng có khi ta gặp trường hợp kết quả cuối cùng của chuỗi suy ngược không gần gũi với giả thiết hoặc các phán đoán đã biết. Khi đó, trong suy nghĩ của học sinh mệnh đề cần chứng minh có thể là sai. Giáo viên không nên để học sinh vội vàng kết luận như vậy, mà nên hướng dẫn học sinh thay đổi phương pháp suy luận. Một cách thường làm đó là sử dụng phép suy ngược tiến, bắt đầu từ kết luận, giả sử kết luận là đúng, bằng suy diễn đi đến một kết quả. Nếu kết quả đó là sai thì khẳng định phán đoán là sai, trong trường hợp này phép suy ngược tiến có tác dụng bác bỏ. Nếu kết quả đó là đúng, thì nó có tác dụng giúp học sinh tìm đường lối chứng minh hoặc cần thay đổi kĩ thuật chứng minh. Đối với trường hợp điều kiện và kết luận của mệnh đề cách nhau khá xa, khá phức tạp, thì việc bắc cầu chỉ từ một phía đôi khi không cho ta hướng chứng minh. Khi đó nên sử dụng đồng thời phép tổng hợp và phép phân tích xen kẽ, một mặt quan sát kết luận để 142 Vận dụng tư duy thuận nghịch trong dạy học môn Toán định hướng đúng phép biến đổi cho giả thiết, rồi lại căn cứ vào giả thiết đã có để định hướng đúng phép biến đổi kết luận. Việc biến đổi đồng thời từ hai phía có thể giúp ta luôn chọn được phép biến đổi đơn giản, thuận lợi hơn, giống như đào cái cống ngầm, thi công từ hai đầu lại thì dễ thông. Ví dụ 1. Chứng minh rằng các trung tuyếnAA1, BB1 của tam giácABC vuông góc với nhau khi và chỉ khi cotC = 2(cotA+ cotB) (2.1) Nhận xét: Ta nhận thấy rằng điều kiện các trung tuyến vuông góc với nhau còn xa đối với điều kiện (2.1). Vì thế, trước hết ta biến đổi kết luận (2.1) theo hướng tương đương với một hệ thức nào đó giữa các độ dài, với mục đích để làm gần gũi với điều kiện hình học AA1⊥BB1. Theo hướng đó ta chuyển hàm cot qua các hàm cos và sin, rồi vận dụng các định lí côsin và sin trong tam giác để chuyển sang các yếu tố độ dài. Từ đó ta có (2.1)⇔ a2 + b2 = 5c2 (2.2) Nếu ta tiếp tục biến đổi (2.2) tương đương với điều kiện AA1⊥BB1 thì toàn những phép biến đổi phức tạp. Do đó, ta dừng quá trình biến đổi (2.2) mà cố gắng biến đổi theo chiều ngược lại, tức là biến đổi từ AA1⊥BB1 tương đương với (2.2). Bằng cách sử dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AGB và công thức đường trung tuyến cho các trung tuyến AA1, BB1 ta được hệ thức (2.2). Bài toán được giải quyết. Có nhiều bài toán, đôi khi dùng phép suy ngược cũng không có kết quả, lúc đó chúng ta có thể bắt đầu từ mặt trái của kết luận. Bởi vì, làm ngược lại có thể cho đối tượng có thêm những chức năng, tính chất, khả năng mới. Một phương pháp thường được dùng trong trường hợp này là chứng minh phản chứng. Chứng minh bằng phản chứng là một cách nghĩ theo kiểu thuận nghịch: “Nếu ngược lại thì sao?” Chứng minh phản chứng rất thường gặp trong toán học. Ta có thể kể ra một số ví dụ trong chứng minh những tính chất của Hình học. Chẳng hạn: Ví dụ 2. Nếu có đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ) và có mặt phẳng (Q) qua a cắt (P ) theo giao tuyến b thì b song song với a. Phản chứng: Giả sử ngược lại b không song song với a. Thế thì b cắt a tại điểm K, vì hai đường thẳng này cùng thuộc mặt phẳng (Q). Suy ra a cắt (P ) tại điểm K. Trái giả thiết. Vậy b phải song song với a. Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1 và các điểm M,N, P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba tam giác AKN,BKM,CMN có diện tích nhỏ hơn √ 3/8. Giả sử ngược lại: Cả ba tam giác AKN,BKM,CMN có diện tích không nhỏ hơn√ 3 8 . Đặt AK = x,BM = y, CN = z, suy ra BK = 1−x, CM = 1−y,AN = 1 − z. 143 Thái Thị Hồng Lam Các tam giác AKN,BKM,CMN lần lượt có diện tích bằng x(1 − z) √ 3 2 , y(1 − x) √ 3 2 , z(1 − y) √ 3 2 . Tích ba diện tích này là T = xyz(1 − z)(1 − x)(1 − y)3 √ 3 8 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số: x(1− x) ≤ 1 4 , y(1− y) ≤ 1 4 , z(1 − z) ≤ 1 4 , nên T ≤ 3 √ 3 272 Nhưng theo giả thiết phản chứng: “Cả ba tam giác AKN,BKM,CMN có diện tích không nhỏ hơn √ 3 8 ” nên tích của chúng: T ≥ 3 √ 3 272 , mâu thuẫn với T ≤ 3 √ 3 272 . Vậy điều giả sử ngược lại là sai. Ta có điều phải chứng minh. 2.2. Vận dụng tư duy phản hồi (feetback thingking) Tư duy phản hồi cũng là một dạng của tư duy thuận nghịch. Trong dạy học, nếu chỉ có một chiều “thông báo” tri thức từ thầy tới trò là cách dạy học không phát huy được tính tích cực học tập của học sinh. Nếu có thông tin theo chiều ngược từ trò tới thầy, thì thầy trò hiểu nhau hơn, và người thầy có thể bổ sung kiến thức kịp thời, giải quyết những chỗ còn mập mờ hoặc làm rõ những khó khăn, làm cho hiệu quả dạy học tốt hơn. Một hình thức tổ chức lớp học nâng cao hiệu quả dạy học là lớp học “tư duy” (thoughtful classroom/ thinking classroom), trong đó diễn ra sự phối hợp nhịp nhàng giữa phương pháp dạy học của giáo viên và những hoạt động học tập tương ứng của học sinh để giải quyết vấn đề một cách hiệu quả nhất. Nói cách khác, trong lớp học “tư duy”, tư duy của học sinh được vận dụng và khai thác một cách tối đa, cả giáo viên và học sinh đều tích cực hoạt động. Giáo viên sẽ tổ chức lớp học thông qua hoạt động dạy học để tạo ra các tình huống học tập có vấn đề và khéo léo lôi cuốn học sinh vào tình huống đó, còn học sinh chủ động, tích cực suy nghĩ, tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề. Qua đó, học sinh không chỉ khám phá tri thức mới mà còn làm chủ phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề, cách thức tư duy, tư duy của học sinh trở nên nhạy bén và linh hoạt hơn. Tuy nhiên, để tạo được lớp học tư duy phụ thuộc rất nhiều yếu tố, trong đó GV với vai trò là người tổ chức, để điều khiển các hoạt động nhận thức của học sinh một cách hiệu quả, thì cần phải dựa vào sự phản hồi của học sinh thông qua các hành vi tương ứng của học sinh sau mỗi tác động kích thích từ giáo viên, nghĩa là có sự liên hệ ngược. Việc học sinh truyền thông tin trực tiếp với giáo viên, và việc giáo viên kiểm tra công việc của học sinh, là hai ví dụ về “thông tin phản hồi” đối với giáo viên. Không có thông tin phản hồi đó, giáo viên không thể biết liệu học sinh có hiểu hoặc có học hay không. Đây là hình thức tổ chức dạy học theo hướng tiếp cận trí tuệ trong tâm lí học - Tiếp cận hành vi, với các đại biểu là Skinnơ, E.Tolmen,... Và cách thức tổ chức lớp học trên cũng phù hợp theo quan điểm dạy học lí thuyết thông tin. Truyền thông và học tập đòi hỏi dây chuyền dưới đây phải vận hành một cách hoàn 144 Vận dụng tư duy thuận nghịch trong dạy học môn Toán hảo [1; 31]: điều tôi muốn nêu→ điều tôi nói→ điều các em nghe→ điều các em hiểu Nhiều khi trong quá trình dạy học, có thể bị sai tại mỗi mũi tên trong dây chuyền trên (có thể từ phía giáo viên hoặc học sinh). Khi đó bức thông điệp chuyển đi không phải là bức thông điệp nhận được, và cái được dạy lại không phải là cái được học. Vì vậy, thông tin phản hồi có một ý nghĩa quan trọng trong dạy học. Học là một quá trình tinh thần ẩn mà giáo viên khó kiểm soát được. Người học hình thành sự hiểu biết cá nhân đối với nội dung bài học, và thu nhận được khả năng. Quá trình đó đòi hỏi phải có việc hiệu chỉnh những quan niệm sai và bổ sung hiểu biết, nhờ đó ngày càng nhích gần hơn tới chỗ đạt được kết quả học tập lí tưởng. Tuy nhiên, chỉ có giáo viên hiệu chỉnh công việc của học sinh chưa đủ, mà học sinh cũng phải tự hiệu chỉnh cái hiểu của chính mình. Vì vậy, dạy học phải là một quá trình hai chiều thì mới đạt hiệu quả cao. Ví dụ 4. Khi học định lí về chiều biến thiên của hàm số: “Nếu f ′(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b)”. Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán: “Tìmm để hàm số y = 1 3 x3 −mx2 + (m+ 2)x+ 1 đồng biến trên R”. Lời giải của học sinh: y đồng biến trên R⇔ y > 0, ∀x ∈ R ⇔ x2 − 2mx+m+ 2 > 0, ∀x ∈ R⇔ ∆′x < 0 ⇔ m2 −m− 2 < 0⇔ −1 < m < 2 Thông tin phản hồi mà giáo viên nhận được từ học sinh là lời giải trên về bài toán. Từ lời giải này, giáo viên phải hiệu chỉnh tri thức thu nhận được của học sinh (cách hiểu định lí trên), có thể bằng cách như sau: - Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét y′ > 0 với x ∈ (a; b) là điều kiện cần, hay là điều kiện đủ, hay là điều kiện cần và đủ để y đồng biến trên (a; b). Có nhiều học sinh đã nghĩ đây là điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b). Từ đó, học sinh sử dụng định lí này để xác định tham số sao cho hàm số đồng biến trên (a; b), dẫn tới thiếu các giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trong trường hợp này, giáo viên có thể xuất phát từ cấu trúc của một định lí để kiểm tra và hiệu chỉnh cách hiểu của học sinh. Cấu trúc thông thường của định lí có dạng: A ⇒ B. Trong cấu trúc đó thì A là giả thiết của định lí và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng của định lí. Người ta còn nói A là điều kiện đủ để có B và B là điều kiện cần để có A. Tuy nhiên, nhiều học sinh đã nhầm giả thiết A của định lí cũng là điều kiện cần để có B nên mắc sai lầm. Giáo viên có thể hỏi học sinh để tìm hiểu nguyên nhân của việc hiểu sai, và đưa ra một trong những nguyên nhân của sai lầm trên là học sinh đã chịu ảnh hưởng của ngôn ngữ tự nhiên. Bởi vì, trong ngôn ngữ tự nhiên, loại câu nhân quả “Nếu A thì B”, “Vì A nên B”, có thể được hiểu: A là điều kiện đủ của B và đồng thời là điều kiện cần của B. Chẳng hạn, với câu nói rất thường ngày “Nếu con thi đậu vào trường chuyên thì mẹ sẽ thưởng chiếc xe đạp điện”, được hiểu là: nếu đỗ thì thưởng, nếu không đỗ thì thôi, và nếu được thưởng tức là đỗ. 145 Thái Thị Hồng Lam Giáo viên cần nói rõ cho học sinh trong các mệnh đề toán học có cấu trúc: Nếu... thì..., ta không được phép hiểu như vậy. Để làm rõ, giáo viên đưa ra một số ví dụ về các hàm số y = x3 là hàm đồng biến trên R, hàm số y = √ x đồng biến trên [0; +∞) nhưng không thỏa mãn giả thiết của định lí vừa học. Khi đó, giáo viên phải khẳng định cho học sinh y′ > 0 với x ∈ (a; b) chỉ là điều kiện đủ để y đồng biến trên (a; b). - Tiếp đó, để giúp học sinh hiểu vững chắc về định lí, từ đó họ có khả năng vận dụng định lí vào giải toán, giáo viên cần quan tâm đặt vấn đề xem xét chiều ngược lại của định lí, cụ thể là: Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không? Với yêu cầu này học sinh phải xem xét, đánh giá, lựa chọn một trong hai khả năng. Nếu học sinh khó khăn, chưa khẳng định được, thì giáo viên có thể gợi ý xét hàm số y = x3 . Từ đó, đi đến định lí mở rộng sau đây: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0), ∀x ∈ K và f ′(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. Với định lí mở rộng này, ta có lời giải đúng như sau: y đồng biến trên R⇔ y′ ≥ 0∀x ∈ R⇔ x2 − 2mx+m+ 2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′x ≤ 0⇔ m2 −m− 2 ≤ 0⇔ −1 ≤ m ≤ 2 Để hình thức dạy học này đạt hiệu quả, thì đòi hỏi ở học sinh phải có khả năng tiếp nhận (thu nhận) thông tin, xác định rõ ràng nhiệm vụ cần giải quyết; biết sàng lọc, chế biến, biến đổi thông tin; biết diễn đạt kết quả thu nhận được bằng ngôn ngữ (nói hoặc viết). Đồng thời giáo viên khi giao nhiệm vụ học tập cho học sinh phải phải chính xác và vừa sức, tạo được động cơ và niềm tin học tập cho học sinh. 3. Kết luận Trong quá trình dạy học môn Toán, chúng ta thường sử dụng tư duy thuận nghịch khi xem xét, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. Giáo viên có thể phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong các tình huống điển hình dạy học môn Toán. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Goeffrey Petty, 2002. Dạy học ngày nay. Nxb Giáo dục. [2] Nguyễn Bá Kim, 2004. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [3] Bùi Văn Nghị, 2009. Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. ABSTRACT Using reversible thinking in teaching mathematics When teaching mathematics we often use reversible thinking when reviewing, questioning and solving problems. Teachers can develop reversible thinking for students that will apply to typical of mathematics teaching situations. 146