Bài 16 Spin, moment toàn phần và phép quay

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 16 SPIN, MOMENT TOÀN PHẦN VÀ PHÉP QUAY Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn phần tức là tổng của moment quỹ đạo với moment spin Với quy luật biến đổi của hàm trạng thái theo các phép quay không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ Hàm trạng thái với spin ½ trong phép quay hữu hạn. Vì spin là đại lượng vector nên giá trị trung bình của nó cũng phải là đại lượng vector. Vì vậy, nếu chọn các toán tử dưới dạng các ma trận định thì hàm trạng thái lại phải thay đổi theo một quy luật nhất định trong phép quay không gian Với đã chọn như trong bài 15 thì, nếu tạm thời bỏ qua các toạ độ không gian , giá trị trung bình của chúng sẽ được tính như sau: (16.1) (16.2) (16.3) Như vậy, bộ ba số và phải biến đổi trong phép quay như ba toạ độ của bán kính vector của một điểm. Để đỡ phức tạp, ta hãy xét phép quay hệ trục toạ độ Oxyz quanh trục Oz một góc , để nhận được trục mớI Ox’y’z’ Khi đó, nếu ký hiệu (x,y,z) và (x’,y’,z’)lần lượt là các toạ độ của một điểm M trong các hệ toạ độ “cũ” và “mới”, thì: (16.4) Tương ứng, yêu cầu về mối liên hệ giữa hàm trạng thái trong hệ O’x’y’z’ và hàm trạng thái trong Oxyz (mô tả cùng một trạng thái của hạt) sẽ là: (16.5) Vì các biểu thức ở ba phương trình trên là các biểu thức bậc hai đối với nên có thể đoán rằng, để chúng biến đổi giống như ba toạ độ của một điểm khi bị quay một góc - (ứng với việc quay hệ toạ độ một góc bằng ) thì phải biến đổi như kiểu bị quay một góc -/2. Và quả vậy, nếu lấy: thì: (16.6) tức là hệ thức thứ nhất trong (16.5) thoã mãn. Các hệ thức còn lại cũng được chứng minh theo cách đơn giản như vậy. Ta hãy lưu ý đến một trường hợp đặc biệt, khi =2. Khi đó, tất cả các điểm trong không gian đều nhận lại các toạ độ cũ như trước khi quay, và ta cũng có thể coi rằng chưa hề có việc thực hiện phép quay nào Tuy nhiên, vì nên (16.6) lúc đó trở thành: (16.7) Hàm trạng thái chỉ trở lại hoàn toàn như cũ khi góc quay bằng 4, tức là quay lại hai vòng!. Điều này rõ ràng không thể chấp nhận được theo quan điểm cổ điển Tuy nhiên, kêt quả kỳ lạ này không hề phi lý về mặt logic vì các lý do sau. (i) thứ nhất, hàm trạng thái ở đây không đơn giản phụ thuọc vào điểm trong không gian mà còn phụ thuộc cả biến số spin nên không thể nói rằng sau khi quay một vòng thì dứt khoát hàm trạng thái phải nhận lại giá trị cũ. (ii) thứ hai, bản than hàm trạng thái không phải là đại lượng đo được mà chỉ có các biểu thức bậc hai của chúng hoặc mới đo được Vì vậy, giá trị của hàm trạng thái có thể xác định sai khác một thừa số dạng (với  là số thực) Do đó,việc  không đổi dấu khi quay đủ một vòng không có gì là phi lý. Như vậy, có thể nói tồn tại của moment riêng (spin) biểu hiện ở sự thay đổi giá trị của hàm trạng thái khi quay hệ trục toạ độ, kể cả khi hàm trạng thái không phụ thuộc toạ độ. Chú ý: Với quy luật biến đổi cho bởi (16.6) người ta nói hàm trạng thái với spin ½ là spinor. (16.6) 2. Hàm trạng thaí với spin ½ trong phép quay vô cùng bé Trước hết, ta vẫn xét phép quay hệ trục toạ độ quanh trục Oz, nhưng lần này, thay cho góc quay là , ta sẽ xét một góc quay vô cùng bé . Vì với x đủ nhỏ thì ex  1+x nên (16.6) trở thành: (16.8) Mặt khác, vì: (trong đó là vector đơn vị của trục Oz, trong trường hợp này là trục quay), nên (16.8) trở thành: (16.9) Trong trường hợp tổng quát, khi trục quay không trùng với Oz, vector cần được thay bởi vector đơn vị của trục quay tương ứng, tức là thay cho (16.9), ta có: (16.10) Bây giờ ta xét tác động của phép quay lên hàm trạng thái như hàm của ba toạ độ không gian (và tạm bỏ qua biến số spin). Vẫn xét phép quay quanh trục Oz một góc  Khi đó, các toạ độ (x, y, z) và (x’, y’, z’) của cùng một điểm trong hệ toạ độ cũ và mới sẽ liên hệ với nhau như sau (nếu lấy cos  1, sin  ) (16.11) hay: trong đó có ba toạ độ là y, -x và 0 Rõ rang, ta có Trong trường hợp trục quay tuỳ ý với vector đơn vị , ta có: Do đó: (16.12) Giả sử hàm trạng thái chỉ phụ thuộc vào điểm trong không gian. Khi đó quy luật phụ thuộc của hàm này vào các toạ độ của điểm buộc phải thay đổi khi quay hệ toạ độ Ký hiệu và là biểu thức tương ứng của hàm này trong các hệ toạ độ cũ và mới Khi đó phải có: hay: tức là: (16.13) Mặt khác: (16.14) Áp dụng cộng thức ta được do đó, kết hợp (16.13) với (16.14) ta được: hay (16.15) trong đó là toán tử moment quỹ đạo. Bây giờ ta kết hợp (16.10) với (16.15): đối với hàm vừa phụ thuộc x, y, z, vừa phụ thuộc biến số spin, trong phép quay hệ trục toạ độ nó phải chịu tác động của cả hai toán tử: và: Tác động liên tiếp của hai toán tử này ứng với tích của hai toán tử, Nếu bỏ qua vô cùng bé bậc cao thì toán tử tích sẽ là: (16.16) trong đó là toán tử moment toàn phần của hạt. Như vậy, qua phép quay vô cùng bé, hàm biến thành: (16.17) 2. Trường hợp spin tuỳ ý Tất cả những điều nói về spin ½ có thể tổng quát hoá cho trường hợp spin tuỳ ý. Trong trường hợp tổng quát, ta xét hàm trạng thái k thành phần, vớI k = 2l + 1, trong đó l là số nguyên hoặc bán nguyên (dương). Toán tử spin cũng gồm ba thành phần thoả mãn các hệ thức giao hoán như trong trường hợp spin ½ Khi đó, mỗi thành phần đều có thể nhận 2l + 1 giá trị. Nếu là moment toàn phần thì ta vẫn có quy tắc biến đổi hàm trạng thái như (16.17) Tuy nhiên, nói chung thì hàm trạng thái không có tính chất spinor nghĩa là nếu bỏ qua sự phụ thuộc vào toạ độ thì quy tắc biến đổi vẫn không phải là quy tắc (16.16). Trường hợp spin bằng 1 (tức là l = 1), hàm trạng thái gồm ba thành phần và biến đổi giống như vector.