Bài 22 Hàm trạng thái của hệ hạt đồng nhất

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 22 HÀM TRẠNG THÁI CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT Do tính chất bất khả phân biệt của các hạt đồng nhất nên việc giải các bài toán về hệ hạt như vậy là phức tạp, đặc biệt khi xét hệ trong tương tác với những đối tượng lượng tử khác. Trong bài này, ta sẽ nêu những suy luận cơ bán nhất để xây dựng hàm trạng thái của hệ qua các hàm trạng thái của một hạt. Điều này đặc biệt lưu ý là, tránh phát biểu những mệnh đề khẳng định tính cá thể của hạt, ví dụ như: “ là hàm trạng thái của hạt thứ k, ….” Hệ quả toán học của nguyên lý bất định Cũng như trong trường hợp hệ N hạt tùy ý, ta sẽ coi rằng hàm trạng thái của hệ N hạt đồng nhất (hay chính xác hơn: hàm trạng thái của trường, trong trường hợp trường đó có N lượng tử) cũng là hàm phụ thuộc vào N bộ tọa độ (nói chung là suy rộng) q1, …, qN, trong đó mỗi qk là bộ tọa độ của một hạt. Xin nhắc lại: ta tránh nói qk là bộ tọa độ của hạt thứ k, vì nói như vậy tức là ta đã vô tình coi các lượng tử như những cá thể và có thể đánh số các cá thể đó. Như vậy, hàm trạng thái của N hạt đồng nhất có dạng Tương ứng, hamiltonian của hệ cũng phụ thuộc , đồng thời phụ thuộc vào các toán tử đạo hàm theo các biến số tọa độ. Để đơn giản, ta sẽ viết Về mặt toán học, tính đồng nhất cuả các hạt trong hệ được thể hiện trước hết ở tính đối xứng của hamiltonian: tất cả các bộ biến đều tham gia vào với tư cách bình đẳng. Tiếp theo, việc đổi chỗ hai bộ tọa độ qk và ql tuỳ ý (tương ứng với việc hoán vị hai hạt theo cách hiểu cổ điển), không kéo theo sự thay đổi trạng thái của hệ hạt. Điều đó có nghĩa là hai hàm và mô tả cùng một trạng thái của hệ. Dễ thấy rằng hàm có thể coi như nhận được từ qua tác dụng của một toán tử tuyến tính: toán tử (phép hoán vị hai bộ tọa độ qk và ql). Như vậy: (22.1) Do việc hoán vị hai lần cùng một cặp qk và ql tương đương với việc giữ nguyên hàm trạng thái, nên ta có (22.2) Mặt khác, hai hàm mô tả cùng một trạng thái khi và chỉ khi chúng sai khác một thừa số hằng số, tức là: hay: Từ (22.3) ta cũng có: (22.3) Kết hợp đẳng thức này với (22.1), ta được Từ đó suy ra 2=1 hay =1. Trong trường hợp =1, tức là hàm trạng thái hoàn toàn không thay đổi giá trị khi thực hiện phép hoán vị, ta nói nó là hàm trạng thái đối xứng Trong trường hợp =-1, ta các hàm trạng thái phản đối xứng. Thực nghiệm và lý thuyết đều chứng tỏ rằng một hệ hạt đồng nhất với spin nguyên (hệ boson) luôn luôn có hàm trạng thái là hàm đối xứng, còn hệ hạt đồng nhất với spin bán nguyên (hệ fermion) luôn có hàm trạng thái là phản đối xứng.