Bài 30 Phương pháp nhiễu loạn thứ hai

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 30 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ HAI Một trong những bài toán đặc trưng của Cơ học lượng tử là bài toán sau. Xét một hạt hoặc “một hệ hạt” theo một đặc trưng đại lượng vật lý L nào đó. Giả sử L có phổ là L1, L2,…, Ln,…, và ở thời điểm t0 = 0, hạt ở trạng thái cơ bản Sau thời gian t, hạt sẽ ở trạng thái mới là tức là mô tả bởi hàm riêng (x có thể là một hoặc bộ tọa độ) như vậy theo giả thiết thì Nói chung, trong trạng thái đại lượng L không có giá trị cụ thể nào Bây giờ, nếu tiến hành đo đại lượng L thì ta sẽ nhận được một trong các giá trị L1, L2,…. Xác suất để nhận được giá trị thứ m (tức là Lm) sẽ là , nếu (30.1) (phụ thuộc t) gọi là xác suất chuyển dời sau thời gian t từ trạng thái vào trạng thái Việc tìm xác suất đó chính là mục đích của bài toán về chuyển dời lượng tử. Để giải những bài toán như vậy, ta cần sử dụng phương pháp nhiễu loạn thứ hai 1. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ hai Xét phương trình Schrodinger: (30.2) là nhiễu loạn nhỏ. Đại lượng L ta xét ở đây sẽ là năng lượng của hạt, với các mức E1, E2,… là các trị riêng của Hàm trạng thái của hạt ta sẽ viết dưới dạng: (30.3) xác suất chuyển dời từ trạng thái vẫn là Thế (30.3) vào (30.2) sau đó nhân hai vế với rồi lấy tích phân theo x, ta được: (30.4) (30.5) (30.6) Rõ ràng, để tìm được các biểu thức của xác suất pm(t), ta cần phải giải hệ (30.4) để tìm ra các hàm cm(t) với điều kiện là: (30.7) nếu trạng thái ban đầu là - hàm riêng của ứng với trị riêng En Để giải bài toán này, ta dùng phương pháp đặc biệt sau đây. Trước hết, chọn một bộ hàm số Tùy ý (thỏa mãn điều kiện ban đầu(30.7)), sau đó tìm bộ hàm số sao cho: (30.8) cứ thế theo tiến trình quy nạp, ta tìm bộ hàm số (30.9) .v.v… Khi đó, nếu cho ta sẽ có và cố nhiên nên thỏa mãn (30.4). Bộ hàm số đầu tiên có thể lấy dựa vào suy luận sau Do các hàm Wmk(t) là nhỏ nên trong xấp xỉ thô, ta có thể thay (30.4) bởi hệ: (30.10) Ta sẽ lấy từ điều kiện (30.10). Khi đó phải là các hằng số Do điều kiện (30.7) nên ta có (30.11) Do đó: (30.12) Ta lại có (30.13) từ đó ta tìm được bộ hàm số , , … Sau một số bước, ta sẽ được bộ , , … Rất may mắn là với Wmn rất nhỏ thì ngay sau bước thứ hai, ta đã được kết quả rất chính xác, tức là có thể lấy thay cho Bây giờ ta xét một trường hợp đơn giản nhưng quan trọng: Nhiễu loạn xuất hiện vào thời điểm 0 và chấm dứt ở thời điểm T. Trong trường hợp này, Wmp(t) = 0 khi t ≥ T Vì vậy, nếu t ≥ T thì: Đặc biệt , nếu niễu loạn không phụ thuộc thời gian, tức là Wmn(s) = Wmn = const, thì: (30.14) với m ≠ n, (30.14) trở thành: (30.15) Đồng thời: (30.16) Thế (30.15) vào (30.13), ta được: từ đó dễ dàng tìm được 3, Tổng quát hóa cho phổ tùy ý Ở đây ta đã làm việc với phổ năng lượng rời rạc. Bây giờ ta xét phổ tùy ý, gồm tập hợp các giá trị E1, E2,… với các hàm riêng tương ứng ψ1, ψ 2,… và các giá trị E(α), với α là một tham số liên tục, và các hàm riêng tương ứng là ψ(α, x). Khi đó, khai triển của hàm trạng thái ở thời điểm t có dạng: (30.17) Ta sẽ coi rằng các hàm được chuẩn hóa về tức là: (30.18) Tương tự trường hợp phổ rời rạc, ta có: (30.19) trong đó: (30.20) (với giả thiết là lúc đầu hạt ở trạng thái ứng với phần phổ rời rạc). Để cho đơn giản, ta chỉ xét nhiễu đơn sắc : (30.21) Khi đó: (30.22) Thế (30.22) vào (30.19), ta được : (30.23) Chú ý rằng về giá trị tuyệt đối thì tử số ở hai số hạng trong (30.23) là ngang cấp. Mặt khác, trong các bài toán thực tế, ta luôn có En0, ω>0 nên khi Vì vậy, ta có thể coi gần bằng số hạng thứ hai (30.24) Khi đó, nếu dừng ở xấp xi bậc 1 mật độ xác suất chuyển sang trạng thái với mức năng lượng E() sau thời gian t là : (30.25) Nói cách khác, xác suất để sau thời gian t hệ chuyển (từ trạng thái ) sang một trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E(),E(+d) bằng : Chú ý rằng, để nhận được công thức cho trường hợp nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, cần lấy ω = 0 Danh sách những người bảo vệ tiểu luận và chuyên đề: Quách Văn Bảo: Bài toán nhiễu loạn và hiệu ứng Zeeman Lê Thị Hà: Spin và sự tồn tại positron theo quan điểm lý thuyết Lý Hoàng Liên: Sơ lược về sự hình thành các học thuyết về cấu tạo nguyên tử Phạm Văn Tiến: Bảng hệ thống tuần hoàn theo quan điểm CHLT Nguyễn Thị Bé: lớp 3 d để lại). Đỗ Thị Thảo: Lý thuyết thuận từ điẹn tử Lê Hải Anh: Mô hình electron liên kết yếu Lê Trọng Duy: 4 f Trần Văn Ngãi: Hiệu ứng xuyên ngầm Nguyễn Đăng Nguyên: Tương tác spin-spin Lê Gia Phán: Phương trường trung bình hiệu dụng Khuyên Lê Văn Phong: Dao động tử điều hòa (Rotato) Nguyễn Văn Quang: Tương tác trao đổi.