Bài 6 Dạng ma trận của toán tử

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm BÀI 6 DẠNG MA TRẬN CỦA TOÁN TỬ Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính) đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở. 1. Các phần tử ma trận của một toán tử Trước hết, ta xét một toán tử tác dụng trong không gian các hàm với biến vector Trường hợp tổng quát được xét tương tự mà không có khó khan gi. Gia sử mỗi hàm đều có thể viết được dưới dạng: Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp vô hạn. Dễ thấy toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử trong đó là các hàm cho trước thoa mãn điều kiện trực giao . Khi đó, số phức được gọi là phần tử ma trận giua hai trạng thái và và ký hiệu là: và chuẩn hoá, còn c1, c2, ... xác định theo Như vậy: Bây giờ ta sẽ thể hiện tác động của toán tử bởi các phần tử ma trận. Giả sử hay Nhân 2 vế của (6.4) với lấy tích phân theo toàn bộ không gian và chú ý đến điều kiện chuẩn hoá ta có: hay: ĐÂY CHÍNH LÀ CÔNG THỨC THỂ HIỆN TÁC ĐỘNG CỦA QUA CÁC PHẦN TỬ MA TRẬN. và: thì Tác động của thể hiện dưới dạng ma trận như sau: nếu Khi đó, phần tử ma trận của toán tử giua hai trạng thái và là: 2. Tính hermitic ở dạng ma trận Gia sử là toán tử hermitic và với mỗi đều có trong đó Như vậy, từ tính hermitic của suy ra: Ngược lại, nếu (6.11) đúng với mọi m, n thi là toán tử hermitic. thi điều kiện hermitic tương đương với đẳng thức Dối với trường hợp Dạng ma trận của một số toán tử đặc biệt , ta có: cho khai triển (6.1), và: cho khai triển (6.6). Trước hết, với toán tử đơn vị E Bây giờ gia sử là các hàm riêng của toán tử . Xét dạng ma trận của chính . Ta có: Tương tự, nếu có phổ liên tục với các hàm riêng thi Như vậy, có thể nói (theo thuật ngu Dại số) là khi chọn cơ sở khai triển là các hàm riêng của chính L thi ma trận của toán tử có dạng đường chéo, với các phần tử đường chéo là các trị riêng của Ví dụ, cho toán tử khi cơ sở khai triển là các hàm . 4. Biến đổi các phần tử ma trận khi chuyển cơ sở khai triển Bây giờ ta gia sử trong không gian các hàm có hai cơ sở (hai hệ đầy đủ) trực chuẩn: và Ký hiệu và lần lượt là phần tử ma trận tổng quát của theo hệ (6.16) và hệ (6.17). Ta cần tim cách biểu diễn qua các phần tử Vì mọi hàm đều có thể khai triển qua hệ (6.16) nên mỗi hàm của hệ (6.17) cũng thế, tức là ta có: Từ đó: Suy ra: Dây chính là công thức cần tim. LÀ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CÁC PHẦN TỬ MA TRẬN KHI CHUYỂN CƠ SỞ KHAI TRIỂN 5. Biểu diễn giá trị trung bình qua các phần tử ma trận Ta viết lại công thức tính giá trị trung binh của một đại lượng: Với ta có: hay: Dặc biệt, nếu là các hàm riêng của (và lập thành một hệ đầy đủ) thi: tức là: Chú thích lịch sử. Khi Cơ học lượng tử bắt đầu hình thành, chính các phần tử ma trận của toán tử chứ không phải bản thân các toán tử, được dùng để mô tả các đại lượng vật lý. Với các phần tử ma trận, năm 1925 Werner Heisenberg – một trong những nhà phát minh và nhà tư tưởng lỗi lạc của thế kỷ XX - đã xây dựng nên “Cơ học ma trận”, phương án ban đầu của Cơ học lượng tử. Thành công này đã đem lại cho Werner Heisenberg giải thưởng Nobel năm 1932.