Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Không gian vec-tơ với tích vô hướng - Lê Xuân Thanh

Không gian vec-tơ với tích vô hướng Lê Xuân Thanh Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Tích vô hướng Euclid trên mặt phẳng R2 Cho u = (u1; u2) và v = (v1; v2) trên R2. Tích vô hướng (hay tích trong) của u với v được định nghĩa bởi u
v := u1v1 + u2v2: Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi ∥u∥ := √ u21 + u22 (= pu
u): Góc  2 [0; ] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi cos  := u1v1 + u2v2√ u21 + u22 √ v21 + v22 ( = u
v ∥u∥∥v∥ ) : Vec-tơ u được gọi là vuông góc với vec-tơ v nếu u
v = 0. Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi d(u; v) := √ (u1 v1)2 + (u2 v2)2 (= ∥u v∥): Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Tích vô hướng Euclid trên Rn Cho u; v 2 Rn, với u = (u1; : : : ; un) và v = (v1; : : : ; vn). Tích vô hướng (hay tích trong) của u với v được định nghĩa bởi u
v := n∑ i=1 uivi = u1v1 + : : :+ unvn: Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi ∥u∥ := pu
u ( = √ u21 + : : :+ u2n ) : Góc  2 [0; ] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi cos  := u
v ∥u∥∥v∥ ( = u1v1 + : : :+ unvn√ u21 + : : :+ u2n √ v21 + : : :+ v2n ) : Vec-tơ u được gọi là vuông góc với vec-tơ v nếu u
v = 0. Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi d(u; v) := ∥u v∥ ( = √ (u1 v1)2 + : : :+ (un vn)2 ) : Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Tính chất của tích vô hướng Euclid trên Rn Cho c 2 R và u; v;w 2 Rn. Ta luôn có: u
v = v
u. u
(v+w) = u
v+ u
w. c(u
v) = (cu)
v = u
(cv). u
u = ∥u∥2. u
u  0, và u
u = 0, u = 0. ∥cu∥ = jcj∥u∥. Chứng minh: Coi như bài tập. Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với u; v 2 Rn ta luôn có ju
vj  ∥u∥∥v∥. Chứng minh: Trường hợp u = 0 ta có j0
vj = 0 = 0∥v∥ = ∥u∥∥v∥. Xét trường hợp u ̸= 0. Với mọi t 2 R ta có: 0  (tu+ v)
(tu+ v) = (u
u)t2 + 2(u
v)t+ v
v: Đặt a = u
u; b = 2(u
v); c = v
v. Do u ̸= 0, nên a > 0. Chú ý rằng, với a > 0, tam thức bậc hai at2 + bt+ c  0 8 t 2 R khi và chỉ khi b2 4ac  0 , b2  4ac , 4(u
v)2  4(u
u)(v
v) , ju
vj  ∥u∥∥v∥: Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Bất đẳng thức tam giác Với u; v 2 Rn ta luôn có ∥u+ v∥  ∥u∥+ ∥v∥. Chứng minh: Ta có ∥u+ v∥2 = (u+ v)
(u+ v) = u
u+ 2(u
v) + v
v = ∥u∥2 + 2(u
v) + ∥v∥2  ∥u∥2 + 2ju
vj+ ∥v∥2  ∥u∥2 + 2∥u∥∥v∥+ ∥v∥2 (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) = (∥u∥+ ∥v∥)2: Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Định lý Pythagor Các vec-tơ u; v 2 Rn vuông góc với nhau khi và chỉ khi ∥u+ v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2. Chứng minh: Từ chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta có ∥u+ v∥2 = ∥u∥2 + 2(u
v) + ∥v∥2: Từ đó ta suy ra u vuông góc với v , u
v = 0 , ∥u+ v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2: Tích vô hướng Euclid trên Rn Các tính chất Chuẩn hóa vec-tơ Vec-tơ u 2 Rn được gọi là một vec-tơ đơn vị nếu ∥u∥ = 1. Nếu v 2 Rnnf0g, thì u = 1∥v∥v là vec-tơ đơn vị (theo hướng v). Chứng minh: Do v ̸= 0, nên ∥v∥ > 0. Ta có ∥u∥ = 1∥v∥v = 1∥v∥∥v∥ = 1: Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Khái niệm tích vô hướng tổng quát Cho V là một không gian vec-tơ. Một hàm thực ⟨; ⟩ : V V! R (u; v) 7! ⟨u; v⟩ được gọi là một tích vô hướng (hay tích trong) trên V nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: tính đối xứng: ⟨u; v⟩ = ⟨v;u⟩ 8 u; v 2 V; tính song tuyến tính: ⟨u; v+w⟩ = ⟨u; v⟩+ ⟨u;w⟩ 8 u; v;w 2 V; tính song tuyến tính: c⟨u; v⟩ = ⟨cu; v⟩ 8 u; v 2 V; c 2 R; tính xác định dương: ⟨u;u⟩  0 8 u 2 V, và ⟨u;u⟩ = 0, u = 0. Khi đó (V; ⟨; ⟩) được gọi là một không gian tích trong. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Ví dụ Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi u
v = u1v1 + : : :+ unvn là một tích vô hướng (theo định nghĩa tổng quát). Phép toán ⟨u; v⟩ := u1v1 + 2u2v2 xác định một tích vô hướng trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Tổng quát, với ci > 0 (i = 1; : : : ; n) cho trước, phép toán ⟨u; v⟩ := c1u1v1 + : : :+ cnunvn xác định một tích vô hướng trên Rn (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Phép toán ⟨u; v⟩ := u1v1 2u2v2 + u3v3 KHÔNG xác định một tích vô hướng trên R3, do vi phạm tiên đề về tính xác định dương. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Ví dụ Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi u
v = u1v1 + : : :+ unvn là một tích vô hướng (theo định nghĩa tổng quát). Phép toán ⟨u; v⟩ := u1v1 + 2u2v2 xác định một tích vô hướng trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Tổng quát, với ci > 0 (i = 1; : : : ; n) cho trước, phép toán ⟨u; v⟩ := c1u1v1 + : : :+ cnunvn xác định một tích vô hướng trên Rn (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Phép toán ⟨u; v⟩ := u1v1 2u2v2 + u3v3 KHÔNG xác định một tích vô hướng trên R3, do vi phạm tiên đề về tính xác định dương. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Ví dụ Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi u
v = u1v1 + : : :+ unvn là một tích vô hướng (theo định nghĩa tổng quát). Phép toán ⟨u; v⟩ := u1v1 + 2u2v2 xác định một tích vô hướng trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Tổng quát, với ci > 0 (i = 1; : : : ; n) cho trước, phép toán ⟨u; v⟩ := c1u1v1 + : : :+ cnunvn xác định một tích vô hướng trên Rn (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Phép toán ⟨u; v⟩ := u1v1 2u2v2 + u3v3 KHÔNG xác định một tích vô hướng trên R3, do vi phạm tiên đề về tính xác định dương. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Ví dụ Tích vô hướng Euclid trên Rn xác định bởi u
v = u1v1 + : : :+ unvn là một tích vô hướng (theo định nghĩa tổng quát). Phép toán ⟨u; v⟩ := u1v1 + 2u2v2 xác định một tích vô hướng trên R2 (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Tổng quát, với ci > 0 (i = 1; : : : ; n) cho trước, phép toán ⟨u; v⟩ := c1u1v1 + : : :+ cnunvn xác định một tích vô hướng trên Rn (khác với tích vô hướng Euclid thông thường). Phép toán ⟨u; v⟩ := u1v1 2u2v2 + u3v3 KHÔNG xác định một tích vô hướng trên R3, do vi phạm tiên đề về tính xác định dương. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Một số khái niệm liên quan Cho (V; ⟨; ⟩) là một không gian tích trong. Cho u; v 2 V. Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi ∥u∥ := √ ⟨u;u⟩: Góc  2 [0; ] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi cos  := ⟨u; v⟩ ∥u∥∥v∥ : Vec-tơ u được gọi là vuông góc với vec-tơ v nếu ⟨u; v⟩ = 0. Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi d(u; v) := ∥u v∥: Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Một số tính chất Cho (V; ⟨; ⟩) là một không gian tích trong. Cho u; v;w 2 V; c 2 R. Ta luôn có ⟨0; v⟩ = ⟨v; 0⟩ = 0. ⟨u+ v;w⟩ = ⟨u;w⟩+ ⟨v;w⟩. ⟨u; cv⟩ = c⟨u; v⟩. Chứng minh: Coi như bài tập. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: j⟨u; v⟩j  ∥u∥∥v∥. Bất đẳng thức tam giác: ∥u+ v∥  ∥u∥+ ∥v∥. Định lý Pythagor: u vuông góc với v , ∥u+ v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2. Chứng minh: Như chứng minh đối với tích vô hướng Euclid trên Rn. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép chiếu trực giao Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép chiếu trực giao Phép chiếu vuông góc trên mặt phẳng Cho u; v 2 R2 với v ̸= 0. Gọi projvu là hình chiếu của u lên v. projvu là ảnh vị tự của v qua gốc tọa độ, nên projvu = av: Ta có a = u
vv
v : Chứng minh? Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép chiếu trực giao Phép chiếu trực giao Định nghĩa: Cho V là một không gian vec-tơ với tích vô hướng ⟨; ⟩. Cho u; v 2 V, với v ̸= 0. Hình chiếu vuông góc của u lên v được xác định bởi projvu := ⟨u; v⟩ ⟨v; v⟩v: Ví dụ: Trong không gian vec-tơ V = C[0; 1] với tích vô hướng ⟨f; g⟩ = ∫ 1 0 f(x)g(x)dx; xét các vec-tơ f(x) = 1 và g(x) = x. Hình chiếu vuông góc của f lên g là projgf = ⟨f; g⟩ ⟨g; g⟩g = ∫ 1 0 f(x)g(x)dx∫ 1 0 g(x)g(x)dx g(x) = ∫ 1 0 xdx∫ 1 0 x2dx x = 32x: Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép chiếu trực giao Phép chiếu trực giao Định nghĩa: Cho V là một không gian vec-tơ với tích vô hướng ⟨; ⟩. Cho u; v 2 V, với v ̸= 0. Hình chiếu vuông góc của u lên v được xác định bởi projvu := ⟨u; v⟩ ⟨v; v⟩v: Ví dụ: Trong không gian vec-tơ V = C[0; 1] với tích vô hướng ⟨f; g⟩ = ∫ 1 0 f(x)g(x)dx; xét các vec-tơ f(x) = 1 và g(x) = x. Hình chiếu vuông góc của f lên g là projgf = ⟨f; g⟩ ⟨g; g⟩g = ∫ 1 0 f(x)g(x)dx∫ 1 0 g(x)g(x)dx g(x) = ∫ 1 0 xdx∫ 1 0 x2dx x = 32x: Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép chiếu trực giao Tính chất của hình chiếu vuông góc Cho V là một không gian vec-tơ với tích vô hướng ⟨; ⟩. Cho u; v 2 V, với v ̸= 0. Ta luôn có d(u; projvu)  d(u; cv) 8 c 2 R: Chứng minh? Không gian vec-tơ với tích vô hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Không gian vec-tơ với tích vô hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Khái niệm Cho V là một không gian vec-tơ với tích vô hướng ⟨; ⟩. Cho S = fv1; : : : ; vng  V. Tập hợp S được gọi là trực giao nếu ⟨vi; vj⟩ = 0 8 i; j = 1; : : : ; n; i ̸= j: Tập hợp S được gọi là trực chuẩn nếu S trực giao, và ∥vi∥ = 1 8 i = 1; : : : ; n. Tập hợp S được gọi là một cơ sở trực giao của V nếu S trực giao, và S là một cơ sở của V. Tập hợp S được gọi là một cơ sở trực chuẩn của V nếu S trực chuẩn, và S là một cơ sở của V. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Ví dụ Trong không gian vec-tơ R3 với tích vô hướng thông thường, các tập hợp sau đây là cơ sở trực chuẩn: f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g. f(cos; sin; 0); (sin; cos; 0); (0; 0; 1)g. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Ví dụ Trong không gian vec-tơ C[0; 2] với tích vô hướng ⟨f; g⟩ = ∫ 2 0 f(x)g(x)dx; tập hợp S = f1; sinx; cosx; sin2x; cos2x; : : : ; sinnx; cosnxg là trực giao. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Tính chất Cho V là một không gian vec-tơ với tích vô hướng ⟨; ⟩. Cho S = fv1; : : : ; vng  Vnf0g. Nếu S trực giao, thì S độc lập tuyến tính. Chứng minh? Hệ quả: Nếu dim(V) = n và S trực giao, thì S là cơ sở của V. (Hệ số Fourier) Nếu S là một cơ sở trực chuẩn của V, thì mọi vec-tơ w 2 V đều có biểu diễn w = ⟨w; v1⟩v1 + ⟨w; v2⟩v2 + : : :+ ⟨w; vn⟩vn: Không gian vec-tơ với tích vô hướng Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Tính chất Cho V là một không gian vec-tơ với tích vô hướng ⟨; ⟩. Cho S = fv1; : : : ; vng  Vnf0g. Nếu S trực giao, thì S độc lập tuyến tính. Chứng minh? Hệ quả: Nếu dim(V) = n và S trực giao, thì S là cơ sở của V. (Hệ số Fourier) Nếu S là một cơ sở trực chuẩn của V, thì mọi vec-tơ w 2 V đều có biểu diễn w = ⟨w; v1⟩v1 + ⟨w; v2⟩v2 + : : :+ ⟨w; vn⟩vn: Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Nội dung 1 Tích vô hướng Euclid trên Rn Một số khái niệm Các tính chất 2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Phép chiếu trực giao Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Mục đích, lý do nghiên cứu và ý tưởng Mục đích: Xây dựng cơ sở trực chuẩn cho các không gian vec-tơ. Lý do nghiên cứu: Tính toán trên các cơ sở trực chuẩn thuận tiện hơn. Ý tưởng: Xuất phát từ một cơ sở bất kỳ (không nhất thiết trực giao hoặc trực chuẩn). Trực giao hóa cơ sở đã cho. Chuẩn hóa các vec-tơ trong cơ sở trực giao thu được. Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Quy trình Cho V là một không gian vec-tơ với tích vô hướng ⟨; ⟩. Xuất phát từ một cơ sở B = fv1; : : : ; vng của V. Trực giao hóa cơ sở B để thu được cơ sở trực giao B′ = fw1; : : : ;wng; với w1 = v1; w2 = v2 ⟨v2;w1⟩⟨w1;w1⟩w1; w3 = v3 ⟨v3;w1⟩⟨w1;w1⟩w1 ⟨v3;w2⟩ ⟨w2;w2⟩w2; ... wn = vn ⟨vn;w1⟩⟨w1;w1⟩w1 ⟨vn;w2⟩ ⟨w2;w2⟩w2 : : : ⟨vn;wn1⟩ ⟨wn1;wn1⟩wn1: Chuẩn hóa cơ sở trực giao B′ để thu được cơ sở trực chuẩn B = fu1; : : : ;ung; với ui = ∥wi∥1wi (i = 1; : : : ; n): Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Ví dụ Yêu cầu: Trực chuẩn hóa hệ vec-tơ B = f(1; 1); (0; 1)g. Thực hiện: Đặt v1 = (1; 1) và v2 = (0; 1). Áp dụng quy trình trực giao hóa Gram-Schmidt với fv1; v2g ta thu được w1 = v1 = (1; 1); w2 = v2 ⟨v2;w1⟩⟨w1;w1⟩w1 = (0; 1) 1 2 (1; 1) = ( 12 ; 1 2 ) : Trực chuẩn hóa hệ vec-tơ fw1;w2g ta thu được hệ vec-tơ trực chuẩn u1 = ∥w1∥1w1 = (p 2 2 ; p 2 2 ) ; u2 = ∥w2∥1w2 = ( p 2 2 ; p 2 2 ) : Thanks Thank you for your attention!