Bài giảng đại số tuyền tính - tham khảo

Cực trị hàm nhiều biến: Định nghĩa: Cực trị địa phương: Cho f(x,y) xác định trên D là tập mở chứa
. Ta nói:
là điểm cực tiểu địa phương của f nếu
là điểm thấp nhất của f trong một lân cận nào đó của
, nghĩa là

là điểm cực đại địa phương của f nếu
là điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của
, nghĩa là
Cực trị toàn cục (Giá trị lớn nhất –Giá trị nhỏ nhất):
là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D nếu
là điểm thấp nhất của f trên D, nghĩa là :

là điểm cực đại toàn cục của f trên D nếu
là điểm cao nhất của f trên D, nghĩa là :
Điều kiện cần: Nếu f có các đạo hàm riêng tại
và f đạt cực trị địa phương tại
thì
Các điểm
thỏa hệ phương trình (*) được gọi là điểm dừng của f. Điều kiện đủ : Dạng toàn phương: Biểu thức
được gọi là một dạng toàn phương của x,y . Biểu thức
được gọi là một dạng toàn phương của x,y,z Định nghĩa tổng quát cho n biến: Một dạng toàn phương n biến là biểu thức có dạng
Với dạng toàn phương
, ta có ma trận
được gọi là ma trận của dạng toàn phương và
được gọi là nhân tử cấp k của dạng toàn phương. Dạng toàn phương
được gọi là xác định dương nếu
Dạng toàn phương
được gọi là xác định âm nếu
Dạng toàn phương xác định âm hay xác định dương được gọi là xác định dấu. Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận của
thì vi phân cấp 2 của f là một dạng toàn phương theo
. Định lý : Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của
khi đó Nếu
là dạng toàn phương xác định dương thì
là điểm cực tiểu địa phương của f. Điều này tương đương với :
Tất cả Hk đều dương >>>>cực tiểu địa phương Nếu
là dạng toàn phương xác định âm thì
là điểm cực đại địa phương của f. Điều này tương đương với
Các ví dụ:
Đạo hàm riêng : 3x²+3y²-15, 6xy-12 Điểm dừng : {[x=-1,y=-2],[x=1,y=2],[x=-2,y=-1],[x=2,y=1]} Ma trận Hess
Tại (2,1)? Tại (-2,-1)? Giá trị hàm số là {-28,-26,26,28}
Điểm dừng M0(0,0) . Ma trận Hesse:
Tại M0 thì

, Điểm dừng:
,
Ma trận Hess :
4.
Điểm dừng {[x=1,y=0]}, ma trận Hess
????? Tính vi phân cấp 2:

(điểm yên ngựa) Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm
với ràng buộc
được gọi là cực trị có điều kiện
của f. Phương pháp: Xét hàm Lagrange
Ta có:
được gọi là nhân tử Lagrange. Nếu
là cực đại (cực tiểu ) của L thì
là cực đại (cực tiểu ) của f với điều kiện
Điểm dừng : giải hệ
Tính và xét dấu
. Điều này dẫn đến xét ma trận Hesse biên tại điểm dừng:
Tính các nhân tử Hesse biên.
Nếu
thì f đạt cực tiểu tại
với điều kiện
Nếu
thì f đạt cực đại tại
với điều kiện
Trường hợp
:
Trường hợp
:
Các ví dụ: VD1: Tìm cực trị có điều kiện của
với điều kiện
Hàm Lagrange:
Điểm dừng: {[x=-(4/5),y=-(3/5),λ=(5/2)], [x=(4/5),y=(3/5),λ=-(5/2)]} Ma trận Hesse biên :
Tính
Tại [x=-(4/5),y=-(3/5),λ=(5/2)]…..???? Tại [x=(4/5),y=(3/5),λ=-(5/2)]…..??? VD2: Tìm cực trị có điều kiện của
với điều kiện
Hàm Lagrange:
Điểm dừng [x=-1,y=1,z=1,λ=-1], [x=1,y=-1,z=1,λ=-1], [x=1,y=1,z=-1,λ=-1], [x=3,y=3,z=3,λ=-9] Ma trận Hesse: Cực trị toàn cục: Hàm lồi, lõm toàn cục: Cho
là hàm số xác định trên D là một tập lồi. Ta nói
là hàm lồi ngặt toàn cục trên D nếu

là hàm lõm ngặt toàn cục trên D nếu
Định lý: Nếu
thì f lồi ngặt toàn cục trên D. Nếu
thì f lõm ngặt toàn cục trên D. Trường hợp hàm 1 biến:
f lồi ngặt toàn cục .
f lõm ngặt toàn cục Trường hợp hàm n biến: Xét ma trận Hesse tại điểm M bất kỳ trong D.
f lồi ngặt toàn cục trên D
f lõm ngặt toàn cục trên D. Điều kiện đạt cực trị toàn cục: Nếu
là điểm dừng của f (nghĩa là
) . Khi đó: Nếu f lồi ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại
Nếu f lõm ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực đại toàn cục trên D tại
Tóm tắt: Hàm một biến  Hàm nhiều biến   Đk cấp 1:

  Điều kiện cấp 2: Xét đạo hàm cấp hai:
f đạt cực tiểu toàn cục tại

f đạt cực đại toàn cục tại
 Điểu kiện cấp 2: Xét ma trận Hesse tổng quát (tại điểm M bất kỳ trong D)
f đạt cực tiểu toàn cục tại

f đạt cực đại toàn cục tại


là cực đại toàn cục của f với đk


là cực tiểu toàn cục của f với đk
Trường hợp cực trị có điều kiện: Xét hàm Lagrange Tìm điểm dừng
Xét ma trận Hesse biên tại điểm
bất kỳ