§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Tính chất của chuỗi lũy thừa:
Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D
có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau:
2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D
3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
35 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 386 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 2 - Bài 2: Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)
n (1) hoặc
un(x)=anx
n (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm
lũy thừa theo x hoặc (x-x0).
0
0 0
( ) hay n nn n
n n
a x x a x
¥ ¥
å å
= =
- a0, a1, a2, .. là hằng số
Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng
(2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng
tổng quát dạng (2)
§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Miền HT của chuỗi lũy thừa
1
n
n
n
a x
¥
å
=
là tập D nếu
0x x D" = Î chuỗi số 0
1
n
n
n
a x
¥
å
=
HT
Ví dụ: Chuỗi
0
n
n
x
¥
å
=
Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1
Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)
Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi 2
1
1
1 nn x
¥
å
= +
§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
2
1
( )
1
n n
u x
x
=
+
xác định với mọi x
Khi |x|<1: Cho n ® ¥ 2 0nx ®ta được
Khi |x|=1:
chuỗi PK theo đkcsshtlim 1n
n
u
® ¥
Þ =
2 11, ,
2
n
n
x n u n= " Þ = " Chuỗi PK
Khi |x|>1:
Chuỗi HT vì |x|>1
Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
n ® ¥Cho 2 2 2
1 1 1
1 ( ) | |
n
n n n
u
x x x
æ ö
÷ç= = ÷ç ÷ç+ è ø
:
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa
1
n
n
n
a x
¥
=
å HT tại x=x0,
0lim 0
n
n
n
a x
® ¥
=
0
0 : ,n
n
M a x M nÞ $ > < "
Nếu |x|<|x0| thì chuỗi
1
n
n
v
¥
=
å HT
Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh.
Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây.
tức là chuỗi số 0
1
n
n
n
a x
¥
=
å HT. Theo đkccsht ta được
Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi:
0 0
0 0 0
n n n
n n n
n n n
x x x
a x a x a x M
x x x
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ç ç ç= = <÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
,
n
v n= "
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Định lý Abel :
Nếu chuỗi lũy thừa
1
n
n
n
a x
¥
=
å HT tại
0
0x ¹ thì nó HTTĐ tại
mọi điểm
0 0
( | |,| |)x x xÎ -
thì nó PK với mọi x
thỏa |x|>|x1|
Bán kính hội tụ (BKHT):
1
n
n
n
a x
¥
=
å HT với mọi x: |x|0 sao cho chuỗi
Hệ quả: Nếu chuỗi
1
n
n
n
a x
¥
=
å PK tại x1
PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa
Đặt: Thì BKHT là
1
R
r
=
Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa
Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của
chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận
1
lim | |
| |
lim
| |
n
nn
n
n
n
a
a
a
r
® ¥
+
® ¥
é
ê
ê= ê
ê
êë
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau
2
1 1
1. ( ) 2.
2 .
n
n
n
n n
x
nx
n
¥ ¥
= =
å å
1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=n
n:
lim lim| |n n
n n
a nr
® ¥ ® ¥
= = = + ¥ 0RÞ =
BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0}
2.
2
1
2 .
n n
a
n
= 2RÞ =
Khi x=2:
2
1
1
n n
¥
=
å là chuỗi số dương HT
Khi x=-2:
2
1
( 1)n
n n
¥
=
å
-
là chuỗi HTTĐ
Vậy MHT [-2,2]
2lim lim
1 1
| |
22 .
n n
n n
n n
a
n® ¥ ® ¥
Þ = =
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi:
1. Chuỗi lũy thừa với
1
3 5
n n n
a =
+
→ R=5
Khi x=± 5: Là 2 chuỗi PK theo đkccsht
1
( 5)
3 5
n
n n
n
¥
=
å
±
+
BKHT R=5, MHT là (-5,5)
Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi
đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht
2
1 1
1 1
1
1. 2. ( 1)
2 13 5
( 1)! !
3. 4.
5
nn
n
n n
n n
n
n n n
n n
x n
x
n
n x n
n x
¥ ¥
= =
¥ ¥
= =
å å
å å
æ ö+ ÷ç -÷ç ÷è ø-+
-
lim lim
1 1
| |
53 5
n n
n n n
n n
a
® ¥ ® ¥
Þ = =
+
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
2. Chuỗi lũy thừa với
→ R=2
Ta chỉ xét X=2:
1
1
2
2 1
n
n
n
n
n
¥
=
å
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷è ø-
Chuỗi PK theo đkccsht vì
3
2 1 2 1
33 22 2 31 0
2 1 2 1
nn nn
n
n
u n e
n n
- -æ ö÷çæ ö æ ö+ ÷ç÷ ÷ ÷ç ç= = + ® ¥ ¹ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷è ø è ø- -ç ÷çè ø
uuuuuur
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)
1 1
lim | | lim
2 1 2
n
n n
n
n n
n
a
n® ¥ ® ¥
æ ö+ ÷ç= =÷ç ÷è ø-
21 , ( 1) 0
2 1
n
n
n
a X x
n
æ ö+ ÷ç= = - ³÷ç ÷è ø-
20 2 0 ( 1) 2 1 2 1 2X x x£ < « £ - < « - < < +
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
3. Chuỗi lũy thừa với
→ R=0
Vậy BKHT R=0, MHT là {0}
( 1)!
5
n n
n
a
-
=
1
1
| | ! 5
lim lim . lim
| | ( 1)! 55
n
n
nn n nn
a n n
a n
+
+® ¥ ® ¥ ® ¥
Þ = = = + ¥
-
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
4. Chuỗi lũy thừa với
! 1
,n n
n
a X
xn
= =
→ R=e
Khi X=e:
1
! n
n
n
n
e
n
¥
=
å
1
!
| | ( 1)! 1
lim lim . lim
| | ! 1( 1)
nn
n
nn n nn
a n n n
a n n en
+
+® ¥ ® ¥ ® ¥
æ ö+ ÷ç= = =÷ç ÷è ø++
( )
1
1
1
( 1)!
. 1
( 1) ! 11
n n
n
n n n n
n
u n e n e
D n
u n n e
n
+
+
+
+
Þ = = = ® ¥
+ +
uuuuuur
Tuy nhiên, vì
1
1 1
1 1 ,
n n
e n
n n
+æ ö æ ö
÷ ÷ç ç+ < < + "÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
Nên Dn<1. Vậy chuỗi PK theo t/c d’Alembert
§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
4. Chuỗi lũy thừa với
! 1
,n n
n
a X
xn
= = , R=e
Khi X=-e:
1 1
! !
( ) ( 1)n n n
n n
n n
n n
e e
n n
¥ ¥
= =
å å- = -
Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó
cũng PK
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U(
1/e,+ ∞)
1
1 1
1
x
e
X e e x
x e x
e
é >ê
< « < « < « ê
ê < -êë
§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Tính chất của chuỗi lũy thừa:
Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D
có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau:
1
(1)nn
n
a x
¥
=
å
2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D
3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
1
1 1 1
( ) ( ) , ( , )n n nn n n
n n n
S x a x a x a nx x R R
¥ ¥ ¥ -
= = =
å å å
¢æ ö
÷¢ ¢ç= = = " Î -÷çè ø
1
1 1 10 0 0
( ) , ( , )
1
nx x x
n n
n n n
n n n
x
S t dt a t dt a t dt a x R R
n
+¥ ¥ ¥
= = =
å å åò ò ò= = = " Î -
+
§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Ví dụ: Tìm BKHT và tính tổng các chuỗi sau
1. Chuỗi có
1
na n
= Dễ dàng suy ra R=1.
Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt
1
( )
n
n
x
S x
n
¥
=
å=
1
1 1
1
( ) , ( 1,1)
1
n
n
n n
x
S x x x
n x
¥ ¥ -
= =
å å
¢æ ö
÷ç¢ ÷Þ = = = " Î -ç ÷ç ÷ -è ø
0
1
( ) ln(1 ), ( 1,1)
1
x
S x dt x x
t
ò= = - - " Î -
-
Vậy:
1 1
2 1
2
1 1
1. 2.
3. ( 1) 2 4.
n
n
n n
n
n n
n n
x
nx
n
x
nx
n n
¥ ¥
= =
¥ ¥-
= =
å å
å å-
+
§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
2. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x" Î - ta đặt
1
1 1
( ) n n
n n
S x nx x nx
¥ ¥ -
= =
å å= =
1
( ) n
n
S x x x
¥
=
å
¢æ ö
÷ç= ÷çè ø
1
1
x x
x
¢æ ö
÷ç= ÷ç ÷è ø- 2
(1 ) ( 1)
(1 )
x x
x
x
- - -
=
-
2
( ) , ( 1,1)
(1 )
x
S x x
x
= " Î -
-
§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
3. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x" Î - ta đặt
2 1
1
( ) ( 1) 2n n
n
S x nx
¥ -
=
å= - 2
1
( 1)n n
n
x
¥
=
å
¢æ ö
÷ç= - ÷çè ø
2
1
( )n
n
x
¥
=
å
¢æ ö
÷ç= - ÷çè ø
2
2
1
( )
1 ( )
x
x
¢æ ö
÷ç= - ÷ç ÷çè ø- -
2 2
2 2
2 (1 ) .2
(1 )
x x x x
x
- + +
=
+
Vậy:
2 2
2
( ) , ( 1,1)
(1 )
x
S x x
x
= - " Î -
+
§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
4. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x" Î - ta đặt
1 1
1
( )
1
n n
n n
x x x
S x
n x n
¥ ¥
= =
å å
æ ö
÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷è ø
Sử dụng kết quả câu 1.
Vậy :
( )
1
( ) ln(1 ) ln(1 )S x x x x
x
= - - - - - -
This image cannot currently be displayed.
1
( ) ln(1 ) 1 1, ( 1,1)S x x x
x
æ ö
÷ç= - - + " Î -÷ç ÷è ø
2
1 1 1 1
1 1
( )
1 1
n n n
n
n n n n
x x x
S x x
n n n nn n
¥ ¥ ¥ ¥
= = = =
å å å å
æ ö
÷ç= = - = -÷ç ÷è ø+ ++
1
1 1
1
( )
1
n n
n n
x x
S x
n x n
+¥ ¥
= =
å å= -
+
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0
Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi
( )
0
0
0
( )
( )
!
n
n
n
f x
x x
n
¥
=
å -
Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm
( )
0
(0)
!
n
n
n
f
x
n
¥
=
å
Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi
x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể
bằng f(x).
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành
chuỗi Taylor)
Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa
1. f(x) khả vi vô hạn lần
2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n
thì
( )
0
0 0 0
0
( )
( ) ( ) , ( , )
!
n
n
n
f x
f x x x x x R x R
n
¥
=
å= - " Î - +
Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều
kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử
dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi
Taylor - Maclaurint
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Một số chuỗi Maclaurint cơ bản
1,1D
0
1
2 / ,
1
n
n
x
x
0
1
( 1) ,
1
n n
n
x
x
1
( 1)...( 1)
3 / 1 1
!
n
n
n
x x
n
,
1,1 , 0
1,1 , 1 0
1,1 , 1
R N
D
0
1/ ,
!
n
x
n
x
e
n
D RMHT:
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
1
1
4 / ln(1 ) ( 1) ,
n
n
n
x
x
n
1,1D
2 1
0
2
0
5 / sin ( 1)
(2 1)!
cos ( 1)
(2 )!
n
n
n
n
n
n
x
x
n
x
x
n
D R
2 1
0
6 / arctan ( 1) ,
2 1
1,1
n
n
n
D
x
x
n
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm:
2
2
1. ( ) 2. ( ) ln(2 - 3 )
5 6
x
f x f x x x
x x
= = +
- +
1.
2
1 1
( )
3 25 6
x
f x x
x xx x
æ ö
÷ç= = - ÷ç ÷è ø- -- +
1 1 1 1
3 21 1
3 2
x
x x
æ ö
÷ç ÷ç ÷ç ÷= - +ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷çè ø
0 0
1 1
3 3 2 2
n n
n n
x x
x
¥ ¥
= =
å å
æ öæ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç= - +ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç è ø è ø ÷çè ø
Vậy:
Chuỗi HT nếu 1 1 và 1 1
3 2
x x
- < < - < < ↔ -2<x<2
MHT: (-2,2)1
1 1
0
1 1
( )
2 3
n
n n
n
f x x
¥ +
+ +
=
å
æ ö
÷ç= - ÷ç ÷è ø
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
2. f(x)=ln(2-3x+x2)= ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x)
( ) ln(1 ( )) ln2 ln(1 ( ))
2
x
f x x= + - + + + -
MHT: (-1,1)
1 1
1 1
1 1
2
x
xx
ì - < - <ïïï Û - < <í -ï - < <ïïî
Chuỗi HT nếu
1 1
1 1
( 1) ( 1)
( ) ln2 ( )
2
nn n
n
n n
x
f x x
n n
- -¥ ¥
= =
å å
æ ö- - ÷ç= + - + - ÷ç ÷è ø
1
1 1
( ) ln2 1
2
n
n
n
f x x
n
¥
=
å
æ ö
÷ç= - + ÷ç ÷è ø
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: ( )2( ) ln 1f x x x= + +
Ta tính
Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x):
2 4
2
1 1
1
1 2 2
( ) 1
2 2!
1 1 1
1 1
2 2 2
!
n
f x x x
n
x
n
1
2
2 2
2 2
1
11( ) 1
1 1
x
xf x x
x x x
21
1.3.5...(2 1)
( ) 1 ( 1)
2 !
n n
n
n
n
f x x
n
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Hàm khai triển được nếu 20 1 1 1x x
0
( ) ( ) (0)
x
f x f t dt f Suy ra:
1 1x MHT :
2 2 1
1
1.3.5...(2 1)
ln 1 ( 1)
2 !(2 1)
n n
n
n
n
x x x x
n n
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm
1
( )
1
f x
x
=
-
Đặt X=x-3
1 1 2
( )
32 ( 3) 21
2
f x
xx
= =
-+ - +
MHT: (1,5)
0
1 3
( 1)
2 2
n
n
n
x¥
=
å
æ ö- ÷ç= - ÷ç ÷è ø
1
0
( 1)
( ) ( 3)
2
n
n
n
n
f x x
¥
+
=
å
-
= -
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành
chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi
Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp
dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa
0
( )
, ( 1,1)
( 1)
n
n
x
x
n n
¥
=
å
-
Î -
+
Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với
( 1)
( 1)
n
na n n
-
=
+
Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1<x<1 ta đặt
0
( )
( )
( 1)
n
n
x
S x
n n
¥
=
å
-
=
+
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
1
1
0 0
( 1) 1 ( 1)
( 1)
1
n n
n n
n n
x x
n x n
-¥ ¥ +
= =
å å
- - -
= - +
+
1
1
0
( 1) 1 ( 1)
( 1)
1
n n
n n
n
x x
n x n
-¥ +
=
å
æ ö- - ÷ç ÷= - +ç ÷ç ÷+è ø
0
1 1
( ) ( 1)
1
n n
n
S x x
n n
¥
=
å
æ ö
÷ç= - - ÷ç ÷è ø+
1
0
1 ( 1)
( 1)ln(1 ) 1
n
n
n
x x
x n
-¥
=
å
æ ö- - ÷ç ÷= - + + -ç ÷ç ÷è ø
( )
1
( 1)ln(1 ) ln(1 ) 1x x
x
= - + - + -
0
( ) 1 1 1
1 ln , x (-1,1)
( 1) 1
n
n
x
n n x x x
¥
=
å
æ ö- ÷ç= + + " Î÷ç ÷è ø+ +
Vậy:
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 1
1
1
(2 )!!
n
n
n
x
n
¥ +
=
å
-
1
1 1
1 1
.
(2 )!! 2.4.6...(2 )
n n
n n
n n
x x x
n n
¥ ¥+
= =
å å
- -
=
1
.
2 . !
n n
n
n
n x x
x
n
¥
=
å
-
=
1 1
1
! 2 ! 2
n n
n n
n x x
x
n n
¥ ¥
= =
å å
æ öæ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç= -ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç è ø è ø ÷çè ø
1
1 1
1 1
2 ( 1)! 2 ! 2
n n
n n
x x x
x
n n
-
¥ ¥
= =
å å
æ öæ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç= -ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç è ø è ø ÷-çè ø
2
0 0
1 1
1
2 ! 2 ! 2
n n
n n
x x x
x
n n
¥ ¥
= =
å å
æ öæ ö æ ö ÷ç÷ ÷ ÷ç ç= - -ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷çè ø è ø ÷çè ø
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
1
1
1
(2 )!!
n
n
n
x
n
¥ +
=
å
- 2 2 2( 1)
2
x xx
e x e= - -
2
2 , x
2
xx
x e x
æ ö
÷ç ÷= - + "ç ÷ç ÷è ø
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu
tích phân bằng chuỗi, tính tích phân
1
0
1
ln
1
I dx
x
ò
æ ö
÷ç= ÷ç ÷è ø-
1
1
1 ( )
ln ln(1 ) ( 1)
1
n
n
n
x
x
x n
¥ -
=
å
æ ö -÷ç = - - = - -÷ç ÷è ø-
1
10
( )
( 1)
n
n
n
x
I dx
n
¥
=
åò
-
= -
1
1 0
( 1)
( )
n
n
n
x dx
n
¥
=
å ò
-
= -
1
1 1
1n n n
¥
=
å
-
=
+
Ta có:
Thay vào tích phân trên
Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa
Tổng riêng : Sn = u1+u2++un và tổng S
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 1n
S
n n
é ùæ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= - - + - + - + + -ê ú÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øê ú+ë û
1
1 -1
1n
S n
n
é ù
= - - ® ¥ê ú
ê ú+ë û
uuuuuur
1
0
1
ln 1
1
I dx
x
ò
æ ö
÷ç= = -÷ç ÷è ø-
Vậy
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tính tổng các chuỗi số sau
1. 5e=
2.
2 1 2
1 1
2 2.2
(2 )!! 2.4.6...(2 )
n n
n nn n
+¥ ¥
= =
å å=
2
1
2.2
2 !
n
n
n n
¥
=
å=
1
2
2
!
n
n n
¥
=
å=
0
2
2 1
!
n
n n
¥
=
å
æ ö
÷ç ÷= -ç ÷ç ÷è ø
22( 1)e= -
1
0 1
2 1 1
3 1
1 1
.5 ( 2)
1. 3.
! ( 2)7
2 ( 1) .2.5.8...(3 4)
2. 4.
(2 )!! 2 . !
n n
n
n n
n n
n
n n
n
n n n
n
n n
¥ ¥
+
= =
+ -¥ ¥
-
= =
å å
å å
-
+
- -
1
0 1
.5 5
0 5
! ( 1)!
n n
n n
n
n n
-¥ ¥
= =
å å= +
- 0
5
5
!
n
n n
¥
=
å=
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
3.
1
1 1
( 2) ( 1) 2 1 1 1
2 2( 2).7 7.7
n n n
n n
n n n nn n
¥ ¥
+
= =
å å
æ ö- - ÷ç= - ÷ç ÷è ø++
1
1 2 1 1
( 1)
14 7 2
n
n
n n n
¥
=
å
æ ö æ ö
÷ ÷ç ç= - -÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø+
2 21 1
1 1
1 ( 1) 2 1 ( 1)( 1) 2 7
14 7 14 2 7 2
n nn n
n nn n
+- +¥ ¥
= =
å å
æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ç ç ç= -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø+
21
1
1 2 1 49 ( 1) 2 2 1 2
ln(1 )
14 7 14 4 7 7 2 7
nn
n n
-¥
=
å
æ öæ ö æ ö- - ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç= + + - +ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç è ø è ø ÷çè ø
1
1
( 2) 45 9 3
ln
56 7 14( 2).7
n
n
n n n
¥
+
=
å
-
= -
+
§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
4.
1
3 1
1
( 1) .2.5.8...(3 4)
2 . !
n
n
n
n
n
-¥
-
=
å
- -
1 3
1
1 1 1 1
.( 1)( 2)...( ( 1)).3
3 3 3 3
2 .2 . !
n
n
n
n
n
¥
-
=
å
- - - -
=
1
1 1 1 1
.( 1)( 2)...( ( 1))
33 3 3 32
! 8
n
n
n
n
¥
=
å
- - - - æ ö
÷ç= ÷ç ÷è ø
1
3 33
3 11
2 1 1 2 2 11 2
8 8
æ ö
÷çæ ö ÷ç ÷ ÷ç= + - = - = -ç ÷ ÷ç ÷ç ÷è øç ÷çè ø