Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Tích phân mặt loại 1

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 NỘI DUNG 1.Định nghĩa tp mặt loại 1 2.Tính chất tp mặt loại 1 3.Cách tính tp mặt loại 1 Định nghĩa tích phân mặt loại 1 1 ( ) n n k k k S f M S    S là mặt cong trong R3, f(x,y,z) xác định trên S Tổng tích phân: ( , , ) lim n nS f x y z ds S   : tp mặt loại 1 của f trên S Phân hoạch S thành các mảnh con Sk có diện tích Sk, Mk  Sk Tính chất tp mặt loại 1 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) S S S f x y z ds f x y z ds f x y z ds    1 S ds 1/ Diện tích của mặt cong S 2/ Tp mặt loại 1 không phụ thuộc phía của S 3/ Nếu S = S1  S2 Tính chất tp mặt loại 1 1 ( , , ) 2 ( , , ) S S f x y z ds f x y z ds  4/ Nếu S gồm 2 phần S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (Oxy) f chẵn theo z: f lẻ theo z: ( , , ) 0 S f x y z ds  Cách tính tp mặt loại 1 Nếu S là phần mặt hữu hạn, có phương trình z = z(x, y), hình chiếu của S lên Oxy là miền D, khi đó 2 2( , , ) ( ,( , , ) 1) x y S D z xf x y z ds f x y z z dy xdy     2 21 x yds dxdyz z   : vi phân mặt Cách tính tp mặt loại 1 Tổng quát: B1: chọn cách viết phương trình mặt cong S (theo biến có số lần xuất hiện ít nhất trong pt mặt cong S và các mặt chắn) B2: tìm hình chiếu D của S lên mp tương ứng (giống thể tích trong tích phân kép) B3: tính tp trên D. DS Ví dụ 2 2 S I x y ds  2 2 1x y z   2 2 1 : ,S z x y  1/ Tính: trên mặt biên của miền : S gồm mặt nón 2 : 1S z và mặt phẳng 2 2 1 2 : 1 Oxy Oxy hc S hc S D x y    2 2 1 : ,S z x y  2 : 1S z  2 21 x yds z z dxdy     2 2 2 2 2 2 1 x x dxdy x y x y                   2 21 x yds z z dxdy     dxdy 2dxdy 1 2 2 2 2 2 S S I x y ds x y ds     2 2 2(1 2) (1 2) 3 D x y dxdy      2 2 2 22 D D x y dxdy x y dxdy     SI zds  S là phần mặt z = 3 - x - y 2/ Tính: bị chắn bởi các mặt x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0 : Oxy D hc S 3 3,3 2 6, 0x y x y y     : 3S z x y   (3 ) 1 1 1 D I x y dxdy     SI zds  S là phần mặt z = x2 + y23/ Tính: bị chắn bởi các mặt z = 1 và z = 2 2 2:S z x y  2 2 2 2 1 : 2 x y D x y       (D xđ từ hình chiếu gt của S với các mp) 1 2   2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 4 x y I x y x y dxdy        2 2 3 2 0 1 1 4d r r dr     149 30   2 2:S z x y  2 2:1 2D x y   VÍ DỤ 2 2 2x y y  : Oxy D hc  2 2 2 24, 2x y x y y    2 24z x y  4/ Tính diện tích của bị chắn trong mặt trụ 2 D Pt mặt cong: 2 24z x y   2 2 2 2 , 4 4 x y x y z z x y x y          2 21 ( ) ( )x y S D S ds z z dxdy      2 2 2 4D dxdy x y     2sin 2 0 0 2 4 rdr d r        4 8  D 2 2 24z x y   2 2 2x y y  22z x5/ Tính diện tích của phần mặt trụ: bị chắn bởi các mặt 2 0, 2 0,x y y x    Phương trình mặt cong: 2 2 x z  : Oxy D hc  2 0, 2 0, 2 2x y y x x     2 2 2 2x  2 21 x y S D S ds z z dxdy      21 D x dxdy  2 2 2 2 0 2 1 13 x x dx x dy    2 2 2 2 x z  D22z x 2 2z x y  6/ Tính diện tích của phần mặt nón: bị chắn bởi mặt cầu: 2 2 2 2x y z   : Oxy D hc  2 2 1x y  2 21 ( ) ( )x y D S f f dxdy    2 D dxdy  2 ( ) 2S D   (S(D) là diện tích hình tròn có R = 1) 2 2 2 4x y z   7/ Tính diện tích của phần mặt cầu: bị chắn bởi các mặt: , 3 , 0 x z z x x   Phần mặt cầu gồm 2 nửa S1 và S2: 2 2 1,2 4y x z    Hình chiếu của S1 và S2 lên Oxz giống nhau và xác định bởi:  S = S1 + S2 2 24 0, : , 3 , 0 x z D z x z x x         2 24 0, : , 3 , 0 x z D z x z x x         z x 4 2 2 1 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 4 D z D xS S dxdz dxdz x z y y          4 2 2 6 0 2 4 rdr d r        12   1 2 6 S S S     2 24y x z  