Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 1)

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN • CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN • CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI • CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG • CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT • CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN • §1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục • §2: Đạo hàm riêng • §3: Khả vi và Vi phân • §4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp • §5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn • §6: Công thức Taylor – Maclaurint • §7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Miền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩa Miền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thể nhận được Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → R Định nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2 ( , ) ( , )x y f x y z=a §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Ví dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm 2 2( , ) 9f x y x y= - - MGT là đoạn [0,3] MXĐ là hình tròn { }2 2 2( , ) : 9D x y R x y= Î + £ MXĐ 3 3 MGT 30 f(x,y) (x,y) §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Giải : a. f(2,1) = 2 Ví dụ: Cho hàm 1 ( , ) 1 x y f x y x + + = - Tính f(2,1) và tìm MXĐ của f b. MXĐ : Ta lấy nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng x+y+1 = 0 và bỏ đi toàn bộ đường x = 1  Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong. Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D. Đồ thị của f là tập tất cả các điểm M(x, y, z)R3, với (x, y)D, z = f(x, y) §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục { } { } 2 0 0 2 2 2 0 0 ( , ) : ( , ) ( , ) : ( ) ( ) B M r M R d M M r x y R x x y y r = Î < Î - + - < Hình tròn mở này còn được gọi là một r - lân cận của điểm M Hình tròn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệu B(M0,r) là tập §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tại ít nhất r>0 sao cho r- lân cận của M là B(M,r) nằm hoàn toàn trong D. Điểm biên : M gọi là điểm biên của D nếu với mọi r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc D và những điểm không thuộc D. Điểm tụ : Điểm M gọi là điểm tụ của D nếu với mọi r>0, hình cầu mở B(M,r) đều chứa ít nhất 1 điểm N thuộc D, khác M Cho tập D và 1 điểm M thuộc R2. Ta định nghĩa 3 loại điểm như sau : §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục • Chú ý : 1.Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, còn điểm biên của D thì có thể không thuộc D. 2.Điểm biên chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thì có thể không là điểm biên Định lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khi tồn tại dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞ thì d(Mn,M) →0 §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Tập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó. Tập các điểm biên của D gọi là biên của D Tập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó, mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất kỳ điểm biên nào : ( , )r D B O r$ Î Tập D được gọi là tập bị chặn nếu nó được chứa trong một hình cầu nào đó, tức là Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên mà không chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở, không đóng. §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Ví dụ : Cho D là phần hình cầu { }3 2 2 2( , , ) : 4D x y z R x y z= Î + + < Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đó D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong. Vậy D là tập mở Ví dụ : Cho hình vành khăn { }2 2 2( , ) :1 4D x y R x y= Î £ + £ Biên của D là 2 đường tròn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4 nằm hoàn toàn trong D nên D là tập đóng §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục B O B A Biên của D là 3 đoạn OA, OB, AB. Miền D không chứa đoạn AB tức là D không chứa mọi điểm biên nên D không là tập đóng. Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm biên thuộc đoạn OA, OB Tập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại tiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bán kính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hình cầu mở Ví dụ : Trong R2 cho miền D { }2( , ) : 3, 0, 0D x y R x y x y= Î + < ³ ³ §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Lưu ý: Định nghĩa trên tương tự như giới hạn của hàm f(x), khi M dần đến M0 (không trùng M0), nếu f(M) dần về a thì ta cũng nói giới hạn của f(M) bằng a Khi ấy, ta viết 00 0 lim ( ) hay lim ( , ) x xM M y y f M a f x y a ®® ® = = Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến : Cho hàm f(x,y) có miền xác định là D và M0(x0,y0) là 1 điểm tụ của D. Số a được gọi là giới hạn của hàm f khi x→x0, y→y0 (hay M →M0) nếu 0 0 2 2 0 0 0, 0 : ( , ) ( , ),( , ) , ( ) ( ) ( , ) x y x y x y D x x y y f x y a e d d e " > $ > " ¹ Î - - - < Þ - < §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Một cách đơn giản hơn, ta định nghĩa giới hạn hàm cho riêng hàm 2 biến x, y theo đường cong như sau Như vậy: Nếu M dần đến M0 theo 2 đường cong L1,L2 khác nhau và f(M) dần đến 2 giá trị a1≠a2 thì ta nói không tồn tại giới hạn của hàm f(M) khi M→M0 Khi điểm M dần đến M0 theo mọi đường cong L, mà hàm f(M) luôn dần về 1 giá trị a thì ta cũng có 00 0 lim ( ) hay lim ( , ) x xM M y y f M a f x y a ®® ® = = §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Giải : Ta dùng định lý kẹp như khi tính giới hạn hàm 1 biến: Suy ra giới hạn cần tìm bằng 0 Chú ý : Cách tìm giới hạn hàm 2 biến: Đưa về giới hạn hàm 1 biến hoặc dùng định lý kẹp Ví dụ : Tính 2 2 2( , ) (0,0) lim x y xy x y® + 0 2 2 2 0 2 xy y x y £ £ + §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Giải: Đặt t = xy →0 thì 33( , ) (0,0) 0 0 sin( ) sin lim lim lim 3 11 1 1 1 3 x y t t xy t t xy t t® ® ® = = = - - + - + - Giải: Ta cho (x,y) →(0,0) theo 2 đường y = x và y = 2x Vậy giới hạn đã cho là không tồn tại Ta được 2 2 2 2 ( , ) (0,0) / ( , ) (0,0) / 2 1 2 2 lim và lim 2 52 5x y y x x y y x x x x x® = ® = = = Ví dụ : Tính 3( , ) (0,0) sin( ) lim 1 1x y xy xy® - + Ví dụ : Tính 2 2( , ) (0,0) lim x y xy x y® + §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương 1. lim(f(x,y)+g(x,y)=a+b 2. lim f(x,y).g(x,y) = a.b 3. lim C.f(x,y) = C.a f(x,y) 4. lim , 0 g(x,y) a b b = ¹ 0 0 0 0 x x x x Cho lim ( , ) , lim ( , ) y y y y f x y a g x y b ® ® ® ® = = Ta có các kết quả sau khi x→x0, y→y0 §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xác định và 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y ® = Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục §2 : Đạo hàm riêng Định nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm 2 biến f(x,y), đạo hàm theo biến x của hàm f tại điểm (x0,y0) là giới hạn (nếu có) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) limx x f y f yx x x x x x f y x f y D ® -¶ ¢ = = + D ¶ D Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f theo biến y Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo biến x, ta coi y là hằng số §2 : Đạo hàm riêng Giải : 2 2 2 2 ,x y x y f f x y x y ¢ ¢= = + + a. Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm sau: 2 2 cos . f(x,y)= . f(x,y)=e . f(x,y,z)=ln(x+e ) x y y a x y b c xyz + + 1 . f ,f , y x y zy y e c yz xz f xy x e x e ¢ ¢ ¢= + = + = + + b. cos cos 2 1 ( s ) , ( s )( ) x x y y x y x x x f e in f e in y y y y ¢ ¢= - = - - §2 : Đạo hàm riêng 0 ( ,0) ( ,0) ( ,0) li 0 0 mx x f x x f f D ® - ¢ = D D Ví dụ : Cho hàm 3 33( , )f x y x y= + Tính f’x, f’y tại (0,0) Giải : Nếu tính bằng cách thông thường, ta sẽ không tính được đhr tại điểm đặc biệt (0,0). Do đó, ta sẽ tính các đhr trên bằng định nghĩa 3 0 3 0 lim 1 x x xD ® = D - D = Vì vai trò của x, y như nhau trong hàm f nên ta cũng có f’y(0,0) = 1 §2 : Đạo hàm riêng Ví dụ : Tính các đhr của hàm f(x,y,z) = (y/x) z Giải: Ta tính 3 đhr của hàm 3 biến Để tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại f(x,y,z) = yz.x-z rồi tính đạo hàm bình thường Lấy đhr theo x: yz, z là hằng số nên: f’x = y z.(-z)x-z-1 Tương tự: f’y = zy z-1x-z Cuối cùng, tính đhr theo z thì ta sẽ để nguyên hàm ban đầu vì y/x là hằng số nên : f’z = ( y/x) zln(y/z) §2 : Đạo hàm riêng Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại (a,b): Tương tự, hệ số góc của tiếp tuyến T2 tức là hệ số góc của mặt S theo phương Oy là f’y(a,b) tiếp tuyến T1 hay là hệ số góc của mặt S theo phương Ox tại P(a,b,c) fx’(a,b) là hệ số góc của C1 là giao của S và mặt phẳng y = b thì đạo hàm Gọi S là mặt cong z=f(x,y) §2 : Đạo hàm riêng Đạo hàm cấp 2 của hàm f(x,y) là đạo hàm của đạo hàm cấp 1: Đạo hàm cấp 2 theo x: Đạo hàm cấp 2 theo y: Đạo hàm cấp 2 hỗn hợp: 2 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( )( , )xy x y f f x y x y x y f f x y ¶ ¢¢ ¢ ¢= = ¶ ¶ 2 0 0 0 0 0 02 ( , ) ( , ) ( )( , )yy y y f f x y x y y f f x y ¶ ¢¢ ¢ ¢= = ¶ 2 0 0 0 0 0 02 ( , ) ( , ) ( )( , )xx x x f f x y x y x f f x y ¶ ¢¢ ¢ ¢= = ¶ §2 : Đạo hàm riêng Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn tại và liên tục trong miền mở chứa (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0) Ghi chú : 1.Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý Schwartz đúng tại các điểm tồn tại đạo hàm 2.Định lý Schwartz còn đúng cho các đạo hàm riêng từ cấp 3 trở lên. Tức là các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗi biến bằng nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo các biến §2 : Đạo hàm riêng Giải : Hàm 2 biến nên ta tính 2 đạo hàm riêng cấp 1 và 4 đạo hàm riêng cấp 2 Ví dụ: Tính đạo hàm riêng đến cấp 2 của hàm ( , ) sin( )x yf x y e e= + cos( ), cos( )x x y y x yx yf e e e f e e e¢ ¢= + = + cos( ) sin( ) , cos( ) sin( ) , sin( ) x x y x x y xx y x y y x y yy x y x y xy yx f e e e e e e f e e e e e e f f e e e e é ù¢¢= + - +ë û é ù¢¢= + - +ë û é ù¢¢ ¢¢= = - +ë û §2 : Đạo hàm riêng Tương tự, ta có các đạo hàm riêng cấp (n+1) là đạo hàm của đạo hàm cấp n Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 3 của hàm: f(x,y) = x2y – 3ex+y Giải: 2 đạo hàm riêng cấp 1 : 22 3 , 3x y x yx yf xy e f x e + +¢ ¢= - = - 4 đạo hàm riêng cấp 2 : 2 3 , 3 , 2 3 x y x y xx yy x y xy yx f y e f e f f x e + + + ¢¢ ¢¢= - = - ¢¢ ¢¢= = - 8 đạo hàm riêng cấp 3: 3 , 4 3 , 3 , 3 x y x y xxx xxy yxx xyx x y x y yyy yyx yxy xyy f e f e f f f e f e f f + + + + ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= - = - = = ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= - = - = = §2 : Đạo hàm riêng Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến) Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz. Tính đạo hàm riêng cấp 2. 3 đạo hàm cấp 1: cos , sin 2sin , 2 cosx y zf y f x y z f y z¢ ¢ ¢= = - - = - 9 đạo hàm cấp 2 0, sin , 0 , cos , 2cos , 2 sin xx xy yx xz zx yy yz zy zz f f y f f f f x y f z f f y z ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= = - = = = ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= - = - = = §3 : Khả vi và Vi phân Hàm 2 biến f(x,y) được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu số gia Δf = f(x0+ Δx,y0+ Δy) – f(x0,y0) viết được dưới dạng Δf = A Δx + B Δy + αΔx + βΔy, trong đó A, B là hằng số, α, β →0 khi Δx, Δy →0 . Khi ấy, đại lương A Δx + B Δy được gọi là vi phân của hàm f(x,y) tại (x0,y0) và kí hiệu là df (x0,y0) = A Δx + B Δy Định lý 1: Hàm khả vi tại (x0,y0) thì liên tục tại đó Định lý 2: (Điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f(x,y) khải vi tại (x0,y0) thì nó có các đạo hàm riêng theo x, y tại (x0,y0) và tương ứng bằng A, B trong định nghĩa vi phân. §3 : Khả vi và Vi phân Định lý 3: (Điều kiện đủ khả vi) Cho f(x,y) xác định trong miền mở chứa (x0,y0) và các đạo hàm riêng liên tục tại (x0,y0) thì hàm khả vi tại (x0,y0) Từ 2 định lý 2, 3 ta có biểu thức của vi phân 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy¢ ¢= + Tương tự như hàm 1 biến, ta có các công thức 2 ( ) ( . ) . . . . ( ) d f g df dg d f g g df f dg f g df f dg d g g + = + = + - = §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ: Cho hàm f(x,y) = 2x2y – 3xy2. Tính df(2,-1) Giải: Tính đạo hàm riêng 2 24 3 , 2 6x yf xy y f x xy¢ ¢= - = - Thay vào công thức vi phân df(2,-1) = -11dx + 20dy Ví dụ : Tính vi phân hàm f(x,y) = (xy)z Tương tự như hàm 2 biến, ta có vi phân hàm 3 biến x y zdf f dx f dy f dz¢ ¢ ¢= + + 1 1 ( ) ln( )z z z z zdf zx y dx zx y dy xy xy dz- -= + + Nên ta được §3 : Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1 ( ) ( )x yd f dx d f dy¢ ¢= + 2 ( ) ( )x yd f d df d f dx f dy¢ ¢= = + ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))x x y yd f dx f d dx d f dy f d dy¢ ¢ ¢ ¢= + + + 2 22xx xy yyf dx f dxdy f dy¢¢ ¢¢ ¢¢= + + Hay ta viết dưới dạng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f f f d f dx dxdy dy x x y y ¶ ¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ ¶ Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 2d f dx dy f x y æ ö¶ ¶ ÷ç= + ÷ç ÷çè ø¶ ¶ df dx dy f x y æ ö¶ ¶ ÷ç= + ÷ç ÷çè ø¶ ¶ §3 : Khả vi và Vi phân Tổng quát công thức trên cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3 Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y) 3 3 3 2 2 33 3xxx xxy xyy yyy d f dx dy f x y f dx f dx dy f dxdy f dy æ ö¶ ¶ ÷ç= + ÷ç ÷çè ø¶ ¶ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢= + + + Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z) 2 2 2 2 2 ( , , ) 2 2 2xx yy zz xy yz zx d f x y z dx dy dz f x y z f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx æ ö¶ ¶ ¶ ÷ç= + + ÷ç ÷çè ø¶ ¶ ¶ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= + + + + +