Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương II: Tích phân bội - Nguyễn Thị Xuân Anh

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng hình học của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng hình học của tích phân bội ba CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp I. Mặt Ellipsoid: 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c   1. Phương trình: 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = 0 ta đều nhận được giao tuyến của mặt với 3 mặt tọa độ làcác đường Ellipse. Tức là nếu cả 3 giao tuyến của mặt S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid 3. Cách vẽ hình Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ đường ellipse 2 2 2 2 1 x y a b   trên mặt phẳng nằm ngang z = 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp trên mặt phẳng x = 0 Vẽ thêm đường ellipse 2 2 2 2 1 y z b c   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ mặt ellipsoid 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp x2+y2=1,z=0 x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 trên mặt phẳng y = 0 Có thể vẽ thêm đường ellipse 2 2 2 2 1 x z a c   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp II. Mặt Paraboloid Elliptic: 1. Phương trình : 2 2 2 2 x y z a b 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol và cho z=c, c>0 ta được đường còn lại là 1 đường Ellipse. Tức là nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Paraboloid Elliptic 3. Vẽ hình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường parabol y2 = z trên mặt phẳng x = 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường ellipse x2+y2 = 1 trên mặt phẳng z = 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ mặt parabolid x2+y2 = z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0 z=y2, x=0 z=x2, y=0 x2+y2=1,z=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP III. Mặt Trụ bậc 2: Định nghĩa mặt trụ bậc 2: Mặt trụ bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng song song với 1 phương cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thông thường, ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường sinh song song với 1 trong 3 trục tọa độ. Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt sẽ thiếu biến đó, còn phương trình chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường tròn x2+y2=1, trên mặt z=0 Mặt trụ tạo bởi các đường thẳng song song với Oz và tựa lên đường tròn trên Ví dụ: Mặt x2+y2 = 1 Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0 và ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay theo tên của đường chuẩn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ : Mặt z=x2 Phương trình không chứa y nên nó biểu diễn mặt trụ song song với trục Oy, đường chuẩn là parabol z=x2 trên mặt phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol Vẽ parabol z=x2 trong mặt phẳng y=0 Vẽ mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy, tựa lên đường chuẩn là parabol z=x2 ở trên CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP IV. Mặt nón bậc 2 : Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua 1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt nón, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón Ví dụ: Mặt nón x2+y2=z2 Cắt dọc mặt nón bởi các mặt x=0 hoặc y=0 ta được 2 đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ O, cắt ngang bởi mặt z = c và z = -c , c tùy ý, ta được giao tuyến là 2 đường tròn tâm tại (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính bằng c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ giao tuyến x2+y2=1, z=1 Và giao tuyến x2=z2, y=0 Vẽ mặt nón x2+y2=z2, lấy phần z > 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Thể tích các hình hộp nhỏ với đáy dưới là Dij, trên là phần mặt z=f(x,y) sẽ được tính xấp xỉ với hình hộp chữ nhật đáy là Dij, chiều cao là f(xi,yj). Dij CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Khi đó, vật thể ban đầu có thể tích xấp xỉ với tổng thể tích các hình hộp chữ nhật nhỏ xếp liên tiếp nhau CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1, D2, D3, (các phần không có phần chung) tương ứng có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý. Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y)) 1 ( , ) n n k k k k S f x y S    Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mk Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D) Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là ( , ) D f x y ds Hàm f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. Khi ấy, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính max( ( )) 0 1 ( , ) lim ( , ) k n k k k d D kD f x y ds f x y S     Tức là CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ. Lúc đó Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi, Δyj nên ΔSij = Δxi. Δyj và ds được thay bởi dxdy. Vì vậy, ta thường dùng kí hiệu §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính ( , ) ( , ) D D f x y ds f x y dxdy  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Điều kiện khả tích : Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0. Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn các cung trơn. Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tính chất : Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên D 1. (S(D) là diện tích miền D) ( ) D S D dxdy [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) D D D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy    2. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính ( ) ( , ) ( ) D mS D f x y dxdy MS D  6. Trên D, hàm f(x,y) đạt fmax=M, fmin=m thì ( , ) ( , ) D D Cf x y dxdy C f x y dxdy 3. 4. Chia D thành 2 miền không dẫm lên nhau là E, F thì ( , ) ( , ) ( , ) D E F f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy    ( , ) ( , ) D D f x y dxdy g x y dxdy  5. Nếu f(x,y)≤g(x,y) trên D thì: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý: (Về giá trị trung bình ) Ý nghĩa hình học của tích phân kép : Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có ( , ) D V f x y dxdy  Đại lượng được gọi là giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên miền D 1 ( , ) ( ) D f x y dxdy S D    Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên thông D. Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao cho : 0 0( , ) ( , ) ( ) D f x y dxdy f x y S D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn dưới bởi hình vuông D = [0,2]x[0,2] và giới hạn xung quanh bởi 4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2. Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau : a)Chia D thành 4 phần bằng nhau; b)Chia D thành 16 phần bằng nhau; c)Chia D thành 64 phần bằng nhau; d)Chia D thành 256 phần bằng nhau; e)Tính thể tích vật thể §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 13 7 10 4 34.V      1, 1,...,4.  iD i S (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)   V f f f f §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính i 4 n i D i=1 V V = f(M )譙  2 2 D3 D1 D2 D4 1 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính b. Chia thành 16 phần, V≈ 41,5 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính c. Chia thành 64 phần, V≈44,875 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d. Chia thành 256 phần, V≈46,46875 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính a b 1 2( ) ( )y x y xy     a bx  1) Giả sử D xác định bởi: 2 1 y (x) y (x) b aD I= f(x,y)dxdy= dx f(x,y)dy   y=y1(x) y=y2(x) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1 2( ) ( )x y x yx     §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d c 2) Giả sử D xác định bởi: c dy  x=x1(y) x=x2(y) 2 1 x (y) D d x y)c ( f(x,y)dxdy= dy f(x,y)dx   I CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt   2 2 2 0 2 0 = dx 16-x -2y dy   2 2V= 16-x -2y dxdy D 32 2 2 00 = (16-x ) -2 dx 3 y y        Giải câu e) Tính thể tích của vật thể. 2 2 0 2x   0 2y  2 2 0 16 = 32-2x - dx 3        =48 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ta đi tích phân này bằng 2 cách Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục Ox ta được đoạn [1,4] Đi theo trục Oy từ dưới lên 42 1 ( 4) 3 4 1 ( ) 2 x x y x dx      1 ( 4) 1 4 3 4 - x yx x       4 4 11 ( 4) 3 x x I dx xydy       §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân trong đó D là tam giác ABC với A(1,-1), B(1,3), C(4,0) D I xydxdy  A(1,-1) C(4,0) B(1,3) y=1/3(x-4) y=4-x 4 2 1 4 ( 4) 7 9 x x dx   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3 4 40 3 1 1 0 1 y y I dy xydx dy xydx          Cách 2 : Chiếu miền D xuống trục Oy ta được đoạn [-1,3] A(1,-1) B(1,3) C(4,0) -1 3 Đi theo trục Ox từ trái sang thì không giống như trên, ta sẽ gặp 2 đường BC và AC. Do đó, ta sẽ chia miền D thành 2 phần D1 và D2 D1 D2 x=3y+4 x=-y+4 x=1 0 32 2 3 4 1 1 1 0 4( ) ( ) 2 2 y yy dy y dy x x       §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt    D I x y dxdy 22    x xy 2 1   x   221 2     x x dx x y dy 2 2 21 2 2 (2 ) ((2 ) ) 2            x x x x x dx giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân kép với D là miền ( )  D I x y dxdy 2; 2y x y x   §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 21 2 2 2           x x y yx dx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ta còn có thể xác định cận của tích phân trên mà không cần vẽ hình như sau: Tìm giao điểm của 2 đường biên của miền D: y = x = 2-x2 x = -2, x = 1 x2+x-2 = 0 Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức là ta lấy trong khoảng 2 nghiệm của tam thức f(x) = x2+x-2 nên ta có bất đẳng thức: x2+x-2 ≤ 0 x ≤ 2-x2 Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x2. Vậy ta cũng được   221 2      x x I dx x y dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt , ( 1) 2 4 2 2 , ( 2) 4 4 2 4 , ( 3) 4 4 4 2 , ( 4) 4 2 2 2 x y D x y D x y D x y D                                             D1 D2 D3 D4 Miền D được chia thành 4 phần 2 2 4 2 4 1 2 2 2 cos( ) sin( )I dx x y ydy x dx                    §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân trong đó D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2 cos( ) D I x y dxdy  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ 4 1 2 (cos ( cos )) 0I x x dx         §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại. 2 2 4 4 2 2 4 4 cos( ) cos( )I dx x y dy dx x y dy                   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 2 D I y x dxdy    D I xy dxdy      1 2 2 2 D D y x dxdy x y dxdy         2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 x x dx y x dy dx x y dy          11 15 I  D1 D2 D2 1 2 2 2 D D y x dxdy y x dxdy     §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 1 0 0 xy yI dy e dx   Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích phân này thì ta chiếu D xuống trục nào cũng như nhau. 21 1 0 0 0 ( ) ( )y yy x ye dy ye y dy    §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy Ví dụ: Tính tích phân x y D I e dxdy  Với D là miền giới hạn bởi 2, 0, 1x y x y   1 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chiếu miền D vừa vẽ xuống trục Ox §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau 2 2 0 2 ( , ) y y I dy f x y dx     2 Ta vẽ miền lấy tích phân 0 2y    D: 2 2y x y D1 D2 Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2 -2 2 0 2 2 2 2 0 0 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy         CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt cos sin x r y r      Nhắc lại về tọa độ cực Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa độ Descartes. Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực M(x,y) φ r ( ),g Ox OM r OM      Đặt : 2 2 arctan r x y y x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt : Thì ta được pt r = 1 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 1. (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 2. 2 2 2 2 1 x y a b   x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ 3 cos r↔ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Công thức đổi biến sang tọa độ cực ( , ) ( , ) ( , ) ( cos , sin ) D x y D r f x y dxdy J f r r drd      Trong đó Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc ellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực ( , ) D(r, ) r r x xD x y J y y         = r CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Để xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ. ( 2 ) D I x y dxdy Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : 2 2 2 , 0( 0)x y x y y    Ta được φ đi từ 0 đến π/2 Còn để xác định cận của tích phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 2cos2 0 0 ( cos 2 sin )I d r r r dr        32 2cos 0 0 ((cos 2si 3 n ) ) r d      2 3 0 1 (cos 2sin )8cos 3 d       Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ Vậy : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 20 3 . . a I d r r dr      §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a Trong đó D giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân 2 2 D I x y dxdy  2 2 2, 0, 3 ( , 0)x y a x y x x y     Suy ra: 3 2 3 3 0( )( ) 2 3 3 18 ar a       y=√3x ↔ y/x = √3 ↔ φ = π/3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2sin 3 0 4 . cos . sinI d r r r dr        §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Trong đó D giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân D I xydxdy  2 2 2 , 0x y y x y    y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π/4 Suy ra : 3π/4 ≤φ ≤ π x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 22 4 , 3 0x x y x x y      (2 1) D I y dxdy Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ 03 3 0x y Đây là trường hợp ta có thể không cần vẽ hình cũng lấy được cận tích phân 4cos0 2cos 3 (2 sin 1)I d r r dr          CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ : Tính tích phân 2 2( 2) 1,0x y y    D I xdxdy  Trong đó D giới hạn bởi 2 1 1 -1 Ta đi tích phân này bằng cách dời hình tròn để tâm hình tròn là (0,0), sau đó mới đổi sang tọa độ cực. Thực hiện 2 việc trên bằng 1 phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng như sau: đặt 2 cos sin x r y r       §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khi đó, miền D giới hạn bởi 0 0 1r       Vậy : 1 0 0 (2 cos )I d r r dr      §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ : Tính tích phân 2 2 2 2 1 D x y I dxdy a b    2 2 2 2 1, 0 x y x a b    cos sin x ar J abr y br       Trong đó D giới hạn bởi a b Ta đổi biến sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt Thì D giới hạn bởi 3 2 2 0 1r        3 12 2 0 2 1I d abr r dr       §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 Ứng dụng hình học của tích phân kép 1 1: ( , )S z f x y 1. Diện tích