§2: Tích phân đường loại 1 Và kí hiệu là max 0 ( , ) lim k n l AB f x y dl S Định nghĩa tương tự cho tp đường loại 1 của hàm 3 biến f(x,y,z) Khi đó, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên cung AB Điều kiện khả tích: Hàm f(x,y) liên tục dọc cung trơn từng khúc AB thì khả tích trên cung AB Cung AB có pt tham số x=x(t), y=y(t), a≤t≤b được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) tồn tại, liên tục và không đồng thời bằng 0 trên đoạn [a,b] và gọi là trơn từng khúc nếu nó có thể chia thành 1 số hữu hạn các cung trơn
55 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 331 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương III: Tích phân đường - Nguyễn Thị Xuân Anh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
§1: THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG
§2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
§3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
1. Đường cong trong mặt phẳng: thường được cho
bằng 2 cách
Trường hợp đặc biệt: Có 2 trường hợp
cos
sin
x a R t
y b R t
a. Cho bởi pt tham số
( )
( )
x x t
y y t
( )
x t
y f t
b. Cho bởi pt y=y(x): Ta thường đặt x=t thì pt tham
số sẽ là
a. Viết phương trình tham số của đường tròn
(x-a)2+(y-b)2=R2 ta sẽ đặt
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
b. Viết phương trình tham số của đường ellipse
2 2
2 2
1
x y
a b
2. Đường cong trong không gian: thường được cho
bằng 2 cách
a. Được cho sẵn bởi phương trình tham số
( )
( )
( )
x x t
y y t
z z t
Ta sẽ đặt :
cos
sin
x ar
y br
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
b. Cho là giao tuyến của 2 mặt cong:
( , , ) 0
( , , ) 0
f x y z
g x y z
Khi đó, thông thường ta sẽ đặt 1 trong 3 biến bằng
t, thay vào 2 phương trình trên để được hpt với 2 pt
và 2 ẩn là 2 biến còn lại. Giải hpt đó theo tham số t,
ta sẽ ra 2 biến còn lại cũng tính theo t
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C là
giao tuyến của x2+y2=z2 và ax=y2 (z≥0)
Ta đặt y=t thì 22 2 2
2
2 2 2
1
0 1
( )
x tx y z a
ax y y t
z
z t t a
a
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C là
giao tuyến của x2=y và x=z (x≥0)
2
2
x t
y x
y t
x z
z t
Ta đặt x=t thì
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
Tuy nhiên, trong một số trường hợp thông thường
hay gặp, ta sẽ có cách tham số hóa từng đường
cong cụ thể tùy vào những điểm đặc biệt của chúng
Ví dụ 3: Viết pt tham số của 2 đường cong C1, C2 là
giao tuyến của x2+y2+z2=2, z2=x2+y2
Ta có:
2 2 2 2 2
2 2 2
2 1
1
x y z x y
zz x y
Tức là C1, C2 vừa là giao tuyến của mặt cầu và mặt
nón vừa là giao tuyến của mặt trụ với 2 mặt phẳng.
Nói cách khác: C1, C2 là 2 đường tròn đơn vị nằm
trên 2 mp đối xứng nhau qua mp z=0.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
Khi đó, ta đặt x=cost thì suy ra y=sint. Vậy pt tham số
của C là sin
cos
1
x t
y t
z
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường cong
C: x2+y2+z2=a2, x=y
Thay x=y vào phương trình mặt cầu
2 2 2 2 2 2 2 cos2
2
sin
a
x y tx y z a x z a
x y x y
z a t
Ta được: 2x2+z2=a2 , là pt của đường ellipse. Tức là
C là đường ellipse 2x2+z2=a2 trên mp x=y
Đặt 2x2=a2cos2t thì suy ra z2=a2sin2t.
Vậy ta được:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường cong
C: x2+y2+z2=4 và x2+y2=2x lấy phần ứng với z dương
Từ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ (x-1)2+y2=1
Ta đặt x-1=cost, suy ra y=sint và thay vào pt mặt cầu
1 cos
sin
4 2(1 cos )
x t
y t
z t
2 2 2
2 2
4
2
x y z
x y x
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
Ví dụ 6: Viết phương trình tham số của đường cong
C: x2+y2+z2=6z và z=3-x
Ta viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z)2=9
Thay 3-z=x vào để được C là đường ellipse 2x2+y2=9
trên mp x=3-z
Đặt 2x2=3cos2t, thì y2=3sin2t
Vậy: 3
cos
2
3sin
3
3 cos
2
x t
y t
z t
2 2 2 2 26 2 9
3 3
x y z z x y
z x z x
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§1: Tham số hóa đường cong
Ví dụ 7: Viết phương trình tham số của đường cong
C: x2+y2+z2=2 và x+y+z=0
Thay z=-(x+y) từ pt mặt phẳng vào pt mặt cầu:
x2+y2+(x+y)2=2 ↔ x2+y2+xy=1
22
1 3
1
2 2
x y y
Do đó, ta được
22
2 2 2
1
cos
2
1 3
12 3
sin2 2
20
x y t
x y yx y z
y t
x y z
z x y z x y
Vậy pt tham số của C là
1 2 1cos sin , sin , cos sin
3 3 3
x t t y t z t t
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định trên cung AB.
A
B
Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia
A=A0, A1, A2, An=B
An
Ak+1 Ak
A0
A1
Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 có độ dài là Δlk lấy 1 điểm
Mk(xk,yk) bất kỳ
Mk
xk
yk
Cho max Δlk → 0, nếu
Sn có giới hạn hữu
hạn không phụ thuộc
cách chia cung AB và
cách lấy điểm Mk thì
giới hạn đó được gọi
là tp đường loại 1 của
hàm f(x,y) dọc cung
AB
Lập tổng
0
( , )
n
n k k k
k
S f x y l
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Và kí hiệu là
max 0
( , ) lim
k
n
l
AB
f x y dl S
Định nghĩa tương tự cho tp đường loại 1 của hàm
3 biến f(x,y,z)
Khi đó, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên cung AB
Điều kiện khả tích: Hàm f(x,y) liên tục dọc cung trơn
từng khúc AB thì khả tích trên cung AB
Cung AB có pt tham số x=x(t), y=y(t), a≤t≤b được gọi là
trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) tồn tại, liên tục và không
đồng thời bằng 0 trên đoạn [a,b] và gọi là trơn từng khúc
nếu nó có thể chia thành 1 số hữu hạn các cung trơn
Từ định nghĩa, ta suy ra
cách tính độ dài cung AB
AB
AB
L dl
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Các tính chất: Các hàm f, g khả tích trên cung AB
Tính chất 1: TP đường loại 1 không phụ thuộc vào
hướng của đường lấy tp, tức là ( , ) ( , )
AB BA
f x y dl f x y dl
Tính chất 2: Với λ, μ là các hằng số thì λf+ μg cũng
khả tích trên AB và
( )
AB AB AB
f g dl fdl gdl
Tính chất 3: Cho C là điểm bất kỳ trên cung AB thì
AB AC CB
fdl fdl fdl
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Tính chất 4: Nếu f ≥0 trên cung AB thì 0
AB
fdl
Tính chất 5:
AB AB
fdl f dl
Tính chất 6: Tồn tại điểm M thuộc cung AB sao cho
1
( )
AB AB
fdl f M
L
Trong đó, LAB là độ dài cung AB. Ta gọi f(M) là giá trị
trung bình của hàm f trên cung AB
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Ta chia thành 3 trường hợp nếu cung AB trong mp Oxy:
TH1: Cung AB có pt y=y(x), x1≤x≤x2 thì
2
1
2( , ) ( , ( )) 1
x
x
AB x
f x y dl f x y x y dx
TH2: Cung AB có pt x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2 thì
2
1
2 2( , ) ( ( ), ( ))
t
t t
AB t
f x y dl f x t y t x y dt
TH3: Cung AB có pt r=r(φ), φ1≤φ≤ φ2 thì :
2
1
2 2( , ) ( ( )cos , ( )sin ) ( ) ( )
AB
f x y dl f r r r r d
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Nếu AB là cung trong không gian có pt tham số
1 2
( )
( )
( ),
x x t
y y t
z z t t t t
Thì
2
1
2 2 2( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )
t
AB t
f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Ví dụ 1: Tính tích phân đường loại 1 trên biên của
ΔABC với A(1,1), B(3,3), C(1,5) của hàm f(x,y)=x+y
Biên của ΔABC gồm 3 đoạn
AB: y=x, 1≤x ≤3, BC: y=6-x, 1≤x ≤3, CA: x=1, 1≤y≤5
5
C
B
1
3
5 1
A
I1=IAB+IBC+ICA
Trên đoạn AB: thay y=x và
21 ( ) 2y x
Ta được :
3
1
( ) 2ABI x x dx 8 2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Tương tự, ta cũng có
3
1
6 2 12 2BCI dx
5
1
(1 ) 16CAI y dy
Vậy
1 ( ) 20 2 16
C
I x y dl
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Ví dụ 2: Tính
2 2
2 ( )
C
I x y dl Với C là phần đường
tròn x2+y2=4, x≥0, y≤0
2
-2
Có 3 cách để tính tp I2 như sau
Cách 1: Tính 24 ,0 2y x x
Suy ra 2
2
2
1 ( )
4
y x
x
Vậy:
2
2 2
2 2
0
2
( (4 ))
4
I x x dx
x
2
2
2
2sin 0
2 (8sin 4)
x t
I t dt =0
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Cách 2: Viết pt C trong tọa độ cực
Suy ra:
Vậy:
2
2 2
2
3
2
(4cos 4sin ).2I d
2 2( )cos 2cos , ( )sin 2sin , ( ) ( ) 2x r y r r r
=0
32, 2
2
r
Cách 3: Viết pt tham số của C bằng cách đặt
x=2cost thì y=2sint
Suy ra : 2 2( ) ( ) 2x t y t
Và ta được tích phân như đã tính trong Cách 2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Ví dụ 3: Tính Với C là giao tuyến của
x2+y2+z2=4, x2+y2=1,z≥0
3 2
C
I xzdl
Đây là tp đường loại 1 trong không gian nên ta bắt
buộc phải viết pt tham số của C
Thay x2+y2=1 vào pt mặt cầu ta được 3z
Nên ta đặt x=cost, để có y=sint
Suy ra
2 2 2( ) ( ) ( ) 1x t y t z t
Vậy : 2
3
0
2.cos . 3.1I t dt =0
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 1
Ví dụ 4: Tính độ dài phần đường parabol y=x2 với
0≤x≤2
Ta có 2 21 ( ) 1 4y x x
Vậy :
2
2
0
1 4C
C
L dl x dx
1
ln(4 17)
2
CL
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2- Cách tính
Định nghĩa: Cho hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung
AB trong mp Oxy
A
B
Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia
A=A0, A1, A2, An=B, Ak(xk,yk)
An
Ak+1 Ak
A0
A1
Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 lấy 1 điểm Mk bất kỳ, đặt
Δxk=xk+1-xk, Δyk=yk+1-yk , Δlk là độ dài cung
Mk Δyk
Δxk
Lập tổng
0
( ) ( )
n
n k k k k
k
S P M x Q M y
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cho max Δlk → 0, nếu Sn có giới hạn hữu hạn không
phụ thuộc cách chia cung AB và cách lấy điểm Mk thì
giới hạn đó được gọi là tp đường loại 2 của các hàm
P(x,y) và Q(x,y) dọc cung AB và kí hiệu là
§2: Tích phân đường loại 2- Cách tính
max 0
( , ) ( , ) lim
k
n
l
AB
P x y dx Q x y dy S
Điều kiện tồn tại: Nếu các hàm P, Q liên tục trong
miền mở chứa cung AB trơn từng khúc thì tồn tại tích
phân đường loại 2 của P, Q dọc cung AB
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính
Tính chất :
Tích phân đường loại 2 đổi dấu nếu hướng đi trên
cung AB thay đổi
AB BA
Pdx Qdy Pdx Qdy
Trường hợp đường lấy tp là đường cong kín C, ta
quy ước hướng dương trên C là hướng mà khi đi
dọc C thì miền giới hạn bởi C nằm về bên trái.
Hướng âm là hướng ngược với hướng dương
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2– Cách tính
Cách tính tích phân đường loại 2
Nếu cung AB có phương trình y=y(x), đi từ
A(x1,y(x1)) đến B(x2,y(x2)) thì
2
2
( , ( )) ( , ( )) ( )
x
AB x
Pdx Qdy P x y x Q x y x y x dx
Nếu cung AB có phương trình tham số x=x(t), y=y(t)
đi từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thì
2
1
( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( )
t
AB t
Pdx Qdy P x t y t x t Q x t y t y t dt
Nếu AB là đường cong không gian, ta có cách tính
tương tự khi có pt tham số của đường cong
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính
Ví dụ 1: Tính tích phân I1 đi từ A(0,0) đến B(1,1) của
2 hàm P=x2 và Q=xy theo các đường
1.Đường thẳng
2.Parabol y=x2
3.Đường tròn x2+y2=2x
1
1
1. AB là đoạn thẳng y=x, x từ 0 đến 1
1
2 2 2
1
0
( )
AB
I x dx xydy x x dx
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính
1
1
2. AB là phần parabol y=x2 với x
từ 0 đến 1, y’=2x
1
2 2
1
0
( . .2 )I x x x x dx
3. AB là phần đường tròn x2+y2=2x
Ta viết pt tham số của AB bằng cách viết lại pt
(x-1)2+y2=1 và đặt x=1+cost thì y=sint với t đi từ π
đến π/2
2
2
1 (1 cos ) ( sin ) (1 cos )(sin )cosI t t t t t dt
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính
Ví dụ 2: Tính tp đường loại 2 của 2 hàm P=x2+2y và
Q=y2 trên đường cong C : y=1-|1-x| với x đi từ 0 đến 2
Ta viết lại pt đường cong C:
, 1
2 ,1
x x
y
x x
Vậy :
2 1
1
1 2
2 2 2 2
2
0 1
( 2 ) ( 2(2 )) (2 ) ( 1)I x x x dx x x x dx
2
C
I Pdx Qdy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính
của 2 mặt y=x2 và x=z đi từ O(0,0,0) đến A(1,1,1)
Ví dụ 3: Tính
3
C
I xdx zdy ydz với C là giao tuyến
Ta viết pt tham số của C bằng cách đặt x=t thì ta được
: y=t2, z=t, t đi từ 0 đến 1
Vậy :
1
2
3
0
.2I t t t t dt
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
CÔNG THỨC GREEN: Mối liên hệ giữa tích phân
kép và tích phân đường loại 2
Định lý Green : Cho D là miền đóng, bị chặn trong
mp Oxy với biên C trơn từng khúc. Các hàm P(x,y)
và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa D. Khi ấy ta
có công thức Green
( )x y
C D
Pdx Qdy Q P dxdy
Trong đó, tp kép lấy dấu “+” nếu hướng đi trên
đường cong kín C là hướng dương và dấu “-” nếu
ngược lại
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
Chu tuyến kín C có thể bao gồm nhiều chu tuyến
C1, C2, Miền D được gọi là miền đơn liên nếu mỗi
chu tuyến kín đó có thể co vào 1 điểm thuộc D, khi
đó trong D không có “lỗ thủng”
C1
D C2
C3
.P2
.P1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
1.Tính trực tiếp: Ta tính bằng cách viết pt tham số
đường tròn đi ngược chiều kim đồng hồ
x=1+2cost, y=-1+2sint, t
đi từ 0 đến 2π
Ví dụ 4: Cho
Với C chu tuyến dương của hình tròn
(x-1)2+(y+1)2=4. Tính tp trên bằng 2 cách: trực tiếp
và dùng công thức Green
4 (4 2 ) (2 3 )
C
I x y dx x y dy
Suy ra :
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
2
4
0
4(1 2cos ) 2( 1 2sin ( 2sin )
2(1 2cos ) 3( 1 2sin 2 s
t t tdt
I
t t co tdt
2
2 2
4
0
8sin 8cosI t t dt =0
2. Dùng CT Green với C là biên dương của miền
D: (x-1)2+(y+1)2≤4 và P=4x-2y, Q=-(2x+3y) tức là
Q’x-P’y = -2-(-2) = 0
Vậy:
4 ( )x y
D
I Q P dxdy =0
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
Ví dụ 6: Tính
2 2 2
5 2( ) ( )
C
I x y dx x y dy
Với C là chu tuyến ΔABC, A(2,1), B(6,1), C(4,3)
ngược chiều kim đồng hồ bằng 2 cách : Trực tiếp
và dùng CT Green
1. Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số 3 cạnh
Pt AB đi qua A(2,1) và vecto chỉ phương
x=2+4t, y=1, t từ 0 đến 1 C
B A
pt BC: x=6-2t, y=1+2t, t từ 0 đến 1
pt CA: x=4-2t, y=3-2t, t từ 0 đến 1
(4,0)AB
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
Vậy:
5
152
3
I
1
2
2 2 2
5
2 2 2
0
2 (2 4 ) 1 4 )
2 (6 2 ) (1 2 ) ( 2 ) 7 .2
2 (4 2 ) (3 2 ) ( 2 ) (7 4 ) ( 2 )
t dt
I t t dt dt
t t dt t dt
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
C
B A
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
2. Dùng CT Green:
Miền lấy tp kép D: ΔABC, dấu tp kép: +, hàm dưới
dấu tp kép : Q’x-P’y=2x-2y
Vậy: 73
5
1 1
(2 2 )
y
y
I dy x y dx
5
152
3
I
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
Ví dụ 6: Tính
6 sin 3 2 cos 4
y y
C
I e x x y dy e x y dx
Với C là phần đường tròn x2+y2=2y, x≥0, đi từ (0,2)
đến (0,0)
Không thể tích trực tiếp tích phân này. Ta sẽ tính
bằng cách áp dụng CT Green.
Tuy nhiên C là đường cong
không kín, nên ta phải “bù”
thêm đường cong đi từ (0,0)
đến (2,0) để được đường cong
kín.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
Đường cong bù thêm còn phải được
chọn sao cho việc tính tp đường loại
2 của 2 hàm đã cho trên đó là dễ
nhất tức là ta sẽ chọn đt song song
với các trục tọa độ
Với ví dụ này, ta chọn C1 là phần đt
x=0 từ (0,0) đến (2,0)
Như vậy, đường cong kín CUC1 là biên âm của
miền D: x2+y2≤2y, x≥0
Áp dụng CT Green, ta được :
1
( )x y
C C D
Pdx Qdy Q P dxdy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
1
( )x y
C C D
Pdx Qdy Q P dxdy
1
7
C C D
Pdx Qdy Pdx Qdy dxdy
1
0
2 7 ( )
C
Pdx Qdy ydy S D
6
7
4
2
I
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
Ví dụ 7: Cho 2 hàm
2 2 2 2
( , ) , ( , )
y x
P x y Q x y
x y x y
Tính 7
C
I Pdx Qdy với C là chu tuyến kín, dương
1.Của hình vuông |x|+|y|=1
2.Của hình tròn x2+y2=1
3.Không bao quanh gốc tọa độ
Nhận xét : Ta có Q’x=P’y và 2 hàm P, Q đều không xác
định tại gốc tạo độ O(0,0) tức là nếu đường cong C bất
kỳ bao kín miền D chứa O thì ta sẽ không áp dụng
được CT Green
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
1. Hình vuông |x|+|y|=1
chứa O. Để áp dụng CT
Green, ta sẽ “khoét” đi phần
chứa O.
Cụ thể, ta gọi C1 là đường
tròn x2+y2=r2, với r đủ nhỏ
lấy cùng chiều kim đồng
hồ
Áp dụng CT Green trên CUC1 là biên dương của
miền D: |x|+|y|≤1, x2+y2≥r2, ta được
1
( )x y
C C D
Pdx Qdy Q P dxdy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
1C C
Pdx Qdy Pdx Qdy
1
7 2
C
xdy ydx
I
r
Đặt x=rcost, y=rsint ta được
0
7 2
2
1
cos . cos sin .( sin )I r t r tdt r t r tdt
r
I7 = 2π
1
( )x y
C C D
Pdx Qdy Q P dxdy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
2. C là chu tuyến dương của đường tròn x2+y2=1
nên ta thay vào 2 hàm P, Q để được
7
C
I xdy ydx
Ta áp dụng được CT Green để được
I7 = 2π
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 – CT Green
3. Do C không bao quanh gốc tọa độ nên ta áp
dụng được CT Green.
Vì Q’x=P’y nên ta có I7=0
Chú ý: Cách làm ở câu 1. không chỉ đúng cho khi C
là chu tuyến dương của hình vuông mà còn được
làm tương tự khi C là đường cong bất kỳ bao gốc
tọa độ. Tức là với mọi chu tuyến dương bao kín
miền D chứa gốc tọa độ ta luôn có I7 = 2π
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 KHÔNG PHỤ THUỘC
ĐƯỜNG ĐI
Cho các hàm P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng
liên tục trong miền mở, đơn liên D. 4 mệnh đề sau
tương đương
1.Q’x = P’y
AB
Pdx Qdy2. không phụ thuộc đường cong trơn
từng khúc nối từ A đến B trong D
3. 0
C
Pdx Qdy Với mọi chu tuyến C kín, trơn
từng khúc trong D
4. Tồn tại hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi
Cách làm:
1. Thông thường, ta sẽ kiểm tra điều kiện 1. hoặc 4.
(nếu là hàm đã cho sẵn)
2. Nếu điều kiện 4. thỏa, ta sẽ có cách 1 để tính tp:
Tìm hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy tức là ta đi
giải hệ U’x=P, U’y=Q và thay vào tích phân (A là
điểm đầu, B là điểm cuối)
( ) ( )
AB AB
Pdx Qdy dU U B U A
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Cách 2: Kiểm tra điều kiện 1. đúng thì ta sẽ chọn
đường nối từ A đến B nằm hoàn toàn trong D là
đường gấp khúc theo các đt song song với các trục
tọa độ
§2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi
A
B
Khi đó : ( , ) ( , )
B B
A A
y x
A B
AB y x
Pdx Qdy Q x y dy P x y dx
Hoặc
( , ) ( , )
B B
A A
x y
A B
x y
P x y dx Q x y dy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi
Cách 1: Tìm hàm U sao cho U’x=y, U’y=x
Ví dụ 8: Tính
(4,2)
8
(2,1)
I xdy ydx
Ta được U(x,y)=xy. Nên I8 = 4.2-2.1 = 6
Cách 2: Kiểm tra điều kiện Q’x=P’y = 1, vì P=y, Q=x
4 2
8
2 1
4 2 4.1 6I dx dy
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi
Ví dụ 9: Tính các tích phân
(1,2)
9 2
(2,1)
xdy ydx
I
x
theo đường cong không cắt trục Oy
(1,2,3)
2 2
10
(0,0,0)
2 ( ) 2I xydx x z dy yzdz
9. Tìm hàm U sao cho :
2 2
1
,x y
y x
U U
xx x
Ta được
y
U
x
(1,2)
9
(2,1)
3
(1,2) (2,1)
2
I dU U U
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
§2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi
10. Ta tìm hàm U(x,y,z) sao cho dU=Pdx+Qdy+Rdz
Suy ra U’x=2xy, U’y=x
2-z2, U’z=-2yz
Đạo hàm theo x của U là 2xy thì nguyên hàm chắc
chắn có số hạng x2y
Đạo hàm theo y của U có x2-z2 t