Bài giảng môn Toán cao cấp - Phần 1

Company LOGO BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP Phần 1 (lưu hành nội bộ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC UEF Tp.HCM Năm 2017 Company LOGO HÀM SỐ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC CHƯƠNG 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC UEF §1 – HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 – HÀM SỐ 1 – Định nghĩa Cho X, Y Ì R, một quy tắc cho tương ứng mỗi số thực x Ỵ X với một số thực duy nhất y Ỵ Yđược gọi là một hàm số với mơt biến số thực x và ký hiệu là: f : X Y x y= f(x) hay y= f(x) Tập X được gọi là miền xác định của hàm số f Tập f(X) = { f(x)/xỴX)} được gọi là miền giá trị của f 2 – Đồ thị của hàm số Cho hàm số y = f(x) cĩ miền xác định là X. Ta gọi tập hợp: G = {M(x; f(x))/xỴX} là đồ thị của hàm số f Biểu diễn tất cả các điểm M(x; f(x))/xỴX lên mặt phẳng xOy thì ta nhận được một đường cong. Ta cũng gọi đường cong đĩ là đồ thị của hàm số f 3 – Cách cho hàm số  x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 9 4 1 0 1 4 9 3 – Cách cho hàm số Cách 3: Cho hàm số theo kiểu phân đoạn Chú ý: Cho hàm số y = f(x) ta thấy MXĐ của hàm số này là D = {x Ỵ R/ f(x) cĩ nghĩa} Bài Tập: Bài tập Bài tập 1.2 – CÁC LOẠI HÀM SỐ 1 – Hàm đơn điệu Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a,b).Ta nói hàm số y = f(x) là một hàm tăng (giảm) trong khoảng (a, b) nếu ta có:           1 2 1 2 1 1 22, , / :x x a b x x f f x ff x xx     Hàm số tăng hay giảm trên một miền được gọi là hàm đơn điệu trên miền đó 2 – Hàm chẵn lẻ Cho hàm số y = f(x) xác định trong một miền D nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Ta nói rằng hàm số y = f(x) là một hàm chẵn (lẻ) trên D nếu x Ỵ D ta có f(-x) = f(x) (f(-x) = -f(x)) Ghi chú: Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 3 – Hàm tuần hồn Cho hàm số y = f(x) xác định trong một miền D. Nếu tồn tại số thực T > 0 sao cho: f(x+T) = f (x) ( x Ỵ D) thì f(x) được gọi là một hàm tuần hoàn trên miền D Số thực dương T0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số f 4 – Hàm hợp Cho hàm số y = f(u), trong đó u là một hàm số của x nghĩa là u = u(x). Khi đó y là một hàm số của x, ta nói rằng y là hàm hợp có biến là x thông qua biến trung gian u. Ký hiệu là y = f(u(x)) hay y = fou ( ) : ( ) y f u hay u u x   Bài tập 5 – Hàm ngược 1 - Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X. Ta nói rằng f là một hàm 1 – 1 nếu thỏa mãn các điều kiện:  x1 x2 Ỵ X: x1 ≠ x2 ta có f(x1) ≠ f(x2 ).  f(X)=Y. Nếu f là một hàm 1 – 1 ta có:  y Ỵ Y , !x Ỵ X / y = f(x). Khi đó ta lập được một hàm số x theo biến y, ký hiệu là x = f-1(y) Ta gọi hàm số x = f-1(y) là hàm ngược của hàm số y = f(x) và cũng ký hiệu là y = f-1(x) 2 – Ghi chú: Các hàm số đơn điệu trên một khoảng (a, b) là những hàm 1 – 1 nên chúng có hàm ngược Đồ thị hàm ngược của hàm số y = f(x) đối xứng với đồ thị của hàm số đó qua đường phân giác thứ nhất 6 – Hàm bị chặn Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) (1) Nếu M Ỵ R sao cho x Ỵ (a, b) ta cĩ f(x) ≤ M thì ta nĩi f(x) bị chặn trên bởi M (2) Nếu m Ỵ R sao cho x Ỵ (a, b) ta cĩ f(x) ≥ m thì ta nĩi f(x) bị chặn dưới bởi m (3) Nếu f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trong khoảng (a, b) thì ta nĩi f(x) là hàm số bị chặn trong khoảng (a, b) 1.3 – CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1 – Hàm hằng: y = C ( C là hằng số) Hàm hằng cĩ tập xác định là R và cĩ tập giá trị là { C } 2 – Hàm lũy thừa: y = xα (α Ỵ R) Miền xác định và miền giá trị của hàm lũy thừa tùy thuộc vào α: Hàm số y = xn (n Ỵ N) cĩ MXĐ là R;  Nếu n lẻ thì MGT của hàm số là R  Nếu n chẵn thì MGT của hàm số là [0; +) Nếu hàm lũy thừa cĩ dạng 1 221) kky x x  1 2 12 12) kky x x  thì MXĐ là tập hợp R và MGT cũng là R thì MXĐ là tập [0; + ) và MGT cũng là [0; + ) 3 – Hàm số mũ y = ax(a>0; a≠1) Hàm số mũ cĩ MXĐ Là R và cĩ MGT là R+ Nếu a > 1 thì hàm số mũ đồng biến Nếu 0 < a < 1 thì hàm số mũ nghịch biến 4 – Hàm lơgarit y = logax (a>0; a≠1) Hàm lơgarit là hàm ngược của hàm số mũ: y = logax  x = ay Hàm logarit cĩ MXĐ Là R+ và cĩ MGT là R Nếu a > 1 thì hàm logarit đồng biến Nếu 0 < a < 1 thì hàm logarit nghịch biến Ký hiệu: lgx = log10x; lnx = logex 5 – Các hàm lượng giác (1) Hàm y = sin x Hàm y = sinx cĩ MXĐ là R; MGT là [-1,1] Hàm y = sin x là một hàm lẻ và là hàm tuần hồn cĩ chu kỳ 2π (2) Hàm y = cos x Hàm y = cosx cĩ MXĐ là R; MGT là [-1,1] Hàm y = cosx là một hàm chẵn và là hàm tuần hồn cĩ chu kỳ 2π (3) Hàm y = tanx Hàm y = tanx cĩ MXĐ là R \ {π/2+kπ (kỴZ)} và MGT là R; Hàm y = tanx là một hàm lẻ và là hàm tuần hồn cĩ chu kỳ π Hàm y = tanx là hàm tăng trên từng khoảng xác định của nĩ (4) Hàm y = cotanx Hàm y = cotanx cĩ MXĐ là R\ {kπ (kỴZ)} và MGT là R; Hàm y = cotanx là một hàm lẻ và là hàm tuần hồn cĩ chu kỳ π Hàm y = cotanx là hàm giảm trên từng khoảng xác định của nĩ 6 – Các hàm lượng giác ngược 1 – Hàm y = arcsinx Hàm y = arcsinx là hàm ngược của hàm sinx trên đoạn [- π/2; π/2]: Hàm y = arcsinx x = sin y ( y Ỵ [- π/2; π/2]) Hàm y = arcsinx cĩ MXĐ là [-1;1] cĩ MGT là [- π/2; π/2] Hàm y = arcsinx là một hàm lẻ và là hàm tăng trên MXĐ 2 – Hàm y = arccosx Hàm y = arccosx là hàm ngược của hàm cosx trên đoạn [0; π] : y = arccosx x = cosy ( y Ỵ [0; π]) Hàm y = arccosx cĩ MXĐ là [-1;1] cĩ MGT là [0; π] Hàm y = arccosx là một hàm chẵn và là hàm giảm trên MXĐ 3 – Hàm y = arctanx Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm tanx trong khoảng (-π/2; π/2) : y = arctanx  x = tany (y Ỵ (-π/2; π/2)) Hàm y = arctanx cĩ MXĐ là R cĩ MGT là (-π/2; π/2) Hàm y = arctanx là một hàm lẻ và là hàm tăng trên MXĐ 4 – Hàm y = arccotanx Hàm y = arccotanx là hàm ngược của hàm cotanx trong khoảng (0; π) : y = arccotanx  x = cotany (yỴ(0; π)) Hàm y = arccotanx cĩ MXĐ là R cĩ MGT là (0; π) Hàm y = arccotanx là một hàm lẻ và là hàm giảm trên MXĐ 1.4 – Hàm số sơ cấp Nếu thực hiện một số hữu hạn các phép tốn hàm ( tổng, hiệu, tích, thương và hợp các hàm) trên một số hữu hạn các hàm số sơ cấp cơ bản thì ta nhận được một hàm số mới và ta gọi hàm số đĩ là hàm số sơ cấp §3 – GIỚI HẠN HÀM SỐ 3.1 – Các khái niệm 1 - Giới hạn hàm số Ta nĩi rằng hàm số f(x) cĩ giới hạn là L khi x tiến tới x0 nếu thỏa mãn điều kiện sau: 0 0 0 0, 0 | : ( ) lim ( ) f(x) khi x x x x x x x f x L L f x hay L                  ta có: Ky ùhiệu là : 2 – Các khái niệm khác Giới hạn ở vơ cùng   0 01) lim ( ) 0, 0 / :| |x x f x M x x x M              ta có : f x   0 02) lim ( ) 0, 0 / :| |x x f x M x x x M               ta có: f x Giới hạn một phía 0 01) lim ( ) 0, 0 | : 0 ( ) x x f x L x x x f x L                 ta có 0 02) lim ( ) 0, 0 | : 0 ( ) x x f x L x x x f x L                 ta có 0 0 0 3) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x f x L      Ta thấy : 3.2 – Các định lý về giới hạn hàm số Định lý 1 Giới hạn của hàm số khi x tiến tới x0 (nếu cĩ) là duy nhất Định lý 2 Nếu f(x) và g(x) là những hàm số cĩ giới hạn khi x tiến tới x0 thì các hàm số : f(x) + g(x); f(x) - g(x); kf(x)(k Ỵ R); f(x).g(x); f(x) / g(x) và f(x)g(x) cũng cĩ giới hạn khi x tiến tới x0 Hơn nữa:   0 0 0 (1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x       0 0 (2) lim lim ( ) x x x x kf x k f x    0 0 0 (3) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x         00 0 0 lim ( ) (4) lim : lim ( ) 0 lim ( ) x x x x x x x x f xf x DK g x g x g x           0 0 0 0 lim ( ) (5) lim ( ) lim ( ) : lim ( ) 0 x x g x g x x x x x x x f x f x DK f x           Định lý 3 1) Nếu f(x), g(x), h(x) là những hàm số thỏa mãn điều kiện: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) với mọi x nằm trong một lân cận nào đĩ của điểm x0. Khi đĩ: Nếu g(x) và h(x) đều cĩ giới hạn là L khi x tiến tới x0 thì f(x) cũng cĩ giới hạn là L khi x tiến tới x0 2) Nếu f(x) là hàm số tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì f(x) cĩ giới hạn khi x → +  ( x → -  ) Khái niệm về dạng vơ định Khi các điều kiện của Định lý 2 khơng thỏa mãn ta cũng cĩ thể tìm được giới hạn của các hàm số, trừ các trường hợp sau đây:  -  ; 0.  ; 0/0; / ; 1; 00; 0 Ta thường gọi các trường hợp này là các dạng vơ định của giới hạn hàm số. Khi gặp chúng ta phải tìm cách khử nĩ đi (gọi là khử dạng vơ định) 3.3 – Các giới hạn cơ bản 0 0 sin tan (1) lim 1; lim 1 x x x x x x     1 0 1 (2) lim 1 ; lim 1 x x x x e x e x           0 0 ln 11 (3)lim 1; lim 1 x x x xe x x     (4) lim ; lim 0x x x x e e    (5) lim arctan ; lim arctan 2 2x x x x     0 (6) lim ln ; lim ln x x x x     3.5 – Phương pháp khử dạng vơ định 1 – Phương pháp tổng quát: Tinh thần cơ bản của bài tốn tìm giới hạn hàm số là tìm cách khử các dạng vơ định của bài tốn đĩ 2 – Cách khử một số dạng vơ định thường gặp (1) Khử dạng vơ định / Tìm cách chia tử và mẫu số cho lũy thừa bậc cao nhất của đối số (2) Khử dạng vơ định 0/0 Nếu giới hạn cĩ dạng lim [P(x)/Q(x)] thì ta tìm cách chia tử và mẫu số cho thừa số x – x0 Nếu giới hạn cĩ liên quan tới hàm mũ, logarit, hàm lượng giác thì tìm cách đưa về giới hạn cơ bản Nếu giới hạn cĩ chứa hiệu căn thức thì ta khử căn thức bằng cách nhân và chia cho lượng căn thức liên hợp (3) Khử các dạng vơ định 0. ;  -  Tìm cách biến đổi về một trong hai dạng vơ định trên (4) Khử dạng vơ định 1 ; 00; 0 B1: Logaritnepe hai vế B2: Tìm giới hạn vế phải B3: Suy ra kết quả của bài tốn 3 – Các ví dụ luyện tập Ví dụ 1: Tính giới hạn hàm số 3 2 22 3 2 (1) lim 6x x x xL x x     31 1 3 (2) lim 1 1x L x x       Giải 3 2 22 2 2 3 2 0 (1) lim 6 0 ( 1)( 2) ( 1) 2 lim lim ( 2)( 3) 3 5 x x x x x xL x x x x x x x x x x                     31 2 2 3 31 1 2 21 1 1 3 (2) lim 1 1 1 3 2 0 lim lim 1 1 0 ( 1)( 2) ( 2) =lim lim 1 (1 )( 1) 1 x x x x x L x x x x x x x x x x x x x x x x                                      Ví dụ 2 Tìm giới hạn của các hàm số sau 38 9 2 5 (1) lim 2x xL x     2 2(2) lim 2 2xL x x x x     3 3 2(3) lim 3 1xL x x x    Giải        38 2 3 3 8 9 2 5 0 (1) lim 02 9 2 25 2. 4 lim 8 9 2 5 x x xL x x x x x x                             2 3 3 8 2 16 2. 4 lim 8 9 2 5x x x x x x            23 3 8 2. 4 12 2 lim 59 2 5x x x x      Giải   2 2(2) lim 2 2xL x x x x        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 2 2 2 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x              2 2 4 lim 2 2x x x x x x        2 2 2 2 4 4 4 lim lim 2 22 22 2 1 1 x xx x x x x xx x               3 3 2 3 2 3 2 3 33 2 3 2 2 (3) lim 3 3 lim 3 3 x x L x x x x x x x x x x x x                2 2 3 33 2 3 2 2 3 lim 3 3 x x x x x x x x          2 3 3 3 3 lim 1 1 1 13 3 1 1 1 x x x           Ví dụ 3 20 1 cos lim x xL x  Tính các giới hạn sau: 0 arcsin lim x xL x  0 1 1 lim sin tanx L x x      Giải 2 2 20 0 2 0 2sin1 cos 2(1) lim lim sin 1 1 12 lim2. 2. 4 4 2 2 x x x x xL x x x x               0 0 0 arcsin sin 0 ì 0 arcsin 1 1 lim lim lim 1 sinsin 1x t t t x x t x t x t tx t t             (2) Đặt Khi th Suy ra : L =   0 1 1 (3) lim sin tanx L x x        0 0 0 1sin sin 1sintan sin coscoslim lim lim sin sinsin tan sin sin cos cos x x x x xxx x xx x xx x x x x x              2 0 0 0 1 2sin1 1 cos 2coslim lim lim sin sin 2sin cos cos 2 2 x x x x xx x x xx x                      0 sin 2 lim 0 cos 2 x x x         Ví dụ 4: Tính các giới hạn 2 2 1 sin (1) lim 2 x xL x        4 cos sin (2) lim cos 2x x xL x  6 sin 6 (3) lim 3 cos 2 x x L x         Giải 2 2 1 sin 0 (1) lim 0 2 x xL x            2 2 1 cos 2 lim : cos sin 2 2 x x do x x x                      2 2 2 2 2 2 2sin 2sin 14 2 4 2 lim lim 2 4 2 4 2 x x x x xx                               4cos sin 0 (2) lim cos2 0x x xL x         2 2 4 4 cos sin cos sin lim lim cos sin cos sin cos sinx x x x x x x x x x x x        4 1 1 1 lim cos sin 2 2 2 2 2 x x x     6sin 06 (3) lim 03 cos 2 x x L x             6 6 sin 2 2sin cos 2 12 2 12 2 12 lim lim cos cos 2sin sin 6 12 2 12 2 x x x x x x xx                                               6 cos 12 12 lim 2 1 sin 212 2 x x x            3.5 – Vơ cùng bé – vơ cùng lớn 1 – Định nghĩa (1) Hàm số α (x) được gọi là VCB khi x tiến tới x0 nếu   0 lim 0 x x x    0 lim x x f x   (2) Hàm số f(x) được gọi là VCL khi x tiến tới x0 nếu 2 – So sánh các vơ cùng bé        0 , lim x x x x x k x       0Cho là các VCB khi x x Giả sử : Khi đĩ: (1) Nếu k = 0 thì ta nĩi α(x) là VCB cĩ bậc cao hơn β(x). Ký hiệu α(x) = 0β(x) (2) Nếu k ≠ 0 thì ta nĩi α(x) là VCB cùng bậc với β(x). Ký hiệu α(x) = kβ(x) (3) Nếu k = 1 thì ta nĩi α(x) là VCB tương đương với β(x) và ký hiệu Ký hiệu α(x) ~ β(x) 3 – Các tính chất của VCB tương đương Tính chất 1 Cho α(x), β(x), γ(x) là những VCB khi x → x0 Khi đĩ ta cĩ: (1) α(x) ~ α(x) (2) Nếu α(x) ~ β(x) thì β(x) ~ α(x) (3) Nếu α(x) ~ β(x) và β(x) ~ γ(x) thì α(x) ~ γ(x) Tính chất 2 Cho α(x), β(x), α’(x) và β’(x) là những VCB khi x → x0 sao cho α(x) ~ α’(x) và β(x) ~ β’(x) Ta cĩ: (1) α(x)β(x) ~ α’(x)β’(x) (2) α(x)/β(x) ~ α’(x)/β’(x) Ghi chú: Tính chất 2 cho phép ta cĩ thể thay thế các VCB tương đương khi tìm giới hạn hàm số dạng tích hay dạng thương Tính chất 3 Nếu α(x) và β(x) là tổng của các VCB khi x → x0 thì giới hạn của thương α(x) / β(x) bằng giới hạn của thương các VCB cĩ bậc thấp nhất của tử số và mẫu số khi x → x0 Người ta thường gọi tính chất 3 là quy tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao 4 - Các tương đương cơ bản khi x tiến tới 0 (1) sin(x) ~ x; tan(x) ~ x (2) arcsin(x) ~ x; arctan(x) ~ x (3) ex – 1 ~ x (4) ln(1+x) ~ x Ví dụ: Tính giới hạn của các hàm số sau     2 20 ln 1 arcsin 3 (1) lim 1 cos 2x x x x L x       3 2 0 1 1 1 (2) lim .arctan .ln 1 3 x x e x L x x x      0 ln cos3 (3) lim ln cos 4x xL x  Giải     2 20 ln 1 arcsin 3 (1) lim 1 cos 2x x x x L x       2 4 2 40 02 3 9 9 lim lim 4 42sinx x x x x x xx      Do: ln(1+x) ~ x; arcsin 3x ~ 3x; sin x ~ x Giải          3 2 0 3 2 0 2 0 1 1 1 (2) lim .arctan .ln 1 3 1 1 lim . .3 1 lim 1 1 0 3 x x x x e x L x x x x x x x x x                (3) Ta cĩ 2 20 0 9 ln cos3 92lim lim ln cos 4 8 16x x x xL x x       Ví dụ: Tính các giới hạn sau       3 4 30 arctan 2 tan 2 lim 1 ln 1 3xx x x xL e x             2 3 4 2 30 arcsin 2 tan 1 lim tan 3 ln 1x x x x L x x     Giải:               2 3 4 2 30 22 220 0 arcsin 2 tan (1) lim tan 3 ln 1 arcsin 2 2 4 lim lim tan 3 93 x x x x x x L x x x x x x                 3 4 30 0 0 arctan 2 tan (2) lim 1 ln 1 3 arctan lim lim 1 1 xx xx x x x xL e x x x xe            3.6 - Bài tốn khử dạng 1; 00 Phương pháp: Logarit Nepe hai vế Cụ thể như sau:                     0 0 0 0 lim 1 ln ln lim lim ln lim ln 0. v x x x v x v x x x x x x x A L u x L u x u x v x u x A L e               Ví dụ Tinh giới hạn của các hàm số:   21 0 lim cos x x L x   1 - 4 4 lim tan x x L x    Giải    21 0 (1) lim cos 1x x L x    20 1ln lim ln cos 0.xL xx Lôgarit nepe hai vế :     2 2 20 0 0 ln cos ln 1 cos 1 cos 1 lim lim lim x x x x x x x x x        2 2 2 20 0 1 2 2sin 12 4lim 2lim 2 1 1 ln 2 x x x x x x L L e e                   (2) Ta cĩ        1 - 4 4 4 lim tan 1 1 ln lim ln tan 0. 4 x x x L x L x x                    4 4 4 ln 1 tan 1ln tan tan 1 lim lim lim 4 4 4 ln 1 tan 1 tan 1 x x x xx x x x x Do x x                        Suy ra:   1 - 4 4 4 2 4 sin 1 14 lnL lim lim 1 2 2 2cos cos .4 4 2 2 ln 2 lim tan x x x x x x x L L x e                        Bài Tập (trang 2) Bài Tập (trang 2) Bài Tập (trang 2) §4 – HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1 – Các khái niệm 1 – Hàm số liên tục Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b); x0 Ỵ (a,b) (1) Nếu f(x) → f(x0) khi x → x0 thì ta nĩi rằng f(x) là hàm số liên tục tại điểm x0 (2) Nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x0 Ỵ (a,b) thì ta nĩi rằng f(x) liên tục trong khoảng (a,b) 2 – Sự liên tục hai phía (1) Nếu f(x) → f(x0) khi x → x0+ thì ta nĩi rằng f(x) là hàm số liên tục phải tại điểm x0 (2) Nếu f(x) → f(x0) khi x → x0- thì ta nĩi rằng f(x) là hàm số liên tục trái tại điểm x0 (3) Nếu f(x) vừa liên tục phải, vừa liên tục trái tại điểm x0 thì liên tục tại điểm x0 (4) Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a,b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b thì ta nĩi f(x) liên tục trên đoạn [a, b] Ghi chú: Nếu f(x) khơng liên tục tại x0 thì ta nĩi x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) 4.2 – Các tính chất Định lý 1 Nếu f(x), g(x) liên tục tại x0 thì các hàm số: f(x) + g(x); f(x) g(x); f(x)/g(x) (g(x0) ≠ 0); f(x)g(x) cũng là những hàm số liên tục tại điểm x0 Định lý 2 Các hàm số sơ cấp cơ bản đều là những hàm số liên tục trên miền xác định của nĩ Định lý 3 Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đĩ: (1) f(x) là hàm số bị chặn trên đoạn [a,b], nghĩa là tồn tại một số thực M sao cho: x Ỵ [a,b] ta cĩ: If(x)I ≤ M (2) f(x) cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b] nghĩa là  x1, x2 Ỵ [a,b] ta cĩ: f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) (3) CỴ[f(a), f(b)],x0Ỵ (a,b) sao cho f(x0)=C (4) Nếu f(a)f(b)<0 thì x0Ỵ (a,b) sao cho f(x0)=0 4.3 – Các ví dụ Ví dụ 1 Cho hàm số: Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x = 0   2 2 cos 0 3 0 2 xe x x xf x x     nếu nếu Giải        22 2 20 0 0 3 0 2 1 cos 1cos lim lim lim xx x x x f e xe xf x x x            2 2 2 0 0 1 cos 1 1 3 lim 1 lim 0 1 2 2 x x x e x x x f x f              Suy ra f(x) là hàm số liên tục tại điểm x = 0 Ví dụ 2: Cho hàm số     2 2 arctan 1 1 4 3 1 1 x xf x x x x        nếu nếu Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x = 1 Giải Ta cĩ : f(1) = 1 Suy ra f(x) là hàm số khơng liên tục tại x = 1             2 2 2 21 1 1 1 1 arctan 1 1 lim lim lim 4 3 4 3 1 1 1 lim lim 1 1 1 3 3 x x x x x x xf x x x x x x x x f x x x   